刚体力学基础
合集下载
刚体力学基础
mB
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学基础详解
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计 算飞轮的角加速。
rO T
解 (1) FrJ F r9 80.23.2 9rad 2 /s
J 0.5 (2) m gTma
F mg
TrJ ar
J
mgr mr2
两者区别
0.59 1 80 0.2 0.222.1 8rad 2 /s
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
3. 一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体
的一般运动。它可视为以下两种刚体的基
本运动的叠加：
随基点O（可任 选）的平动
FMac
绕通过基点O的瞬时 轴的定轴转动
质点运动
本章主要讨论
§5.2 刚体绕定轴转动运动学
z 组成刚体的各质点都绕同一直线 做圆周运动 _____ 刚体转动。
转轴固定不动 — 定轴转动
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比
M
在国际单位中 M J
刚体的转动定律 Mz J
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
推论
刚体对 z 轴 的转动惯量
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
dr
J0 m r2 d m 0 R2 R m 2r3 d rm 2R 2
O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
M
L
O
dx
x
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
J L/2x2dx1M2L
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
容易改变 不易改变
F
M
M r F
r
O r
F
M＝Fr sin
θ
3、力对转轴的力矩
力对O点的力矩在通过O点的轴上的 投影称为力对转轴的力矩
•情况1：力与轴平行，则M=0
•情况2：刚体所受的外力F
在垂直于转轴的平面内 力臂：转轴和力的作用线 之间的距离d称为力对转 轴的力臂。 力矩：力的大小与力臂的 乘积，称为力F对转轴的 力矩。M=Fd
角加速度β
转动平面
o
r
·
p
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。
角加速度
角速度 角位移 角位置
四、角量与线量的关系
＝const ＝0 t 1 2 ＝0 t t 2 1 2 ＝ 0＋0 t t 2
－0
t
10 15 1rad/s 2 5
(2) 利用公式
2 02 102 152 0 62.5rad 2 2 (1)
5秒内转过的圈数
0 10rad/s 0 0 t
0 10 10s 1
0 62 .5 N 10圈。 2 2 3.14
2、转动
刚体中所有的点都绕同一 条直线作圆周运动，这种 运动称为转动。这条直线 叫作转轴。
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
z ω ,α v
r P θ
定轴转动的特点：
•各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。
r 向参 刚体 O× 考 方 定轴
3、刚体的一般运动
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 运动都不相同
C
A
B
o
B A C A A C
C
o
B
o
B
B C
o o轮子的平动
刚体的运动＝平动＋转动 o
绕过o 轴的转动
A
二、定轴转动的描述
角位置θ 角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘 与桌面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速 度ω0旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支 持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为dr，整个圆环所受摩 擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点 所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向 为正方向，则整个圆环所受的力矩为
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动， 转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律
例１、一个质量为M、半径为R 的定滑轮
上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 定轴O 轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的 速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
例4、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯 R 量 在球面取一圆环带，半径
r R sin
R sin d
m dm 2 rRd 2 4R
J r dm
2
2 mR 2 sin 3 d
0
2
2 mR 2 3
4、几种刚体的转动惯量
•垂直于杆的轴通过杆的中心 • 杆的端点 •对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
说明：
1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是 解决刚体定轴转动问题的基本方程。
三、刚体定轴转动的转动定律的应用 题目类型
已知两个物理量，求另一个： 1.已知J和M，求 2.已知J和，求M 3.已知M和，求J
解题步骤
1.确定研究对象； 2.受力分析； 3.选择参考系与坐标系； 4.列运动方程； 5.解方程； 6.必要时进行讨论。
d d d d dt d dt d
d d
O
xc
X
3g cosd d mg 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3 g sin 3g 1 2 si n 2l 2 l
例3(4-15)匀质圆盘的质量为m，半径为R，在
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变 的质点系。
3－1 刚体运动的描述
一、刚体运动
1、平动
平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做 平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上 任何一点的运动来代表整体的运动。
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线时， 刚体的运动叫作平动。
3－2 转动动能 与 转动惯量
一、转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动 质元——Δmi，距转轴—— ri，速度为——vi=riω 动能为
1 1 2 2 2 E ki m i v i m i ri 2 2
整个刚体的动能就是各个质元的动能之和
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
B X B X o
A
Jc
J d
J＝JC＋m d 2。
说明： 1)通过质心的轴线的转动惯量最小； 2)平行轴定理可以用来计算刚体的转 动惯量。 c
o
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动
R
0 t
当圆盘停止转动时，ω=0，则得
3R0 t 4g
0
小结
转动惯量
i i 刚体的概念 i 2 J r dm 刚体的平动和转动 刚体转动的角速度和角加速度 几种刚体的转动惯量
J＝ m r
2
d ＝lim dt t 0 t
F2
二、转动定律
1、一个质点的情况
Fn=man，通过转轴，力矩为零 切向力 Fτ=maτ=mrβ 对转轴的力矩为 M= Fτr= mr2β
法向力
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。
d
f
f’
3、刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i，假设它的质 量为△mi，所受的外力为Fi， 内力为f i，则 2 i i i
东华理工大学教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件
大学物理学电子教案
刚体的转动(1)
3-1 刚体运动的描述 3-2 转动动能 与 转动惯量 3-3 刚体定轴转动定律
第三章
刚体的定轴转动
引言
物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两 点之间的距离都保持不变——刚体。
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变 ；
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O 的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，重力矩为：
xc
O
X
mg 1 M mgxC M mgl cos 2 1 xc l cos 1 2 m glcos M 2 3g cos
J 1 2 ml 3 2l
再求角速度
dM grdm
r2 dM 2mg 2 dr R
m 2mrdr dm dS 2rdr 2 R R2
整个圆盘所受的力矩为
r2 2 M 2mg 2 dr mgR R 3 0 2 根据转动定律，得 m gR M 4g 3 1 J 3 R 2 mR 2
•垂直于杆的轴通过杆的中
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
力矩
M r F
M J
心 J=M l 2/12 •垂直于杆的轴通过杆的端 点 J=M l 2/3 •对通过盘心垂直盘面的转 轴 J=MR 2/2
o r d F
情况3：
若力F不在垂直于转轴的平面内 与转轴平行的分力F1， 在垂直于转轴平面内的分力F2 只有分力F2才对刚体的转动状态有影 响。
z
F
F1
F2
o
4、合力矩
M ri Fi
M＝ Mi
结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。 5、单位 N· m
Fn
p
r
P
F1
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R )
1 2 2 2 2 J m L L mo R mo ( L R ) 3 5
3－3 刚体定轴转动定律
一、力矩
1、引入
外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的 位置有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 •力离转轴远： •力离转轴近： 2、力对点的力矩
M ＝m r
i
其中Mi为外力矩和内力矩之和。
M ＝ m r
m r
2 i i
2
i i
2
合力矩＝外力矩之和＋内力矩之和=外力矩之和=M
＝ mi ri
F
M
M r F
r
O r
F
M＝Fr sin
θ
3、力对转轴的力矩
力对O点的力矩在通过O点的轴上的 投影称为力对转轴的力矩
•情况1：力与轴平行，则M=0
•情况2：刚体所受的外力F
在垂直于转轴的平面内 力臂：转轴和力的作用线 之间的距离d称为力对转 轴的力臂。 力矩：力的大小与力臂的 乘积，称为力F对转轴的 力矩。M=Fd
角加速度β
转动平面
o
r
·
p
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
三、匀变速转动
当刚体定轴转动时，如果在任意相等的时间间隔内，角速度 的增量都是相等的，这种变速转动叫做匀变速转动。
角加速度
角速度 角位移 角位置
四、角量与线量的关系
＝const ＝0 t 1 2 ＝0 t t 2 1 2 ＝ 0＋0 t t 2
－0
t
10 15 1rad/s 2 5
(2) 利用公式
2 02 102 152 0 62.5rad 2 2 (1)
5秒内转过的圈数
0 10rad/s 0 0 t
0 10 10s 1
0 62 .5 N 10圈。 2 2 3.14
2、转动
刚体中所有的点都绕同一 条直线作圆周运动，这种 运动称为转动。这条直线 叫作转轴。
瞬时转轴：
转轴随时间变化 —— 一般转动 固定转轴： 转轴不随时间变化—— 刚体定轴转动
z ω ,α v
r P θ
定轴转动的特点：
•各质点都作圆周运动； •各质点圆周运动的平面垂直于轴线， 圆心在轴线上； •各质点的矢径在相同的时间内转过的 角度相同。
r 向参 刚体 O× 考 方 定轴
3、刚体的一般运动
一个汽车轮子在地 上的滚动 A、B、C、…各点的 运动都不相同
C
A
B
o
B A C A A C
C
o
B
o
B
B C
o o轮子的平动
刚体的运动＝平动＋转动 o
绕过o 轴的转动
A
二、定轴转动的描述
角位置θ 角速度ω
d ＝lim dt t 0 t
水平桌面上绕其中心旋转，如图所示。设圆盘 与桌面之间的摩擦系数为μ，求圆盘从以角速 度ω0旋转到静止需要多少时间？ 解：以圆盘为研究对象，它受重力、桌面的支 持力和摩擦力，前两个力对中心轴的力矩为零。 在圆盘上任取一个细圆环，半径为r，宽度为dr，整个圆环所受摩 擦力矩等于圆环上各质点所受摩擦力矩之和。由于圆环上各个质点 所受摩擦力矩的力臂都相等，力矩的方向都相同，若取ω0的方向 为正方向，则整个圆环所受的力矩为
注意以下几点：
1.力矩与转动惯量必须对同一转轴而言的； 2.要选定转轴的正方向，以便确定已知力矩或角加速度、角 速度的正负； 3. 系统中有转动和平动， 转动物体——转动定律 平动物体——牛顿定律
例１、一个质量为M、半径为R 的定滑轮
上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上， 另一端挂一质量为m 的物体而下垂。忽略 定轴O 轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的 速度和此时滑轮的角速度。 · m t R 绳 v0=0 h
例4、质量为m 半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯 R 量 在球面取一圆环带，半径
r R sin
R sin d
m dm 2 rRd 2 4R
J r dm
2
2 mR 2 sin 3 d
0
2
2 mR 2 3
4、几种刚体的转动惯量
•垂直于杆的轴通过杆的中心 • 杆的端点 •对通过盘心垂直盘面的转轴 J=M l 2/12 J=M l 2/3 J=MR 2/2
说明：
1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的； 2)转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当，是 解决刚体定轴转动问题的基本方程。
三、刚体定轴转动的转动定律的应用 题目类型
已知两个物理量，求另一个： 1.已知J和M，求 2.已知J和，求M 3.已知M和，求J
解题步骤
1.确定研究对象； 2.受力分析； 3.选择参考系与坐标系； 4.列运动方程； 5.解方程； 6.必要时进行讨论。
d d d d dt d dt d
d d
O
xc
X
3g cosd d mg 2l 3g 0 2l cosd 0 d 3 g sin 3g 1 2 si n 2l 2 l
例3(4-15)匀质圆盘的质量为m，半径为R，在
3)刚体可以看成是无数质点组成的质点系 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距离保持不变 的质点系。
3－1 刚体运动的描述
一、刚体运动
1、平动
平动是刚体的一种基本运动形式，刚体做 平动时，刚体上所有点运动都相同，可用其上 任何一点的运动来代表整体的运动。
当刚体中所有点的运动轨迹都 保持完全相同时，或者说刚体 内任意两点间的连线总是平行 于它们的初始位置间的连线时， 刚体的运动叫作平动。
3－2 转动动能 与 转动惯量
一、转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动 质元——Δmi，距转轴—— ri，速度为——vi=riω 动能为
1 1 2 2 2 E ki m i v i m i ri 2 2
整个刚体的动能就是各个质元的动能之和
1 1 2 2 E k＝ E ki mi ri ＝ 2 2
B X B X o
A
Jc
J d
J＝JC＋m d 2。
说明： 1)通过质心的轴线的转动惯量最小； 2)平行轴定理可以用来计算刚体的转 动惯量。 c
o
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
角加速度为常量，且与ω0的方向相反，表明圆盘作匀减速转动
R
0 t
当圆盘停止转动时，ω=0，则得
3R0 t 4g
0
小结
转动惯量
i i 刚体的概念 i 2 J r dm 刚体的平动和转动 刚体转动的角速度和角加速度 几种刚体的转动惯量
J＝ m r
2
d ＝lim dt t 0 t
F2
二、转动定律
1、一个质点的情况
Fn=man，通过转轴，力矩为零 切向力 Fτ=maτ=mrβ 对转轴的力矩为 M= Fτr= mr2β
法向力
质点的角加速度与质点所受的力矩成正比 2、内力矩 两个内力的合力矩为零。 推广：刚体的内力力矩之和为零。
d
f
f’
3、刚体的情况
把刚体看成是由许多质点所组 成的，对于质点i，假设它的质 量为△mi，所受的外力为Fi， 内力为f i，则 2 i i i
东华理工大学教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ件
大学物理学电子教案
刚体的转动(1)
3-1 刚体运动的描述 3-2 转动动能 与 转动惯量 3-3 刚体定轴转动定律
第三章
刚体的定轴转动
引言
物体的形状和大小不发生变化，即物体内任意两 点之间的距离都保持不变——刚体。
说明 1) 理想化的力学模型； 2) 任何两点之间的距离在运动过程中保持不变 ；
解：棒下摆为加速过程，外 力矩为重力对O 的力矩。 棒 上取质元dm,当棒处在下摆 角时，重力矩为：
xc
O
X
mg 1 M mgxC M mgl cos 2 1 xc l cos 1 2 m glcos M 2 3g cos
J 1 2 ml 3 2l
再求角速度
dM grdm
r2 dM 2mg 2 dr R
m 2mrdr dm dS 2rdr 2 R R2
整个圆盘所受的力矩为
r2 2 M 2mg 2 dr mgR R 3 0 2 根据转动定律，得 m gR M 4g 3 1 J 3 R 2 mR 2
•垂直于杆的轴通过杆的中
＝lim
t 0
d d 2 2 t dt dt
力矩
M r F
M J
心 J=M l 2/12 •垂直于杆的轴通过杆的端 点 J=M l 2/3 •对通过盘心垂直盘面的转 轴 J=MR 2/2
o r d F
情况3：
若力F不在垂直于转轴的平面内 与转轴平行的分力F1， 在垂直于转轴平面内的分力F2 只有分力F2才对刚体的转动状态有影 响。
z
F
F1
F2
o
4、合力矩
M ri Fi
M＝ Mi
结论：合力矩等于每个分力的力矩之和。 5、单位 N· m
Fn
p
r
P
F1
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R )
1 2 2 2 2 J m L L mo R mo ( L R ) 3 5
3－3 刚体定轴转动定律
一、力矩
1、引入
外力对刚体转动的影响，与力的大小、方向和作用点的 位置有关。
•力通过转轴：转动状态不改变 •力离转轴远： •力离转轴近： 2、力对点的力矩
M ＝m r
i
其中Mi为外力矩和内力矩之和。
M ＝ m r
m r
2 i i
2
i i
2
合力矩＝外力矩之和＋内力矩之和=外力矩之和=M
＝ mi ri