2017年浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷与解析答案
浙江省杭州市塘栖中学2017年高一数学期末综合卷5 精
塘栖中学2017年高一数学期末综合卷5一、选择题：1．已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，4}，则∁U（A∪B）=（）A．5 B．{5} C．∅D．{1，2，3，4}2．的值为（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣1（x∈{0，1，2，3}），则其值域为（）A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1} C．{y|﹣1≤y≤1} D．{y|0≤y≤2}4．若，，，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c5．若x0是函数f（x）=﹣x3﹣3x+5的零点，则x0所在的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则（）A．ω=2，B．，C．ω=2，D．，7．已知函数f（x）=log a（x﹣+1）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点P，且点P在幂函数g（x）的图象上，则g（x）的表达式为（）A．g（x）=x2B．C．g（x）=x3D．8．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[﹣1，t]上的最大值为3，则实数t的取值范围是（）A．（1，3] B．[1，3] C．[﹣1，3] D．（﹣1，3]二、填空题：9．集合{1，2，3}的非空真子集个数为．10．已知函数f（x）=的值为．11．已知函数f（x）=2cos（2x+），函数g（x）的图象由函数f（x）的图象向右平移个单位而得到，则当x∈[﹣，]时，g（x）的单调递增区间是．12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是减函数，且f（2）=0，若f（lnx）＞0，则x的取值范围是．13．已知函数y=sinx（x∈[m，n]），值域为，则n﹣m的最大值为，最小值为．14．求函数y=lg（sin2x+2cosx+2）在上的最大值，最小值．15．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|2a﹣1＜x＜a+1}，a∈R．（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数，若实数x0满足f（x0）∈A，求实数x0取值的集合．16．已知函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|，g（x）=x+a．（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调递增区间；（只需写出结论即可）（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），若h（x）在区间（﹣1，3）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围；（选做）（Ⅲ）若存在实数m∈[2，5]，使得对于任意的x1∈[0，2]，x2∈[﹣2，﹣1]，都有f（x1）﹣m≥g（2）﹣5成立，求实数a的最大值．。
浙江省杭州市塘栖中学2017年高一数学期末综合卷2 精
塘栖中学2017年高一数学期末综合卷21．11sin 3π的值为（ ）A. 12-12 2．已知集合A ＝{0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈A B. {1}∈A C. ∅⊆A D. {0,1}⊆A3．若()1sin 3πα-=，且2παπ≤≤，则sin2α的值为A.4．为得到函数错误！未找到引用源。
的图象，只需将函数错误！未找到引用源。
的图象（ ）A. 向左平移错误！未找到引用源。
个单位长度B. 向右平移错误！未找到引用源。
个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 2cos 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）6．对于函数()=lg 21f x x -+，有如下三个命题：①()2f x +是偶函数；②()f x 在区间(),2-∞上是减函数，在区间()2,+∞上是增函数；③()()+2f x f x -在区间()2,+∞上是增函数．其中正确的命题的序号是（ ）．A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③7．已知42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，， ()cos cos a αα=， ()cos sin b αα=， ()sin cos c αα=，则（ ） A. a b c << B. a c b << C. b a c << D. c a b <<8．已知()(()s i n l g 14,f x a x b a b R =++∈，且()3l g l o g 105f ⎡⎤=⎣⎦，则()l g l g 3f ⎡⎤=⎣⎦( )A. -5 B. -3 C. 3 D. 随,a b 的取值而定9．函数()f x =__________.10．函数sin 23y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的递减区间是____________． 11．设α为第二象限角， (),4P x 为其终边上的一点，且4sin 5α=，则t a n2α=________．12.已知α∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且sin 2α ＋cos 2α .cos α= ，若sin(α－β)＝－35 ，β∈,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos β= 13.已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对任意[]10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 ．14．把函数22ππsin cos 66y x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移(0)φφ>个单位就得到了一个奇函数的图象,则φ的最小值是15．已知函数()()()sin cos f x x x x x =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()006,0,52f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 的值.16.设函数22()(21)3f x x a x a a =++++（1）若()f x 在[0,2]上的最大值为0，求实数a 的值；（2）若()f x 在区间[,]αβ上单调，且{}|(),[,]y y f x x αβαβ=≤≤=，求实数a 的取值范围.。
浙江省杭州市2017-2018学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
5．若3x=2，则x=（ ）
A．lg3﹣1g2B．lg2﹣1g3C． D．
【考点】指数式与对数式的互化．
【分析】由3x=2，根据指数式与对数式的互化关系可得x=log32，再利用换底公式化为 ．
【解答】解：∵3x=2，由指数式与对数式的互化关系可得x=log32= ，
故选D．
6．设向量 =（x，1）， =（1，y），若 • =0，则（ ）
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）|与y=t相交于4个不同交点，从左到右依次为A，B，C，D，是否存在实数t，使得线段|AB|，|BC|，|CD|能构成锐角三角形，如果存在，求出t的值；如果不存在，请说明理由．
2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
13．若不等式sin2x﹣asinx+2≥0对任意的x∈（0， ]恒成立，则实数a的最大值是（ ）
A．2 B． C．2D．3
14．函数f（x）=（ + +2）（ +1）的值域是（ ）
A．[2+ ，8]B．[2+ ，+∞）C．[2，+∞）D．[2+ ，4 ]
15．若直角△ABC内接于单位圆O，M是圆O内的一点，若| |= ，则| + + |的最大值是（ ）
C．向右平移 个单位D．向左平移 个单位
9．已知向量 ， 满足| |=4，| |=3，且（2 ﹣3 ）•（2 + ）=61，则向量 ， 的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
10．当 时，函数f（x）=sinx+ cosx的（ ）
A．最大值是1，最小值是﹣1B．最大值是1，最小值是﹣
杭州市重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业质量监测数学试题含解析
杭州市重点名校2017-2018学年高一下学期期末学业质量监测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若等差数列{}n a 和{}n b 的公差均为()0d d ≠，则下列数列中不为等差数列的是（ ） A ．{}n a λ（λ为常数） B ．{}n n a b + C ．{}22n n a b - D ．{}n n a b ⋅【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的定义对选项逐一进行判断，可得出正确的选项. 【详解】数列{}n a 和{}n b 是公差均为()0d d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，()11n b b n d =+-，11n n a b a b ∴-=-.对于A 选项，()11n n n n a a a a d λλλλ++-=-=，数列{}n a λ（λ为常数）是等差数列；对于B 选项，()()()()11112n n n n n n n n a b a b a a b b d +++++-+=-+-=，数列{}n n a b +是等差数列； 对于C 选项，()()()()222222221111n n n n n n n n ab a b a a b b ++++---=---()()()()()()111111112n n n n n n n n n n n n a a a a b b b b d a b a b d a b ++++++=-+--+=-+-=-，所以，数列{}22n n a b -是等差数列；对于D 选项，()()()211n n n n n n n n n n a b a b a d b d a b d d a b ++-=++-=++，不是常数，所以，数列{}n n a b 不是等差数列. 故选：D. 【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，注意等差数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.2．将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，5个剩余分数的平均分为21，现场作的7个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示,则5个剩余分数的方差为( )A ．1167B ．365C ．36D ．75【答案】B 【解析】 【分析】由剩余5个分数的平均数为21，据茎叶图列方程求出x ＝4，由此能求出5个剩余分数的方差． 【详解】∵将某选手的7个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，剩余5个分数的平均数为21， ∴由茎叶图得：1724202020215x+++++=得x ＝4，∴5个分数的方差为： S 2=()()()()()222221361721242120212021242155⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦ 故选B 【点睛】本题考查方差的求法，考查平均数、方差、茎叶图基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．3．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（ ）A ．2BCD ．【答案】B 【解析】 【分析】先建系，再结合两点的距离公式、向量的数量积及模的运算，求解即可得解. 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(3,0)B C , 设()(),,,A x y D m n ，由225AB AD -=，则2222()()5x y x m y n +----=，所以22225xm yn m n +--=， 又1AC BD ⋅=-，所以13xm yn m +=+，22222(3)692252(1)96CD m n m n m xm yn xm yn =-+=+-+=+--+-+=，即6CD =故选：B.【点睛】本题考查了两点的距离公式，重点考查了向量的数量积运算及模的运算，属中档题. 4．把函数cos 232y x x =的图象经过变化而得到2sin 2y x =的图象，这个变化是（ ） A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：cos 2322sin 22sin 2612y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与2sin 2y x =比较可知：只需将cos 232y x x =+向右平移12π个单位即可考点：三角函数化简与平移5．直线2y x =-与圆226480x y x y ++-+=相交于点,A B ，则AB =（ ）A 35B 45C 5D 65【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与圆相交的性质可知2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要求AB ，只要求解圆心到直线2y x =-的距离.【详解】由题意圆226480x y x y ++-+=，可得圆心()3,2-，半径5r =，圆心到直线2y x =-的距离2655d -==.则由圆的性质可得2221695255AB r d ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 所以AB =65. 故选：D 【点睛】本题考查了求弦长、圆的性质，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.6．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10 B ．3C ．5D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，求出点的坐标，进而利用两点之间距离公式求解. 【详解】根据题意，作图如下：已知直线AB 的方程为：2y x =-+，则： 点P 关于直线AB 的对称点为()100,P x y ，则：000122211y x y x +⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得点()12,1P ，同理 可得点P 关于直线OB 的对称点为：()11,0P - 故光线的路程为1291?10PP =+=故选：A.【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解、斜率的求解、以及两点之间的距离，属基础题. 7．直线2320x y +-=的斜率是（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．32【答案】A 【解析】 【分析】一般式直线方程0Ax By C ++=的斜率为A k B=-． 【详解】直线2320x y +-=的斜率为2233k ==--. 故选A 【点睛】此题考察一般直线方程的斜率Ak B=-，属于较易基础题目 8．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3，第2小组的频数为12，则抽取的学生总人数是（ ）A ．24B ．48C ．56D ．64【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图可知从左到右的前3个小组的频率之和，再根据频率之比可求出第二组频率，结合频数即可求解. 【详解】 由直方图可知，从左到右的前3个小组的频率之和为1(0.01250.0375)510.250.75-+⨯=-=， 又前3个小组的频率之比为1:2:3，所以第二组的频率为20.750.256⨯=， 所以学生总数120.2548n =÷=，故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，频率，频数，总体，属于中档题.9．若函数()()12,1,1,1,x x f x f x x -⎧≤⎪=⎨->⎪⎩则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B．2 CD．2-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意得到20191()()22f f =，再计算1()2f 即可. 【详解】201920172015()()()222f f f ===……1()2f =，111221()222f --===. 故选：B 【点睛】本题主要考查分段函数值的求法，同时考查了指数幂的运算，属于简单题.10．椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．932-B ．9 32C ．9 64D ．9 16【答案】A 【解析】 【分析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()12121212 169x x x x y y y y +-+-=-， 即()()()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即121292164y y x x -⨯-=⨯-，即1212932y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932-，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.11．若一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，则k 的取值范围是（ ） A ．()3,0- B ．](3,0-C ．()(),30,-∞-⋃+∞D ．()),30,⎡-∞-⋃+∞⎣【答案】A 【解析】 【分析】该不等式为一元二次不等式，根据一元二次函数的图象与性质可得，2328y kx kx =+-的图象是开口向下且与x 轴没有交点，从而可得关于参数的不等式组，解之可得结果. 【详解】不等式为一元二次不等式，故0k ≠， 根据一元二次函数的图象与性质可得，2328y kx kx =+-的图象是开口向下且与x 轴没有交点，则22034208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫∆=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解不等式组，得30k -<<. 故本题正确答案为A. 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查一元二次函数的图象与性质，注意数形结合的运用，属基础题.12．已知数列{}n a 的通项公式()2019112nn n a -⎧-⎪=⎨⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩120192020n n ≤≤≥，前n 项和为n S ，则关于数列{}n a 、{}n S 的极限，下面判断正确的是（）A ．数列{}n a 的极限不存在，{}n S 的极限存在B ．数列{}n a 的极限存在，{}n S 的极限不存在C ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，但极限值不相等D ．数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等 【答案】D 【解析】 【分析】分别考虑{}n a 与{}n S 的极限，然后作比较. 【详解】因为20091lim lim()02n n x x a -→∞→∞==，又2019201912201911(1())122lim lim(...)lim[()]01212n n n x x x S a a a --→∞→∞→∞-=++++=-=-，所以数列{}n a 、{}n S 的极限均存在，且极限值相等， 故选D. 【点睛】本题考查数列的极限的是否存在的判断以及计算，难度一般.注意求解{}n S 的极限时，若是分段数列求和的形式，一定要将多段数列均考虑到. 二、填空题：本题共4小题13．如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，设1OA =，则阴影部分的面积是__________.【答案】24π-【解析】 【分析】：设两个半圆交于点,O C ,连接OC BC 、,可得直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，OC 平分AOB ∠, 可得阴影部分的面积. 【详解】解：设两个半圆交于点,O C ，连接OC BC 、,22111()42ππ⨯⨯=⨯, ∴直角扇形OAB 的面积等于以OA OB 、为直径的两个半圆的面积之和，由对称性可得：OC 平分AOB ∠, 故阴影部分的面积是：22111222[()(]22224S ππ-=⨯⨯-⨯=. 故答案为：24π-.【点睛】本题主要考查扇形的计算公式，相对不难.14．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ=__________． 【答案】-3 【解析】由a b c λμ=+可知()()()()11?211222，，，，λμλμλμ-=-+=+-+ 2121λμλμ+=-⎧∴⎨-+=⎩，解得35λ=-，15μ=3λμ∴=- 15．已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 7 【解析】 【分析】求出,,a b a b ⋅，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算． 【详解】由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.222cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =.1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()22124444172a b a a b b ∴+=+⋅+=+⨯+=，27a b ∴+=.故答案为：7． 【点睛】本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算． 16．函数33()sin log 2f x x x ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的零点个数为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】运用三角函数的诱导公式先将函数化简，再在同一直角坐标系中做出两支函数的图像，观察其交点的个数即得解. 【详解】由三角函数的诱导公式得3sin cos 2x x π⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 所以令()0f x =，求零点的个数转化求方程3cos log x x π=根的个数，因此在同一直角坐标系分别做出cos y x =和3log y x π=的图象，观察两支图象的交点的个数为3个，注意在做3log y x π=的图像时当3x π=时，1y =, 故得解.【点睛】本题考查三角函数的有界性和余弦函数与对数函数的交点情况，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
新编浙江省杭州市高一下期末数学试卷(有答案)
浙江省杭州市高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．26．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．712．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．420．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共25小题，每小题2分，满分55分）1．函数f（x）=的定义域是（）A．[1，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．[0，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则x﹣1≥0，即x≥1，故函数的定义域为[1，+∞），故选：A【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．2．函数f（x）=sin2x，x∈R的一个对称中心是（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（，0）【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性求得函数的对称中心，从而得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin2x，x∈R，令2x=kπ，k∈z，求得x=，故函数的对称中心为（，0），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题．3．设向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），若∥，则=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出m的值．【解答】解：∵向量=（m，2）（m≠0），=（n，﹣1），且∥，∴﹣1m﹣2n=0∴=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．4．函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论．【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0∴函数在（1，2）上有唯一的零点故选：B．【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断．5．已知幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k+α=（）A．B．1 C．D．2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的定义与性质，求出k与α的值即可．【解答】解：∵幂函数f（x）=kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k=1，=，∴α=﹣；∴k+α=1﹣=．故选：A．【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．6．在区间（﹣1，1）上单调递增且为奇函数的是（）A．y=ln（x+1）B．y=xsinx C．y=x﹣x3D．y=3x+sinx【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用奇偶函数的定义判断奇偶性，再确定函数的单调性，即可得到结论【解答】解：对于A，函数不是奇函数，在区间（﹣1，1）上是增函数，故不正确；对于B，函数是偶函数，故不正确；对于C，函数是奇函数，因为y′=1﹣3x2，所以函数在区间（﹣1，1）不恒有y′＞0，函数在区间（﹣1，1）上不是单调递增，故不正确；对于D，以y=3x+sinx是奇函数，且y′=3+cosx＞0，函数在区间（﹣1，1）上是单调递增，故D正确故选：D．【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，正确运用定义是关键7．若向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积公式求向量的夹角．【解答】解：由已知向量=﹣2，||=4，||=1，则向量，的夹角的余弦值为：，由向量的夹角范围是[0，π]，所以向量，的夹角为；故选：A．【点评】本题考查了利用平面向量的数量积公式求向量的夹角；熟记公式是关键．8．设函数f（x）=x2+ax，a∈R，则（）A．存在实数a，使f（x）为偶函数B．存在实数a，使f（x）为奇函数C．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递增D．对于任意实数a，f（x）在（0，+∞）上单调递减【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据偶函数、奇函数的定义，二次函数的单调性即可判断每个选项的正误．【解答】解：A．a=0时，f（x）=x2为偶函数，∴该选项正确；B．若f（x）为奇函数，f（﹣x）=x2﹣ax=﹣x2﹣ax；∴x2=0，x≠0时显然不成立；∴该选项错误；C．f（x）的对称轴为x=；当a＜0时，f（x）在（0，+∞）没有单调性，∴该选项错误；D．根据上面a＜0时，f（x）在（0，+∞）上没有单调性，∴该选项错误．故选A．【点评】考查偶函数、奇函数的定义，以及二次函数单调性的判断方法．9．若偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，则不等式（x﹣1）f（x）＞0的解集是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣7）∪（7，+∞）C．（﹣7，1）∪（7，+∞）D．（﹣7，1]∪（7，+∞）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可．【解答】解：∵偶函数f（x）在区间（﹣∞，0]上单调递减，且f（7）=0，∴f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，且f（﹣7）=f（7）=0，即f（x）对应的图象如图：则不等式（x﹣1）f（x）＞0等价为：或，即或，即x＞7或﹣7＜x＜1，故选：C【点评】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．10．函数f（x）=asin2x+cos2x，x∈R的最大值为，则实数a的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】通过辅助角公式，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的最大值求出a．【解答】解：函数f（x）=asin2x+cos2x=sin（2x+φ），其中tanφ=，…（2分）因为函数f（x）=asin2x+cos2x的最大值为，∴=，解得a=±2．故选：C．…（4分）【点评】本题主要考查了正弦函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．11．函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象的交点的个数是（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】正弦函数的图象．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数．【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）=sin2x与函数g（x）=2x的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为1，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．12．设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数函数和幂函数的性质求出，a，b，c的取值范围，即可得到结论．【解答】解：log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b，故选：C【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用对数函数和幂函数的性质是解决本题的关键，比较基础．13．函数y=cos2x﹣sin2x的图象可以由函数y=cos2x+sin2x的图象经过下列哪种变换得到（）A．向右平移B．向右平移πC．向左平移D．向左平移π【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据函数y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），利用y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，可得结论．【解答】解：∵y=cos2x+sin2x=sin（2x+），y=cos2x﹣sin2x=sin（），又∵y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣sin（π+﹣2x）=sin（），∴函数y=cos2x+sin2x的图象向右平移可得函数y=cos2x﹣sin2x的图象．故选：A．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变化规律，属于基础题．14．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．15．设函数f（x）=min{2，|x﹣2|}，其中min|a，b|=．若函数y=f（x）﹣m有三个不同的零点x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．（2，6﹣2）B．（2，+1）C．（4，8﹣2）D．（0，4﹣2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】先比较2与|x﹣2|的大小以确定f（x）的解析式，然后结合函数的图象即可判断符合条件的m的范围，求出x1，x2，x3，的值从而求出x1+x2+x3的取值范围．【解答】解：令y=f（x）﹣m=0，得：f（x）=m，由2≥|x﹣2|可得x2﹣8x+4≤0，解可得4﹣2≤x≤4+2，当4﹣2≤x≤4+2时，2≥|x﹣2|，此时f（x）=|x﹣2|当x＞4+2或0≤x＜4﹣3时，2＜|x﹣2|，此时f（x）=2，其图象如图所示，，∵f（4﹣2）=2﹣2，由图象可得，当直线y=m与f（x）图象有三个交点时m的范围为：0＜m＜2﹣2，不妨设0＜x1＜x2＜2＜x3，则由2=m得x1=，由|x2﹣2|=2﹣x2=m，得x2=2﹣m，由|x3﹣2|=x3﹣2=m，得x3=m+2，∴x1+x2+x3=+2﹣m+m+2=+4，当m=0时，+4=4，m=2﹣2时，+4=8﹣2，∴4＜x1+x2+x3＜8﹣2．故选：C．【点评】本题以新定义为载体，主要考查了函数的交点个数的判断，解题的关键是结合函数的图象．16．设M是△ABC边BC上任意一点，N为AM上一点且AN=2NM，若，则λ+μ=（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量基本定理，用、表示出、，从而得出结论．【解答】解：如图所示，∵M是△ABC边BC上任意一点，设=m+n，∴则m+n=1，又∴AN=2NM，∴=，∴==m+n=λ+μ，∴λ+μ=（m+n）=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是用、表示出向量，属于基础题．17．计算：=（）A．B．C．D．﹣【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】利用诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式将所求式子转化为10°角的正弦函数值，即可得解．【解答】解：===．故选：A．【点评】本题主要考查了诱导公式，倍角公式，同角三角函数关系式的应用，属于基础题．18．若函数f（x）=x2﹣2x+1在区间[a，a+2]上的最小值为4，则a的取值集合为（）A．[﹣3，3]B．[﹣1，3]C．{﹣3，3} D．[﹣1，﹣3，3]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】函数的性质及应用．【分析】配方法得到函数的对称轴为x=1，将对称轴移动，讨论对称轴与区间[a，a+2]的位置关系，合理地进行分类，从而求得函数的最小值【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，对称轴x=1，∵区间[a，a+2]上的最小值为4，∴当1≤a时，y min=f（a）=（a﹣1）2=4，a=﹣1（舍去）或a=3，当a+2≤1时，即a≤﹣1，y min=f（a+2）=（a+1）2=4，a=1（舍去）或a=﹣3，当a＜a＜a+2时，y min=f（1）=0≠4，故a的取值集合为{﹣3，3}．故选：C．【点评】配方求得函数的对称轴是解题的关键．由于对称轴所含参数不确定，而给定的区间是确定的，这就需要分类讨论．利用函数的图象将对称轴移动，合理地进行分类，从而求得函数的最值，当然应注意若求函数的最大值，则需按中间偏左、中间偏右分类讨论19．若不等式|ax+1|≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，则实数a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由题意可得﹣3≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，由此可得a的值．【解答】解：由题意可得，不等式|ax+1|≤3，即﹣3≤ax+1≤3，即﹣4≤ax≤2，即﹣2≤x≤1，∴a=2，故选：B．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．20．如图，己知||=5，||=3，∠AOB为锐角，OM平分∠AOB，点N为线段AB的中点，=x+y，若点P在阴影部分（含边界）内，则在下列给出的关于x、y的式子中，①x≥0，y≥0；②x﹣y≥0；③x﹣y≤0；④5x﹣3y≥0；⑤3x﹣5y≥0．满足题设条件的为（）A．①②④B．①③④C．①③⑤D．②⑤【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量共线定理，及三角形法则，将向量表示出来，的系数对应等于x，y．由此即可解题【解答】解：设线段OP与AB的交点为C，则由向量共线定理知：存在实数λ，，其中λ＞0，∴==，∵共线，∴存在实数μ，使得，∵N为AB的中点，∴μ'又∵||=5，||=3，OM平分∠AOB，∴由正弦定理知，AM=BM∴AC≤AM=AB，故，∴==∴x=λ（1﹣μ），y=λμ，∴x≥0，y≥0；∴x﹣y=λ（1﹣2μ）≤0；∴5x﹣3y=λ（5﹣8μ）≥0．故选：B．【点评】本题主要考察了平面向量的共线定理以及向量的三角形法则，并涉及到了正弦定理，难度较大，属于难题．21．设不等式4x﹣m（4x+2x+1）≥0对于任意的x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[]C．[]D．[，+∞）【考点】指数函数综合题．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】把已知不等式变形，分离参数m，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得答案．【解答】解：由4x﹣m（4x+2x+1）≥0，得m（4x+2x+1）≤4x，即m≤=，∵x∈[0，1]，∴∈[，1]，则∈[]，∴∈[]，则m．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．22．设O为△ABC的外心（三角形外接圆的心），若=||2，则=（）A．1 B．C．2 D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】利用三角形的外心，得到，，两式平方相减化简，得到2，又=||2，得到AB，AC的关系【解答】解：因为O是三角形的外心，所以，，，两式平方相减得2，即2，又=||2，所以2，所以；故选：B．【点评】本题考查了三角形外心性质以及向量数量积等运算；考查学生的运算能力；属于中档题．23．设函数f（x）=．若方程f（x）=1有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．{﹣1}∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用．【分析】当x＜0时，由f（x）=x2=1得x=﹣1；从而可得，当0≤x≤π时，方程sin2x=有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象，结合图象求解即可．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2=1，解得，x=﹣1；∵方程f（x）=1有3个不同的实数根，∴当0≤x≤π时，方程f（x）=1可化为asin2x=1；显然可知a=0时方程无解；故方程可化为sin2x=，且有2个不同的解；作函数y=sin2x，（0≤x≤π）的图象如下，结合图象可得，0＜＜1或﹣1＜＜0；解得，a∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；故选D．【点评】本题考查了分段函数的应用及方程的根与函数的图象的交点的应用，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题．24．函数的值域为（）A．[1，]B．[1，]C．[1，]D．[1，2]【考点】函数的值域．【专题】综合题；压轴题；转化思想；综合法．【分析】先求出函数的定义域，观察发现，根号下两个数的和为1，故可令则问题可以转化为三角函数的值域问题求解，易解【解答】解：对于f（x），有3≤x≤4，则0≤x﹣3≤1，令，则=∵，∴．函数的值域为[1，2]故选D【点评】本题考查求函数的值域，求解的关键是观察到问题可以转化为三角函数求解，注意本题转化的依据，两数的和为1，此是一个重要的可以转化为三角函数的标志，切记．25．在△ABC中，BC=6，若G，O分别为△ABC的重心和外心，且=6，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．上述三种情况都有可能【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得2﹣=﹣36，又BC=6，则有||=||2+||2，运用勾股定理逆定理即可判断三角形的形状．【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵，，由=6，则（）==﹣（）=6，即﹣（）（）=6，则，又BC=6，则有||=||2+||2，即有C为直角．则三角形ABC为直角三角形．故选：C．【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用，主要考查向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，运用勾股定理逆定理判断三角形的形状．二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）26．若函数f（x）=2sin（ωx）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=4．【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由三角函数的周期性及其求法可得T==，即可解得ω的值．【解答】解：由三角函数的周期性及其求法可得：T==，解得：ω=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．27．设tanx=2，则cos2x﹣2sinxcosx=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tanx的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵tanx=2，∴原式====﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．28．计算：log89log32﹣lg4﹣lg25=．【考点】对数的运算性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据对数的运算性质计算即可．【解答】解：log89log32﹣lg4﹣lg25=log23log32﹣lg100=﹣2=﹣，故答案为：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．29．已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点，若||=||，则的最小值是．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．由于，可得C（cosθ，﹣sinθ）．再利用数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性即可得出．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵，∴C（cosθ，﹣sinθ）．∴=（cosθ﹣1，sinθ）（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=，当且仅当，即时，上式取得最小值．即的最小值是﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了数量积运算、二次函数的单调性、余弦函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．30．若函数f（x）=﹣﹣a存在零点，则实数a的取值范围是（﹣1，1）．【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化简a=﹣，从而利用其几何意义及数形结合的思想求解．【解答】解：由题意得，a=﹣=﹣；表示了点A（﹣，）与点C（3x，0）的距离，表示了点B（，）与点C（3x，0）的距离，如下图，结合图象可得，﹣|AB|＜﹣＜|AB|，即﹣1＜﹣＜1，故实数a的取值范围是（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用．三、解答题（共3小题，满分30分）31．已知向量，如图所示．（Ⅰ）作出向量2﹣（请保留作图痕迹）；（Ⅱ）若||=1，||=2，且与的夹角为45°，求与的夹角的余弦值．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】平面向量及应用．【分析】（I）运用向量的加减运算的几何性质求解绘画，（II）根据向量的运算得出==，=利用夹角得出cosθ=，求解即可．【解答】解：（I）先做出2，再作出，最后运用向量的减法得出2，如图表示红色的向量，（II）设，的夹角θ，∵||=1，||=2，且与的夹角为45°∴=1×2×cos45°=，∴==，=，（）=1﹣4=﹣3，cosθ=====．【点评】本题考察了平面向量的加减运算，数量积，向量的模的计算，属于向量的典型的题目，难度不大，计算准确即可．32．设α是三角形的一个内角，且sin（）=cos（）．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1的最大值．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）花间条件可得tanα=﹣，求得α的值，可得tan2α的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的值域求得它的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵sin（）=cos（），∴2sinαcos+2cosαsin=cosαcos+sinαsin，化简可得sinα+cosα=0，即tanα=﹣．又α是三角形的一个内角，可得α=，故tan2α=tan=tan=．（Ⅱ）求函数f（x）=4sinxcosxcos2α+cos2xsin2α﹣1=2sin2xcos+cos2xsin﹣1=﹣sin2x﹣cos2x﹣1=﹣sin（2x+θ）﹣1，故当sin（2x+θ）=﹣1时，f（x）取得最大值为﹣1．【点评】本题主要考查三角恒等变换，根据三角函数的值求角，正弦函数的值域，属于中档题．33．设函数f（x）=（x﹣2）||x|﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．【考点】分段函数的应用．【专题】分类讨论；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，对x讨论，去掉绝对值，再由二次函数的对称轴和单调性，即可得到所求增区间；（Ⅱ）对x讨论，去绝对值，再对a讨论，分0＜a≤2，2＜a＜3时，3≤a＜8，a≥8，结合对称轴和区间[﹣3，3]的关系，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=（x﹣2）||x|﹣3|，当x≥3时，f（x）=（x﹣2）（x﹣3）=x2﹣5x+6在[3，+∞）递增；当0＜x＜3时，f（x）=（x﹣2）（3﹣x）=﹣x2+5x﹣6在（0，]递增；当﹣3＜x≤0时，f（x）=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6在[﹣，0]递增；当x≤﹣3时，f（x）=（x﹣2）（﹣x﹣3）=﹣x2﹣x﹣6在（﹣∞，﹣3]递增．综上可得，f（x）的增区间为（﹣∞，﹣3]，[﹣，]，[3，+∞）．（Ⅱ）f（x）=，（1）若0＜a≤2，则f（x）min=min{f（﹣3），f（0）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣2a}，当﹣5|3﹣a|=﹣2a，解得a=或a=5，即当0＜a≤2时，f（x）min=﹣5（3﹣a）；（2）若2＜a＜3时，f（x）min=min{f（﹣3），f（）}=min{﹣5|3﹣a|，﹣}，当﹣5|3﹣a|=﹣，解得a=10﹣12∈（2，3），即f（x）min=，（3）若﹣a≤﹣3＜，即3≤a＜8时，f（x）min=f（﹣）=﹣，（4）若≤﹣3，则a≥8，f（x）min=f（﹣3）=15﹣5a．综上可得，f（x）min=．【点评】本题考查分段函数的单调性和最值求法，注意讨论对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．。
浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷
浙江省杭州市高一下学期期末数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 14 题；共 28 分)1. （2 分） (2016 高一下·海珠期末) 下列各式中，值为 的是（ ） A . sin15°cos15°B . cos2 ﹣sin2 C . cos12°sin42°﹣sin12°cos42°D. 2. （2 分） 在数列 中， =1， A . 99 B . 49 C . 102 D . 101， 则 的值为 （ ）3. （2 分） 如果 a＞b＞0，且 a+b=1，那么在不等式① ；②；③立的不等式的序号是（ ）A.①B.②C.③D.④4. （2 分） 图中表示的区域满足不等式（ ）；④ab 中，一定成第 1 页 共 11 页A . 2x+2y﹣1＞0 B . 2x+2y﹣1≥0 C . 2x+2y﹣1≤0 D . 2x+2y﹣1＜05. （2 分） 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a,b,c,若 A . 30° B . 30°或 105° C . 60° D . 60°或 120°， 则角 A= （ ）6. （2 分） 设 A . -7 B . -5（）C. D . -17. （2 分） 在中，，， 则 的最小值是（ ）A. B.2 C.第 2 页 共 11 页D.6 8. （2 分） (2016 高一下·新疆期中) 在△ABC 中，AB=2，AC=3，，则△ABC 的面积为（ ）A. B.C.D.9. （2 分） (2018 高二上·湖南月考) 已知数列 ，若,，则A . 2019B . 2018 C . 2017 D . 2016 10. （2 分） (2017 高一下·汽开区期末) 若，则下列不等式成立的是（ ）A.B.=（ ）C.D.11. （2 分） (2017 高一下·汽开区期末) 如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在 点测得公路北侧山顶 D 的仰角为 ，汽车行驶 300m 后到达 点测得山顶 D 恰好在正北方，且仰角为 ，则山的高度为（ ）第 3 页 共 11 页A.B.C.D. 12. （2 分） (2016 高一上·汕头期中) 若函数 f（x）=x2﹣ax+2（a 为常数）在[1，+∞）上单调递增，则 a∈ （） A . [1，+∞） B . （﹣∞，1] C . （﹣∞，2] D . [2，+∞） 13. （2 分） (2017·江西模拟) 《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统 数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小 斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 S=．现有周长为 2 + 的△ABC 满足 sinA：sinB：sinC=（ ﹣1）： ：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC 的面积为（ ）A. B.第 4 页 共 11 页C.D. 14. （2 分） 已知 x，y，z，a，b，c，k 均为正数，且 x2+y2+z2=10，a2+b2+c2=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k （x+y+z），则 k=（ ）A.B. C.3 D.9二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)15.（1 分）已知{ }是等差数列，公差 d 不为 0，若 , ， 成等比数列，且 2 + =1，则 = ________ 。
杭州市高一下学期期末数学试卷A卷
杭州市高一下学期期末数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·淄川开学考) 若不等式（a2﹣3a﹣4）x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R，则实数a 的取值范围为（）A . （0，4）B . （0，4]C . [0，4）D . [0，4]2. （2分）已知等差数列中，前项和，且，则等于（）A . 45B . 50C . 55D . 603. （2分） (2017高一下·孝感期末) 若a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A . 若a＞b，则ac2＞bc2B . 若a＜b＜0，则a2＞abC . 若a＜b，则D . 若a＞b＞0，则4. （2分） (2016高二上·邹平期中) 200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km/h的汽车数量为（）A . 65辆B . 76辆C . 88 辆D . 95辆5. （2分）某单位为了了解用电量y（度）与气温X（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并作了如下的对照表：由表中数据，得回归直线方程 = + ，若 =﹣2，则 =（）气温X（℃）181310﹣1用电量y24343864A . 60B . 58C . 62D . 646. （2分） (2016高二上·河北期中) 有一个袋子中装有标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高二上·长沙月考) 某公司10位员工的月工资（单位：元）为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高三上·北京月考) 若变量满足，则的最值情况为（）A . 有最小值3B . 有最大值3C . 有最小值2D . 有最大值49. （2分）把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，记A(m,n)表示第m行的第n个数，，则m+n=（）A . 122B . 123C . 124D . 12510. （2分）(2017·安徽模拟) 如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是14，则判断框内填入的条件可以是（）A . S≥10？B . S≥14？C . n＞4？D . n＞5？11. （2分）在平面直角坐标系中，记抛物线y=x﹣x2与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y=kx （k＞0）所围成的平面区域为N，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域N内的概率为，则k的值为（）A .B .C .D .12. （2分）已知数列{an}，如果是首项为1公比为2的等比数列，那么an=（）A . －1B . －1C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二上·廊坊期末) 10101（2）转化为十进制数是________．14. （2分）根据如图所示的程序框图操作，使得当成绩不低于60分时，输出“及格”，当成绩低于60分时，输出“不及格”，则框1中填________，框2中填________．15. （1分）(2016·大连模拟) 己知a（3﹣a）＞0，那么的最小值是________．16. （1分） (2015高一下·万全期中) 已知当x＞0时，不等式x2﹣mx+4＞0恒成立，则实数m的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a≤0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．18. （10分）(2017·南京模拟) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．19. （5分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．20. （5分） (2019高三上·凉州期中) 的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．21. （10分）某市组织500名志愿者参加敬老活动，为方便安排任务将所有志愿者按年龄（单位：岁）分组，得到的频率分布表如下．现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人担任联系人．年龄（岁）频率第1组[25，30）0.1第2组[30，35）0.1第3组[35，40）0.4第4组[40，45）0.3第5组[45，50]0.1（1）应分别在第1，2，3组中抽取志愿者多少人？（2）从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率．22. （10分） (2019高二上·林芝期中) 设数列的前项和为，为等比数列，且，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
浙江省杭州市塘栖中学2017年高一数学期末综合卷13 精
塘栖中学2017年高一数学期末综合卷131.设集合若则 （ ） A.M B.P C.Q D.2.把函数sin 3)y x x =-的图像适当变换就可以得到sin(3)y x =-的图像，这种变换可以是（ ） A ．右移4π B ．左移4π C ．右移12π D ．左移12π 2、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13.已知y x ,为正实数,则 （ ）A.y x y x lg lg lg lg 222+=+B.y x y x lg lg )lg(222∙=+C.y x yx lg lg lg lg 222+=∙ D.y x xy lg lg )lg(222∙= 4.函数11y x =-与函数2sin (24)y x x π=-≤≤所有交点的横坐标之和为 ( )（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)85. 已知函数3-||3+||x y x =的定义域为),](,[Z b a b a ∈，值域为]1,0[，那么满足条件的整数对),(b a 共有 ( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个6.求()6343031321687064.0⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛--=7.求8332log log 5.12lg 85lg 21lg ⋅++-= 8.已知()πβππα,0,2,2∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈，且满足⎪⎩⎪⎨⎧==βαβαsin 2sin cos 2cos 3，求角βα,＝9. 已知(0,)2πα∈,335sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求αsin = 10.函数24)1ln(1)(x x x f -++=的定义域为 11.设函数22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤，则实数a 的取值范围是 12.对实数和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是14.已知函数)0,,,()(2≠∈++=a R c b a c bx ax x f ，(2)(0)f f -= 0=，)(x f 的最小值为1-．（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）设函数12()[()]1h x n f x -=--，若函数()h x 在其定义域上不存在零点，求实数n的取值范围．。
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2016-2017学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．{2}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，6}2．（3分）设点A（0，1），B（3，2），则=（）A．（﹣1，4）B．（1，3） C．（3，1） D．（7，4）3．（3分）函数f（x）=log2（x+2）的定义域是（）A．[2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．（3分）函数y=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（）A．（，1）B．（0，1） C．（1，1） D．（，1）5．（3分）设，是平面的一组基底，则能作为平面的一组基底的是（）A．﹣，﹣B．+2，+C．2﹣3，6﹣4D．+，﹣6．（3分）若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（）A．log a b=2017 B．log b a=2017 C．log2017a=b D．log2017b=a7．（3分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°8．（3分）下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x|D．f（x）=x+39．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形10．（3分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若f（0）=f（3）＜f（1），则（）A．a＞0，3a+b=0 B．a＜0，3a+b=0 C．a＞0，9a+b=0 D．a＜0，9a+b=0 11．（3分）若sin（+α）=，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．C．﹣D．12．（3分）如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i=1，2， (7)的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．113．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度14．（3分）设O为△ABC的外心，若++=，则M是△ABC的（）A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）15．（3分）若x∈（0，），则（）A．x2cos2x＞1 B．＞C．x2+cos2x＞1 D．x4﹣sin2x＞二、填空题（共8小题，每空3分，满分36分）16．（9分）某简谐运动的函数表达式为y=3cos（t+），则该运动的最小正周期为，振幅为，初相为．17．（3分）2log510+log50.25=．18．（3分）△ABC中，若=2，=+λ，则λ=．19．（3分）设函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=3x+x，则当x＞0时，f （x）=．20．（3分）已知sin（α﹣）=，则sin2α=．21．（6分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b=2，cosB=，sinC=2sinA，则α=，△ABC的面积S=．22．（6分）已知定义域为正整数集的函数f（x）=，f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n﹣1（x）]．若f n（21）=1，则n=；若f4（x）=1，则x所有的值构成的集合为．23．（3分）在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则•的取值范围是．三、解答题（共2小题，满分19分）24．（9分）设向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．25．（10分）设a∈R，函数f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四个实数解满足x1＜x2＜x3＜x4．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x4）＞+8．2016-2017学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．（3分）设集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，则A∩B=（）A．2 B．{2}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4，6}【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={2，4，6}，∴A∩B={2}．故选：B．2．（3分）设点A（0，1），B（3，2），则=（）A．（﹣1，4）B．（1，3） C．（3，1） D．（7，4）【解答】解：设点A（0，1），B（3，2），则=（3﹣0，2﹣1）=（3，1），故选：C．3．（3分）函数f（x）=log2（x+2）的定义域是（）A．[2，+∞）B．[﹣2，+∞）C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【解答】解：函数f（x）=log2（x+2）有意义，可得x+2＞0，解得x＞﹣2，则f（x）的定义域为（﹣2，+∞）．故选：C．4．（3分）函数y=a x﹣1（a＞0，a≠1）的图象经过点（）A．（，1）B．（0，1） C．（1，1） D．（，1）【解答】解：令x﹣1=0，解得：x=1，故x=1时，y=1，故函数过（1，1），故选：C．5．（3分）设，是平面的一组基底，则能作为平面的一组基底的是（）A．﹣，﹣B．+2，+C．2﹣3，6﹣4D．+，﹣【解答】解：对于A，∵=﹣（），∴与共线，故不能作为平面α的一组基底；对于B，∵=2（），∴与共线，故不能作为平面α的一组基底；对于C，∵2﹣3=﹣（6﹣4），∴2﹣3与6﹣4共线，故不能作为平面α的一组基底；对于D，∵与不共线，故能作为平面α的一组基底；故选：D．6．（3分）若a2017=b（a＞0，且a≠1），则（）A．log a b=2017 B．log b a=2017 C．log2017a=b D．log2017b=a【解答】解：若a2017=b（a＞0，且a≠1），则2017=log a b，故选：A．7．（3分）在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【解答】解：∵a=2，b=2，A=30°，∴由正弦定理得：sinB===．∵b＞a，∴B=60°或120°．故选：D．8．（3分）下列函数中，不满足f（3x）=3f（x）的是（）A．f（x）=|x|B．f（x）=﹣x C．f（x）=x﹣|x|D．f（x）=x+3【解答】解：对于A，∵f（3x）=|3x|，3f（x）=3|x|，满足f（3x）=3f（x）；对于B，f（3x）=﹣3x，3f（x）=3（﹣x）=﹣3x，满足f（3x）=3f（x）；对于C，f（3x）=3x﹣|3x|，3f（x）=3（x﹣|x|），满足f（3x）=3f（x）；对于D，f（3x）=3x+3，3f（x）=3（x+3）=3x+9，显然不满足f（3x）=3f（x），故选：D．9．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若＜cosA，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形【解答】解：∵A是△ABC的一个内角，0＜A＜π，∴sinA＞0．∵＜cosA，由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA，∴sin（A+B）＜sinBcosA，∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA，∴sinAcosB＜0，又sinA＞0，∴cosB＜0，即B为钝角．故选：C．10．（3分）设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．若f（0）=f（3）＜f（1），则（）A．a＞0，3a+b=0 B．a＜0，3a+b=0 C．a＞0，9a+b=0 D．a＜0，9a+b=0【解答】解：因为f（0）=f（3），即c=9a+3b+c，所以3a+b=0；又f（0）＜f（1），即c＜a+b+c，所以a+b＞0，即a+（﹣3a）＜0，所以﹣2a＜0，故a＞0．故选：A．11．（3分）若sin（+α）=，则cos（﹣α）=（）A．﹣ B．C．﹣D．【解答】解：sin（+α）=，则cos（﹣α）=cos[﹣（+α）]=sin（+α）=，故选：B．12．（3分）如图，正方形ABP7P5的边长为2，P1，P4，P6，P2是四边的中点，AB 是正方形的其中一条边，P1P6与P2P4相交于点P3，则•（i=1，2， (7)的不同值的个数为（）A．7 B．5 C．3 D．1【解答】解：建立平面直角坐标系如图：A（0，0），B（0，2），P1（0，1），P2（1，0），P3（1，1），P4（1，2），P5（2，0），P6（2，1），P7（2，2），所以=（0，2），=（0，1），=（1，0），=（1，1），=（1，2），=（2，0），=（2，1），=（2，2），所以=2，=0，=2，=4，=0，=2，=4，所以•（i=1，2，…，7）的不同值有0，2，4，个数为3；故选：C．13．（3分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，为了得到g（x）=Acosωx的图象，可以将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，可得=﹣，∴ω=2，再根据五点法作图，可得2•+φ=π，∴φ=﹣，∴f（x）=Asin（2x﹣）=Asin2（x﹣）．g（x）=Acosωx=Acos2x=Asin（2x+）=Asin2（x+），﹣（﹣）=，故将f（x）的图象向左平移个单位长都，可得g（x）=Acosωx的图象，故选：B．14．（3分）设O为△ABC的外心，若++=，则M是△ABC的（）A．重心（三条中线交点）B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点）D．外心（三边中垂线交点）【解答】解：在△ABC中，O为外心，可得OA=OB=OC，∵++=，∴+=﹣设AB的中点为D，则OD⊥AB，=2，∴CM⊥AB，可得CM在AB边的高线上．同理可证，AM在BC边的高线上，故M是三角形ABC两高线的交点，可得M是三角形ABC的垂心，故选：C．15．（3分）若x∈（0，），则（）A．x2cos2x＞1 B．＞C．x2+cos2x＞1 D．x4﹣sin2x＞【解答】解：x∈（0，）时，0＜sinx＜x，∴0＜sin2x＜x2；又sin2x+cos2x=1，∴x2+cos2x＞1，C正确．故选：C．二、填空题（共8小题，每空3分，满分36分）16．（9分）某简谐运动的函数表达式为y=3cos（t+），则该运动的最小正周期为4π，振幅为3，初相为．【解答】解：由于简谐运动的函数表达式为y=3cos（t+），则该运动的最小正周期为=4π，振幅为3，初相为，故答案为：4π；3；．17．（3分）2log510+log50.25=2．【解答】解：∵2log510+log50.25=log5100+log50.25=log525=2故答案为：2．18．（3分）△ABC中，若=2，=+λ，则λ=．【解答】解：∵=2，∴﹣=2﹣2，∴=+，∵=+λ，∴λ=．故答案为．19．（3分）设函数f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=3x+x，则当x＞0时，f （x）=﹣3﹣x+x．【解答】解：设x＞0，则﹣x＜0，∵当x＜0时，f（x）=3x+x，∴f（﹣x）=3﹣x ﹣x．再根据函数f（x）是奇函数，可得﹣f（x）=f（﹣x）=3﹣x﹣x，∴f（x）=﹣3﹣x+x，故答案为：f（x）=﹣3﹣x+x．20．（3分）已知sin（α﹣）=，则sin2α=．【解答】解：∵已知sin（α﹣）=，则sin2α=cos（2α﹣）=cos2（α﹣）=1﹣2=1﹣2•=，故答案为：．21．（6分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，若b=2，cosB=，sinC=2sinA，则α=1，△ABC的面积S=．【解答】解：∵在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，b=2，cosB=，sinC=2sinA，∴由正弦定理得c=2a，由余弦定理得cosB===，解得a=1，（舍负），∴c=2a=2，sinB==，===．∴△ABC的面积S△ABC故答案为：1，．22．（6分）已知定义域为正整数集的函数f（x）=，f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n﹣1（x）]．若f n（21）=1，则n=6；若f4（x）=1，则x所有的值构成的集合为{7，9，10，12，16} ．【解答】解：∵定义域为正整数集的函数f（x）=，f1（x）=f（x），f n（x）=f[f n﹣1（x）]．f n（21）=1，∴f6（21）=f5（20）=f4（10）=f3（5）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，∴n=6．∵f4（x）=1，f4（16）=f3（8）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，f4（12）=f3（6）=f2（3）=f1（2）=f（2）=1，f4（10）=f3（5）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，f4（9）=f3（8）=f2（4）=f1（2）=f（2）=1，f4（7）=f3（6）=f2（3）=f1（2）=f（2）=1，∴x所有的值构成的集合为{7，9，10，12，16}．故答案为：6，{7，9，10，12，16}．23．（3分）在△ABC中，P在△ABC的三边上，MN是△ABC外接圆的直径，若AB=2，BC=3，AC=4，则•的取值范围是[﹣，0] ．【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，圆心为O．由cosB==，∴sinB==．∴2R==，解得R=．∴•=•=﹣•+=﹣R2+∈[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．三、解答题（共2小题，满分19分）24．（9分）设向量=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（1）∵=（sinx，﹣1），=（cosx，﹣），∴f（x）=（+）•=（sinx+cosx，﹣）•（sinx，﹣1）=sin2x+sinxcos+=（1﹣cos2x）+sin2x+=sin2x﹣cos2x）+2=sin（2x﹣）+2，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的递增区间是[kπ﹣，kπ+]；（2）∵x∈（0，），∴2x﹣∈（﹣，），故sin（2x﹣）的最大值是1，sin（2x﹣）＞sin（﹣）=﹣，故函数的最大值是3，最小值大于，即函数的值域是（，3]．25．（10分）设a∈R，函数f（x）=|x2﹣2ax|，方程f（x）=ax+a的四个实数解满足x1＜x2＜x3＜x4．（1）求a的取值范围；（2）证明：f（x4）＞+8．【解答】解：（1）若a=0，则f（x）=x2，显然直线y=ax+a与f（x）不可能有4个交点，不符合题意；若a＜0，作出f（x）=|x2﹣2ax|的函数图象，则直线y=ax+a与f（x）的图象不可能有4个交点，不符合题意；若a＞0，作出f（x）的函数图象如图所示：当0＜x＜2a时，f（x）=﹣x2+2ax，设直线y=k（x+1）与y=f（x）在（0，2a）上的函数图象相切，切点为（x0，y0），则，解得k=2a+2﹣2，∴a＜2a+2﹣2，解得a＞4．（2）联立方程组，得x2﹣3ax﹣a=0，解得x=，∴x4=．∴f（x4）=ax4+a=++a，令g（a）=++a，则g（a）在（4，+∞）上单调递增，∴g（a）＞g（4）=28+8＞+8．∴f（x4）＞+8．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=5APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.DA3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。