二倍角的正弦余弦正切公式公开课
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二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
二 化简三角函数式
【例3】 化简下列各式： (1)1s－inα2csoins2αα； (2)1－1tanθ2－1＋1tanθ2. 【分析】 本题主要考查二倍角公式和三角恒等变形与代 数恒等变形能力，重点考查逆用公式的能力．
1 【解】 (1)1s－inα2csoins2αα＝2csoisn22αα＝12tan2α. (2)解法1：原式＝1＋tan1θ2－－tan12θ2－tanθ2
∴定义域不关于原点对称．
∴原函数不具有奇偶性.
cos4π＋x＝sin2π－π4＋x
＝sinπ4－x＝153，
120 ∴原式＝1659＝2143.
13
解法二：原式＝scionsπ24π＋＋2xx ＝2sinπ4c＋osx4π·＋coxs4π＋x＝2sinπ4＋x. ∵sinπ4－x＝cos4π＋x＝153，且0<x<4π， ∴π4＋x∈π4，π2，
(4)原式＝2sin20°cos22s0in°2co0s°40°cos80° ＝2sin40°4csoins4200°°cos80° ＝2sin88s0in°2co0s°80°＝s8isni1n6200°°＝18.
规律技巧 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系，另 一方面要注意函数名称的转化方法，同角三角函数的关系及诱 导公式是常用方法.
三 给值化简求值
【例4】，0<x<
π 4
，求
cos2x cos4π＋x
的
【分析】 解答本题可先化简所求式子，由化简的结果再
去寻求条件得出结论，或直接寻求条件，分析与所求式子的联
系，灵活求解．
【解】 解法一：∵x∈0，4π，∴4π－x∈0，4π. ∵sinπ4－x＝153，∴cos4π－x＝1123. 又cos2x＝sin2π－2x ＝2sinπ4－xcos4π－x ＝2×153×1123＝112609，
二倍角的正弦、余弦、正切公式教学课件
①1＋cos 2α＝2cos2α；②cos2α＝1＋c2os 2α；
③1－cos
2α＝2sin2α；④sin2α＝1－c2os
2α .
1．下列说法错误的是( ) A．6α是3α的倍角，3α是32α的倍角 B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角 C．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立 D．对任意角α，总有tan 2α＝1－2tatnanα2α
π π 2π ③原式＝2sin5cos5πcos 5
2sin5 2π 2π 4π ＝sin25sicno5πs 5 ＝s4isnin5π5 π ＝ sin5π＝14. 4sin5
对于给角求值问题 一般有两类： 1直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数 的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角. 2若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍 角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角 公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.
第三章 三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标
核心素养
1.能推导并记住二倍角的正弦、
余弦和正切公式．(重点)
1.借助二倍角公式的推导，培养
2.能利用二倍角的正弦、余弦和 学生的数学建模和逻辑推理素养.
正切公式化简、求值和证明．(重 2.通过利用二倍角公式进行化
＝－cosπ4＋α， ∴原式可化为1－2cos2α＋π4 ＝－cosα＋π4， 解得cosα＋π4＝1或cosα＋π4＝－12. ∵α∈－π2，π2，
∴α＋π4∈－π4，34π， 故α＋π4＝0或α＋π4＝23π， 即α＝－π4或α＝51π2.
二倍角的正弦、余弦和正切公式PPT优秀课件
22 . 5 0 2 22 . 5 0
6 、1 tan 15 0 1 tan 15 0
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二倍角公式的推导
co s cc oo s ss i sn i n co 2 sco 2 ssi2 n
利用 si2 nco2s1变形为
cos22cos21 cos212sin2
22
2 22 2
继续
3． 1 1 1tan 1tan
2tan tan2 1tan2
4． 1 2 co 2 sco 2 s1 2 c2 o 2 s c2 o 1 s 2
例三、若tan = 3，求sin2 cos2 的值
解 ： sin2 =
tan2
2tan 1 tan2
12si2n
例 4 ssii2 2n n 1 1 cco o2 2 ss( )
1．sin2230’cos2230’ =
1 sin450 2
2
4
2. 2cos2 1 cos 2
8
42
3. sin2 co2s cos 2
8
8
42
4. 8si ncoscoscos4 si c n o cs o 2 s s ic n o s s i n 1 48 48 2412 24 24 1212 1262
2、二倍角公式与和角、差角公式一样，反映的都是 如何用单角的三角函数值表示复角（和、差、倍） 的三角函数值，结合前面学习到的同角三角函数关 系式和诱导公式可以解决三角函数中有关的求值、 化简和证明问题。
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二倍角的正弦、余弦、正切
复习
一
二 三
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四
五 例题
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
(2)已知 sinπ4－x＝153，0<x<π4，求 cos2x 的值．
【解】 (1)因为 α∈π2，π，sinα＝ 55，所以 cosα＝－255，
所以 sin2α＝2sinαcosα＝2× 55×－255＝－45，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35，
tan2α＝csoins22αα＝－43，故填－45，35，－43.
2.二倍角公式的变形 (1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；
1－cos2α＝2sin2α. (2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α；
sin2α＝1－c2os2α.
(3)万能公式：sin2α＝1＋2tatannα2α； cos2α＝11－ ＋ttaann22αα.
类型一 给角求值 [例 1] 求下列各式的值． (1)sin π cos π ；(2)1－2sin2750°；
(2)证明：因为左边＝33＋－44ccooss22AA＋＋22ccooss2222AA－－11
＝11－ ＋ccooss22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边．
所以33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A.
方法归纳
三角函数式的化简与证明 (1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角 函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低． (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等 于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法， 从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式
[化解疑难] 1．细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍……这里蕴含着 换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间 的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
【解】 (1)因为 α∈π2，π，sinα＝ 55，所以 cosα＝－255，
所以 sin2α＝2sinαcosα＝2× 55×－255＝－45，
cos2α＝1－2sin2α＝1－2×
552＝35，
tan2α＝csoins22αα＝－43，故填－45，35，－43.
2.二倍角公式的变形 (1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；
1－cos2α＝2sin2α. (2)降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α；
sin2α＝1－c2os2α.
(3)万能公式：sin2α＝1＋2tatannα2α； cos2α＝11－ ＋ttaann22αα.
类型一 给角求值 [例 1] 求下列各式的值． (1)sin π cos π ；(2)1－2sin2750°；
(2)证明：因为左边＝33＋－44ccooss22AA＋＋22ccooss2222AA－－11
＝11－ ＋ccooss22AA2＝22csoins22AA2＝(tan2A)2＝tan4A＝右边．
所以33－ ＋44ccooss22AA＋ ＋ccooss44AA＝tan4A.
方法归纳
三角函数式的化简与证明 (1)化简三角函数式的要求：①能求出值的尽量求出；②使三角 函数的种类与项数尽量少；③次数尽量低． (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等 于另一边；②比较法，左边－右边＝0，左边/右边＝1；③分析法， 从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式
[化解疑难] 1．细解“倍角公式” (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义． (2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于 2 的情况都成立，如 6α 是 3α 的 2 倍，3α 是32α的 2 倍……这里蕴含着 换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间 的关系的． (3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．
5.5.1 第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式(课件)
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
2．二倍角的余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形
式：
①1＋cos
2α
＝2cos2α，
②
cos2α
＝
1＋cos 2
2α
，
③
1
－
cos
2α＝2sin2α，④sin2α＝
1－cos 2α 2.
数学 必修 第一册 A
地活用公式．主要形式有：1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2,1＋cos
2α＝2cos2α，cos2α＝1＋c2os
2α，sin2α＝1－c2os
2α .
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
随堂本课小结
1．对“二倍角”应该有广义的理解 运用二倍角公式，首先要准确把握“二倍角”这个概念，明确“倍角”的相对性， 它指的是两个角的一个“倍数”关系，不仅仅指 2α 是 α 的二倍角，还可以指α2是α4的 二倍角等．
数学 必修 第一册 A
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第五章 三角函数
探究二 二倍角公式的灵活运用问题
求下列各式的值： (1)－23＋43cos2 15°＝________. (2)tan1π2－tan11π2＝________. (3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________. 解析 (1)原式＝23(2cos215°－1)＝23cos 30°＝ 33.
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谢谢观看！
)
(3)要使 T2α 有意义，需要 α≠±π4＋kπ 且 α≠π2＋kπ(k∈Z)．(
)
二倍角的正弦、余弦、正切公式PPT优秀课件1
注意： 切化弦
四、课堂练习
1 2 、 、 若 co s i s n c c o o s s 2 2 ,t _ a n _ _ 1 _t _ a n 1 _ _的 值 2
55
4
3、 2 sin 2 2 cos 4的值是？ 3cos2
2 1 c 2 o s 4 c o s 4 2 3 2 3 c o s 4 2 3 ( 1 c o s 4 ) 2 3 ( 2 c o s 2 2 ) 3 c o s 2
8
82
试试看 伴你学134页8题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
3、注意： 当 k(kZ) 时，tan 不存在，
但是 ta 2 n 2ta 2 k n () 0
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1 、 si2n 。 3 2， c 0o 2。 3 s 2， 0 2
4
2、 2cos2 1 2
8
2
3、 sin2co2s 2
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
公式变形：
1si2 n(s i nco )2 s
1co 2s2co 2s 升幂缩角公式
1co 2 s2si2 n
co2s1co2s
2
sin21co2s
2
降幂扩角公式
二、公式理解：
新课标人教版课件系列
四、课堂练习
1 2 、 、 若 co s i s n c c o o s s 2 2 ,t _ a n _ _ 1 _t _ a n 1 _ _的 值 2
55
4
3、 2 sin 2 2 cos 4的值是？ 3cos2
2 1 c 2 o s 4 c o s 4 2 3 2 3 c o s 4 2 3 ( 1 c o s 4 ) 2 3 ( 2 c o s 2 2 ) 3 c o s 2
8
82
试试看 伴你学134页8题
4、 8si4 nc 8o 4 sc 8o 2 sc 4o 1 s 212
例2、已知 sin5， （，），
13 2
求 si2 n,co 2 ,sta2 n的值。
解： sin5， （，），
13 2
cos 12 si2 n2s13ic n os25(1)2 120
3、注意： 当 k(kZ) 时，tan 不存在，
但是 ta 2 n 2ta 2 k n () 0
三、公式应用：
例1、（公式巩固性练习）求值
1 、 si2n 。 3 2， c 0o 2。 3 s 2， 0 2
4
2、 2cos2 1 2
8
2
3、 sin2co2s 2
co2 s(1co2 s) 2co2s1
12si2n
公式变形：
1si2 n(s i nco )2 s
1co 2s2co 2s 升幂缩角公式
1co 2 s2si2 n
co2s1co2s
2
sin21co2s
2
降幂扩角公式
二、公式理解：
新课标人教版课件系列
第3课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件(经典公开课)
=
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
+
= +
+
-
+ - .
因为 θ 是第二象限角,
即 2kπ+<θ<2kπ+π,k∈Z,所以 kπ+ < <kπ+,k∈Z.
所以原式=
, + < < + (∈),
解析:∵tan α=,∴tan 2α=- =
答案:
.
.
二、二倍角的余弦公式的变形
【问题思考】
1.根据同角三角函数的基本关系sin2α+cos2α=1,能否只用sin α
或cos α表示cos 2α?
提示:cos 2α=cos2α-sin2α=cos2α-(1-cos2α)=2cos2α-1;
.
-
=2sin
=2× × = ,
,
+
的值”.
反思感悟
三角函数的条件求值问题常有两种解题途径
(1)对题设条件变形,把条件中的角、函数名向结论中的角、
函数名靠拢;
(2)对结论变形,将结论中的角、函数名向题设条件中的角、
函数名靠拢,以便将题设条件代入结论.
sin215°+cos215°=1,选项 D 不对.
答案:B
2.sin
4
课件11：3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
所以原式成立．
归纳升华 三角函数式的化简与证明 1．化简三角函数式的要求：(1)能求出值的尽量求出； (2)使三角函数的种类与项数尽量少；(3)次数尽量低．
2．证明三角恒等式的方法：(2)从复杂的一边入手，证明一边 等于另一边；(2)比较法，左边—右边＝0，左 右边 边＝1；(3)分析 法，即从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．
(1)【解析】cos4 α2－sin4 α2＝
cos2
α2－sin2
α2cos2
α2＋sin2
α2＝cos α.
【答案】cos α
(2)解：原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝
2sin
20°cos 20°cos 40°cos 2sin 20°
80°＝
2sin
40°cos 4sin
40°cos 20°
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
学习目标 1.能由两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(重点)． 2.灵活运用二倍角公式及其不同变形，能正用、逆用公 式，进一步体会化归思想的应用(重点、难点)．
知识提炼·梳理
三角函数
公式
简记
二倍角的正弦 sin 2α＝2sin αcos α S2α cos 2α＝cos2 α－sin2α＝
类型 3 化简与证明 典例 3 求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2A·cos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.
证明：(1)左边＝1＋cos（22A＋2B）＝1－cos（22A－2B）＝
cos（2A＋2B）＋2 cos（2A－2B）＝
1 2(cos°80°＝
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• 课堂练习2：
•
１、已知cosα=
-
4 5
，
2
＜α＜π，
求sin2α，cos2α，tan2α的值．
• 2 、化简 1、(sinα- cosα)2 2、cos4α-sin4α
• 解： • 1、原式 = sin2α-2sinαcosα+cos2α
=（sin2α+cos2α）-2sinαcosα =1-sin2α
提问：
对于cos2α= cos2α－ sin2α， 还有没有其他的形式？
• 利用公式sin2α+ cos2α=1变形可 得
• cos2α = cos2α－sin2α • =2cos2α－1 • =1－2sin2α
• 注意： • 1、在使用tan2α= 时，要保证分母不为零且
tanα有意义。
• 2、这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字等不可省去。
• 作业Ｐ１３５（1、2、3）
谢谢老师们光临指导 再见
，该如何求呢？今天我们就先来学习二 倍角的相关公式。
在上面的和角公式中，若令β=α，会得到怎样 的结果呢？
请同学们阅读课本132页——133页，并填写 课本中的空白框。
• 整理得:
• sin2α=2sinαcosα • cos2α= cos2α-sin2α • tan2α= 2tan
1 tan2
二倍角的正弦、余弦、正切公式，现在请一位 同学回答一下和角公式的内容：
• sin（α+β）= • cos（α+β）= • tan（α+β）=
• 计算三角函数值时，有些情况中，只用 加或减不能满足要求，比如，角α，我们 要求它的二倍，三倍，即2α，3α，等等
2、原式 =（cos2α+sin2α）（cos2α-sin2α） =cos2α-sin2α =cos2α
• 五、课堂小结
• 1、倍角公式
• sin2α=2sinαcosα
• cos2α = cos2α-sin2α
•
= 2cos2α-1 =1-2sin2α
• tan2α= 2tan
1 tan2
• 2、要注意倍角的相对性，及tan2α公式中 角α的取值范围（下次课探讨）
• 3、倍角的相对性：二倍角公式不仅限于 2α是α的二倍的形式，比如4α是2α的二倍 ；α是 的二倍等，这里蕴含着换元思想。
• 课堂练习１：
化简求值 1、2sin15°cos15°
2、 cos2
6
－
sin2
6
3、 tan22.50 1tan2 22.50
• 4、2cos2 －1
4
• 例5（课本上）