第6讲+MATLAB在最优化中的运用

故：MATLAB 命令为： A=[1 1 0 0 0;0 0 1 1 0;-0.65 0.35 0 0 0;0.2 0.2 0 0 -1]; b=[120000;80000;0;0]; f=[-0.065;-0.092;-0.045;-0.055;-0.042]; lb=zeros(5,1); Aeq=[1 1 1 1 1];beq=200000; [x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
二、
无约束非线性最优化
1、 MATLAB 是用函数 fminunc 来寻找无约束条件下多变量函数的最小值。 为了将求极大的问题统一为求极小的问题，只要把求极大值的目标函数 改为负值，去解极小值问题，解出后，再把目标值符号改回来即可。 2、 函数 fminunc 的书写格式： x=fminunc(fun,x0) x=fminunc(fun,x0,options) [x,fval]=fminunc(…) [x,fval,exitflag]=fminunc(…) [x,fval,exitflag,output]=fminunc(…) 其中，x、x0 为向量，x 为解向量，x0 为初始值向量，fun 为函数表达式， options 为最优化选项，用来选择允许计算误差、迭代次数、算法等，详 见 optimset 函数。fval 为最优函数值。exitflag 为退出标注，exitflag>0 函数收敛于解 x；exitflag=0 迭代次数超过；exitflag<0 函数值不收敛。 output 则输出解题信息，有关迭代次数、函数值计算次数、在 x 处的梯 度范数和所用算法等。 3、 函数 optimset 用来设置最优化选项（Options） 。 Options 的调用格式为： options=optimset(‘param1’,value1,’param2’,value2,…) 其中 param1，param2…为优化参数名，value1、value2…为优化参数对 应的值， 由 optimset 列表规定。 它的内容显示如下， 列表左侧为优化参数名， 右侧方括号内为优化参数名的选项。 >> optimset 由于最优化参数设置的参数较多，为了省事，可以使用默认设置，默认 设置时可以在 optimset 函数内填写被调用优化函数名即可。 例如： options=optimset('fminbnd')， 这语句返回一个最优化的选项结构， 它包含所有的参数名和默认值，相关于优化函数 fminbnd。 最优化设置也可以在原有的基础上进行修改或补充。例如（接上例）从 原有的基础上添加允许函数的误差为 1e-8，则可以做如下设置： options=optimset(options,'TolFun',1e-8)
lb=zeros(2,1); Aeq=[1 1];beq=1; A=-A;b=-b; %将约束不等式改写成小于等于
[x,fval,exitflag,output]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)
——例 3：某公司董事会决定将 20 万元进行债券投资。经咨询，现有五种 债券是比较好的投资对象，它们是：黄河汽车、长江汽车、华南电器、西南 电器、镇山纸业。它们的投资回报率如下表所示。为降低风险，董事会要求， 对汽车业的投资不得超过 12 万元，对电器业的投资不得超过 8 万元，其中 对长江汽车的投资不得超过对汽车业投资的 65%，对纸业的投资不得低于 对汽车业投资的 20%，该公司应如何投资才能在满足董事会要求的前提下 使得总回报额最大？（不允许卖空） 债券 回报率 黄河汽车 0.065 长江汽车 0.092 华南电器 0.045 西南电器 0.055 镇山纸业 0.042
其中括号中的 options 为原先的设置，而 TolFun 为添加设置。 4、 例子：已知 y=1+x-x2，求最大值。 解：由于 MATLAB 的最优化函数中只有求最小值，故把题设函数改成负值 来计算。 故：MATLAB 命令为： fun=inline('x^2-(1+x)') %设置内联函数 fun，把函数改为负值 options=optimset('fminunc') %无约束最小化的默认设置 %添加不执行大规模算法 %计算最优值
一、
线性规划
1、 线性规划又称线性最优化。首先要有一个目标函数；其次要有一组控制 变量或称为决策变量；第三需要一组约束条件。线性规划的难点在于寻 找问题的线性规划数学模型。 2、 MATLAB 解线性规划的函数为 linprog。它对于目标函数，等式和不等 式的约束条件的表述如下： 使得目标函数最小 受不等式约束为 受等式约束为 上下限为
解：设该公司对这五种债券的投资额分别为 x1、x2、x3、x4、x5。
o.b. max 0.065 x1 0.092 x2 0.045 x3 0.055 x4 0.042 x5 s.t. x1 x2 x3 x4 x5 200000 x1 x2 120000 x3 x4 80000 x2 0.65( x1 x2 ) x5 0.20( x1 x2 ) x1、x2、x3、x4、x5 0
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
பைடு நூலகம்
目标函数为最小的解。若只有等式约束，则不等式约束的矩阵 A 和向量 b 需用空阵[ ]代替。 x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %增加了初始值设置 %指定了结构选项，该选项
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 由 optimset（最优化设置）来设置参数。 最优解及附有输出值的形式为：
解：设 A 产品的台数为 Na，B 产品的台数为 Nb，总利润 P。 则目标函数为：MaxP=150Na+200Nb 约束条件为 2Na+3Nb≤1500 3Na+2Nb≤1500 Na，Nb≥0 故：MATLAB 命令为 A=[2 3;3 2]; b=[1500;1500]; f=[-150;-200]; %将目标函数改为负值，求极小值 %求解线性规划
options=optimset(options,'largescale','off')
[x,fval,exitflag,output]=fminunc(fun,0.5,options)
5、 注：fminsearch 也是解决无约束非线性极小化问题的函数。 （自学） fminsearch 用 Nelder-Mead 单纯形法求多变量函数极小值点，用于多维 无约束非线性最小化。 （fminunc 用 Quasi-Newton 拟牛顿法求多变量函 数局部极小值点 ）
2 ——例 1：今有一目标函数 f ( x) x12 x2 x1 x2 10 x1 4 x2 60 ，线性约束条
件为 x1 x2 8 ，求目标函数的最小值，x1、x2 的上、下限均为[-5,10]，初 始值 x0=[0;0]。 解：对目标函数编制函数文件，名为 coneq.m function y=coneq(x) y=x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-10*x(1)-4*x(2)+60; 在命令窗口输入： Aeq=[1,1];beq=8;A=[];b=[]; x0=[0;0]; %初始值 %上下限 %输入等式线性约束
min f T x
x
Ax b
Aeq x＝beq
lb x ub
其中，f、x、b、beq、lb、ub 为向量，而 A、Aeq 为矩阵。f 为目标函数 的系数向量， x 为决策变量。 b 为不等式约束表达式右端的常数向量。 beq 为等式约束表达式右端的常数向量。lb、ub 为 x 的下界和上界。
第六讲 MATLAB 在最优化中的应用
MATLAB 常用的优化函数见下表： 函数名 fminbnd fminunc fminsearch linprog quadprog fmincon fgoalattain fminmax fseminf lsqlin 说明 有边界的标量最小化 无约束非线性最小化 无约束非线性最小化搜索 线性规划，具有等式约束或不等式约束 二次规划，具有等式约束或不等式约束 条件约束非线性最小化 多目标达到课题 最大最小化 半无限最小化 有约束线性最小二乘解
解：设 1 公斤混合饲料中玉米粉含量为 x(1)，大豆饼含量为 x(2)， 则目标函数为： minZ=2x(1)+1.6x(2)
约束条件为： 4x(1)+2x(2) ≥2.8 100x(1)+300x(2) ≥220 x(1)+x(2)=1 x(1)、x(2) ≥0 故：MATLAB 命令为： A=[4 2;100 300]; b=[2.8;220]; f=[2;1.6];
3、 如果求解目标函数的最大值，可将目标函数改为负值来求解最小值，解 出后再将目标函数的符号改回来。若不等式约束是大于等于形式，则可 以在不等式两端乘上负号，改变不等式方向。 4、 函数 linprog 的书写格式如下： 最优解： x=linprog(f,A,b) %用于不等式约束，使目标函数为最小的解。 %用于具有等式约束和不等式约束，使
[x,fval]=linprog(f,A,b)
——例 2：某混合饲料由玉米粉和大豆饼组成，其配比要求和价格见下表。 求最有配比使得饲料成本最低。 玉米粉 发热量 蛋白含量 价格 注：Mcal 为兆卡 4Mcal/kg 100g/kg 2 元/kg 大豆饼 2Mcal/kg 300g/kg 1.6 元/kg 配比要求 ≥2.8Mcal/kg ≥220g/kg
三、
有约束非线性最优化
1、 MATLAB 中具有约束条件的最优化函数为 fmincon， 它的最优化的描述 如下：
min f ( x) ,
x
f(x)为目标函数，它受约束于下面的式子：