正多边形等分系数表
3.7正多边形
r 4 2 2 3.
2 2
E O r R C
亭子地基的面积
A
D
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
B
P
请同学们完成下表中有关正多边形的计算
正多边 内角 形边数 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积
3 4 6
60°120° 2 90° 90° 2 120° 60° 2
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
F
R
. .O
a
C
180 AOG BOG n A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
R
2
（
a ） ， 2
2
1 1 L 边心距（r） na 边心距（r） 2 2
在Rt△OBD中 由勾股定理得：
O · D C
BD=
\BC
OB2-BD2 =
B 3 R2 - ( 1 R.)2 = 2 R
2
2 BD 3 R
1 1 3 S△ABC = － BC×AD = － × 3 R × － R = 3 3. R2 2 2 2 4
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
∵ AB=BC=CD=DE=EA
∴ AB=BC=CD=DE=EA
BCE=CDA=3AB
B O A E
·
D
∴ ∠A=∠B. 同理∠B=∠C=∠D=∠E. 又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,
C
∴ 五边形ABCD是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCD的 外接圆.
[说明]多边形面积二等分问题
![[说明]多边形面积二等分问题](https://img.taocdn.com/s3/m/1bef354a3a3567ec102de2bd960590c69ec3d8ed.png)
多边形面积二等分问题在初中阶段平面几何中，图形的等分问题比较多，常见的有以下几种:等分线段，等分角，等分圆，多边形面积二等分等。
线段和角的二等分比较简单，任意等分就稍显复杂；特别是角的任意等分，著名的“尺规作图不能问题”中就有角的三等分问题。
现在据说有人发明了一种工具叫做弧金规，这种工具不但可以任意等分任意角（包括三等分任意角），还能作一个正方形与已知圆的面积相等，即化圆为方问题；这样一来“尺规作图不能问题”中的三个就被其解决掉了两个，只还剩一个“立方倍积”了。
非但如此，这种工具还能在圆弧上取黄金分割点及在任意曲线上任意取段；也就是说能任意等分圆周及任意曲线。
这项发明可以说是意义重大，但是，这种工具毕竟现在没有推广、普及，而且其操作也肯定不如传统中的直尺和圆规操作简单，再说了，使用这种工具作图是否属于尺规作图还有待于进一步论证；所以，本文还是想从传统的尺规作图的角度来论述一下初中数学中常见的有关几何图形特别是多边形的面积二等分问题。
无论是什么样的多边形，都可以用一条直线把它分成两部分；由于直线相对于多边形的方向与位置不同，被分出来的两部分面积可能相等，也可能不相等。
但无论直线开始时如何放置，只要放置好以后我们让它沿着与直线垂直的方向来回平移，在直线扫过整个多边形的过程中，总有一个位置是使被分出来的两部分面积相等，因此，对于任意多边形，都应该存在无数条直线能把它分成面积相等的两部分；或者换句话说，过多边形任意边上的任意一点也都应该存在一条直线能把多边形分成面积相等的两部分。
先说三角形的面积二等分问题。
对于三角形来说，由于等底等高的三角形面积相等，所以，三角形任意一边上的中线都可以把它分成面积相等的两部分，这个问题比较简单；下面说一下过任意边上的任意一点作直线平分三角形的问题。
如图，已知P 为△ABC 的边BC 上的任意一点，求作直线PQ,把△ABC 分成面积相等的两部分。
作法：1.连接AP ；2，取BC 的中点D ，作D Q ∥AP ，交AC 于点Q;3,作直线PQ ，如图0.则直线PQ 就是所求作的直线。
多边形面积四等分问题
多边形面积四等分问题引言在数学中，我们经常会遇到解决多边形面积的问题。
而在这个问题中，我们将探讨如何将一个多边形的面积均匀地分割成四个等份。
这个问题涉及到数学几何中的概念和计算方法，将会是一个有趣而又具有挑战性的数学问题。
问题描述给定一个任意的多边形，我们的目标是将其面积划分为四个相等的部分。
也就是说，我们要找到一种方法，在不重叠且面积相等的情况下，将多边形划分为四个部分。
解决思路步骤1：计算多边形的面积首先，计算多边形的面积是解决这个问题的关键。
对于一个简单的多边形（没有自交叉），可以使用矢量法或者Shoelace 公式来计算其面积。
对于一个复杂的多边形，可以将其划分为若干个简单多边形，然后分别计算它们的面积，最后求和得到总的面积。
在已知多边形面积的情况下，我们需要找到四个切割点，用来将多边形划分成四份相等的小部分。
这四个切割点需满足以下条件：1.四个切割点必须落在多边形的边上；2.切割点所在的线段必须等长。
为了寻找切割点，我们可以按照以下步骤进行：1.对多边形的每条边进行遍历；2.在每条边上找到两个切割点。
在寻找切割点时，我们可以使用二分法来确定切割点的位置。
具体过程如下：1.将每条边分成若干等分；2.对每个等分点进行面积计算；3.根据等分点的面积与总面积的比例，计算切割点的坐标。
有了切割点的坐标，我们可以将多边形划分为四个相等的部分。
划分过程如下：1.将多边形的每条边与切割点相连；2.连接相邻切割点，形成四个小部分。
结论通过以上步骤，我们成功解决了多边形面积四等分问题。
根据给定的多边形，我们依次计算了多边形的面积、确定了切割点的位置以及划分了多边形，从而实现了将多边形面积均匀分割成四个相等的部分。
这个问题是一个经典的数学问题，在数学几何的研究中具有一定的难度。
通过解决这个问题，我们不仅加深了对多边形的理解，还提高了解决类似问题的能力。
参考文献1.德索萨, 张至信 . 计算几何学及其 C++ 实现 . 人民邮电出版社, 2006.2.Weisstein, Eric W.。
机械制图 几何作图 圆周的等分和正多边形
一、圆周的等分和正多边形 二、斜度和锥度 三、圆弧连接 四、工程上常见的平面曲线
§1-3 几何作图
一、圆周的等分和正多边形
1.六等分圆周和正六边形
方法一: 使用圆规，用半径六等分圆周，绘制正六边形。
D
§1-3 几何作图
一、圆周的等分和正多边形
1.六等分圆周和正六边形
方法二: 使用丁字尺、30° — 60° 三角板绘制正六边形。
§1-3 几何作图
三、圆弧连接
圆弧连接作图举例 1.用半径为R 的圆弧连接两已知直线。
R
O
t R R R
O
t t
R
两直线成锐角
t
两直线成钝角
两直线成直角
§1-3 几何作图
三、圆弧连接
圆弧连接作图举例 2.用半径为R 的圆弧连接两已知直线和圆弧。
R
O1
t2
O R t1
§1-3 几何作图
三、圆弧连接
2.抛物线
一动点到一焦点和定直线的距离相等,该动点 的轨迹即为抛物线。
已知导线和焦点，绘制抛物线。
导线
画图方法如下：
1)画主轴，定顶点A (FM 中点)；
2)在主轴上任取1、2、3 ... 点； 过各点作导线的平行线；
t
连接圆弧
t
R1+R
已知圆
连接圆弧的圆心在与已知圆同心的圆周上，半径为R1+R ； 切点在已知圆的圆心和连接圆弧的圆心的连线上。
§1-3 几何作图
三、圆弧连接
圆弧连接的作图原理 与已知圆弧相切—内切
圆心轨迹
圆心轨迹？
R2 = R1-R
连接圆弧
圆等分系数表
圆等分系数表
1圆的等分系数表圆的等分系数表：
10.0000021.0000030.8660340.7071150.5877960.5000070.4338880.3826 890.34202100.30902110.28173120.25882130.23932140.22252150.20791 160.19509170.18375180.17365
2190.16459200.15643
圆的等分系数也叫等分圆周直径系数！是已知圆的直径，求圆内接正ｎ边形边长时，所利用到的一个参数。
计算公式：设圆的直径为ｄ，圆内接正ｎ边形，等分系数为：k
则：正ｎ边形的边长a=k*d
这里的ｋ根据ｎ的取值不同，有不同的对应值！（其中前面的数字就是ｎ的取值，后面的为取值为ｎ的时候系数ｋ的取值！）
下面补充下上面系数表的算法问题：
以求内接正ｎ边形的边长为例子！依然设圆的直径为ｄ，等分系数为ｋ，我们来探讨下ｋ的取值！
每条边对应的角度为：2π/n
然后求每条边的长度，实际就是求边所在的弦的长度！选取任意一条边ＡＢ，那么连接该边两个端点AB与圆心Ｏ，得到<AOB=2π/n延长ＡＯ交圆于Ｃ，连接ＣＢ，得到直角三角形ＣＡＢ，其中：<ACB=<AOB/2=π/n 则所求的ＡＢ的长度为：AB=AC*sin<ACB=d*sin(π/n)
而AB=k*d
因此k=sin（π/n)。
3.7正多边形
具有什么数量关系？
E
F .O
D
C B
A
例2 用直尺和圆规作一个正六边形.
作法：（1）任意画一个圆，记圆心为O，如图所示：
·O
（2）在⊙O上任取一点A，自点A起在⊙O上依次截取
长度等于半径OA的弦，得到点B，C，D，E，F.
F
E O ·
A
D
B
C
（3）顺次连接点A，B，C，D，E，F，A，如图. 六边形ABCDEF就是所求的正六边形.
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做 正多边形. 如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形 叫做正n边形。
根据边数不同，分别叫做
正三角形
正五边形
正方形
正六边形
正八边形
二、正多边形的性质
1、正多边形的各边相等
2、正多边形的各个内角都相等
（n 2） 180 3、正n边形的内角的度数是： n
什么叫多边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线
段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形，叫做多边形．
n边形内角和等于（n -2）180°（n≥3）。 n边形的外角和等于360°。
3.7 正多边形
E A D
B
C
正三 角形
三条边相等， 三个角相等 正方形 （60度）。
四条边相等， 四个角相等 （900）。
设正n边形的内角为100° ，则 (n 2) 180 100 n
解得n=4.5
因为n是正整数，所以不存在内角为100°的正多边形.
作业题：
1、求正七边形的内角的度数。
2、已知一个正多边形的内角1400，它是几边形？