2019-2020学年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷及答案解析
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)
浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（ ）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（ ）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（ ）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（ ）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （ ）A ．2B C ．D ．837．已知，则（ ）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（ ）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（ ）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（ ）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（ ）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区七年级(下)期末数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区七年级(下)期末数学试卷 选择题(本大题共10小题，共30.0分) 计算：(计+1 = ()AT已知某新型感冒病毒的直径约为0.000 000 823米，将0.000 000 823用科学记数法表示为()A. 82.3 × 10^6B. 8.23 × 10^7C. 8.23 × 10~6D. 0.823 × IO 7把/ — 0+1)2分解因式，结果正确的是() A. (% + y + I)(X - y - 1)B. (% + y - I)(X 一 y — 1)C. (χ + y - I)(X + y+ 1)D ・(χ-y+ I)(X + y+ 1) 下列调查中适宜采用抽样方式的是()A. 了解某班每个学生家庭用电数量B. 调査你所在学校数学教师的年龄状况C. 调査神舟飞船各零件的质量D. 调査一批显像管的使用寿命如图，AB∕∕CD. AE 交 CD 于点 C, DE 丄 AE 于点 E,若ZJl = 42°,则 ZD = ()A. 42°B. 58°C. 52°D. 48° 化简分式二：+二的结果是()如图,将边长为5cm 的等边△力3C 沿边BC 向右平移4cm 得到△ DEF, 则四边形ABFD 的周长为()A. 22CmB. 23CmC. 24CmD. 25Cm讣算1052 -952的结果为()A. 1000B. 1980 如图，直线力B∕∕CD ∙ ∆BAE = 28°. A. 68°B. 78°1. 2.3. 4. 5. 6. 7. 8.9.10. B.- A. a + b B. a — b现定义一种新运算:庞b= b 2- Ub 9 A. —9 B. —6 C — D — • a-b ∙ α+b如：102 = 22-1x2 = 2,贝∣J(-102)O3等于() C. 6 D.9 C. 2(X)0 乙ECD = 50。
2019-2020学年环大罗山联盟高一下学期期末数学试卷
2019-2020学年环大罗山联盟高一下学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.在△ABC 中，下列等式一定成立的是( )A. sin(A +B)=−sinCB. cos(A +B)=cosCC. cosB+C 2=sin A2D. sinB+C 2=sin A22.已知点A 和B在直线的两侧，则直线倾斜角的取值范围是( )A.B.C.D.3. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A.B. C. D.4.在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥AD ，AB =2，AD =√3，∠CAB =π3，点F 是线段AB上的一点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−174，则λ=( ) A. 14B. 13C. 12D. 235.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为( )A. 6B. 7C. 8D. 96.已知tanα=−13，则12sinαcosα+cos 2α=( )A. 103B. 3C. −103D. −37.六安滨河公园喷泉中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45°，沿A 处向南偏东30°前进50米到达点B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A. 15mB. 30mC. 25mD. 50m8.设min{p,q}表示p，q中较小的一个，给出下列命题：①min{x2,x−1}=x−1；②设θ∈(0, π2]，则min{sinθsin2θ+1, 12}=12；③设a，b∈N∗，则min{a, 2ba2+b2}的最大值是1，其中所有正确命题的序号有()A. ①B. ③C. ①②D. ①③9.已知函数f(x)=2sinωx(其中ω>0)，若对任意x1∈[−3π4,0)，存在x2∈(0,π3]，使得f(x1)=f(x2)，则ω的取值范围为()A. ω≥3B. 0<ω≤3C. ω≥92D. 0<ω≤9210.已知数列{a n}，{b n}满足b n=log2a n，n∈N∗，其中{b n}是等差数列，且a8⋅a2008=14，则b1+ b2+b3+⋯+b2015=()A. log22015B. 2015C. −2015D. 1008二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.求值：cos330°=______．12.已知函数f(x)=ax2+a2x+2b−a3，当x∈(−∞,−2)∪(6,+∞)时，f(x)<0，当∈(−2,6)时，f(x)>0．(1)求a、b的值；(2)设F(x)=−k4f(x)+4(k+1)x+2(6k−1)，则当k取何值时，函数F(x)的值恒为负数？13.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F.若P为劣弧上的动点，则的最小值为________ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.直线l：y=−x+1的倾斜角为，经过点(1,3)且与直线l垂直的直线的斜截式方程为15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，若c=2acosB，S=12a2−14c2，则△ABC的形状为(1)，C的大小为(2)．16. 已知函数f(x)=cos(2x +φ)(−π2<φ<0)． ①函数f(x)的最小正周期为 ； ②若函数f(x)在区间[π3,4π3]上有且只有三个零点，则φ的值是 ．17. 已知点A(2,5)，B(3,−2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ，与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量为 ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 已知向量m ⃗⃗⃗ =(1,1)，向量n ⃗ 与向量m ⃗⃗⃗ 的夹角为3π4，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1． (1)求向量n ⃗ ；(2)设向量a ⃗ =(1,0)，向量b ⃗ =(cosx,sinx)，其中x ∈R ，若n ⃗ ⋅a ⃗ =0，试求|n ⃗ +b ⃗ |的取值范围．19. 已知直线L 1：(3−a)x +(2a −1)y +10=0，直线L 2：(2a +1)x +(a +5)y −6=0． ①若L 1⊥L 2，求a 的值； ②若L 1//L 2，求a 的值．20. 在△ ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、 B 、C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，A 、B 、C 成等差数列，求B 的大小以及的值。
2023- 2024学年杭州市高一数学下学期开学检测卷附答案解析
2023-2024学年杭州市高一数学下学期开学检测卷（试卷满分150分．考试用时120分钟）2024年2月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本答题卡一并交回.4．测试范围：人教A 版2019必修第一册全册＋必修第二册6.1－6.3.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列结论正确的是（）A ．{}2,3∅=BQC ．⊆N ZD ．若A B A ⋃=，则A B⊆2．在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A ．32m n- B ．23m n-+C ．32m n+ D ．23m n+ 3．已知不等式220ax bx ++>的解集为{2xx <-∣或1}x >-，则不等式220x bx a ++<的解集为（）A ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．}{211x xx <->∣或C ．112x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭D ．{2xx <-∣或1}x >4．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,4，则下列结论正确的是（）A ．()y f x =的定义域是[)0,∞+B ．()y f x =在其定义域内为减函数C ．()y f x =是奇函数D ．()y f x =是偶函数5．“实数1a =-”是“函数()223f x x ax =+-在()1,+∞上具有单调性”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．79-B ．429-C ．429D ．797．若函数(1)2,2()log ,2aa x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．22⎛ ⎝⎦C ．22⎫⎪⎪⎣⎭D ．()1,+¥8．已知函数其中0ω>．若()π,4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围是（）A ．(]0,4B ．0,13⎛⎤⎥⎝⎦C ．52,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．以下四个命题，其中是真命题的有（）A ．命题“,sin 1x x ∀∈≥-R ”的否定是“,sin 1x x ∃∈<-R ”B ．设向量,a b 的夹角的余弦值为13-，且1,3a b == ，则(2)11a b b +⋅= C ．函数()log (1)1a f x x =-+（0a >且1a ≠）的图象过定点()2,1D ．若某扇形的周长为6cm ，面积为22cm ，圆心角为(0π)αα<<，则1α=10．若正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A ．ab 有最大值14B C ．14a b+的最小值是10D ．122a b ->11．函数()f x 在其定义域上的图像是如图所示折线段ABC ，其中点,,A B C 的坐标分别为()1,2，()1,0-，()3,2-，以下说法中正确的是（）A ．((2))2f f -=B ．()1f x +为偶函数C ．()10f x -≥的解集为[3,2][0,1]-- D ．若()f x 在[]3,m -上单调递减，则m 的取值范围为(3,1]--第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．定义函数()()5,07,0x x f x x x ⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，则()0f f ⎡⎤=⎣⎦.13．若用二分法求方程32330x x +-=在初始区间()0,1内的近似解，则第三次取区间的中点3x =.14．已知2sin cos 20ββ-+=，()sin 2sin ααβ=+，则()tan αβ+=．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f α；(2)已知()2f α=-，求sin cos sin cos αααα+-的值.16．已知()()12e 2x m xf x m -=⋅-，()e e 1xax x g x =-，且()g x 为偶函数.(1)求实数a 的值；(2)若方程()()f x g x =有且只有一个实数解，求实数m 的取值范围.17．已知函数()ππ2sin sin 1cos 22f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎣⎦的最大值和最小值；(3)荐()()65g x f x =-在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点()1212,x x x x <，求()12sin x x -的值.18．某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13200元，请分析合理的方案共有多少种，并确定获利最大的方案以及最大利润；(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k （0100k <<）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．19．已知()e (2)e x xf x k -=+-(1)当()f x 是奇函数时，解决以下两个问题：①求k 的值；②若关于x 的不等式2()(2)2e 100x mf x f x ----<对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当()f x 是偶函数时，设2()log ()g x f x =，那么当n 为何值时，函数2()[()1][21()]h x g x n n g x n n =-+⋅+-+-有零点．1．C【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A ，∅中不含有任何元素，∅是任何集合的子集，则{}2,3∅⊆，故A 错误；对于B ，QQ ，故B 错误；对于C ，N 表示自然数集，Z 表示整数集，则⊆N Z ，故C 正确；对于D ，A B A ⋃=，则B A ⊆，故D 错误.故选：C 2．B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=- 23m n =-+．故选：B ．3．C【分析】根据给定的解集求出,a b ，再解一元二次不等式即得.【详解】由不等式220ax bx ++>的解集为{2xx <-∣或1}x >-，得2,1--是方程220ax bx ++=的两个根，且0a >，因此2(1)b a -+-=-，且22(1)a -⨯-=，解得1,3a b ==，不等式220x bx a ++<化为：22310x x ++<，解得112x -<<-，所以不等式220x bx a ++<为1{|1}2x x -<<-.故选：C 4．D【分析】首先将点坐标代入得幂函数表达式进而得其定义域单调性，结合奇偶性的定义即可得解.【详解】由题意设幂函数为()f x x α=，则()22224f α===，所以2α=，()2f x x =，其定义域为全体实数，且它在[)0,∞+内单调递增，又()()()22f x x x f x -=-==，所以()y f x =是偶函数，故ABC 错误，D 正确.故选：D.5．A【分析】根据二次函数的单调性求出1a ≥-，再根据充分不必要条件的判定即可.【详解】当1a =-时，()()222314f x x x x =--=--，则()f x 在()1,∞+上单调递增，即其在()1,∞+上具有单调性，则正向可以推出；若函数()223f x x ax =+-在()1,∞+上具有单调性，则对称轴1x a =-≤，解得1a ≥-，则反向无法推出；故“实数1a =-”是“函数()223f x x ax =+-在()1,∞+上具有单调性”的充分不必要条件.故选：A.6．D【分析】以π6α+为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.【详解】∵225πππππ17sin 2sin 2cos 212sin 126626639αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．C【分析】要使函数是减函数，须满足10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩求不等式组的解即可.【详解】若函数(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则10012(1)2log 2a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪--≥⎩得212a ≤<，故选：C.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，考查函数的性质.8．D【分析】利用正弦函数的单调性求出单调递增区间，然后分类讨论可得.【详解】由πππ2π2π,242k x k k ω-+≤+≤+∈Z 解得3π2ππ2π,44k k x k ωωωω-+≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3π2ππ2π,,44k k k ωωωω⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()f x 在区间π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以3πππ2422T ⎛⎫≥-=⎪⎝⎭，所以04ω<≤.当0k =时，由()f x 在区间π3π,24⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增可知3ππ42π3π44ωω⎧-≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，得103ω<≤；当1k =时，由5ππ429π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩解得332ω≤≤；当2k =时，13ππ4217π3π44ωω⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩无实数解.易知，当1k ≤-或2k ≥时不满足题意.综上，ω的取值范围为15,0332,⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：D 9．ACD【分析】利用全称命题的否定可判定A ，利用平面向量的数量积公式及运算律可判定B ，利用对数函数的性质可判定C ，利用扇形的周长、面积公式可判定D.【详解】对于A ，命题“,sin 1x x ∀∈≥-R ”的否定是“,sin 1x x ∃∈<-R ”正确，故A 正确；对于B ，22(2)22cos ,a b b a b b a b a b b +⋅=⋅+=⋅+ 2121337113⎛⎫=⨯⨯⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C ，()2log 111a x x =⇒-+=，故C 正确；对于D ，设扇形半径r ，则22611422r r r r ααα+=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨==⎩⎪⎩或21r α=⎧⎨=⎩，又0πα<<，所以1α=成立，故D 正确.故选：ACD 10．AD【分析】利用1a b =+≥可判断A；利用212a b a b =++≤++=可判断B ；1414()a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后再利用基本不等式可判断C ，由211a b a -=->-再利用指数函数的单调性可判断D ．【详解】对于A ，∵0,0a b >>，且1a b +=，∴1a b =+≥，当且仅当12a b ==时取到等号，∴14ab ≤，∴ab 有最大值14，∴选项A 正确；对于B，2112a b a b =++=+≤++=，∴0<+≤当且仅当12a b ==时取到等号，∴B 错误；对于C，14144()14529b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b +即21,33b a ==时取到等号，所以C 不正确；对于D ，∵211a b a -=->-，∴122a b ->，∴D 正确．故选：AD.11．ACD【分析】利用函数图像逐一判断各选项即可.【详解】由图像可得(2)1f -=，所以((2))(1)2f f f -==，A 正确；由图像可得()f x 关于=1x -对称，所以(1)f x +关于2x =-对称，B 错误；由图像可得()10f x -≥即()1f x ≥的解集为[3,2][0,1]-- ，C 正确；由图像可得()f x 在[3,1]--上单调递减，所以m 的取值范围为(3,1]--，D 正确；故选：ACD 12．49【分析】根据分段函数，结合指对数运算求解即可。
杭州市高级中学2020-2021学年高一下学期期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州高级中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3} 3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣124．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣15．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行6．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，三棱锥C1﹣A1BD的体积为（）A．B．C．D．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB＝BC＝2，AB，BC分别与y'轴、x'轴平行，则△ABC在原图中对应三角形的面积为（）A．B．1C．2D．48．若函数f（x）＝x2+e x﹣（x＜0）与g（x）＝x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣）B．（）C．（）D．（）9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD 内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为，此时||＝．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H（t）＝A sin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H（t）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h米，求h的最大值．20．已知函数f（x）＝g（x）h（x），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f（x）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题1．设z＝﹣3+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝﹣3+2i，∴，∴在复平面内对应的点为（﹣3，﹣2），在第三象限．故选：C．2．已知集合M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{x|﹣4＜x＜3}B．{x|﹣4＜x＜﹣2}C．{x|﹣2＜x＜2}D．{x|2＜x＜3}解：∵M＝{x|﹣4＜x＜2}，N＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，∴M∩N＝{x|﹣2＜x＜2}．故选：C．3．若，，与的夹角θ为45°，则等于（）A．12B．C．D．﹣12解：，，与的夹角θ为45°，则＝＝12．故选：B．4．若函数，则f（f（﹣1））＝（）A．0B．C．1D．﹣1解：根据题意，函数，则f（﹣1）＝e0＝1，则f（f（﹣1））＝f（1）＝1﹣2＝﹣1；故选：D．5．已知平面α与平面β平行，且直线a⊂α，则下列说法正确的是（）A．a与α内所有直线平行B．a与β内的无数条直线平行C．a与β内的任何一条直线都不平行D．a与β内的任何一条直线平行解：∵a⊂α，α∥β，∴a与α内直线的位置关系有两种：平行或相交，故A错误；a与β内直线的位置关系有两种：平行或异面，平行的有无数条，相交的也有无数条，故B正确CD错误．故选：B ．6．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为（）A ．B ．C ．D ．解：∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又＝，∴三棱锥C 1﹣A 1BD 的体积为1﹣，故选：A ．7．如图所示是水平放置的三角形的直观图，AB ＝BC ＝2，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则△ABC 在原图中对应三角形的面积为（）A ．B ．1C ．2D ．4解：把直观图转化为原平面图形，如图所示：则原平面图形为直角三角形，计算该直角三角形的面积为S ＝×4×2＝4．故选：D ．8．若函数f （x ）＝x 2+e x ﹣（x ＜0）与g （x ）＝x 2+ln （x +a ）图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（）A ．（﹣）B ．（）C ．（）D ．（）解：因为f （x ），g （x ）图象上存在关于y 轴对称的点，设P （x ，y ）（x ＜0）在函数f （x ）上，则P 关于y 轴的对称点Q 为（﹣x ，y ），则存在x ∈（﹣∞，0），满足x 2+e x ﹣＝（﹣x ）2+ln （﹣x +a ），即方程e x ﹣＝ln （﹣x +a ）在（﹣∞，0）上有解，即函数F（x）＝与函数h（x）＝ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有交点，在直角坐标系中画出函数F（x）和h（x）的图象，如图所示，当h（x）过点时，a＝，由图象可知，当a＜时，函数F（x）与h（x）在x＜0时有交点，所以a的取值范围为（﹣∞，）．故选：A．9．下列说法正确的是（）A．多面体至少有四个面B．平行六面体六个面都是平行四边形C．长方体、正方体都是正四棱柱D．棱台的侧面都是梯形解：在A中，面最少的多面体是三棱锥，故最多面体至少有四个面，故A正确；在B中，平行六面体的六个面均为平行四边形，故B正确；在C中，长方体、正方体都是四棱柱，但长方体不是正四棱柱，故C错误；在D中，棱台的所有侧面都是梯形，故D正确．故选：ABD．10．下列结论正确的是（）A．B．若a＜b＜0，则C．若x（x﹣2）＜0，则log2x∈（0，1）D．若a＞0，b＞0，a+b≤1，则解：对于A，当x＜0时，x+≤﹣2，故错；对于B，当a＜b＜0时，，则，故正确；对于C，若x（x﹣2）＜0，则0＜x＜2，则log2x∈（﹣∞，1），故错；对于D，若a＞0，b＞0，a+b≤1，则有ab，即，故正确．故选：BD．11．如图，延长正方形ABCD的边CD至点E，使得DE＝CD，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（）A．满足λ+μ＝2的点P必为BC的中点B．满足λ+μ＝1的点P有两个C．满足λ+μ＝3的点P有且只有一个D．的点P有两个解：建立直角坐标系，如图所示：设正方形的边长为1，设动点P（x，y），则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（﹣1，1），所以＝（1，0），＝（﹣1，1），所以＝+μ，整理得，所以λ+μ＝x+2y，下面对点P的位置逐一进行讨论，①当点P在AB上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，1]，②当动点P在BC上时，，故λ+μ＝x+2y∈[1，3]，③当动点P在CD上时，，故λ+μ＝x+2y∈[2，3]，④当动点P在DA上时，，故λ+μ＝x+2y∈[0，2]，由此可得：λ+μ＝2，得到动点P为BC的中点或点D的位置，故A错误，当λ+μ＝1时，得到动点P为点B的位置或AD的中点，故B正确，当λ+μ＝时，点P为CD的中点或P（1，），故D正确，当λ+μ＝3时，点P为C（1，1）的位置，故C正确．故选：BCD．12．如图，正方形ABCD的边长为2，O为边AD中点，射线OP绕点O按逆时针方向从射线OA旋转至射线OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x，射线OP扫过的正方形ABCD内部的区域（阴影部分）的面积为f（x），则下列说法正确的是（）A．B．f（x）在上为减函数C．f（x）+f（π﹣x）＝4D．f（x）图象的对称轴是解：当x＝时，，所以，故选项A正确；当时，图象面积增加，即f（x）单调递增，故选项B错误；取BC的中点G，连接OG，设射线OP与正方形的边的交点为E，作点E关于直线OG的对称点F，则∠FOD＝x，所以∠AOF＝π﹣x，将射线OF绕点O按顺时针方向旋转扫过正方形ABCD的面积为S，由对称性可知S＝f（x），因为S+f（π﹣x）＝4，所以f（x）+f（π﹣x）＝4，故选项C正确；因为f（x）+f（π﹣x）＝4，则，所以，则f（x）的图象不关于对称，故选项D错误．故选：AC．二、填空题13．i是虚数单位，复数||＝．解：复数||＝＝＝＝，故答案为：．14．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝1．解：在△ABC中，∵AB＝，BC＝3，∠C＝120°，∴由余弦定理可得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos C，即：（）2＝AC2+32﹣2×3×AC×cos120°．∴整理可得：AC2+3AC﹣4＝0，解得：AC＝1或﹣4（舍去）．故答案为：1．15．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为θ，那么＝﹣7．解：设大正方形的边长为a＝5，小正方形的边长为1，故设直角三角形的边长为x和x+1，故x2+（x+1）2＝25，解得x＝3，故tan．故＝﹣7．故答案为：﹣7．16．已知A（﹣5，0），B（5，0），若对任意实数t∈R，点P都满足，则的最小值为﹣16，此时||＝6．解：∵A（﹣5，0）和B（5，0）在中点为原点O（0，0），不妨以A，B的中点为原点，AB所在直线为x轴，过O且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，设，H为AB上一点，，故，所以，P到直线AB的距离为3，则P点在直线L：y＝3上，可得：A（﹣5，0），B（5，0），P（x，3），则＝（﹣5﹣x，﹣3）⋅（5﹣x，﹣3）＝x2﹣25+9＝x2﹣16，当且仅当x＝0时，取最小值﹣16，此时P（0，3），．故答案为：﹣16；6．三、解答题17．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点．（1）求三棱锥C1﹣CDE的体积；（2）求证：A1B1∥平面DEC1．【解答】（1）解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，BB1＝2，D、E分别为BC、AC的中点，则EC＝CD＝1，∠ACB＝60°，所以，故三棱锥C1﹣CDE的体积为＝＝；（2）证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE∥AB，又AB∥A1B1，所以DE∥A1B1，又A1B1⊄平面DEC1，DE⊂平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1．18．已知平面向量，，＝（1，2）．（1）若＝（0，1），求的值；（2）若＝（2，m），与共线，求实数m的值．解：（1），所以．（2），因为与共线，所以，解得m＝4．19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面145米，匀速转动一周大约需要30分钟．当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|≤），求摩天轮转动一周的解析式H （t ）；（2）游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到52米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．解：（1）H 关于t 的函数关系式为H （t ）＝A sin （ωt +φ）+B ，由，解得A ＝62，B ＝83，…1分又函数周期为30，所以ω＝＝，可得H （t ）＝62sin （t +φ）+83，…2分又H （0）＝62sin （×0+φ）+83＝21，所以sin φ＝﹣1，φ＝﹣，…3分所以摩天轮转动一周的解析式为：H （t ）＝62sin （t ﹣）+83，0≤t ≤30，…4分（2）H （t ）＝62sin （t ﹣）+83＝﹣62cos t +83，所以﹣62cos t +83＝52，cos t ＝，…6分所以t ＝5…8分（3）由题意知，经过t 分钟后游客甲距离地面高度解析式为H 甲＝﹣62cos t +83，乙与甲间隔的时间为＝5分钟，所以乙距离地面高度解析式为H 乙＝﹣62cos （t ﹣5）+83，5≤t ≤30，…10分所以两人离地面的高度差h ＝|H 甲﹣H 乙|＝|﹣62cos t +62cos （t ﹣5）|＝62|sin （t ﹣）|，5≤t ≤30，当t ﹣＝，或时，即t ＝10或25分钟时，h 取最大值为62米…12分20．已知函数f （x ）＝g （x ）h （x ），其中＝___．从①；②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答，（1）写出函数f （x ）的一个周期（不用说明理由）；（2）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．解：若选条件①，f（x）＝＝2sin x（cos x﹣sin x）＝2sin x cos x﹣2sin2x＝sin2x+cos2x﹣1＝．（1）函数的周期为T＝π；（2）∵x∈，∴2x+∈[，]，当2x+＝，即x＝﹣时，函数取得最小值﹣2，当2x+＝，即x＝时，函数取得最大值；若选条件②，f（x）＝＝＝．（1）函数的周期为T＝2π；（2）由x∈，得sin x∈[，]，当sin x＝，即x＝时，函数取得最大值，当sin x＝﹣，即x＝﹣时，函数取得最大值﹣1﹣．21．某公司对两种产品A，B的分析如表所示：产品类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价格每年最多可生产的件数A20万元m万元10万元200件B40万元8万元18万元120件其中年固定成本与年生产的件数无关，m为常数，且m∈[6，8]．另外，销售A产品没有附加税，年销售x件，B产品需上交0.05x2万元的附加税．假定生产出来的产品都能在当年销售出去，并且该公司只选择一种产品进行投资生产．（1）求出该公司分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2（单位：万元）与年生产相应产品的件数x之间的函数解析式，并指出定义域；（2）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润，比较最大年利润，决定投资方案，该公司投资生产哪种产品可获得最大年利润？【解答】（1）y1＝（10﹣m）x﹣20，其中{x|0≤x≤200，x∈N}，，其中{x|0≤x≤120，x∈N}．（2）∵6≤m≤8，∴10﹣m＞0，∴y1在定义域上是增函数，∴当x＝200时，（y1）max＝（10﹣m）200﹣20＝1980﹣200m，又，∴当x＝100时，（y2）max＝460，（y1）max﹣（y2）max＝1980﹣200m﹣460＝1520﹣200m，当1520﹣200m＞0时，即6≤m＜7.6时，投资A产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＝0时，即m＝7.6时，投资A或B产品可获得最大年利润．当1520﹣200m＜0时，即7.6＜m≤8时，投资B产品可获得最大年利润．22．已知函数，g（x）＝|log2x|．（1）若关于x的方程g（x）＝n有两个不等根α，β（α＜β），求αβ的值；（2）是否存在实数a，使得对任意m∈[1，2]，关于x的方程4g2（x）﹣4ag（x）+3a﹣1﹣f（m）＝0在区间上总有3个不等根x1，x2，x3，若存在，求出实数a与x1⋅x2⋅x3的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）g(x)＝|log2x|＝,因为关于x的方程g(x)＝n有两个不等的实数根α,β,(α＜β)所以﹣log2α＝n,log2β＝n,所以α＝2﹣n,β＝2n,所以αβ＝2﹣n•2n＝20＝1．（2）f(m)＝＝m+﹣3在m∈[1,2]上单调递减，则f(2)≤f(m)≤f(1),所以1≤f(m)≤2,令p＝f(m),则p∈[1,2],因为g(x)＝|log2x|在[,1]上单调递减，在[1,4]上电脑端递增，又g()＝3,g(1)＝0,g(4)＝2,令t＝g(x),则当t∈(0,2]时，方程t＝g(x)有两个不等实数根，由(1)知，两个根之积为1，当t∈(2,3]∪{0}时，方程t＝g(x)有且仅有一个根且此根在区间[,)内或为1，令h(t)＝4t2﹣4at+3a﹣1,所以原题目等价于，对任意p∈[1,2]，关于t的方程h(t)＝p在区间[0,3]上总有2个不等根t1,t2(t1＜t2),且t1＝g(x)有两个不等根，t2＝g(x)只有一个根，则必有0＜t1≤2＜t2≤3,则有,解得＜a≤,此时t2＝g(x)∈(2,3),则其根x∈[,),所以x1x2x3∈[,),所以存在实数a,使得对任意m∈[1,2],关于x的方程4g2(x)﹣4ag(x)+3a﹣1﹣f(m)＝0在区间[,4]上总有3个不等根，x1,x2,x3,实数a的取值范围为(，],x1x2x3的范围为[,)．。
2019-2020学年浙江省杭州市西湖区八年级(下)期末数学试卷(解析版)
2019-2020 学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷一．选择题（共 10 小题） 1．下列运算正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（ ） A ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直平分2若 n （ n ≠ 0）是关于 x 的方程 x 2+mx+2n ＝ 0 的根，则 m+n 的值为24900（1+x ）+4900（1+x ）2＝6400D ． 7． 列命题中，是真命题的是（ A ．若 a?b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 B ． 若 a+b> 0，则 a> 0 且b> 08． C ．若 a ﹣ b ＝ 0，则 a ＝0 或 b ＝0 已知反比例函数 y ＝ （ k ≠ 0）的图象经过点 D ． 若 a ﹣b>0，则 a>0 且 b>02， 3），若 x>﹣ 2，则（ ） A ． y> 3 B ．y<3 C ．y>3 或 y<0 D ．0<y<3 B ．对角线相等C ．对角线互相垂直 3． 已知反比例函数 的图象经过点（ m ， 3m ），则此反比例函数的图象在（4．A ．第一、二象限 C ．第二、四象限B ．第一、三象限 D ．第三、四象限当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（ A ．增大，增大 B ．增大，不变C ．不变，增大D ． 不变，不变 5． 6． A ．1B ．2C ．﹣ 1D ． ﹣2为执行“两免一补 “政策， 某市 2008年投入教育经费 4900万元， 预计 2010 年投入 6400 万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为 x ，那么下面列出的方程正确的是 （ ） A ．4900x 2＝ 6400 B ． 24900（1+x ）2＝C ．24900（ 1+x% ） ＝关于 x的方程 k2x2+（2k﹣1）x+1＝0 有实数根，则下列结论正确的是（9．A ．当 k＝时，方程的两根互为相反数B．当 k＝0 时，方程的根是 x＝﹣1C ．若方程有实数根，则 k ≠0且 k ≤10．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，Q 为 CD 边上（异于 C ，D ）的一个动点， AQ 交 BD 于点 M ．过 M 作MN ⊥AQ 交BC 于点 N ，作 NP ⊥BD 于点 P ，连接 NQ ，下面结论： ① AM ＝ MN ；② MP ＝ ；③ △ CNQ 的周长为 3；④ BD+2BP ＝2BM ，其中一定成立的是 （）二．填空题（共 6 小题） 11．若在实数范围内有意义，则 a 满足 ．12．在一次体检中，测得某小组 5 名同学的身高分别是 159，160，155，160， 161（单位：厘米），则这组数据的中位数是厘米．13．已如点 A （1，﹣ k+2）在反比例函数 y ＝ （ k ≠0）的图象上，则 k ＝ ． 14．方程（ x ﹣1）2＝20202的根是．15．一张长方形的会议桌，长 3 米，宽 2米，有一块台布的面积是桌面面积的 1.5 倍，并且 铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是 米．（结果保留 根号）16．如图，在 ?ABCD 中， AC ⊥AB ，AC 与 BD 相交于点 O ，在同一平面内将△ ABC 沿 AC 翻折，得到△ AB ′ C ，若四边形 ABCD 的面积为 24cm 2，则翻折后重叠部分（即 S △ACE ） 的面积为 cm 2．B ．①②③C ．①②④D ．①④D ．若方程有实数根，则A ．①②③．解答题（共 7 小题）17．计算：（ 1）；（ 2）．18．解方程：（1）2x（x﹣ 1）＝ 3（x﹣1）；（ 2） x2+2 x﹣ 5＝0．19．已知一次函数 y＝（ m﹣ 1） x+m﹣ 2 与反比例函数数 y＝（ k≠ 0）．（ 1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣ 1），求 m 与 k的值．（ 2）已知点 B（x1， y1），C（ x2，y2）在该一次函数图象上，设 k＝（ x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数 y＝的图象所在的象限，说明理由．20．为切实减轻中小学生课业负担、全面实施素质教育，某中学对本校学生课业负担情况进行调查．在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，发现被抽查的学生中，每天完成课外作业时间，最长不足 120 分钟，没有低于 40 分钟的，且完成课外作业时间低于 60 分钟（不包括 60 分钟）的学生数占被调查人数的10%．现将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图，如图所示：（ 1）这次被抽查的学生有人；（ 2）请补全频数分布直方图；（ 3）若该校共有 1200 名学生，请估计该校大约有多少名学生每天完成课外作业时间在80 分钟以上（包括 80 分钟）．21．已知，如图 1，四边形 ABCD 是一张菱形纸片，其中∠ A＝ 45°，把点 A与点 C 分别折向点 D，折痕分别为 EG 和 FH ，两条折痕的延长线交于点 O．（1）请在图 2 中将图形补充完整．（2）求∠ EOF 的度数．3）判断四边形 DGOH 也是菱形吗？请说明理由．22．有长为 30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于 AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB 为 xm，面积为 ym2．（ 1）用含有 x 的代数式表示 y．（ 2）如果要围成面积为 63m2的花圃， AB 的长是多少？（3）能围成面积为 72m2的花圃吗！如果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由．23．如图，在矩形 ABCD中，已知 AB＝4，BC＝2，E为 AB的中点，设点 P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点 A 重合）．1）证明： PD ＝PE．2）连接 PC，求 PC 的最小值．3）设点 O 是矩形 ABCD 的对称中心，是否存在点 P，使∠ DPO＝90°？若存在，请直2019-2020 学年浙江省杭州市西湖区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共 10 小题） 1．下列运算正确的是（）A ．B．C．D．【分析】根据实数的算术平方根和平方运算法则计算，注意一个数的平方必是非负数．【解答】解： A、＝ 2，故本选项错误；B、＝ 5，故本选项错误；C、（﹣）2＝ 7，故本选项正确；D 、没有意义，故本选项错误．故选： C ．2．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的对角线的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．故选： A ．3．已知反比例函数的图象经过点（ m， 3m），则此反比例函数的图象在（）A ．第一、二象限B ．第一、三象限C．第二、四象限D．第三、四象限【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，判断出 k 的取值范围，再判断出函数所在的象限．解答】解：将点（ m， 3m）代入反比例函数得，2k＝ m?3m＝3m > 0；故函数在第一、三象限，故选： B ．4．当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（）A ．增大，增大B ．增大，不变C．不变，增大D．不变，不变【分析】利用 n 边形的内角和公式（ n﹣2）?180°（ n≥ 3）且 n 为整数），多边形外角和为 360 °即可解决问题．【解答】解：根据 n 边形的内角和可以表示成（ n﹣ 2）?180°，可以得到一个多边形的边数增加时，则内角和增大．多边形外角和为360°，保持不变．故选： B ．25．若 n（ n≠ 0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n＝ 0 的根，则 m+n 的值为（）A ． 1B ． 2 C．﹣ 1 D ．﹣ 22【分析】把 x＝n 代入方程得出 n2+mn+2n＝0，方程两边都除以 n 得出 m+ n+2 ＝ 0，求出即可．【解答】解：∵ n（ n≠ 0）是关于 x的方程 x2+mx+2n＝0 的根，代入得： n2+ mn+2 n＝ 0，∵n≠0，∴方程两边都除以 n 得： n+m+2＝ 0，∴ m+n ＝﹣ 2．2B．4900（1+x）2＝ 6400C．4900（1+x%）2＝ 64002D．4900（1+x）+4900（1+x）2＝6400【分析】这两年投入教育经费的年平均增长率为 x，根据某市 2008 年投入教育经费 4900万元，预计 2010年投入 6400 万元可列方程．【解答】解：这两年投入教育经费的年平均增长率为x，24900（1+x）2＝6400．故选： D ．6．为执行“两免一补“政策，某市 2008年投入教育经费 4900万元，预计 2010 年投入 6400 万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，那么下面列出的方程正确的是（）2A ．4900x2＝ 6400故选： B ．7．下列命题中，是真命题的是（ ）A ．若 a?b ＝0，则 a ＝0 或 b ＝0B ．若 a+b> 0，则 a>0 且 b>0C ．若 a ﹣b ＝0，则 a ＝0 或 b ＝0D ．若 a ﹣b>0，则 a>0 且 b>0【分析】 根据整式的乘法和不等式的性质判断即可．【解答】 解： A 、若 a?b ＝ 0，则 a ＝ 0 或 b ＝ 0，是真命题；B 、若 a+b>0，当 a>0， b<0，|a|>|b|，也成立，原命题是假命题；C 、若 a ﹣ b ＝ 0，则 a ＝b ，原命题是假命题；D 、若 a ﹣b>0，当 a>0，b<0 时，也成立，原命题是假命题；故选： A ．8．已知反比例函数 y ＝ （k ≠0）的图象经过点（﹣ 2， 3），若 x>﹣ 2，则（ ）A ．y>3B ．y<3C ．y>3 或 y<0D ．0<y<3 【分析】 先把（﹣ 2，3）代入 y ＝ 中求出 k 得到反比例函数解析式为 y ＝﹣ ，再分别 计算出自变量 x>﹣ 2，对应的反比例函数值，然后根据反比例函数的性质求解．解：把（﹣ 2，3）代入 y ＝ 得 k ＝﹣ 2×3＝ 6， 所以反比例函数解析式为 y ＝∴当 y>0 时，﹣ 6>﹣ 2y ，∴y> 3，所以函数值 y 的取值范围为 y>3 或 y<0．故选： C ．9．关于 x 的方程 k 2x 2+（2k ﹣1）x+1＝0 有实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．当 k ＝ 时，方程的两根互为相反数B ．当 k ＝0 时，方程的根是 x ＝﹣ 1C ．若方程有实数根，则 k ≠0 且 k ≤ 解答】当 x>﹣2 时， >﹣ 2；【分析】 因为已知没有明确此方程是否是一个一元二次方程，所以方程有两种情况，既 可以是一元一次方程，也可以一元二次方程，所以分两种情况分别去求 k 的取值范围， 然后结合选项判断选择什么．【解答】 解：若 k ＝0，则此方程为﹣ x+1＝0，所以方程有实数根为 x ＝1，则 B 错误； 若 k ≠ 0，则此方程是一元二次方程，由于方程有实数根，∴△＝（ 2k ﹣1）2﹣4k 2＝﹣ 4k+1≥0，∴ k ≤ 且 k ≠ 0；综上所述 k 的取值范围是 k ≤ ．故 A 错误， C 错误， D 正确．故选： D ．10．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，Q 为 CD 边上（异于 C ，D ）的一个动点， AQ交 BD 于点 M ．过 M 作 MN ⊥AQ 交 BC 于点 N ，作 NP ⊥BD 于点 P ，连接 NQ ，下面结论： ① AM ＝ MN ；② MP ＝ ；③ △ CNQ 的周长为 3；④ BD+2BP ＝2BM ，其中一定成立的是 （ ）【分析】 ① 正确．只要证明△ AME ≌△ NMF 即可；② 正确．只要证明△ AOM ≌△ MPN 即可； ③ 错误．只要证明∠ ADQ ≌△ ABH ，由此推出△ ANQ ≌△ ANH 即可；④ 正确．只要证明△ AME ≌△ NMF ，四边形 EMFB 是正方形即可解决问题；【解答】 解：连接 AC 交 BD 于 O ，作 ME ⊥AB 于 E ，MF ⊥BC 于 F ，延长 CB 到 H ，使得 BH ＝DQ ．B ．①②③C ．①②④D ．①④D ．若方程有实数根，则A ．①②③∵四边形 ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，AC＝ AD＝2 ，OA＝OC＝，∠ DBA ＝∠ DBC ＝45 ∴ME＝MF，∵∠ MEB＝∠ MFB＝∠ EBF＝ 90°，∴四边形 EMFB 是矩形，∵ME＝MF，∴四边形 EMFB 是正方形，∴∠ EMF ＝∠ AMN ＝ 90°，∴∠ AME＝∠ NMF ，∵∠ AEM＝∠ MFN ＝90°，∴△ AME≌△ NMF （ASA），∴ AM ＝MN，故① 正确，∵∠ OAM +∠AMO ＝ 90°，∠ AMO+∠NMP＝90°，∴∠ AMO ＝∠ MNP，∵∠ AOM ＝∠ NPM ＝90 °，∴△ AOM ≌△ MPN （AAS），∴PM＝OA＝，故② 正确，∵DQ＝BH，AD＝AB，∠ ADQ＝∠ ABH ＝90°，∴∠ ADQ≌△ ABH （SAS），∴ AQ＝ AH，∠ QAD ＝∠ BAH ，∴∠ BAH+∠BAQ＝∠ DAQ+∠BAQ＝90°，∵ AM ＝MN ，∠ AMN ＝ 90°，∴∠ MAN ＝45°，∴∠ NAQ＝∠ NAH＝ 45∴△ ANQ≌△ ANH（ SAS），∴NQ＝NH＝BN+BH＝BN+DQ，∴△ CNQ 的周长＝ CN+CQ+BN+DQ＝4，故③错误，∵BD+2BP＝2BO+2BP＝2AO+2BP＝2PM+2BP，∴ BD+2BP＝ 2BM，故④ 正确．故选： C ．二．填空题（共 6 小题）11．若在实数范围内有意义，则 a满足 a≥﹣ 1 ．【分析】根据二次根式有意义的条件得出a+1≥ 0，求出即可．【解答】解：∵ 在实数范围内有意义，∴ a+1 ≥ 0，解得： a≥﹣ 1，故答案为： a≥﹣ 1．12．在一次体检中，测得某小组 5 名同学的身高分别是 159，160，155，160， 161（单位：厘米），则这组数据的中位数是 160 厘米．【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数，本题得以解决．【解答】解：将题目中的数据按照从小到大排列是：155，159，160，160，161，故这组数据的中位数是 160，故答案为： 160．13．已如点 A （1，﹣ k+2）在反比例函数 y＝（ k≠0）的图象上，则 k＝ 1 ．【分析】利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：把 A （1，﹣ k+2）代入 y＝，得到 k＝﹣k+2，解得： k＝ 1，故答案为： 1．2214．方程（ x﹣1）＝2020 的根是 x1＝ 2021， x2＝﹣ 2019 ．【分析】利用直接开平方法求解可得．【解答】解：∵（ x﹣ 1）2＝20202，∴ x﹣ 1＝ 2020 或x﹣1＝﹣ 2020，解得 x 1＝2021 ， x 2 ＝﹣ 2019， 故答案为： x 1＝ 2021，x 2＝﹣ 2019．15．一张长方形的会议桌，长 3 米，宽 2米，有一块台布的面积是桌面面积的 1.5 倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，则台布各边垂下的长度是 米．（结果 保留根号）分析】 设台布下垂长度为 x 米，则台布面积为（ 3+2x ）（ 2+2x ）m 2，运用台布面积是桌面面积的 1.5 倍可列出一元二次方程，求解即可得出答案．解答】 解：设各边垂下的长度为 x 米，根据题意得：（3+2x ）（2+2x ）＝ 1.5×2×3，化简得 4x 2+10x ﹣ 3＝0，解这个方程得： x 因为 x ＝ 不符合题意，舍去， 答：台布各边垂下的长度是 米． 故答案为： ．16．如图，在 ?ABCD 中， AC ⊥AB ，AC 与 BD 相交于点 O ，在同一平面内将△ ABC 沿 AC翻折，得到△ AB ′ C ，若四边形 ABCD 的面积为 24cm 2，则翻折后重叠部分（即 S △ACE ）分析】 由折叠的性质可得∠ BAC ＝∠B'AC ＝90°， AB ＝AB'，S △ABC ＝S △AB'C ＝12cm 2， 可证点 B ，点 A ，点 B'三点共线，通过证明四边形 ACDB '是平行四边形，可得 B'E ＝CE ，即可求解．【解答】 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ， S △ABC ＝ 12cm 2，∵在同一平面内将△ ABC 沿 AC 翻折，得到△ AB ′ C ，2∴∠ BAC ＝∠ B'AC ＝90°， AB ＝AB'，S △ABC ＝S △AB'C ＝12cm 2，∴∠ BAB'＝180的面积为 6 cm 2．∴点 B ，点 A ，点 B'三点共线，∵AB ∥CD ，AB'∥CD ，∴四边形 ACDB '是平行四边形，∴B'E ＝CE ，故答案为： 6．三．解答题（共 7 小题）17．计算：（ 1）； （ 2） ．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则计算．（2）运用多项式与多项式的乘法法则计算，注意不能漏乘项．【解答】 解：（ 1）原式＝ ＝＝ 12；（ 2 ）原式＝ 6+4 ﹣ 3 ﹣ 4 ＝ ．18．解方程：（1）2x （x ﹣ 1）＝ 3（x ﹣1）；（ 2） x +2 x ﹣ 5＝ 0．【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】 解：（1）∵ 2x （x ﹣1）﹣ 3（x ﹣1）＝ 0，∴（ x ﹣1）（2x ﹣ 3）＝ 0，则 x ﹣1＝0 或 2x ﹣3＝0，解得 x ＝1 或 x ＝ 1.5；则 x ＝ ＝﹣ 2 ±3 ，△AB'C ＝6cm 2，∴△即 x1＝，x2＝﹣ 5 ．19．已知一次函数 y＝（ m﹣ 1） x+m﹣ 2 与反比例函数数 y＝（ k≠ 0）．（ 1）若一次函数与反比例函数的图象都经过点A（m，﹣ 1），求 m 与 k的值．（ 2）已知点 B（x1，y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，设 k＝（ x1﹣x2）（y1﹣y2），判断反比例函数 y＝的图象所在的象限，说明理由．【分析】（ 1）把 A（ m，﹣ 1）代入 y＝（m﹣1）x+m﹣2，即可求得 m 的值，然后根据待定系数法求得 k 的值；（2）根据题意可以判断 m﹣1 的正负，从而可以解答本题．【解答】解：（1）一次函数的图象都经过点 A（m，﹣ 1），∴﹣ 1＝ m（m﹣1）+m﹣2 且 m﹣1≠ 0，∴ m＝﹣ 1 ，∴A（﹣ 1，﹣ 1），∵反比例函数的图象都经过点A（﹣1，﹣ 1），∴k＝ 1；（ 2）∵点 B（x1， y1），C（x2，y2）在该一次函数图象上，① ﹣② 得 y1﹣y2＝（ m﹣ 1）（x1﹣ x2），∵k＝（ x1﹣ x2）（ y1﹣ y2），∴k＝（ m﹣1）（x1﹣x2）2，∴当 m>1 时， k> 0，反比例函数的图象在一三象限；当 m<1 时， k<0，反比例函数的图象在二四象限．20．为切实减轻中小学生课业负担、全面实施素质教育，某中学对本校学生课业负担情况进行调查．在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，发现被抽查的学生中，每天完成课外作业时间，最长不足 120 分钟，没有低于 40 分钟的，且完成课外作业时间低于 60 分钟（不包括 60 分钟）的学生数占被调查人数的10%．现将抽查结果绘制成了一个不完整的频数分布直方图，如图所示：（ 2）请补全频数分布直方图；（ 3）若该校共有 1200 名学生，请估计该校大约有多少名学生每天完成课外作业时间在80 分钟以上（包括 80 分钟）．【分析】（1）根据完成课外作业时间低于 60 分钟的学生数占被调查人数的10%．可求出抽查的学生人数；（2）根据总人数，现有人数为补上那15 人；（3）先求出 50人里学生每天完成课外作业时间在 80 分钟以上的人的比例，再按比例估算全校的人数．【解答】解：（1）5÷ 10%＝50，∴这次被抽查的学生有 50 人；2）如图所示； 50﹣ 35＝15，（ 3）由样本知，每天完成课外作业时间在80 分钟以上（包括 80分钟）的人数有 35 人，占被调查人数的＝，1）这次被抽查的学生有50 人；故全校学生中每天完成课外作业时间在 80 分钟以上（包括 80 分钟）的人数约有 1200× ＝840 人．21．已知，如图 1，四边形 ABCD 是一张菱形纸片，其中∠ A ＝ 45°，把点 A 与点C 分别折向点 D ，折痕分别为 EG 和 FH ，两条折痕的延长线交于点 O ． （1）请在图 2 中将图形补充完整．（2）求∠ EOF 的度数．（ 3）判断四边形 DGOH 也是菱形吗？请说明理由．∵四边形 ABCD 是菱形，∠ A ＝ 45∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ＝45°，∠ ADC ＝ 135°，∵把△ AEG 翻折，使得点 A 与点 D 重合，折痕为 EG ；把△ CFH 翻折，使得点 C 与点 D重合，折痕为 FH ，∴AE ＝DE ＝ AD ，GE ⊥ AD ，∠ A ＝∠ GDA ＝ 45°， DF ＝FC ＝ CD ，HF ⊥CD ，∠C ＝∠CDH ＝ 45°，∵∠ EOF+∠OED+∠OFD +∠ADC ＝360°，分析】（1）依照题意画出图形；2）由菱形的性质可得 AD＝CD ，∠ A ＝∠ C ＝ 45°，∠ ADC ＝135°，由折叠的性质可 得 AE ＝DE ＝ AD ， GE ⊥ AD ，∠ A ＝∠ GDA ＝ 45 ，DF ＝FC ＝ CD ，HF ⊥CD ，∠ C ＝∠ CDH ＝ 45°，由四边形的内角和定理可求解；3）由题意可证 GE ∥DH ，GD ∥ HF ，可证四边形 DGOH是平行四边形，由“ ASA ”可 证△ DEG ≌△ DFH ，可得 DG ＝ DH ，即可证四边形 DGOH 是菱形．解答】 解：（1）如图，延长 EG ， FH 交于点 O ，∴∠ EOF ＝360°﹣90°﹣90°﹣ 135°＝ 45（2）∵∠ ADC ＝ 135°，∠ ADG ＝∠ CDH ＝45°，∴∠ GDC ＝∠ ADH ＝ 90°，且 GE ⊥AD ，HF ⊥CD ， ∴GE ∥DH ，GD ∥HF ，∴四边形 DGOH 是平行四边形，∵AE ＝DE ＝ AD ，DF ＝ FC ＝ CD ，AD ＝CD ，∴DE ＝DF ，且∠ ADG ＝∠ CDH ＝45°，∠ DEG ＝∠ DFH ＝ 90°，∴△ DEG ≌△ DFH （ ASA ）∴DG ＝DH ，∴四边形 DGOH 是菱形．22．有长为 30m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 10m ），围成中间隔有一道篱笆平行于 AB ）的矩形花圃，设花圃的一边 AB 为 xm ，面积为 ym 3．1）用含有 x 的代数式表示 y ．2）如果要围成面积为 63m 2 的花圃， AB 的长是多少？3）能围成面积为 72m 2的花圃吗！如果能，请求出 AB 的长；如果不能，请说明理由．分析】（1）利用矩形面积公式建立函数关系式；2）把 y ＝63 代入函数解析式，求自变量的值，由于是实际问题，自变量的值也要受到限制；3）把 y ＝72 代入函数解析式，求自变量的值，然后检验即可得出结论．解答】 解：（ 1）由题意得：2y ＝ x （ 30﹣ 3x ），即 y ＝﹣ 3x +30x ．3（2）当 y ＝63时，﹣ 3x 2+30x ＝63． 解此方程得 x 1＝7， x 2＝3．当 x ＝7时， 30﹣3x ＝ 9< 10，符合题意；当 x ＝3时， 30﹣3x ＝21>10，不符合题意，舍去；∴当 AB 的长为 7m 时，花圃的面积为 63m2．（3）不能围成面积为 72m2的花圃．理由如下：2如果 y＝72，那么﹣ 3x2+30 x＝72，整理，得 x2﹣10x﹣ 24＝0，解此方程得 x1＝ 12＞， x2＝﹣ 2（不合题意舍去），当 x＝12时， 30﹣ 3x＝﹣ 6，不合题意舍去；故不能围成面积为 72m2的花圃．23．如图，在矩形 ABCD中，已知 AB＝4，BC＝2，E为 AB的中点，设点 P是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点 A 重合）．（ 1）证明： PD ＝PE．（ 2）连接 PC，求 PC 的最小值．（3）设点 O是矩形 ABCD 的对称中心，是否存在点 P，使∠ DPO＝90°？若存在，请直【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ DAP ＝∠ EAP，利用 SAS 定理证明△ DAP≌△ EAP，根据全等三角形的性质证明结论；（2）作 CP ′⊥ AP′，根据垂线段最短得到 P′C 最小，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（ 3）根据矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理计算求出AP，再根据勾股定理计算点 P在 AF上时， AP的长．【解答】（ 1）证明：∵四边形 ABCD 为矩形，∴∠ DAB＝ 90°，∵ AP 平分∠ DAB ，∴∠ DAP＝∠ EAP＝ 45°，在△ DAP 和△ EAP 中，，∴△ DAP≌△ EAP（ SAS）∴PD＝ PE；（ 2）解：如图 1，作 CP′⊥ AP′于 P 则 P′ C 最小，∵AB∥CD，∴∠ DFA＝∠ EAP ，∵∠ DAP ＝∠ EAP，∴∠ DAP＝∠ DFA＝ 45°，∴FC＝DF＝AD＝2，∠ P′ FC＝ 45°，∴ P′C＝FC×＝，∴ PC 的最小值为；3）解：如图 2，∵ DF ＝FC，OA＝OC，∴OF∥ AD，∴∠ DFO＝ 180°﹣∠ ADF＝90°，∴当点 P 与点 F 重合时，∠ DPO＝90°，此时， AP＝＝ 2 ，当点 P 在 AF 上时，作 PG⊥ AD 于 G， PH⊥AB 于 H∵AP 平分∠ DAB，PG⊥AD ，PH⊥AB，∴PG＝ PH，设 PG＝ PH＝ a，由勾股定理得， DP2＝（ 2﹣a）2+a2，OP2＝（2﹣a）当∠ DPO＝ 90°时， DP2+OP2＝OD2，即（ 2﹣a）2+a2+（2﹣a）2+（1﹣a）2＝5，解得， a1＝2 舍去）， a2＝时，AP＝综上所述，∠DPO＝90°时， AP＝ 2 或2+（1﹣a）2，OD2＝5，圉2AED圉1。
2019-2020学年浙江省杭州市余杭区九年级(上)期中数学试卷 解析版
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题1．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．顶点坐标相同D．对称轴相同2．已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则（）A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．36°C．18°D．54°4．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（）A．B．C．D．15．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120°D．75°6．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB，CD，EF，则以下结论正确的是（）A．2∠AOB＝∠AEBB．＝＝C．＝＝D．点O是三角形三条中线的交点7．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0 B．0＜m≤1 C．m≤1 D．m≥18．若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）都在抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y39．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB 于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．甲、乙、丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为．x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣7 ﹣4 0 613．如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为．14．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝．（用含a的代数式表示）．15．已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3）．求这个二次函数表达式．18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？21．在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上的一点，连接BD、AD、OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中劣弧的长．22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与二次函数y＝（a+3）x2+（b ﹣15）x+c+18的图象与x轴的交点分别是A，B，C．（1）判断图中经过点B，D，C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由．（2）设两个函数的图象都经过点B、D，求点B，D的横坐标．（3）若点D是过点B、D、C的函数图象的顶点，纵坐标为﹣2，求这两个函数的解析式．23．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD，且DA＝DB．（1）如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD+CB．（2）如图2，∠ADB＝90°．①求证：AC＝CD+CB．②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．参考答案一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求．1．比较二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，则（）A．开口方向相同B．开口大小相同C．顶点坐标相同D．对称轴相同【分析】根据题意的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵二次函数y＝2x2与y＝﹣x2+1，∴函数y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，0）；函数y＝﹣x2+1的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，1）；故选项A、C错误，选项D正确；∵二次函数y＝2x2中的a＝2，y＝﹣x2+1中的a＝﹣，∴它们的开口大小不一样，故选项B错误；故选：D．2．已知圆的半径为r，圆外的点P到圆心的距离为d，则（）A．d＞r B．d＝r C．d＜r D．d≤r【分析】直接根据点与圆的位置关系即可得出结论．解：∵⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，P点在圆外，∴d＞r，故选：A．3．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（）A．72°B．36°C．18°D．54°【分析】由点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC＝72°，∴∠BAC＝∠BOC＝36°．故选：B．4．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为（）A．B．C．D．1【分析】列举出所有情况，让恰好是一双的情况数除以总情况数即为所求的概率．解：设两双只有颜色不同的手套的颜色为红和绿，列表得：（红，绿）（红，绿）（绿，绿）﹣（红，绿）（红，绿）﹣（绿，绿）（红，红）﹣（绿，红）（绿，红）﹣（红，红）（绿，红）（绿，红）∵一共有12种等可能的情况，恰好是一双的有4种情况，∴恰好是一双的概率＝．故选：B．5．一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（）A．300°B．150°C．120°D．75°【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，∴S＝Rl，即60π＝×R×10π，解得：R＝12，∴S＝60π＝，解得：n＝150°，故选：B．6．如图，三角形与⊙O叠合得到三条相等的弦AB，CD，EF，则以下结论正确的是（）A．2∠AOB＝∠AEBB．＝＝C．＝＝D．点O是三角形三条中线的交点【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．解：∵AB＝CD＝EF，∴＝＝，故选：B．7．已知关于x的二次函数y＝﹣（x﹣m）2+2，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数m 的取值范围是（）A．m≤0 B．0＜m≤1 C．m≤1 D．m≥1【分析】根据函数解析式可知，开口方向向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大．解：∵函数的对称轴为x＝m，又∵二次函数开口向下，∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，∵x＞1时，y随x的增大而减小，∴m≤1．故选：C．8．若点A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）都在抛物线y＝﹣x2﹣4x+m上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y1＞y3＞y2D．y2＞y1＞y3【分析】先求出二次函数y＝﹣x2﹣4x+m的图象的对称轴，然后判断出A（﹣，y1），B（﹣1，y2），C（，y3）在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解．解：∵二次函数y＝﹣x2﹣4x+m中a＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴为x＝﹣＝﹣2，∵A（﹣，y1）到对称轴的距离大于B（﹣1，y2）到对称轴的距离，∴y1＜y2，又∵B（﹣1，y2），C（，y3）都在对称轴的右侧，而在对称轴的右侧，y随x得增大而减小，故y2＞y3．∵A（﹣，y1）到对称轴的距离小于C（，y3）到对称轴的距离，∴y1＞y3，∴y2＞y1＞y3．故选：D．9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，的度数为α，以点C为圆心，BC长为半径的圆交AB 于点D，交AC于点E，则∠A的度数为（）A．45°﹣αB．αC．45°+αD．25°+α【分析】连接OD，求得∠DCE＝α，得到∠BCD＝90°﹣α，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．解：连接OD，∵的度数为α，∴∠DCE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°﹣α，∵BC＝DC，∴∠B＝（180°﹣∠BCD）＝（180°﹣90°+α）＝45°+α，∴∠A＝90°﹣∠B＝45°﹣α，故选：A．10．已知二次函数y＝x2﹣bx+1（﹣1≤b≤1），当b从﹣1逐渐变化到1的过程中，图象（）A．先往左上方移动，再往左下方移动B．先往左下方移动，再往左上方移动C．先往右上方移动，再往右下方移动D．向往右下方移动，再往右上方移动【分析】先分别求出当b＝﹣1、0、1时函数图象的顶点坐标即可得出答案．解：当b＝﹣1时，此函数解析式为：y＝x2+x+1，顶点坐标为：（﹣，）；当b＝0时，此函数解析式为：y＝x2+1，顶点坐标为：（0，1）；当b＝1时，此函数解析式为：y＝x2﹣x+1，顶点坐标为：（，）．故函数图象应先往右上方移动，再往右下方移动．故选：C．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分．11．甲、乙、丙三人排成一排，其中甲、乙两人位置恰好相邻的概率是．【分析】根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．解：由题意可得，所列树状图如下图所示，故甲、乙两人位置恰好相邻的概率是，故答案为：．12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分对应值如右表，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2 ．x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣7 ﹣4 0 6【分析】本题通过描点画出图象，即可根据图象在x轴上部的那部分得出不等式ax2+bx+c ＞0的解集．解：通过描点作图如下，从图中可看出不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＞3或x＜﹣2．13．如图，要拧开一个边长为a＝6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为6acm．【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30°，再根据锐角三角函数的知识求解．解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，∴∠AOB＝∠BOC＝60°，∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，∴四边形ABCO是菱形，∵AB＝6cm，∠AOB＝60°，∴cos∠BAC＝，∴AM＝6×＝3（cm），∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，∴AM＝MC＝AC，∴AC＝2AM＝6（cm）．故答案为6cm．14．如图，A、B是⊙O上两点，弦AB＝a，P是⊙O上不与点A、B重合的一个动点，连结AP、PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF＝a．（用含a的代数式表示）．【分析】先根据垂径定理得出AE＝PE，PF＝BF，故可得出EF是△APB的中位线，再根据中位线定理即可得出EF∥AB，EF＝AB即可．解：连接AB，∵OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，∴AE＝PE，PF＝BF，∴EF是△APB的中位线，∴EF∥AB，EF＝AB＝，故答案为：a．15．已知⊙O的半径OA＝r，弦AB，AC的长分别是r，r，则∠BAC的度数为15°或75°．【分析】根据圆的轴对称性知有两种情况：两弦在圆心的同旁；两弦在圆心的两旁．根据垂径定理和三角函数求解．解：过点O作OM⊥AC于M，在直角△AOM中，OA＝r．根据OM⊥AC，则AM＝AC＝r，所以cos∠OAM＝，则∠OAM＝30°，同理可以求出∠OAB＝45°，当AB，AC位于圆心的同侧时，∠BAC的度数为45°﹣30°＝15°；当AB，AC位于圆心的异侧时，∠BAC的度数为45°+30°＝75°．故答案为15°或75°．16．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝1或0或．【分析】分两种情况讨论：当函数为一次函数时，必与坐标轴有两个交点；当函数为二次函数时，将（0，0）代入解析式即可求出m的值．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与Y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．三、解答题：本题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3）．求这个二次函数表达式．【分析】根据二次函数的图象与x轴交于点（﹣1，0）和（3，0），并且与y轴交于点（0，3），可以设该函数的交点式，然后根据与y轴交于点（0，3），即可求得a的值，从而可以得到该函数的解析式．解：设二次函数的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），∵该二次函数的图象与y轴交于点（0，3），∴3＝a（0+1）×（0﹣3），解得，a＝﹣1，∴该函数解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，即这个二次函数表达式是y＝﹣x2+2x+3．18．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于点D，BC于点E，连接ED．求证：ED＝EC．【分析】连接AE，根据圆周角定理可得∠AEB＝90°，再根据等腰三角形三线合一可得∠BAE＝∠CAE，进而可得弧BE＝弧DE，根据等弧所对的弦相等可得结论．【解答】证明：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE，∴弧BE＝弧DE，∴BE＝ED，∴ED＝EC19．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，写出k的取值范围；（3）当0＜x＜3时，写出函数值y的取值范围．【分析】（1）根据函数图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解；（2）根据图象中的数据可以得到方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根时，k的取值范围；（3）根据图象中的数据可以得到当0＜x＜3时，函数值y的取值范围．．解：（1）由图象可得，当y＝0时，x＝﹣1或x＝3，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的实数解是x1＝﹣1，x2＝3；（2）由图象可知，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是y＝﹣4，故方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围是k＞﹣4；（3）由图象可知，当0＜x＜3时，函数值y的取值范围﹣4≤y＜0．20．一只不透明的袋子中，装有2个白球，1个红球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．请用列表法或画树形图法求下列事件的概率：（1）搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是白球．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是白球．（3）再放入几个除颜色外都相同的黑球，搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是黑球的概率为，求放入了几个黑球？【分析】（1）由概率公式计算即可；（2）列举得出所有等可能的情况数，找出两次都是白球的情况数，即可求出所求的概率；（3）由题意得出方程，解方程即可．解：（1）将“恰好是白球”记为事件A，则P（A）＝＝．（2）画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，从中任意摸出2个球，“2个都是白球”记为事件B，则P（B）＝＝．（3）设放入n个黑球，由题意得＝，解得n＝10，即放入了10个黑球．21．在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上的一点，连接BD、AD、OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝6cm，求图中劣弧的长．【分析】（1）由在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，根据垂径定理可得＝，则可求得∠AOC的度数；（2）首先连接OB，由弦BC＝6cm，可求得半径的长，继而求得图中劣弧的长．解：（1）∵在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，∴＝，∴∠AOC＝2∠ADB＝2×30°＝60°；（2）连接OB，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∵弦BC＝6cm，OA⊥BC，∴CE＝3cm，∴OC＝＝2cm，∴劣弧的长为：＝π．22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c与二次函数y＝（a+3）x2+（b ﹣15）x+c+18的图象与x轴的交点分别是A，B，C．（1）判断图中经过点B，D，C的图象是哪一个二次函数的图象？试说明理由．（2）设两个函数的图象都经过点B、D，求点B，D的横坐标．（3）若点D是过点B、D、C的函数图象的顶点，纵坐标为﹣2，求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据a+3＞a作出判断；（2）联立方程组，通过解方程组求得答案；（3）设所求解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，把点B的坐标（2，0）代入求值．解：（1）因为a+3＞a，所以经过B、D、C的图象是y＝（a+3）x2+（b﹣15）x+c+18的图象．（2）解方程组解得x1＝2，x2＝3，∴点B，D的横坐标分别为2，3．（3）设所求解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，把点B的坐标（2，0）代入，解得a＝2，即y＝2x2﹣12x+16，因此左边抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2．23．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连结AC、BD，且DA＝DB．（1）如图1，∠ADB＝60°．求证：AC＝CD+CB．（2）如图2，∠ADB＝90°．①求证：AC＝CD+CB．②如图3，延长AD、BC交于点P，且DC＝CB，探究线段BD与DP的数量关系，并说明理由．【分析】（1）如图1中，在AC上截取AF＝BC，连结DF．证明△DAF≌△DBC（SAS），推出△DFC为等边三角形即可解决问题．（2）①结论：AC＝CD+CB，如图2，在AC上截取AF＝BC，连结DF．证明△DAF≌△DBC（SAS）即可解决问题．②结论：BD＝2DP．如图3，过点D作DF⊥AC于点F，证明△DFE≌△CBE（AAS），△ADE≌△BDP（ASA）即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，在AC上截取AF＝BC，连结DF．在△DAF与△DBC中，∴△DAF≌△DBC（SAS），∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，∵∠CDF＝∠CDB+∠EDF＝∠ADF+∠EDF＝∠ADB＝60°，∴△DFC为等边三角形，∴DC＝FC，∴AC＝AF+FC＝BC+CD．（2）①解：结论：AC＝CD+CB．理由：如图2，在AC上截取AF＝BC，连结DF．在△DAF与△DBC中，∴△DAF≌△DBC（SAS），∴DF＝DC，∠CDB＝∠ADF，∵∠CDF＝∠CDB+∠EDF＝∠ADF+∠EDF＝∠ADB＝90°，∴△DFC为等腰直角三角形，∴FC＝DC，∴AC＝AF+FC＝CD+CB．②解：结论：BD＝2DP．理由：如图3，过点D作DF⊥AC于点F，∵∠ACD＝∠ABD＝45°，∴△CFD是等腰直角三角形，∴CD＝DF，∵CD＝CB，∴DF＝CB，在△DFE和△CBE中，，∴△DFE≌△CBE（AAS），∴DE＝BE＝BD，在△ADE和△BDP中，，∴△ADE≌△BDP（ASA），∴DP＝DE＝BE＝BD，即BD＝2DP．。
【新结构】浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题+答案解析
【新结构】浙江省杭州市2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数是虚数单位，，则()A.1B.C.D.2.已知向量，若，则实数()A.3B.C.3或D.3.已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，()A.若，，则B.若，，，，则C.若，，，，则D.若，，，则4.已知，R，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在中，角A，B，C对应的边分别为a，b，若，，，则()A. B. C. D.6.为了得到函数的图象，可以把的图象()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过个小时才会“药物失效”．参考数据：A.4B.5C.6D.78.已知，是方程的两个实根，则()A.4B.3C.2D.1二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知，则()A.B.C.D.10.如图的“弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形．设直角三角形的两个锐角分别为，，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则()A.每一个直角三角形的面积为1B.C. D.11.在平面直角坐标系xOy中，角以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终边经过点，，定义函数，则()A.是函数的一条对称轴B.函数是周期为的函数C. D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，若，则实数__________.13.已知，则的最小值为__________.14.一个呈直三棱柱的密闭容器，底面是边长为的正三角形，高为6，有一个半径为1的小球在这个容器内可以向各个方向自由滚动，则小球能接触到的容器内壁的最大面积为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
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故选：A．
6．已知cos（ α） ，且|α| ，则 （ ）
A． B． C． D．
解：∵已知cos（ α）＝﹣sinα ，即sinα ，且|α| ，
∴cosα ，∴tanα ．
则 tanα ，
故选：A．
7．若{an}是公差不为0的等差数列，满足a32+a42＝a52+a62，则该数列的前8项和S8＝（ ）
12．（6分）有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为，扇形面积为．
13．（6分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ| 的部分图象如图所示，若A（2，3）（点A为图象的一个最高点），B（ ，0），则ω＝，φ＝
14．（6分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）＝3x+m（m为常数），则m＝，f（﹣log35）的值为．
解：由于函数y＝cosx＝sin（x ），故将函数y＝sinx的图象沿x轴向左平移 个长度单位可得函数y＝cosx的图象，
故选：C．
5．已知向量 （ ， ），| |＝2．若 ， 60°，则|3 |＝（ ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱA． B．2 C． D．
解：∵ （ ， ），∴ ，
又| |＝2， ， 60°，∴ ．
则 9+6+4＝19．
A． ，﹣2，2， B．2， ，﹣2，
C．2， ， ，﹣2D． ，﹣2， ，2
解：由图象可知：C1的指数n＞1，C2的指数0＜n＜1，
C3，C4的指数小于0，且C3的指数大于C4的指数．
据此可得：答案为C．
故选：C．
4．要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝sinx的图象（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
15．在数列{an}中，a1＝a2＝1，a3＝2，且数列{ }为等比数列，则an＝．
16．如图，在边长为1的正方形ABCD中，P，Q分别在边BC，CD上，且PB+QD＝PQ，则∠PAQ的大小为．
17．已知函数f（x） ，函数g（x）＝f（x）﹣2x恰有两个不同的零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题：（本大题有5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
（Ⅱ）若不等式|f（x）﹣m|＜2在x∈[ ， ]上恒成立，求实数m的取值范围．
20．（15分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1＝2an+Sn，且a3+2是a2，a4的等差中项．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）若bn＝﹣anlog2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
21．（15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA ，sinB ，AB边上中线CD长为4．
18．（14分）设集合M＝{x|（x+a）（x﹣1）≤0}（a＞0），N＝{x|4x2﹣4x﹣3＜0}．
（Ⅰ）若M∪N＝{x|﹣2≤x }，求实数a的值；
（Ⅱ）若（∁RM）∪N＝R．求实数a的取值范围．
19．（15分）已知函数f（x）＝2sin2（ x） cos2x，x∈[ ， ]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
10．已知平面向量 ， ， ，对任意实数x，y都有| x |≥| |，| y |≥| |成立．若| |＝2，则 •（ ）的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（本大题有7小题，11--14每小题6分，15--17每小题6分，共36分）.
11．（6分）向量 （1，3）， （n，﹣6），且 ，则n＝， • ．
（Ⅰ）求cosC；
（Ⅱ）求△ACD的面积．
22．（15分）定义函数fa（x）＝4x﹣（a+1）•2x+a，其中x为自变量，a为常数．
（Ⅰ）若函数fa（x）在区间[0，2]上的最小值为﹣1，求a的值；
（Ⅱ）集合A＝{x|f3（x）≥f（0）}，B＝{x|fa（x）+fa（2﹣x）＝f2（2）}，且（∁RA）∩B≠∅，求a的取值范围．
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）
3．已知幂函数y＝xn在第一象限内的图象如图所示．若n∈{2，﹣2， ， }，则与曲线C1，C2，C3，C4对应的n的值依次为（ ）
A． ，﹣2，2， B．2， ，﹣2，
C．2， ， ，﹣2D． ，﹣2， ，2
4．要得到函数y＝cosx的图象，只需将函数y＝sinx的图象（ ）
2019-2020学年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）.
1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝（ ）
A．{1，3}B．{1，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}
解：因为集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，
A．﹣10B．﹣5C．0D．5
8．如图，点A，B在圆O上，且点A位于第一象限，圆O与x正半轴的交点是C，点B的坐标为（ ， ），∠AOC＝α．若|AB|＝1，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
9．若不等式（|x﹣a|﹣b）（2x﹣x2）≤0对任意实数x恒成立，则a+b＝（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
2019-2020学年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）.
1．设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，3，5}，则A∪B＝（ ）
A．{1，3}B．{1，4}C．{1，3，5}D．{1，2，3，4，5}
2．函数f（x）＝log3（2﹣x）的定义域是（ ）
故A∪B＝{1，2，3，4，5}．
故选：D．
2．函数f（x）＝log3（2﹣x）的定义域是（ ）
A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（﹣∞，2）
解：要使函数有意义，需满足：
2﹣x＞0，
解得x＜2．
所以函数的定义域为：（﹣∞，2）．
故选：D．
3．已知幂函数y＝xn在第一象限内的图象如图所示．若n∈{2，﹣2， ， }，则与曲线C1，C2，C3，C4对应的n的值依次为（ ）
A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移
5．已知向量 （ ， ），| |＝2．若 ， 60°，则|3 |＝（ ）
A． B．2 C． D．
6．已知cos（ α） ，且|α| ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．若{an}是公差不为0的等差数列，满足a32+a42＝a52+a62，则该数列的前8项和S8＝（ ）