小波变换去噪论文

摘要

小波变换归属于数学领域的调和函数的范畴，是调和分析几十年来的一个突破性进展，并且在很多科技领域内得到了广泛应用。本文旨在探讨小波变换理论，并结合专业中的地震信号去噪展开研究。

论文以小波变换为核心，首先介绍了论文研究的目的、意义及主要研究内容，由此引出了小波变换理论，并对其原理做了详细阐述。这不仅包括连续小波，离散小波，多分辨率分析方法还包括与传统傅氏变换等的对比，从而在理论上明确其性能特点的优越性。本文选定了小波阈值去噪方法。由此结合给定的信号应用matlab 进行处理，并通过对比处理结果为本文后面的处理工作选定合适的参数。从所做例子来看，小波阈值处理达到了很好的去噪效果。论文应用matlab 模拟微地震信号，结合小波阈值去噪方法对微地震信号进行了处理。在文中给出了信号的原始模拟信号，加噪信号及处理后的效果图，从图中可以看出，小波阈值去噪完成了模拟微地震信号的去噪处理。另外，对实际的微地震资料进行了试处理，达到了去噪的目的。

关键词：小波变换；去噪；微地震；分解；重构

ABSTRACT

The wavelet transform attributables to the mathematical field of harmonic function areas, it’s a breakthrough progress, and in many areas of science and technology has been widely used. This study aims to explore wavelet transform theory, and the combination of professional study of seismic signal de-noising.

Papers to wavelet transform at the core, first of all, on paper the purpose of thestudy, the significance and major research content, which leads to the wavelettransform theory, and its principles expounded in detail.This includes not only thecontinuous wavelet, wavelet, multire solution analysis methods include traditional Fourier transform contrast, in theory, clear the superiority of its performance characteristics. The paper selected through comparative study of wavelet de-noising threshold method.This combination of a given signal processing applications matlab,and by comparing the results of this paper to the back of the appropriate handling of the selected parameters. From doing example, wavelet thresholding to deal with a very good de-noising effect. Papers matlab simulated micro-seismic signal applications, wavelet de-noising threshold with this method micro-seismic signal processing. In this paper the original analog signal, the signal plus noise and the effects of treatment plans, as can be seen from Fig, wavelet de-noising threshold completed micro-seismic signal de-noising analog processing.

Key words: wavelet；de-noising；micro-seismic；decompose；compose

目录

第 1 章前言 (1)

1.1 小波分析的发展状况 (1)

1.2 小波分析的应用研究 (2)

1.3 本文主要研究内容及成果 (3)

第 2 章微地震监测原理及信号特征 (4)

2.1 微地震监测原理 (4)

2.1.1 裂缝尖端效应和漏泄效应 (5)

2.1.2 混合破裂机制 (5)

2.2 微地震信号的特征 (6)

2.2.1 微地震的波场 (6)

2.2.2 微地震信号的频谱 (7)

2.2.3 微震的强度 (7)

第 3 章小波变换基本理论 (8)

3.1 傅里叶变换 (8)

3.2 小波变换原理 (10)

3.2.1 连续小波变换的定义 (10)

3.2.2 小波变换的条件 (11)

3.2.3 时频的分析窗口 (12)

3.2.4 连续小波变换的逆变换公式 (13)

3.3 离散小波变换 (14)

第 4 章基于小波的阈值去噪方法 (16)

4.1 小波阈值去噪的主要理论依据 (16)

4.2 小波阈值处理方法 (17)

4.3 小波阈值去噪方法的具体步骤 (17)

4.4 matlab小波变换的相关函数 (19)

第 5 章模拟微地震信号以及实际信号小波去噪 (22)

5.1 模拟微地震信号去噪 (22)

5.2 实际微地震数据处理 (25)

5.3 总结 (28)

第 6 章结论 (30)

致谢 (31)

参考文献 (32)

第 1 章前言

1.1 小波分析的发展状况

小波变换归属于数学领域的调和函数的范畴，是调和分析几十年来的一个突破性进展，并且在信号处理、图像处理、量子场论、地震勘探、重磁勘探、语音识别与合成、雷达、CT 成像、天体识别、机器视觉和机械故障诊断与监控、分形以及数字电视等科技领域内得到了广泛应用。它保留了Fourier 分析的优点，又弥补了Fourier 分析不能进行多尺度分析的不足，它不仅提供频率域的信息，而且可以进行精细的时频分析。它被认为是近年来在工具及方法上的重大突破。Meyer 认为，小波分析思想萌芽于1930 年至1980 年。20 世纪六十年代，由于工业发展的需要，寻找地下石油成为法国的重大项目。地下找油的地球物理方法是向地下打炮或发射脉冲波，通过反射的信号分析来描述地下岩石油层分布。由于地下结构的复杂性，回收的反射信号也就十分复杂，如何从这些反射中提取有用的石油信息是当时无法解决的难题（陈玉东，2006）。

于是在1981 年，法国物理学家Morlet仔细研究了Gabor 变换方法，对Fourier 变换与加窗Fourier 变换的异同、特点及函数构造做了创造性的研究，首次提出了“小波变换”的概念，建立以他的名字命名的Morlet 小波并将其应用于信号处理。因此，小波分析（Wavelet analysis）这一概念是法国地球物理学家Morlet 于1981年在分析地震数据时基于群论首先提出来的，Morlet 最初提出的是形状不变的小波（Wavelet of constant shape），因为在分析函数（信号）时，加窗傅氏变换并不具有形状不变性。Morlet 方法所取得的数值分析的成功激发Morlet 本人、法国理论物理学家Grossmann、法国数学家Meyer 等人对小波分析进行深入研究。如图1-1 所示为窗口Fourier 分析和Morlet 小波。数学家Meyer 凭借自己深厚的数学功底对Morlet 方法进行了系统性的研究。1985 年，Meyer 在一维情况下，证明了小波函数的存在性，并与人合作，选择连续小波中的一个离散子集，由它构成n 维空间上平方可积的准完备正交集，接着Meyer 发现由一个对称小构成的正交基。1986 年，Meyer 与Mallat 合作，引进了多分辨率分析的概念，它的计算方法给出了建立正交小波基的一般方法，导致快速小波算法的实现，并找到了很多正交小波基。将相应的Mallat 算法有效的应用于图像分解与重构。与此同时，1988 年，Daubechies 构造了具有有限紧支集的正交小波——Daubechies 小波。Daubechies 小波不能用解析公式给出，只能通过迭代方法产生，是迭代过程的极限。正是在Morlet，Grossmann，Mallat，Daubechies 等人的工作和共同努力下，初步建立

了小波分析的基本理论。国外对于小波变换大规模的研究与应用已经有20 多年的经验，我国则是从上世纪90 年代初开始对小波进行相关研究及应用。近10 多年来国内在小波应用方面取得了很大的成绩并独立研发了小波分析处理软件（薛年喜，2003）。

图1-1 窗口傅氏变换与小波变换

1.2 小波分析的应用研究

近20年小波在理论分析及实际应用上得到了蓬勃的发展。它涉及面之广、影响之深、发展之迅速都是空前的。小波分析是公认的信号信息获取与处理领域的高新技术。信号与图像处理已经成为当代科学技术工作上的重要部分，其目的是：准确的分析与诊断、编码压缩与量化、快速传递或存储、精确重构等。从数学上讲，实值函数、光滑的复值函数，比如解析函数及调和函数都是十分重要的函数类，它们的理论和应用研究都比较完善。相对而言，带奇异性的函数从理论上讲发展较慢，应用方面远远没有光滑函数那么深入。在实际应用中的绝大多数信号是非平稳的，而带有奇异性的或者不规则的结构往往是信号中最重要的部分。在图像中，亮度的不连续性往往提供了某一图像的边缘，这恰恰是认识图像最有意义的部分。在很多分析信号中，如CT 图像、心电图、雷达信号等，人们关注的瞬间现象，如信号的波峰的出现等。过去常常用傅立叶变换来分析这些奇异性，但由于傅立叶变换是全局性的，它可以描述信号的全面的整体性质，但不适合于寻找奇异性的分布及奇异点的位置所在和奇异程度。而小波变换特别适于分析处理非平稳信号。因此，小波分析的应用十分广泛，在数学方面，它已应用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪、压缩、传递等。在图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断等。医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间、提高分辨率等。另外，在量子力学、理论物理、光学；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面均得到广泛应用。小波分析，无论

是作为数学理论上的连续小波变换，还是作为技术工具和方法的离散小波变换，仍处于发展和完善阶段（田国华，2005）。

1.3 本文主要研究内容及成果

本文从理论上研究了小波原理及其在信号处理方面的应用，针对微地震资料去噪，分别做了理论及模拟微地震资料的验证。从而证实小波分析作为数学领域内调和分析的研究结晶的优越性。具体内容安排如下:

第一章：本章作为绪论首先简明论述了小波分析的发展历程；概述了小波分析在各个领域中的应用研究；评价了用小波分析作为微地震信号去噪的优越性，从而表明了我们研究工作的目的和意义，以及研究的必要性和先进性；最后介绍了全文的结构内容安排。

第二章：本章主要阐述微地震信号的特点，介绍微地震检测的基本原理，为更好的处理微地震信号做准备。

第三章：本章阐述了小波理论，给出了连续小波变换方法、离散小波变换方法，并结合实例给予了详细介绍。

第四章：本章主要讨论小波阈值去噪方法，并借助Matlab实现简单信号的去噪。

第五章：本章利用Matlab 模拟实际勘探资料去噪处理，并给出相关实例加以说明。在此基础上，将实际地震资料导入到Matlab中做去噪处理。

第六章：总结本文所做工作，并对论文所取得的成果做了概要叙述。

第 2 章微地震监测原理及信号特征

微震监测(microseismic monitoring或microearthquake monitoring)，或叫无源地震(passiveseismics或sourceless seismics)，有时也称三轴地震法(triaxial seismic method)或声发射(acoustic emission)法，指的是利用水力压裂、油气采出，或常规注水、注气，以及热驱等石油工程作业时引起地下应力场变化，导致岩层裂缝或错断所产生的地震波，进行水力压裂裂缝作图，或对储层流体运动进行监测的方法。“无源地震”这一称谓似乎悖理，实际上这一名词是要强调所用的地震波不是常规地震法中人工专门激发的地震波，而是石油工程作业诱生的地震波。因这种地震是很微弱的，故多称之为“微震”。广义讲石油业界力图利用的微震也包括天然地震中的微小地震，但不包括地面上人类各种活动及风吹草动等各种扰动引起的微震，像常规地震法一样，这些扰动是被当作噪音处理的。在对实际监测到的微地震信号进行处理前，有必要对微地震的发震机理以及微地震信号的特征进行探讨一下，以便更好的进行处理。

2.1 微地震监测原理

水力压裂时，大量高粘度高压流体被注入储层，这样使孔隙流体压力迅速提高。一般认为高孔隙压力会以两种方式引起岩石破坏。第一，高孔隙流体压力使有效围应力降低，直至岩石抵抗不住被施加的构造应力，导致剪切裂缝产生；第二，如果孔隙流体压力超过最小围应力与整个岩石抗张强度之和，则岩石便会形成张性裂缝。水力压裂作业初期，由于大量的超过地层吸收能力的高压流体泵入井中，在井底附近逐渐形成很高压力，其值超过岩石围应力与抗张强度之和，便在地层中形成张性裂缝。随后，带有支撑剂的高压流体挤入裂缝，使裂缝向地层深处延伸，同时加高变宽。这种加压的张开的裂缝，在它周围的高孔隙压力区引起剪切破裂。岩石破裂时发出地震波。这时储存在岩石中的能量以波的形式释放出来。容易理解，由于岩石这种破裂规模有限，释放出的能量很小，这种地震波是很微弱的，震级在0 级以下。

尽管石油业界在20世纪70 年代初已实际记录到水力压裂诱生微震，而从理论上证明水力压裂可诱发微震是在80年代初。C．Pearson(1981)利用简单裂缝滑动模型计算了岩石产生破裂必需的最小孔隙压力增长，利用微震源分布的一维扩散模型计算了孔隙压力分布，并对这种分布进行比较，结果证明，高孔隙压力是能够产生这些微震的。20 世纪80 年代后期以来，特别是近10 年来，随着微震观测装备和方法的进步，微震记录质量越来越高，使人们有可能对水力压裂诱生微震的研究更加深入。人们不仅可以研

究波至时间和极化特征，还深入研究了微震的波形、频谱、能量等，进而计算和分析了地震矩、震级、地震能量、应力降等震源参数，探讨震源机制。目前，关于这类诱生微震的震源机制仍众说纷坛，没有统一看法，下面谈的是其中几种重要的震源机制理论。

2.1.1裂缝尖端效应和漏泄效应

根据现场试验的大量证据，大多数研究者认为水力压裂诱生微震是因水力压裂裂缝附近岩石的剪切破裂引起的。岩石中总是存在岩层层面或节理，以及微小的天然裂隙，或其它低强度的构造，水力压裂诱生了沿这些薄弱构造的剪切破裂，激发出地震波。(1)裂缝尖端效应

根据Westergaard和Sneddon的二维及放射状裂缝周围应力的解析解，可以知道水力压裂时因孔隙压力的增大，在裂缝尖端附近剪应力明显增大，并在裂缝尖端前引发一个向外的张应力，因而降低了任意滑动面上的正应力P。这样，在裂缝尖端附近区域引起剪切破裂，并发出诱生微震，这就是裂缝尖端效应。

(2)漏泄效应

随水力压裂裂缝里的高压流体压力升高，孔隙流体压力值升高，漏泄到岩石天然裂隙、节理等薄弱构造里，引起剪切滑动，发出微震信号，这就是漏泄的微震效应。漏泄诱生微震活动区沿整个水力压裂裂缝分布，具有一定长度，并随漏泄扰动向地层中扩散而变宽。就诱生剪切滑动来讲，漏泄效应比尖端效应更有效。

2.1.2 混合破裂机制

现在尽管大多数人认为水力压裂诱生微震是由剪切破裂所致，但仍有一些学者认为岩石的拉张破裂在诱生微震中发挥了重要作用。Withers等(1996)认为，未裂开岩石的拉张破裂是水力压裂主裂缝产生期间出现的；当保持流体不漏泄，将注入流体带来的能量储存在系统里，直到再次拉张破裂，注入井附近的地震活动是对岩石扩张破裂的补偿作用。或因主裂缝网络分叉，在较大裂缝长度上，剪切破裂开始发生，随裂缝发展，地震活动也向前移动。

水力压裂诱发微震是大量的，有时达每小时数百次，虽然震源机制众说不一，但有一点是相同的，就是这些微震发生在包围着水力压裂裂缝面的相对较窄的区域内。因此，测定微震源空间分布区，即确定了裂缝的方位和几何形态，包括裂缝的长度、高度、宽度、倾向和倾角。图2-1是微地震监测原理示意图，微地震信号一般在井中用有限个三分量检波器接收，这可以避免地面上的风吹草动以及人的活动带来的噪音干扰的影响；但另一方面，检波器在井中下放的过程中，会导致各个检波器的水平分量的方位不一致，

造成各个检波器两个水平分量上接收到的微地震信号差异很大；同时，微地震波在地下传播的过程中，也会由于地层的吸收作用，各道的能量会有规律的衰减。

图2-1 微地震检测原理示意图（宋维琪等，2008）

2.2 微地震信号的特征

为了准确反演微地震源的位置，微地震资料的波场分离是至关重要的，那么要实现这个过程，就必须先熟悉微地震多分量资料的特征。

2.2.1 微地震的波场

井中观测到的微地震波型有体波（包括P 波和S 波两种）和导波两类。体波包括直达波、反射波、折射波，以及沿套管滑行的套管折射波等。其中最重要的是直达波，即从震源直接传播到检波器（包括穿过若干地层分界面后传播到检波器）被接收到的微地震，它在记录到的微地震总数中占绝大多数。其特点是：在三分量检波器记录上，每个分量上P 波和S 波成对出现，并且三个分量上的P 波波至时间和S 波波至时间分别相同。微地震反射波是指震源发出的波先传播到地层分界面（或其它反射界面）上，经反射再传到井中检波器被记录下来的微地震。微地震折射波是在地层中存在地震折射界面时，震源发出的波以临界角入射到折射界面，产生折射波被井中检波器记录下来的微地震。这里说的套管折射波是因套管中P 波（或S 波）的波速通常明显高于地层中波速，当震源发出的波以临界角入射到套管上时，产生沿套管滑行的波，有的文献称为套管折射波（Sarda 等，1988）。导波是地震能量被封闭在特殊地层中形成的一种特殊波型。在向地层中注水诱发微地震时，当震源和观测点都位于低速波导层（裂缝带）时便可形成并记录到导波。

图2-2 实测水力压裂诱发的微地震，依次为检波器Z,X,Y分量记录（宋维琪等，2008）

2.2.2 微地震信号的频谱

水力压裂诱发微地震的频谱，各文献说法不一。早期现场实验研究成果里，大多认为微地震频带在100~400Hz（Murphy 等，1986；Sorrells 等，1986）。后来人们认识到诱发微地震是高频的，频率成分高于500Hz（Schemeta 等，1994）。有的文献指出，微地震频率成分通常超过1000Hz，有时达到1500Hz（Stewart 等，1992）。Sleefe 等（1993）研究了1992 年10 月美国Sanda 国家实验室在Colorado 现场实验的资料，当时使用作了一系列针对性改进的加速度检波器记录诱发微地震，发现其频带约为100~1500Hz。

2.2.3 微震的强度

水力压裂诱发的微震是很微弱的，这里谈到的强度是指目前技术水平下可以记录并有足够信噪比的诱发微震。它的强度按震级讲在0级以下，一般在-4～-2级间(Pearson，1981),单个微震释放出的能量约在0.1～100J之间。不言而喻，微震强度与水力压裂施工时的技术参数，如注入流体速率、压力、体积有关及与地层性质有关。因此不同研究者

记录到的微震强度存在差异（宋维琪等，2008）。

第3章 小波变换基本理论

小波理论是一门发展相当迅速的新兴学科，一开始就引起众多数学家和工程界人士的高度重视。经过十多年的发展，其数学理论己经基本成熟，并在许多其它学科得到了广泛的应用。本章主要讨论小波分析的基本理论，首先介绍傅里叶变换与小波变换的基本概念以及二者的区别和联系:接下来分析了小波基的数学特性，包括正交性，正则性，消失矩，紧支性以及对称性等，讨论了这些性质之间的相互关联和制约关系，给出了每一性质对实际应用所产生的影响，并从信号处理的角度出发，给出选择小波基时应偏重的一些特性;然后介绍了连续小波变换、离散小波变换和二进小波变换，并给出离散二进小波变换的快速分解与重构算法;最后介绍了多分辨分析和一维Mallat 算法（蒋录全，1995）。

3.1傅里叶变换

小波变换最初是为了克服Fourier 变换的不足而提出来的。傅里叶分析是信号处理中的经典技术，是处理平稳信号最常用也是最主要的方法。从适用的观点看，人们通常所说的傅里叶分析是指傅里叶变换和傅里叶级数。

函数2()()f x L R ∈ [表示平方可积的空间，即能量有限的信号空间]的连续傅里叶变换定义为

()()i x f f x e dx ωω∧+∞--∞=?

(3-1) 其逆变换定义为

1()()2i x f x f e d ωωωπ∧

+∞-∞=? (3-2)

傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(x)这个信号波形分解成许多不同频率的正弦波的迭加和，这样就是把对f(x)的研究转化为对其权系数，即其傅里叶变换()f ω∧的研究。从式(3-1)可以看出傅里叶变换中的标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，应此它在频域内具有局部化性质。

图3-1显示了一个由多个频率正弦波叠加构成的信号经过傅里叶变换后在频域的特性。从图中可以看出，虽然傅里叶变换能分别从时域和频域对信号的特征进行刻画，但却不能将两者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息;同样，其傅里叶谱是信号的统计特征，是整个时域内的积分，完全不具备时域信息。也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不知道该频率是在什么时候产生的，而实际信号往往是时

变信号，非平稳过程，了解它们的时间与频率的局部特征常常是很重要的。而且，因为一个信号的频率与其周期长度成正比，那么对于高频信息，时间间隔要相对小以给出比较好的精度，而对于低频信息，时间间隔要相对宽以保持信息的完整，这就是小波变换的根本出发点。

傅里叶变换不具备空间域(或时间域)的局部性，其根本原因在于它的基函数族{}i x e ω不具备紧支集，即i x e ω不在某个有限的区间外恒等于零，因此要想从()f ω∧来研究信号

()f x 的局部特征是困难的，因为信号()f x 的局部特征完全在其谱系数()f ω∧

中铺展开了。当然傅里叶变换并未损失关于()f x 的信息，只不过是把它分散在系数()f ω∧中去了。

图3-1 正弦波叠加信号的傅立叶变换(陈玉东,2006)

为了克服傅里叶分析不能做局部分析的弱点， Dennis Gaber 于1946引入了窗口傅里叶变换，他的做法是用一个有限窗宽的光滑函数去乘所要研究的对象，然后对它做傅里叶变换

(,)()()i x Gf b f x g x b e dx ωω+∞

--∞=-? （3-3）

从这里可以看到，这种变换确实能做局部性研究。然而虽然窗口能随位置参数b 变化而移动，但其窗口函数()g x 不变，其窗口的大小，形状与研究对象()f x 的局部特征无关，即当窗口函数()g x 确定后，b 、ω只能改变窗口的形状，这样窗口傅里叶变换实质上是具有单一分辨率的分析。而要改变分辨率，则必须重新选择窗函数()g x ，若选择的()g x 窄(即时间分辨率高)，则频率分辨率低;而如果为了提高频率分辨率使()g x 变宽，伪平稳假设的近似程度便会变差。因此，联合的时频分辨率是有限制的，存在着基本的折中，即为取得好的时间分辨率(使用短的时间窗)而牺牲频率分辨率，反之亦然。

窗口傅里叶变换的时频特性可以从图2-2看出，它把时域和频域分解为大小相等的小窗口，对信号的任何部分都采用相同的时间和频率分辨率。

图3-2 数字信号的短时傅里叶变换(陈玉东,2006)

可以证明，不论采用任何函数作为窗函数，其时间窗和频率窗宽度的乘积最小都是2，这就是著名的测不准原理，这个定理告诉我们，不可能在时间和频率两个空间同时以任意精度逼近被测信号。因此窗口傅里叶变换用来分析平稳信号犹可，但对于地震信号这类非平稳信号而言，在信号变化剧烈时刻，必然对应于含有迅速变化的高频分量，要求较高的时间分辨率，而在变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求较高的频率分辨率。窗口傅里叶变换不能兼顾两者，暴露出它的不足。而小波变换是一种窗口大小可变而且形状可变，即时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。小波变换可以根据需要选取时间或者频率的精度，一般说来，在低频部分，信号比较平缓，我们不必太关心信号随时间的变化，而也就是在这个部分，所含的频率成分很多，所以我们可以降低时间分辨率来提高频率分辨率。而在高频部分，高频成分本身就包含了很多瞬态变化的特征，而在高频部分，相对的频率的改变量对信号的影响不大，我们就可以在较高的时间分辨率下关注信号的瞬态特征，而降低频率分辨率。即在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，在低频部分具有较低的时间分辨率和较高的频率分辨率，因此小波分析被誉为数学显微镜，正是这种特性，使它具有对信号的自适应性，因而越来越广泛的被应用于工程实际。

3.2 小波变换原理

3.2.1 连续小波变换的定义

连续小波变换 CWT （Continuous Wavelet Transform ）也称积分小波变换 IWT （Integral Wavelet Transform ），定义为

12()(,)()()t b CWT f a b a f t dt a

ψψ+∞

--∞-=?? （3-4） 其中系列函数

12,()()a b t b t a a

ψψ--= ,;0a b R a ∈≠ （3-5）

称为小波函数（Wavelet Function ）或简称小波（Wavelet ），它是由函数()t ψ经过不同的时间尺度伸缩（Time Scale Dilation ）和不同的时间平移（TimeTranslation ）得到的。因此，()t ψ是小波原型（Wavelet Prototype ），并称为母小波（MotherWavelet ）或基本小波（Basic Wavelet ）。

a 是时间轴尺度伸缩参数，

b 是时间平移参数，系数12a -是归一化因子，它的引入是为了让不同尺度的小波能保持相等的能量。显然，若 1a >，则()t ψ在时间轴上被拉宽且振幅被压低，,()a b t ψ含有表现低频量的特征；若 1a <，则()t ψ在时间轴上被压窄且振幅被拉高，,()a b t ψ含有表现高频量的特征。而不同的b 值表明小波沿时间轴移动到不同的位置上。

如果把小波,()a b t ψ看成是宽度随a 改变、位置随b 变动的时域窗，那么，连续小波变换可以被看成是连续变化的一组短时傅氏变换的集合，这些短时傅氏变换对不同的信号频率使用了宽度不同的窗函数，具体来说，即高频用窄时域窗，低频用宽时域窗。类似于3-2-1式，可将3-2-2写成

,,()(,)()(),a b a b CWT f a b f t t dt f ψψψ+∞

-∞=?=<>? （3-6）

即信号()f t 关于()t ψ的连续小波变换等于()f t 与小波()t ψ的内积。此式可以理解为：

（1） 连续小波变换定量地表示了信号与小波函数系中的每个小波相关或接近的程度（与连续信号的相关函数的定义比较可知）。

（2） 如果把小波看成是2()L R 空间的基函数系，那么，连续小波变换就是信号在基函数系上的分解或投影。

此外，从公式中，我们可以看到，对于不同的母小波，同一信号的连续小皮变换是不同的，因此，小波变换定义式3-4中用下标ψ强调了这一点。

3.2.2 小波变换的条件

一个函数2()()t L R ψ∈能够作为母小波，必须满足允许条件

2()

C d ψψωωω∧+∞-∞=<∞? （3-5）

式中()ψω∧是()t ψ的傅氏变换。如果()t ψ是一个合格的窗函数，则()ψω∧是连续函数。因

此，允许条件意味着

0(0)()()0i t t e dt t dt ωωψψψ∧+∞+∞

-=-∞-∞===?? （3-6）