上海市格致中学2018学年高一上学期期末考试数学试题
格致中学 二〇一五学年度第一学期期末考试
高一年级 数学试卷（共4页）
（测试90分钟内完成，总分100分，试后交大案卷）
友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你!诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，取迎接胜利！
一、填空题（本题共12题，每题3分，满分36分）：
1．设集合{}2|0A x x x =-=，{}|lg B x y x ==，则A
B =______。
2．若()
f x =，(
)g x =，则()()f x g x ⋅=____________。
3．顶点哎坐标原点，始边为x 轴正半轴的角α的终边与单位圆（圆心为原点，半径为1的
圆）的交点坐标为3,5x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则csc α=____________________。
4．函数()15x f x a -=+（0a >且1a ≠）的图像必过定点_____________。
5．已知幂函数()f x 的图像经过点1,82⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()3f =______________。
6．若()()21f x x =-()1x ≤，则其反函数()1f x -=____________。
7．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为______________。
8．若log 31a b =-，则a b +的最小值为________________。
9．定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()2x f x g x x -+=+，则()2g =_________。
10．若3π1cot 22θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()3sin 3πsin π2πcos cos π2θθθθ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+++- ⎪⎝⎭
______________。
11．已知()22420220x x x f x x x x ⎧-++≤⎪=⎨++>⎪⎩
，若不等式()()2f x a f a x +>-在[]1,a a -上恒成立，则实数a 的取值范围是________________________。
12．已知奇函数()f x 满足：⑴定义域为R ；⑵()2f x >-；⑶在()0,+∞上单调递减；⑷对于任意的()2,0d ∈-，总存在0x ，使()0f x b <。
请写出一个这样的函数解析式：________________。
二、选择题（本题共4小题，每题4分，满分16分）：
13．关于x 的不等式()0ax b b >>的解集不可能是（ ）
A ．∅
B ．R
C ．,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．,b a ⎛⎫-∞ ⎪⎝
⎭
14．已知角α、β顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴。
:p “角α、β的终边关于y 轴对称”；:q “()sin 0αβ+=”。
则条件甲是条件乙的（ ）
A ．充分不必要条件；
B ．必要不充分条件；
C ．充要条件；
D ．既不充分也不必要条件。
15．已知函数()()22430f x ax ax a =++-<<，其图像上两点的横坐标为1x 、2x 满足12x x <，且121x x a +=+，则由
A ．()()12f x f x <
B ．()()12f x f x =
C ．()()12f x f x >
D ．()1f x 、()2f x 的大小不确定。
16．已知()f x 、()g x 、()h x 均为一次函数，若对实数x 满足：
()()()()42212,21242
x x f x g x h x x h x x x ⎧⎪+≥⎪⎪++=≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩未知-则的解析式为（ ） A ．26x + B ．62x - C ．31x - D ．3x +
三、解答题（见答题卷）（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并请在规定处答题，否则不得分。
17．（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分） 已知π0π2βα<<<<，且5cos 213βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3sin 25
αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 求⑴tan 2βα⎛⎫- ⎪⎝
⎭的值； ⑵cos 2αβ+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值。
18．（本题共2小题，其中第1小题4分，第2小题6分，满分10分） 已知集合351,1x A x x R x ⎫⎧-=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}
1,B x x a x R =-≤∈。
⑴求集合A ；
⑵若R B A B =，求实数a 的取值范围。
19．（本题共2小题，其中第1小题5分，第2小题7分，满分12分）
已知函数()()1log 11
a x f x a x -=>+。
⑴求此函数的定义域D ，并判断其奇偶性；
⑵是否存在实数a ，使()f x 在()1,x a ∈时的值域为(),1-∞-？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由。
20．（本题共3小题，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，满分16分）
定义区间(),m n ，[],m n ，(],m n ，[),m n 的长度均为n m -，其中n m >。
⑴若关于x 的的不等式21230ax x +->
的解集构成的区间的长度为a 的值； ⑵求关于x 的不等式()()23sin cos 0x x R θθθ-++<∈的解集构成的区间的长度的取值范围；
⑶已知关于x 的不等式组()22712log log 23x x tx t ⎧>⎪+⎨⎪++<⎩
的解集构成的各区间长度和为5，求实数t 的取值范围。
2018-2019学年上海中学东校区高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海中学东校区高一（上）期末数学试卷试题数：20.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={1.2.k}.B={2.5}．若A∪B={1.2.3.5}.则k=___ ．2.（填空题.3分）若log2（x+1）=3.则x=___ ．3.（填空题.3分）不等式1＜2的解集为___ ．x4.（填空题.3分）函数y=x+3(x＞0)的值域为___ ．x5.（填空题.3分）函数f（x）= √log2(x−1)的定义域是___ ．.则f（x）•g（x）=___ ．6.（填空题.3分）已知函数f(x)=x，g(x)=4x的反函数是f-1（x）.则f-1（3）=___ ．7.（填空题.3分）若函数f(x)=xx+28.（填空题.3分）方程9x-4•3x-45=0的解是___ ．9.（填空题.3分）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1.2a]上的偶函数.那么a+b的值是___ ．10.（填空题.3分）函数y=log2（x2-2x）的单调增区间是___ ．11.（填空题.3分）已知实数a满足（2a-1）−32＞（a+1）−32 .则实数a的取值范围是___ ．)≥0在[1.2]上恒成立.则实数m的12.（填空题.3分）已知关于x的不等式log m(mx2−x+12取值范围是___ ．13.（单选题.3分）“x=1.是x2-4x+3=0”的（）条件．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.3分）下列函数中.是奇函数且在（0.+∞）上单调递增的为（）A.y=x2B. y=x13C.y=x-1D. y=x−1215.（单选题.3分）x为实数.且|x-5|+|x-3|＜m有解.则m的取值范围是（）A.m＞1B.m≥1C.m＞2D.m≥216.（单选题.3分）设函数f（x）=n-1.x∈[n.n+1）.n∈N.函数g（x）=log2x.则方程f（x）=g （x）实数根的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个17.（问答题.0分）已知函数f（x）=x2-3x+m.且f（-1）=5．（1）求不等式f（x）＞-1的解集；（2）求函数f（x）在区间[-2.4]上的最值．+a(a∈R)为奇函数．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=12x−1（1）求常数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（0.+∞）上的单调性并用定义证明．19.（问答题.0分）已知函数f(x)=lg(2+x)．2−x（1）试判断函数f（x）的奇偶性：（2）解不等式f（x）≥lg（3x）．20.（问答题.0分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元.每生产x件.需另投入成本x2+10x（万元）；当年产量不小于80件时.为C（x）当年产量不足80件时. C(x)=13C(x)=51x+10000−1450（万元）每件商品售价为50万元.通过市场分析.该厂生产的产品能x全部售完．（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（件）的函数解析式：（2）年产量为多少时.该厂在这一商品的生产中所获利润最大？2018-2019学年上海中学东校区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（填空题.3分）已知集合A={1.2.k}.B={2.5}．若A∪B={1.2.3.5}.则k=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据集合的并集运算定义即可得k的值【解答】：解：∵A={1.2.k}.B={2.5}.且A∪B={1.2.3.5}∴3∈A∴k=3故答案为：3【点评】：本题考查集合的并集运算．首先要求掌握并集的定义.注意并集中的元素与原集合的关系．属简单题2.（填空题.3分）若log2（x+1）=3.则x=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】：解：log2（x+1）=3.可得x+1=8.解得x=7．故答案为：7．【点评】：本题考查函数的零点.对数运算法则的应用.考查计算能力．3.（填空题.3分）不等式1x＜2的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0）∪（12.+∞）【解析】：根据题意.将分式不等式变形可得x（1-2x）＜0.由一元二次不等式的解法解可得答案．【解答】：解：根据题意. 1x ＜2⇒ 1−2xx＜0⇒x（1-2x）＜0.解可得x＜0或x＞12.即不等式的解集为（-∞.0）∪（12.+∞）；故答案为：（-∞.0）∪（12.+∞）．【点评】：本题考查分式不等式的解法.关键是将分式不等式转化为整式不等式．4.（填空题.3分）函数y=x+3x(x＞0)的值域为___ ．【正确答案】：[1][2 √3 .+∞）【解析】：根据基本不等式的性质进行求解即可．【解答】：解：当x＞0时.y=x+ 3x ≥2 √x•3x=2 √3 .当且仅当x= 3x.即x= √3时.取等号.即y≥2 √3 .即函数的值域为[2 √3 .+∞）.故答案为：[2 √3 .+∞）.【点评】：本题主要考查函数值域的求解.结合基本不等式求出函数的最小值是解决本题的关键．5.（填空题.3分）函数f（x）= √log2(x−1)的定义域是___ ．【正确答案】：[1][2.+∞）【解析】：使该函数有意义.需要对数的真数大于0.同时需要根号下的代数式大于等于0．【解答】：解：要使原式有意义.须有log2（x-1）≥0且x-1＞0.即log2（x-1）≥log21且x-1＞0∵u=log2（x-1）为增函数.∴x-1≥1.∴x≥2．故答案为：[2.+∞）【点评】：本题考查了函数定义域的求法.解答的关键是使构成函数式的每一部分都要有意义.属基础题．6.（填空题.3分）已知函数f(x)=x，g(x)=4x.则f（x）•g（x）=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：由g（x）解析式得定义域为{x|x≠0}.故f（x）•g（x）=4【解答】：解：由g（x）解析式得定义域为{x|x≠0}.故f（x）•g（x）=x• 4x=4．故答案为：4．【点评】：本题考查解析式间运算.属于简单题．7.（填空题.3分）若函数f(x)=xx+2的反函数是f-1（x）.则f-1（3）=___ ．【正确答案】：[1]-3【解析】：因为函数f(x)=xx+2的反函数是f-1（x）.由反函数性质f(x)=xx+2=3.求得x即为f-1（3）．【解答】：解：因为函数f(x)=xx+2的反函数是f-1（x）.由反函数性质f(x)=xx+2=3时x即为f-1（3）的值.x=f-1（3）=-3．故答案为：-3．【点评】：本题考查反函数性质.属于简单题．8.（填空题.3分）方程9x-4•3x-45=0的解是___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由二次方程的解法得：方程9x-4•3x-45=0变形为（3x-9）（3x+5）=0.又3x+5＞0.得3x=9.即x=2.得解．【解答】：解：解方程9x-4•3x-45=0.得（3x-9）（3x+5）=0.又3x+5＞0.得3x=9.所以x=2.故答案为：2．【点评】：本题考查了指数方程的解法.属简单题．9.（填空题.3分）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1.2a]上的偶函数.那么a+b的值是___ ．【正确答案】：[1] 13【解析】：依照偶函数的定义.对定义域内的任意实数.f （-x ）=f （x ）.且定义域关于原点对称.a-1=-2a ．【解答】：解：∵f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a-1.2a]上的偶函数.∴f （-x ）=f （x ）.∴b=0.又 a-1=-2a.∴a= 13 .∴a+b= 13 ．故答案为 13【点评】：本题考查偶函数的定义.对定义域内的任意实数.f （-x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称.定义域区间2个端点互为相反数．10.（填空题.3分）函数y=log 2（x 2-2x ）的单调增区间是___ ．【正确答案】：[1]（2.+∞）【解析】：令t （x ）=x 2-2x.则由t （x ）＞0.求得函数的定义域.且y=log 2t ．本题即求函数t （x ）在定义域内的增区间.再利用二次函数的性质可得结论．【解答】：解：令t （x ）=x 2-2x.则由t （x ）＞0.求得函数的定义域为{x|x ＜0.或 x ＞2}.且y=log 2t.本题即求函数t （x ）在定义域内的增区间．再利用二次函数的性质可得函数t （x ）在定义域内的增区间为（2.+∞）.故答案为：（2.+∞）．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性.二次函数的性质.体现了转化的数学思想.属于基础题．11.（填空题.3分）已知实数a 满足（2a-1） −32 ＞（a+1） −32 .则实数a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（0.5.2）【解析】：利用幂函数的单调性直接求解．【解答】：解：∵实数a 满足 (2a −1)−32＞(a +1)−32 .∴ {2a −1＞0a +1≥02a −1＜a +1 .解得0.5＜a ＜2.∴实数a 的取值范围是（0.5.2）．故答案为：（0.5.2）．【点评】：本题考查实数的取值范围的求法.考查幂函数的性质、运算法则等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（填空题.3分）已知关于x 的不等式 log m (mx 2−x +12)≥0 在[1.2]上恒成立.则实数m 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（ 12 . 58 ]∪[ 32 .+∞）【解析】：由对数函数的单调性.讨论m ＞1.0＜m ＜1.运用不等式恒成立问题解法.参数分离和二次函数的最值求法.即可得到所求范围．【解答】：解：关于x 的不等式log m （mx 2-x+ 12 ）≥0在[1.2]上恒成立.当m ＞1时.mx 2-x+ 12 ≥1在[1.2]恒成立.即为m≥ 2x+12x 2 在[1.2]恒成立.由 12 （ 1x 2 + 2x +1）- 12 = 12 （ 1x +1）2- 12 .可得x=1时.取得最大值 32 .即m≥ 32 ；当0＜m ＜1时.0＜mx 2-x+ 12 ≤1在[1.2]恒成立.即有m≥ 2x−12x 2 =- 12 （ 1x -1）2+ 12. 显然x=1时.m≥ 12 .由m-1+ 12 ≤1且4m-2+ 12 ≤1.解得m≤ 58 .可得 12 ≤m≤ 58 .又当m= 12 .x=1时.log m （mx 2-x+ 12 ）没意义.综上可得m 的范围是（ 12 . 58 ]∪[ 32 .+∞）.故答案为：（ 12 . 58 ]∪[ 32 .+∞）．【点评】：本题考查对数函数的性质和运用.以及不等式恒成立问题解法.注意运用分离参数和分类讨论思想方法.考查化简整理的运算能力.属于中档题．13.（单选题.3分）“x=1.是x2-4x+3=0”的（）条件．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据充分必要条件的定义.分别证明充分性和必要性.从而得到答案．【解答】：解：若x=1.则x2-4x+3=0.是充分条件.若x2-4x+3=0.则x=1或x=3.不是必要条件.故选：A．【点评】：本题考查了充分必要条件.考查了一元二次方程的解法.是一道基础题．14.（单选题.3分）下列函数中.是奇函数且在（0.+∞）上单调递增的为（）A.y=x2B. y=x13C.y=x-1D. y=x−12【正确答案】：B【解析】：判断函数的奇偶性以及函数的单调性即可推出结果．【解答】：解：y=x2是偶函数.不成立；y=x13是奇函数在（0.+∞）上单调递增.所以B成立．C、D两个选项的函数都是减函数.故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断.是基础题．15.（单选题.3分）x为实数.且|x-5|+|x-3|＜m有解.则m的取值范围是（）A.m＞1B.m≥1C.m＞2D.m≥2【正确答案】：C【解析】：求出|x-5|+|x-3|的最小值.只需m大于最小值即可满足题意．【解答】：解：|x-5|+|x-3|＜m有解.只需m大于|x-5|+|x-3|的最小值.|x-5|+|x-3|≥2.所以m＞2.|x-5|+|x-3|＜m有解．故选：C．【点评】：本题考查绝对值不等式的解法.考查计算能力.是基础题．16.（单选题.3分）设函数f（x）=n-1.x∈[n.n+1）.n∈N.函数g（x）=log2x.则方程f（x）=g （x）实数根的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【正确答案】：C【解析】：此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题．在解答的过程当中可以通过画图观察解决.也可以通过对自然数n逐一取值进行验证获得解答．【解答】：解：根据题意.详细画出f（x）和g（x）在同一坐标系中函数图象.① 当n=0时.f（x）=-1.x∈[0.1）.则log2x=-1⇒x= 1∈[0.1）2② 当n=1时.f（x）=0.x∈[1.2）.则log2x=0⇒x=1∈[1.2）③ 当n=2时.f（x）=1.x∈[2.3）.则log2x=1⇒x=2∈[2.3）④ 当n=3时.f（x）=2.x∈[3.4）.则log2x=2⇒x=4∉[3.4）⑤ 当n=4时.f（x）=3.x∈[4.5）.则log2x=3⇒x=8∉[4.5）由此下区x的解成指数增长.而区间成正比增长.故以后没有根了.即有3个根．故选：C．【点评】：此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．17.（问答题.0分）已知函数f（x）=x2-3x+m.且f（-1）=5．（1）求不等式f（x）＞-1的解集；（2）求函数f（x）在区间[-2.4]上的最值．【正确答案】：【解析】：（1）由f（-1）=1+3+m=5解得m=1.再解不等式x2-3x+2＞0可得；（2）根据二次函数的图象和性质可得．【解答】：解：（1）由f（-1）=1+3+m=5解得m=1.∴f（x）=x2-3x+1.f（x）＞1⇔x2-3x+2＞0.解得x＜1或x＞2.∴f（x）＞-1的解集为{x|x＜1或x＞2}．（2）∵f（x）=x2-3x+1=（x- 32）2- 54.且32＞−2+42.所以x= 32时.f（x）min=- 54；x=-2时.f（x）max=f（-2）=11【点评】：本题考查了二次函数的性质与图象.属基础题．18.（问答题.0分）已知函数f(x)=12x−1+a(a∈R)为奇函数．（1）求常数a的值；（2）判断函数f（x）在区间（0.+∞）上的单调性并用定义证明．【正确答案】：【解析】：（1）根据f （x ）是奇函数.即可得出f （-1）=-f （1）.从而求出a= 12 ；（2）容易看出f （x ）在（0.+∞）上是减函数.根据单调性定义证明：设任意的x 1＞x 2＞0.然后作差.通分.得出 f (x 1)−f (x 2)=2x 2−2x 1(2x 1−1)(2x 2−1) .然后说明f （x 1）＜f （x 2）即可．【解答】：解：（1）∵f （x ）是奇函数；∴f （-1）=-f （1）；∴ 112−1+a =−(12−1+a) ；解得 a =12 ；（2）f （x ）在（0.+∞）上是减函数.证明如下：设x 1＞x 2＞0.则： f (x 1)−f (x 2)=12x 1−1−12x 2−1=2x 2−2x 1(2x 1−1)(2x 2−1) ； ∵x 1＞x 2＞0；∴ 2x 1＞2x 2，2x 1＞1，2x 2＞1 ；∴ 2x 2−2x 1＜0 . 2x 1−1＞0，2x 2−1＞0 ；∴f （x 1）＜f （x 2）；∴f （x ）在区间（0.+∞）上是减函数．【点评】：考查奇函数的定义.指数函数的单调性.减函数的定义.根据减函数的定义证明一个函数是减函数的方法和过程．19.（问答题.0分）已知函数 f (x )=lg (2+x 2−x ) ．（1）试判断函数f （x ）的奇偶性：（2）解不等式f （x ）≥lg （3x ）．【正确答案】：【解析】：（1）可求出f （x ）的定义域为（-2.2）.并容易求出f （-x ）=-f （x ）.从而判断f （x ）是奇函数；（2）根据f （x ）≥lg （3x ）即可得出 { −2＜x ＜2x ＞02+x 2−x ≥3x.解该不等式组即可．【解答】：解：解 2+x 2−x ＞0 得.-2＜x ＜2；∴f （x ）的定义域为（-2.2）；又 f (−x )=lg (2−x 2+x )=−lg (2+x 2−x )=−f (x ) ；∴f （x ）是奇函数；（2）由f （x ）≥lg （3x ）得. lg (2+x 2−x )≥lg (3x ) ；∴ { −2＜x ＜2x ＞02+x 2−x ≥3x； 解得 0＜x ≤23 .或1≤x ＜2；∴原不等式的解集为： (0，23]∪[1，2) ．【点评】：考查奇函数的定义及判断.分式不等式的解法.对数函数的定义域及单调性．20.（问答题.0分）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元.每生产x 件.需另投入成本为C （x ）当年产量不足80件时. C (x )=13x 2+10x （万元）；当年产量不小于80件时. C (x )=51x +10000x −1450 （万元）每件商品售价为50万元.通过市场分析.该厂生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （x ）（万元）关于年产量x （件）的函数解析式：（2）年产量为多少时.该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【正确答案】：【解析】：（1）分两种情况进行研究.当0＜x ＜80时.投入成本为 C (x )=13x 2+10x （万元）.根据年利润=销售收入-成本.列出函数关系式.当x≥80时.投入成本为. C (x )=51x +10000x −1450 （万元）.根据年利润=销售收入-成本.列出函数关系式.最后写成分段函数的形式.从而得到答案；（2）根据年利润的解析式.分段研究函数的最值.当0＜x ＜80时.利用二次函数求最值.当x≥80时.利用基本不等式求最值.最后比较两个最值.即可得到答案．【解答】：解：（1）∵ ① 当0＜x ＜80时.根据年利润=销售收入-成本.∴L （x ）=50x- 13 x 2-10x-250=- 13 x 2+40x-250；② 当x≥80时.根据年利润=销售收入-成本.∴L （x ）=50x-51x- 10000x +1450-250=1200-（x+ 10000x）． 综合 ① ② 可得.L （x ）= {−13x 2+40x −250，0＜x ＜801200−(x +10000x )，x ≥80． （2） ① 当0＜x ＜80时.L （x ）=- 13 x 2+40x-250=- 13 （x-60）2+950.∴当x=60时.L （x ）取得最大值L （60）=950万元；② 当x≥80时.L （x ）=1200-（x+10000x ）≤1200-2 √x •10000x =1200-200=1000. 当且仅当x= 10000x .即x=100时.L （x ）取得最大值L （100）=1000万元．综合 ① ② .由于950＜1000.∴当产量为100千件时.该厂在这一商品中所获利润最大.最大利润为1000万元【点评】：本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力.以及运用基本不等式求最值的能力.属于中档题。
上海市格致中学2020-2021学年第一学期高一期末数学试卷(word版,含答案)
格致中学高一期末数学试卷2021.01一.填空题1.已知集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3}, B={x||x -1|≤1},则A∩B=_____.2.函数2log (1)()2x f x x -=-的定义域为_____. 3.若指数函数y=f(x)的图像经过点1(,2),2则函数1()2x y f x +=-的零点为_____. 4.不等式1||x x <的解集为_____. 5.已知6log 2,a =用a 表示4log 12=_____.6.已知函数2(log )x y a =在R 上是严格减函数,则实数a 的取值范围是_____.7.定义区间[a,b](a<b)的长度为b -a,若关于x 的不等式.240x x m -+≤的解集区间长度为2,则实数m 的值为_____.8.设,(1,),x y ∈+∞22log ,log x y 的算术平均值为1,则22x y ，的几何平均值的最小值为_____.9.已知函数y=f(x)是R 上的奇函数,且是(-∞,0)上的严格减函数,若f(1)=0,则满足不等式(x -1)f(x)≥0的x 的取值范围为_____.10.已知124{2,1,,,,2},333a ∈--当x ∈(-1,0)∪(0,1)时,不等式||a x x >恒成立,则满足条件的a 形成的集合为_____.11.函数y=f(x)(x<0)的反函数为1(),y f x -=且函数2()0()log (1)0f x x g x x x <⎧=⎨+≥⎩是奇函数,则不等式1()2f x -≥-的解集为_____.12.已知函数()|21|,x f x =-若函数21()()()4g x f x mf x =++有4个零点,则实数m 的取值范围为_____. 二.选择题13.已知陈述句α是β的必要非充分条件,集合M={x|x 满足α},集合N={x|x 满足β},则M 与N 之间的关系为()A.M ⊂NB.M ⊃NC.M=ND.M N ⋂=∅ 14.若33log log m n <且log 3log 3m n <，则实数m 、n 满足的关系式为()A.0<m<n<1B.0<n<m<1C.0<m<1<nD.1<m<n15.设121221,,,,,b a b c c a 都是非零实数,不等式21110a x b x c ++>的解集为A,不等式22220a x b x c ++>的解集为B,则"A=B"是“1112220a b c a b c ==>”的() A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件16.定义在R 上的函数y=f(x)的表达式为2(),x x f x x x ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩Q Q 给出下列3个判断:(1)函数y=f(x)是非奇非偶函数;(2)当a<0且a ∈Q 时,方程f(x)=a 无解;(3)当a>0时,方程f(x)=a 至少有一解;其中正确的判断有()A.0个B.1个C.2个D.3个三.解答题17.已知集合A={x||x -a|≤2},不等式2112x x -≥+的解集为B. (1)用区间表示B;(2)若全集U=R ,且,A B A ⋂=求实数a 的取值范围.18.已知a ､b 都是正实数,且.b b a a=- (1)求证:a>1;(2)求b 的最小值.19.设函数y=f(x)的表达式为2()||,f x x x a =+-其中a 为实常数.(1)判断函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)设a>0,函数()()f xg xx在区间(0,a]上为严格减函数,求实数a的最大值.20.已知非空集合S的元素都是整数,且满足:对于任意给定的x,y∈S (x､y可以相同),有x+y∈S且x-y∈S.(1)集合S能否为有限集,若能,求出所有有限集,若不能,请说明理由;(2)证明:若3∈S且5∈S,则S=Z.。
上海市东格致中学高一数学文上学期期末试卷含解析
上海市东格致中学高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 有60瓶矿泉水，编号为1至60，若从中抽取6瓶检验，则用系统抽样确定所抽的编号为()A．3，13，23，33，43，53B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，30参考答案：A略2. 已知是等差数列，，，则此数列的通项公式是A. B. C. D.参考答案：C略3. 已知向量，若与垂直，则A B CD 4参考答案：C4. 已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足++=且++m=，那么实数m的值为（）A．2 B．﹣3 C．4 D．5参考答案：B【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用向量基本定理结合向量的减法有： =﹣， =﹣，代入化简即得【解答】解：由题意得，向量的减法有： =﹣， =﹣．∵++m=，即+=﹣m，∴+﹣=﹣m=m，∴ +=（m+2）．∵++=，∴ +（m+2）=0，∴m=﹣3，故选：B．【点评】本小题主要考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识．本题的计算中，只需将向量都化成以P为起点就可以比较得出解答了，解答的关键是向量基本定理的理解与应用，属于中档题．5. （5分）若sin（+θ）=，则cos（π﹣θ）等于（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：A考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由已知及诱导公式可求得cosθ的值，从而化简可求后代入即可求值．解答：解：sin（+θ）=cosθ=，则cos（π﹣θ）=﹣cosθ=﹣，故选：A．点评：本题主要考察了诱导公式的应用，属于基础题．6. 在中，点是延长线上一点，若，则（）A. B. C. D.参考答案：C7. 在中，，，则k的值为（）A．5 B．C．D．参考答案：D∵，∴，得，∴选“D”．8. （5分）①正相关，②负相关，③不相关，则下列散点图分别反映的变量是（）A．①②③B．②③①C．②①③D．①③②参考答案：D考点：散点图．专题：计算题；概率与统计．分析：由图分析得到正负相关即可．解答：第一个图大体趋势从左向右上升，故正相关，第二个图不相关，第三个图大体趋势从左向右下降，故负相关，故选D．点评：本题考查了变量相关关系的判断，属于基础题．9. 不等式的解集为（）A、B、C、D、参考答案：D10. 在△ABC中， =， =，且?＞0，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形参考答案：D【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】根据已知推断出?＜0，进而根据向量的数量积的运算推断出B＞90°．【解答】解：∵?＞0∴?＜0∴B＞90°，即三角形为钝角三角形，故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数，则____________．参考答案：912. 用一张圆弧长等于 分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于_ __立方分米． 参考答案： 96π 略13. 函数的单调递增区间是 .参考答案：[-1，1）略14. 关于的不等式（）的解集为 ．参考答案：略15. 已知函数f （x ）=log 2（4x+1）+mx ，当m ＞0时，关于x 的不等式f （log 3x ）＜1的解集为 ．参考答案：（0,1） 函数 ，当时，可知f(x)单调递增函数，当 时，可得，那么不等式 的解集，即，解得，故答案为.16. 在△ABC 中，，，,则△ABC 的面积S 是___________．参考答案：.【分析】 根据三角形的面积公式即可求解．【详解】由三角形的面积公式可知故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形中面积公式的应用，属于简单题．17. 已知，则的值为________________.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
高三数学数学上海市格致中学2018届高三上学期期
上海市格致中学 2021届高三上学期期中考试数学试题〔文〕〔测试120分钟内完成，总分 150分，试后交答题卷〕友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获！ 祝你：老实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利！ 编辑：卢立臻 邮箱：lulizhen617@163一、填空题：〔本大题共12小题，每题5分，总分值60分〕。
把答案直接填写在答题卷的相应位置上。
1．假设集合xax24x1a ________。
的子集只有两个，那么实数2．假设复数z 满足：zz 4，zz5 zz___________。
，那么3．假设直线x2y 1 0的倾斜角为，那么sin2的值为______________。
2 x5 41x 的解集为____________。
4．方程232x 3y 33x y 92x 0侧 视5．不等式组 表示平面区域的面积为 ________。
主视图6．某个几何体的三视图如图〔主视图中的弧线是半圆〕 ，2根据图中标出的尺寸〔单位：cm〕，可得这个几何体的体积是____________cm3。
俯 视 第6题图2fx 3cos 2x,0的图像关于点3成中心7．函数对称，那么的最小正值为_____________。
8．将3名学生安排到A 、B 两个工厂去实习，那么恰有 2 名学生到A 工厂去实习的概率为 ________________。
9．数列an中，a17,a 27，当n2时，a n1是积ana n 1的个位数，那么a2021______。
x 、y 都有2x55 43 y 210．假设对任意实数3ya 0 2x y a 1 2x yya 22xy 2a 4 2xyy 4 a 5ya 0a 1 a 2a 3a 4a 5a 32xyy 35 _______。
，那么xn110xn,nN *OP nx n ,y nOP n1x n1,yn111．定义yn111y n为向量 到向量 的一个矩阵变换，其中O 是坐标原点。
上海市2018-2019学年上海中学东校区高一上期末数学期末试卷(解析版)
4. 设函数������(������) = ������ ‒ 1，������ ∈ [������,������ + 1)，������ ∈ ������，函数������(������) = ������������������2������，则方程
∴
������
=
1
3，
∴
������
+
������
=
1
3．
1
故答案为3
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，������( ‒ ������) = ������(������)，且定义域关于原点对称， ������ ‒ 1 =‒ 2������． 本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，������( ‒ ������) = ������(������)；奇函数和偶函数的
由此下区 x 的解成指数增长，而区间成正比增长，故以后没有根了，
即有 3 个根．
故选：C． 此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题.在解答的过程当中可以通过画图观察解
决，也可以通过对自然数 n 逐一取值进行验证获得解答． 此题考查的是根的存在性与根的个数判断问题.在解答的过程当中充分体现了数形结合 的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会反思．
6. 若������������������2(������ + 1) = 3，则������ = ______． 【答案】7 【解析】解：������������������2(������ + 1) = 3，可得������ + 1 = 8，解得������ = 7． 故答案为：7．
2018-2019学年上海市上海中学东校区高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市上海中学东校区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知,x R ∈则“1x =”是“2430x x -+=”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由1x =，得2430x x -+=，得充分性成立；由2430x x -+=，得1x =或3x =，故必要性不成立，得结论。
【详解】①若1x =，则2431430x x -+=-+=， 故充分性成立;②令243(1)(3)0x x x x -+=--=，解得1x =或3x =， 故必要性不成立;综上所述，“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件。
故选：A. 【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题，在求解时需验证充分性和必要性两个方面。
2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递增的为（ ） A.2y x = B.13y x =C.1y x -=D.12y x-=【答案】B【解析】根据常见初等函数的奇偶性和单调性即可推出结果. 【详解】对于A ：2y x =是偶函数,故A 不正确;对于C 、D 两个选项的函数都是幂函数y x α=，当0α<时，y x α=在(0,)+∞是减函对于B ：13y x =是奇函数且在(0,)+∞上单调递增,所以B 成立. 故选：B. 【点睛】本题考查常见的初等函数的奇偶性和单调性的判断,属于基础题.3．x 为实数，且|5||3|x x m -+-<有解，则m 的取值范围是（ ） A ．1m > B ．m 1≥C ．2m >D ．2m ≥【答案】C【解析】求出|x ﹣5|+|x ﹣3|的最小值，只需m 大于最小值即可满足题意． 【详解】53x x m -+-<有解，只需m 大于53x x -+-的最小值，532x x -+-≥，所以2m >，53x x m -+-<有解． 故选：C ． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查计算能力，是基础题．4．设函数()[]1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈，函数()2log g x x =，则方程()()f x g x =实数解的个数是（ ）. A.1个 B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】根据函数2()log g x x =在(0,)+∞上单调递增和在任意区间[,1)n n +，n N ∈上，函数()f x 的值为定值得在任意区间[,1)n n +，n N ∈上，方程()()f x g x =至多有一个实数解，再分别对(0,1)x ∈时，[1,2)x ∈时，[2,3)x ∈时，求得()()f x g x =的解，再运用数学归纳法证明[,1)x n n ∈+，3n ≥，n N ∈时，()()f x g x >恒成立，即()()f x g x =无解，从而得选项。
上海市上海中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1．函数的定义域为______．()()ln 1f x x =+-2．设函数为奇函数，则实数a 的值为______．()()()1x x a f x x+-=3．已知（且）的图像过定点P ，点P 在指数函数的图像上，则log 2a y x =+0a >1a ≠()y f x =______．()f x =4．方程的解为______．21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭5．对任意正实数x ，y ，，，则______．()()()f xy f x f y =+()94f =(3f=6．已知幂函数是R 上的增函数，则m 的值为______．()()257mf x m m x =-+7．已知函数的反函数是，则的值为______．()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<≤⎪⎩()1y f x -=112f -⎛⎫ ⎪⎝⎭8．函数的单调递增区间为______．234log 65y x x =++9．若函数（且）满足：对任意，，当时，()()2log 2a f x x ax =-+0a >1a ≠1x 2x122ax x <≤，则a 的取值范围为______．()()120f x f x ->10．已知，定义表示不小于x 的最小整数，若，则正数x 的取值范围0a >()f x ()()()3 6.5f x f x f +=为______．11．若函数（且）有且仅有一个零点，则实数m 的()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭0a >1a ≠取值范围为______．12．已知函数，的值域是，有下列结论：（1）时，()()1221log 1,123,x x x n f x n x m ----≤≤⎧⎪=⎨⎪-<≤⎩()n m <[]1,1-0n =；（2）时，；（3）时，，其中正确的结论的序号为(]0,2m ∈12n =1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭(],2m n ∈______．二、选择题13．下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是（ ）．()1,+∞A ．B ．C ．D ．()1f x x x=-()2xf x =()3f x x=-()21log 1x f x x +=--14．已知是定义在R 上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数m 满足()f x (),0-∞，则m 的取值范围是（ ）．()()11f m f ->-A ．B ．C ．（0，2）D ．(),0-∞()(),02,-∞⋃+∞()2,+∞15．如果函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为()f x 0x ()()()0011f x f x f +=+()f x “可拆分函数”，若为“可拆分函数”，则a 的取值范围是（ ）．()lg21x af x =+A ．B ．C ．D ．13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦(]3,+∞16．定义在上的函数满足，当时，，()1,1-()f x ()f x ()()111f x f x =+-(]1,0x ∈-()111f x x =-+若在内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是（ ）．()()12g x f x mx m=---()1,1-A ．B ．C ．D ．19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭19,416⎡⎫⎪⎢⎣⎭11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题17．已知函数的反函数是，()21x f x =-()1y f x -=()()4log 31g x x =+（1）画出的图像；()21x f x =-（2）解方程．()()1f x g x -=18．已知定义在R 上的奇函数（（且），）()x xf x ka a -=-0a >1a ≠k R ∈（1）求k 的值，并用定义证明当时，函数是R 上的增函数；1a >()f x （2）已知，求函数在区间上的取值范围．()312f =()22x xg x a a -=+[]0,119．松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，220t ≤≤当时电车为满载状态，载客为400人，当时，载客量会少，少的人数与的平1020t ≤≤210t ≤≤()10t -方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为．()p t （1）求的表达式；()p t （2）若该线路分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分()6150060p t Q t -=-钟的净收益最大？20．对于定义域为D 的函数，若存在区间，使得同时满足，①在()y f x =[],a b D ⊂()f x ()f x 上是单调函数，②当的定义域为时，的值域也为，则称区间为该函数[],a b ()f x [],a b ()f x [],a b [],a b 的一个“和谐区间”（1）求出函数的所有“和谐区间”；()3f x x =[],a b （2）函数是否存在“和谐区间”？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理()43f x x =-[],a b 由（3）已知定义在上的函数有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值()2,k ()421f x m x =--范围．21．定义在R 上的函数和二次函数满足：()g x ()h x ，，()()229x x g x g x e e +-=+-()()201h h -==()32h -=-（1）求和的解析式；()g x ()h x （2）若对于，，均有成立，求a 的取值范围；1x []21,1x ∈-()()11253h x ax g x e++≥+-（3）设，在（2）的条件下，讨论方程的解的个数．()()(),0,0g x x f x h x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦参考答案一、填空题1．2．3．4．5．1(]1,21a =()2xf x =25-6．2or 37．8．和（3，5）9．10．1x =-(),1-∞-(1,2245,33⎛⎤ ⎥⎝⎦11．12．（2）(],1-∞二、选择题13．D 14．C15．B16．B三、解答题17．（1）略（2）0or 118．（1） （2）1k =172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．（1）（2），()()[)[)24002102,1040010,20t t P t t ⎧--∈⎪=⎨∈⎪⎩5t =()()max60Q t =20．（1），，（2）不存在（3），[]1,0-[]0,1[]1,1-5k =5,32m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭21．（1），（2）()3x g x e =-()221h x x x =--+[]3,7-（3）当时，方程有5个根；3a =-当时，方程有3个根；()23,8a e ∈--当时，方程有2个根；28a e =-当时，方程有1个根；(28,7a e ⎤∈-⎦。
上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）上海市格致中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共5小题，共21.0分）1.若集合＜＜，，集合B={x||x|≤5，x Z}，则集合A∪B中的元素个数为（）A. 11B. 13C. 15D. 172.设函数f（x）与g（x）分别是定义在R上的奇函数与偶函数，函数f（x）的零点个数为F，g（x）的零点个数为G，且F、G都是常数．则下列判断正确的是（）A. F一定是奇数，G可能是奇数B. F可能是偶数，G一定是偶数C. F一定是奇数，G一定是偶数D. F可能是偶数，G可能是奇数3.设U为全集，A，B是集合，则“A∩B=∅”是“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知函数f（x）定义域为D，区间（m，n）⊆D，对于任意的x1，x2（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“＞”的（）A. 充分不必要条件B. 充分必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分又不必要条件5.给出下列说法：（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．那么其中正确的说法有（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个二、填空题（本大题共14小题，共60.0分）6.函数f（x）=的定义域为______．7.设集合M={0，1，2}，N={x|x2-3x+2≤0}，则M∩N=______．8.不等式组的解集为______．9.已知集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x N．且A∪B=A，则x=______．10.已知全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x2}，若∁U A⊊∁U B，则x=______．11.已知函数f（x）为奇函数，且当x＜0时，f（x）=x2-，则f（1）=______．12.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=6，则g（-2）=______．13.平面直角坐标系中，若点，在第三象限内，则实数a的取值范围是______．14.已知集合M={x|x2+x-6=0}，N={y|ay+2=0，a R}，若满足M∩N=N的所有实数a形成集合为A，则A的子集有个______．1 / 1415.定义|b-a|为区间（a，b）（a，b R，a＜b）的长度．则不等式＞的所有解集区间的长度和为______．16.若不等式x2+ax+b＜0的解集为（-3，-1），则不等式bx2+ax+1≤0的解集为______．17.若a、b为正实数，且a+b+3=ab，则ab的最小值为______．18.已知正数x、y满足：2x+y-xy=0，则x+2y的最小值为______．19.若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：（1）a=1；（2）b≠1；（3）c=3；（4）d≠4有且只有一个是正确的，则符合亲件的有序数组（a，b，c，d）的个数是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）20.已知集合A={x||x-2|＜a}，集合，且A⊆B，求实数a的取值范围．21.一次函数f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）（x+m），已知f[f（x）]=16x+5．（1）求f（x）（2）当x[1，3]时，g（x）有最大值13，求实数m的值．22.设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．23.已知函数f（x）=x2-2ax-2（a+1）（a R）．（1）求证：函数f（x）的图象与x轴恒有两个不同的交点A、B，并求此两交点之间距离的最小值；（2）若f（x）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）24.已知函数f（x）=lg（x2-mx-m），若f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数m的取值范围．3 / 14答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合={x|，x N}={4，5，6，7，8，9}，集合B={x||x|≤5，x Z}={x|-5≤x≤5，x Z}={-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5}，∴A∪B={-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．∴集合A∪B中的元素个数为15．故选：C．先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B，从而能求出求结果．本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．2.【答案】A【解析】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）=0，奇函数的图象关于原点对称，所以函数的零点个数一定是奇数个．g（x）是定义在R上的偶函数．函数的图象关于y轴对称，g（0）可能为0，所以函数的零点个数可能为奇数个．故选：A．利用函数的奇偶性，判断函数的零点个数，判断选项即可．本题考查函数的零点个数的判断，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4.【答案】B【解析】解：“”⇔（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，⇔x1-x2与f（x1）-f（x2）同号．∴对于任意的x1，x2（m，n）且x1≠x2，则“f（x）是（m，n）上的增函数”是“”的充要条件．故选：B．由“”⇔（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，⇔x1-x2与f（x1）-f（x2）同号．利用增函数的定义即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：对于（1）命题“若a、b都是奇数，则a+b是偶数”的否命题是“若a、b都不是奇数，则a+b不是偶数”；不满足否命题的形式，应该为：若a、b不都是奇数，则a+b不是偶数．所以（1）不正确；对于（2）命题“如果A∩B=A，那么A∪B=B”是真命题；满足集合的交集与并集的关系，正确；对于（3）“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．根据逆否命题的等价性可知，条件可转化为x+y=3是x=1且y=2的条件关系，当x=1且y=2，有x+y=3成立．但x+y=3时，比如x=2，y=1时，满足x+y=3，但此时x=1且y=2不成立．∴x+y=3是x=1且y=2成立的必要不充分条件．即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件．正确．故选：C．利用否命题的形式判断（1）的正误；集合关系判断（2）的正误；充要条件判断（3）的正误；5 / 14本题考查命题的真假的判断与应用，充要条件以及集合的关系四种命题的关系，考查基本知识的应用，是基础题．6.【答案】（-1，+∞）【解析】解：要使函数有意义，则x+1＞0，即x＞-1，故函数的定义域为（-1，+∞），故答案为：（-1，+∞）根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决本题的关键．7.【答案】{1，2}【解析】解：由N中不等式变形得：（x-1）（x-2）≤0，解得：1≤x≤2，即N=[1，2]，∵M={0，1，2}，∴M∩N={1，2}，故答案为：{1，2}求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.【答案】（0，1）【解析】解：由得，，解得0＜x＜1，所以不等式的解集是（0，1），故答案为：（0，1）．由一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法，求出不等式的解集．本题考查一元二次不等式的解法和绝对值不等式的解法的应用，属于基础题．9.【答案】0【解析】解：∵集合A={1，4，x}，B={1，x2}，其中x N．A∪B=A，∴B⊂A，上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）∴，解得x=0．故答案为：0．由已知得B⊂A，由此利用集合中元素的性质能求出结果．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．10.【答案】0或2【解析】解：全集U=N，集合A={1，4，x}，集合B={1，x}，若∁U A⊊∁U B，可得B⊊A，即有x2=4或x2=x，解得x=±2或0或1，检验x=-2舍去，x=1也不成立．则x=0，2成立．故答案为：0或2．由题意可得B⊊A，即有x2=4或x2=x，解出x，分别检验，即可得到所求x的值．本题考查集合的包含关系，以及集合的补集，考查判断能力，属于基础题．11.【答案】-2【解析】解：∵函数f（x）是奇函数，∴f（-1）=-f（1），∵当x＜0时，f（x）=x2-，∴f（1）=-f（-1）=-（1+1）=-2．故答案为-2．利用函数是奇函数，得到f（-1）=-f（1），利用f（1）和f（-1）的关系进行求值．本题主要考查函数奇偶性的应用，利用函数的奇偶性将f（1）转化为f（-1）是解决本题的关键，比较基础．12.【答案】-2【解析】解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，g（x）=f（x）+ax3+2，若g（2）=f（2）+8a+2=6，则f（2）+8a=4．7 / 14∴g（-2）=f（-2）-8a+2=-f（2）-8a+2=-4+2=-2，故答案为：-2．由条件求得f（2）+8a=4，再根据g（-2）=-f（2）-8a+2 求得结果．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．13.【答案】，【解析】解：∵点在第三象限内，∴，则，解得，∴实数a的取值范围是，故答案为：．由第三项象限点的特点列出不等式组，化简后求出解集，可得实数a的取值范围．本题考查了分式不等式的化简及求解，属于基础题．14.【答案】8【解析】解：∵集合M={x|x2+x-6=0}={-3，2}，N={y|ay+2=0，a R}={-}，∵M∩N=N，∴N⊂M，∴-不存在，或-=-3，或-，解得a=0或a=或a=-1，∴集合A={-1，0，}，∴A的子集有23=8个．故答案为：8．求出集合M={-3，2}，N={-}，由M∩N=N，得N⊂M，从而-不存在，或-=-3，或-，进而求出集合A，由此能求出A的子集个数．上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）本题考查集合的子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．15.【答案】8【解析】解：由得，化简得，即，等价于（x-2）（x-8）x（x+2）＜0，如图所示：由图可得，不等式的解集是（-2，0）∪（2，8），∴不等式所有解集区间的长度和是2+6=8，故答案为：8．将分式不等式右边化零、并因式分解后，进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集．本题考查分式不等式的化简、及等价转化，以及穿根法的应用，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．16.【答案】[-1，-]【解析】解：不等式x2+ax+b＜0的解集为（-3，-1），∴方程x2+ax+b=0的两个实数根为-3和-1，由根与系数的关系得：a=4，b=3，故bx2+ax+1≤0可化为：3x2+4x+1≤0，解得-1≤x≤-；所求不等式bx2+ax+1≤0的解集为[-1，-]．故答案为：[-1，-]．9 / 14根据不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值，再求不等式bx2+ax+1≤0的解集．本题考查了一元二次不等式的解法与对应二次方程根与系数的关系应用问题，是基础题目．17.【答案】9【解析】解：∵a、b为正实数，∴a+b+3=ab≥+3，化为：≥0，解得≥3，即ab≥9．当且仅当a=b=3时取等号．则ab的最小值为9．故答案为：9．a、b为正实数，可得a+b+3=ab≥+3，化为：≥0，解出即可得出．本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】9【解析】解：∵正数x、y满足：2x+y-xy=0，∴=1．则x+2y=（x+2y）=5++≥5+2×=9，当且仅当x=y=3时取等号．因此x+2y的最小值为9．故答案为：9．正数x、y满足：2x+y-xy=0，可得=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19.【答案】4【解析】上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）解：集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：（1）a=1；（2）b≠1；（3）c=3；（4）d≠4有且只有一个是正确的，假设只有（1）正确，则a=1，b=1，矛盾，故（1）错误；假设只有（2）正确，则a≠1，b≠1，c≠3，d=4，满足条件的有序数组（a，b，c，d）为（3，2，1，4），（2，3，1，4）；假设只有（3）正确，则a≠1，b=1，c=3，d=4，满足条件的有序数组（a，b，c，d）为（2，1，3，4）；假设只有（4）正确，则a≠1，b=1，c≠3，d=4，满足条件的有序数组（a，b，c，d）为（3，1，2，4）．综上，符合亲件的有序数组（a，b，c，d）的个数是4．故答案为：4．假设只有（1）正确，则a=1，b=1，矛盾；假设只有（2）正确，则a≠1，b≠1，c≠3，d=4；假设只有（3）正确，则a≠1，b=1，c=3，d=4；假设只有（4）正确，则a≠1，b=1，c≠3，d=4．由此能求出符合亲件的有序数组（a，b，c，d）的个数．本题考查满足条件的有序数组的个数的求法，考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】解：由≤1，化为：≤0，解得-2≤x≤3，即B=[-2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0适合题意．a＞0时，A=[2-a，2+a]，A⊆B，∴-2≤2-a，2+a≤3，a＞0，解得0＜a≤1．综上可得：实数a的取值范围是（-∞，1]．【解析】由≤1，化为：≤0，可得B=[-2，3]．a≤0时，A=∅，满足A⊆B，因此a≤0适合题意．a＞0时，A=[2-a，2+a]，根据A⊆B，即可得出．本题考查了不等式的解法、集合之间的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）一次函数f（x）是R上的增函数，可设f（x）=ax+b，（a＞0）；∴f[f（x）]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b=16x+5，11 / 14∴ ，解得或（不合题意舍去）；∴f（x）=4x+1；（2）g（x）=f（x）（x+m）=（4x+1）（x+m）=4x2+（4m+1）x+m，是二次函数，开口向上，且对称轴为x=-，①当-≤1，即m≥-时，g（x）在[1，3]上是单调增函数，令g（x）max=g（3）=39+13m=13，解得m=-2，符合题意；②当-＞1，即m＜-时，g（x）max=g（1）=5+5m=13，解得m=，不符合题意；由①②可得m=-2．【解析】（1）根据题意设f（x）=ax+b，（a＞0），利用f[f（x）]=16x+5求出a、b的值即可；（2）求出g（x）解析式，知g（x）是二次函数，开口向上，对称轴为x=-，讨论-≤1和-＞1时，求出g（x）max，得出对应m的值．本题考查了函数解析式的应用以及二次函数的图象与性质的应用问题，是综合性题目．22.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2-8x+1≤4，求得-≤x≤，∴N=[-，]，∴M∩N=[0，]．∵当x M∩N时，f（x）=1-x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=-≤，故要证的不等式成立．【解析】上海市格致中学2018-2019年高一上学期期中考试数学试题（解析版）13 / 14（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或 ②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g （x ）≤4，求得N ，可得M∩N=[0，]．当x M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为-，显然它小于或等于，要证的不等式得证． 本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．23.【答案】（1）证明：∵f （x ）=x 2-2ax -2（a +1）（a R ），∴△=4a 2-4×（-2）（a +1）=4（a +1）2+4＞0恒成立，∴函数f （x ）的图象与x 轴恒有两个不同的交点A 、B ，设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1+x 2=2a ，x 1x 2=-2（a +1），则|AB |2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=4（a +1）2+4≥4（当且仅当a =-1时取等号），∴|AB |min =2．（2）解：若f （x ）+3≥0在区间（-1，+∞）上恒成立，则x 2-2ax -2（a +1）+3=x 2-2ax -2a +1≥0（x ＞-1）恒成立，分离参数a 得：2a （x +1）≤x 2+1（x ＞-1）恒成立，∵x ＞-1，∴x +1＞0，∴2a ≤（）min ， ∵ =x +1+ -2≥2-2=2 -2， ∴（）min =2 -2， ∴a ≤ -1．【解析】（1）利用△=4（a+1）2+4＞0恒成立，可证得：函数f （x ）的图象与x 轴恒有两个不同的交点A 、B ，设A （x 1，0），B （x 2，0），利用韦达定理知x 1+x 2=2a ，x 1x 2=-2（a+1），可求得|AB|2≥4，从而可得此两交点之间距离的最小值；（2）依题意，可分离参数a ，得到2a≤（）min ，利用基本不等式可求得（）min=2-2，于是可求实数a 的取值范围．本题考查函数恒成立问题，着重考查二次函数的性质的应用，分离参数a ，利用基本不等式求得（）min =2-2是关键，属于难题．24.【答案】解：根据题意，设t =x 2-mx -m ，则y =lg t ，若f （x ）在（1，+∞）上是增函数，则t =x 2-mx -m 在（1，+∞）上为增函数，且t =x 2-mx -m＞0恒成立，则有，解可得m≤，即m的取值范围为（-∞，]．【解析】根据题意，设t=x2-mx-m，则y=lgt，由复合函数的单调性判断方法以及函数的定义域分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性和单调性的性质以及应用，涉及复合函数的单调性，属于基础题．。
上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题
绝密★启用前 上海市格致中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知直线a ，若直线b 同时满足下列条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 距离为定值d ；则这样的直线b （ ） A.唯一确定 B.有两条 C.有四条 D.有无数条 2．已知函数()f x 满足：()()()f x y f x f y +=⋅并且(1)1f =，那么2222((1))((2))((3))((1010))(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f +++⋅⋅⋅的值为（ ） A.2019 B.1010 C.4038 D.3030 3．对于函数()f x ，若存在实数m ，使得()()f x m f m +-为R 上的奇函数，则称()f x 是位差值为m 的“位差奇函数”，判断下列函数：①()21f x x =+；②2(1)2f x x x =++；③()2x f x =；④3()sin(4f x x π=+中是“位差奇函数”的有（ ）A.1B.2C.3D.4 4．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方 向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这 样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )…………○…………线…………○……答※※题※※ …………○…………线…………○……A. B.C.D.第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题5．设集合{2,0,1,9}A=，{|2,}B x x a a A==∈，则A B的所有元素之和为________6．已知sin()45πα-=，35(,)44ππα∈，则sinα=________7．若2(1)(2)3lim42na nb nn→∞-++-=+，则a b+=________8．已知()2n1(2x)n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示)9．已知x,y满足约束条件10xx yx y m-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1yx+的最大值为2，则m的值为__________．10．已知函数()|21|xf x a=--，若存在实数1x、2x（12x x≠），使得12()()1f x f x==-，则实数a的取值范围为________.11．已知复数z满足i1iz z+=-，则220181z z z+++⋅⋅⋅+=________12．在平面直角坐标系xOy中，直线l经过坐标原点，(3,1)n=是l的一个法向量，已知数列{}n a满足：对任意的正整数n，点1,()n na a+均在l上，若26a=，则12345a a a a a的值为____13．将1,2,3,4,5,6随机排成一列，记为a，b，c，d，e，f，则abc def+是偶数的概率为______14．在菱形ABCD中，||4AB AD-=，||2AB AD+=，13AF AD=，12DE EC=，则BF AE⋅=________15．已知椭圆22221x ya b+=（0a b>>），F为椭圆的右焦点，AB为过椭圆中心O的弦，则△ABF面积的最大值为_____外…………○………○…………※※※※装※※订※※线※※内…………○………○…………()1f π=，()22f π=，则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______． 三、解答题 17．设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC∆面积的最大值.18．如图所示，在三棱锥P ABC -中，PD ⊥平面ABC ，且垂足D 在棱AC 上，1AD =，AB BC ==3CD =，PD =（1）证明：△PBC 为直角三角形；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角θ的正弦值.19．如图，两条相交线段AB 、PQ 的四个端点都在椭圆22143x y +=上，其中直线AB 的方程为0x m =>，直线PQ 的方程为12y x n =+.（1）若0n =，BAP BAQ ∠=∠，求m 的值；（2）探究：是否存在常数m ，当n 变化时，恒有BAP BAQ ∠=∠？20．已知函数2()ax bx cf x x d ++=+（其中a ，b ，c ，d 是实数常数，x d ≠-）.（1）若0a =，函数()f x 的图象关于点(1,3)-成中心对称，求b ，d 的值； （2）若函数()f x 满足条件（1），且对任意0[3,10]x ∈，总有0()[3,10]f x ∈，求c 的取值范围； （3）若0b =，函数()f x 是奇函数，(1)0f =，3(2)2f -=-，且对任意[1,)x ∈+∞时，不等式()()0f mx mf x +<恒成立，求负实数m 的取值范围． 21．对于无穷数列{}n a ，若对任意*n N ∈，满足212n n n a a a +++≤且n a M ≤（M 是与n 无关的常数），则称数列{}n a 为T 数列. （1）若1(2n n a =-（*n N ∈），判断数列{}n a 是否为T 数列，说明理由； （2）设350()2n n b n =-，求证：数列{}n b 是T 数列，并求常数M 的取值范围； （3）设数列|1|n p c n =-（*n N ∈，1p >），问数列{}n c 是否为T 数列？说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】由题设条件，可作出两个平面，两异面直线分别在两个平面上，以保证两异面直线等距离，结合图象，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出如图所示的图形，其中//,,a b αβαβ⊂⊂，且,a b 异面，则平面β与b 平行的线都满足要求，所以这样的直线由无数条.故选D.【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，以及异面直线的定义、夹角、距离等概念是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2．B【解析】【分析】根据()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，求得()()()()123f f f f n ====，即可求解.【详解】 由题意，函数满足()()()f x y f x f y +=⋅，且(1)1f =，令,1x n y ==，可得()()1f n f n +=，即()()()()123f f f f n ====，所以2222222((1))((2))((3))((1010))(1)(2)(1010)1010(1)(3)(5)(2019)f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅=+++=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了抽象函数，以及数列的求和的应用，解答中合理赋值，得到()()1f n f n +=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．B【解析】【分析】根据题意，结合“位差奇函数”的定义依次分析四个选项中的函数是否是“位差奇函数”，即可求解，得到答案.【详解】对于①中，函数()21f x x =+，则()()2()1(21)2f x m f m x m m x +-=++-+=，则对任意的实数m ，函数()()f x m f m +-是奇函数，即函数()f x 是位差值为任意实数m 的“位差奇函数”；对于②中，函数22()21(1)f x x x x =++=+，则()()22(1)f x m f m x m x +-=++， 设()22(1)h x x m x =++不会是奇函数，所以函数2(1)2f x x x =++不是“位差奇函数”； 对于③中，函数()2x f x =，则()()222(21)x m m m x f x m f m ++-=-=-，对任意实数m ，函数()()f x m f m +-都不是奇函数，所以()2x f x =不是“位差奇函数”；对于④中，函数3()sin()4f x x π=+，则()()33sin()sin()44f x m f m x m m ππ+-=++-+， 取4m π=时，可得()()sin()sin sin f x m f m x x ππ+-=+-=-是奇函数， 所以函数3()sin()4f x x π=+是“位差奇函数”. 故选：B.【点睛】 本题主要考查了函数的新定义，以及函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中正确理解函数的新定义，逐项准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．A【解析】【详解】如图：如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的 倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点。
2018-2019学年上海市上海中学高一上学期期末考数学试卷含详解
2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数()ln(1)f x x =+-的定义域为________.2.设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______．3.已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．4.方程21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．5.对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f=______．6.已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．7.已知函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.8.函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______．9.若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．10.已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．11.已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．12.已知函数()()1221log 1,123,x x x nf x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．二、选择题13.下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是．A.()1f x xx=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3f x x=- D.()21log 1x f x x +=--14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m的取值范围是A.(),0-∞ B.()(),02,-∞+∞ C.（0，2） D.()2,+∞15.如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg 21xaf x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是A.13,22⎛⎫⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫⎪⎝⎭C.3,32⎛⎤⎥⎝⎦D.(]3,+∞16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+-当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+若函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是A.19,416⎛⎫⎪⎝⎭B.19[,416C.11[,)42D.11,42⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17.已知函数()21xf x =-的反函数是()1y fx -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1fx g x -=．18.已知定义在R 上的奇函数()xxf x ka a-=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．19.松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t-=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．21.定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229xx g x g x e e+-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．2018学年上海中学高一年级第一学期期末试卷2019．1一、填空题1.函数()ln(1)f x x =+-的定义域为________.【答案】(1,2].【分析】使表达式有意义，直接解不等式组可得.【详解】由2010x x -≥⎧⎨->⎩得：12x <≤，故答案为：(1,2]【点睛】此题考函数定义域的求法，属于简单题.2.设函数()()()1x x a f x x+-=为奇函数，则实数a 的值为______．【答案】1a =【分析】一般由奇函数的定义应得出()()0f x f x +-=，但对于本题来说，用此方程求参数的值运算较繁，因为()()0f x f x +-=是一个恒成立的关系故可以代入特值得到关于参数的方程求a 的值．【详解】解： 函数(1)()()x x a f x x+-=为奇函数，()()0f x f x ∴+-=，(1)(1)0f f ∴+-=，即2(1)00a -+=，1a \=．故答案为1．【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，其特征是利用函数的奇偶性建立方程求参数，在本题中为了减少运算量，没有用通用的等式来求a 而是取了其一个特值，这在恒成立的等式中，是一个常用的技巧．3.已知log 2a y x =+（0a >且1a ≠）的图像过定点P ，点P 在指数函数()y f x =的图像上，则()f x =______．【答案】()2xf x =【分析】由题意求出点P 的坐标，代入()f x 求函数解析式．【详解】解：由题意log 2a y x =+，令1x =，则2y =，即点(1,2)P ，由P 在指数函数()f x 的图象上可得，令()x f x a =()01a a >≠且12a ∴=，即2a =，故()2xf x =故答案为()2xf x =【点睛】本题考查了对数函数与指数函数的性质应用，属于基础题．4.方程21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭的解为______．【答案】25-【分析】将方程转化为同底指数式，利用指数相等得到方程，解得即可．【详解】21193xx +⎛⎫= ⎪⎝⎭()22133x x+-∴=()221x x ∴+=-解得25x =-故答案为25-【点睛】本题考查指数幂的运算，以及指数方程，关键是将方程转化为同底指数式，属于基础题．5.对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，则f =______．【答案】1【分析】由题意，对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，采用特殊值法，求出f ．【详解】解：由题意，对任意正实数x ，y ，()()()f xy f x f y =+，()94f =，令3x y ==则()()()()933334f f f f =⨯=+=()32f ∴=令x y ==()32f fff ==+=1f∴=故答案为1【点睛】本题考查抽象函数求函数值，根据题意合理采用特殊值法是解答的关键，属于基础题．6.已知幂函数()()257mf x m m x =-+是R 上的增函数，则m 的值为______．【答案】3【分析】根据幂函数的定义与性质，即可求出m 的值．【详解】由题意()()257mf x m m x =-+是幂函数，2571m m ∴-+=，解得2m =或3m =，又()f x 是R 上的增函数,则3m =.故答案为：3.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，解题的关键是得出关于m 的方程和不等式，是基础题．7.已知函数()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，则112f -⎛⎫= ⎪⎝⎭______.【答案】-1【分析】由题意，令1()2f x =，根据分段函数解析式，直接求解，即可得出结果.【详解】令1()2f x =，因为()()()220log 01x x f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩，当0x ≤时，()2xf x =，由1()2f x =，得122x=，解得1x =-；当01x <<时，()2log f x x =，由1()2f x =，得21log 2x =，解得x =；又函数()()()220log 01xx f x x x ⎧≤⎪=⎨<<⎪⎩的反函数是()1f x -，所以1112f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故答案为1-【点睛】本题主要考查由函数值求自变量的值，考查了反函数的性质，会用分类讨论的思想求解即可，属于常考题型.8.函数234log 65y x x =-+的单调递增区间为______．【答案】(),1-∞-和（3，5）【分析】令2()|65||(1)(5)|0t x x x x x =-+=-->，可得函数()f x 的定义域为()()(),11,55,-∞+∞ ．本题即求()t x 在函数()f x 的定义域的减区间，数形结合可得函数()t x 的减区间．【详解】令2()|65||(1)(5)|0t x x x x x =-+=-->，可得1x ≠，且5x ≠，故函数()f x 的定义域为()()(),11,55,-∞+∞ .由于34()log ()f x t x =，根据复合函数的单调性，本题即求()t x 在函数()f x 的定义域上的减区间．画出函数()t x 的图象，如图：故函数()t x 的减区间(,1)-∞、()3,5，故答案为(,1)-∞、()3,5．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性规律的应用，二次函数的性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．9.若函数()()2log 2a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）满足：对任意1x ，2x ，当122ax x <≤时，()()120f x f x ->，则a 的取值范围为______．【答案】(1,【分析】确定函数为单调减函数，利用复合函数的单调性：知道1a >且真数恒大于0，求得a 的取值范围．【详解】解：令2222(224a a y x ax x =-+=-+-在对称轴左边递减，∴当122ax x <时，12y y > 对任意的1x ，2x 当122ax x <时，21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >故应有1a >又因为22y x ax =-+在真数位置上所以须有2204a ->∴a -<<综上得1a <<故答案为(1,【点睛】本题考查了复合函数的单调性．复合函数的单调性的遵循原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．10.已知0x >，定义()f x 表示不小于x 的最小整数，若()()()3 6.5f x f x f +=，则正数x 的取值范围为______．【答案】45,33⎛⎤⎥⎝⎦【分析】由题意可得63()7x f x <+，即63()73x f x x -<-，对x 的范围进行讨论得出答案．【详解】解：()(3()) 6.5f x f x f += ，(3())7f x f x ∴+=63()7x f x ∴<+，63()73x f x x∴-<-当01x <时，()1f x =，632x -，不符合题意；当2x 时，()2f x ，731x -≤，不符合题意；当12x <<时，()2f x =，∴63273x x ∴-<-，解得4533x <．故答案为45,33⎛⎤⎥⎝⎦．【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．11.已知函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m ≤-或12m =-或0m =【详解】∵函数()()2log 2log 21a a f x mx m x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭（0a >且1a ≠）只有一个零点，∴22210mx m x+=++>∴()()2mx 10x -+=当m 0=时，方程有唯一根2，适合题意当m 0≠时，2x =或1x m=-1x m =-显然符合题意的零点∴当12m -=时，1m 2=-当12m -≠时，220m +≤，即1m ≤-综上：实数m 的取值范围为1m ≤-或12m =-或0m =故答案为1m ≤-或12m =-或0m =点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12.已知函数()()1221log 1,123,x x x n f x n x m --⎧--≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，()n m <的值域是[]1,1-，有下列结论：（1）0n =时，(]0,2m Î；（2）12n =时，1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；（3）10,2n ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭时，(],2m n ∈，其中正确的结论的序号为______．【答案】（2）【分析】根据函数函数的单调性及分段函数的定义，画出函数图象，根据图象即可求得答案．【详解】解：当1x >时，10x ->，213()2323x x f x -+-=-=-，单调递减，当11x -<<时，211()2323x x f x +-+=-=-，单调递增，2|1|()23x f x --∴=-在(1,1)-单调递增，在(1,)+∞单调递减，∴当1x =时，取最大值为1，∴绘出()f x的图象，如图：①当0n =时，1221(1)10()230x log x x f x x m ----⎧⎪=⎨⎪-<⎩，由函数图象可知：要使()f x 的值域是[1-，1]，则(1m ∈，2]；故（1）错误；②当12n =时，12()(1)f x log x =-，()f x 在[1-，12单调递增，()f x 的最大值为1，最小值为1-，∴1(,2]2m ∈；故（2）正确；③当1[0,2n ∈时，[1m ∈，2]；故（3）错误，故答案为（2）【点睛】本题考查函数的性质，分段函数的图象，考查指数函数的性质，函数的单调性及最值，考查计算能力，属于难题．二、选择题13.下列函数中，是奇函数且在区间()1,+∞上是增函数的是．A.()1f x xx=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()3f x x=- D.()21log 1x f x x +=--【答案】D【分析】根据函数的奇偶性的定义及函数的单调性进行判断．【详解】解：在A 中，1()f x x x=-是奇函数，在区间(1,)+∞上是减函数，故A 错误；在B 中，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数，但在区间(1,)+∞上是减函数，故B 错误；在C 中，3()f x x =-是奇函数且在区间(1,)+∞上是减函数，故C 错误；在D 中，21()log 1x f x x +=--是奇函数且在区间(1,)+∞上是增函数，故D 正确．故选D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，若实数m 满足()()11f m f ->-，则m的取值范围是A.(),0-∞ B.()(),02,-∞+∞ C.（0，2） D.()2,+∞【答案】C【分析】根据函数()f x 为R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，可得函数在()0,∞+上的单调性，然后将函数不等式转化为自变量的不等式，即可解得．【详解】由题意，函数()f x 为R 上的偶函数，且在区间(),0-∞上单调递增，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递减，()()11f m f ->- 11m ∴-<-解得02m ∴<<即()0,2m ∈故选C【点睛】本题考查偶函数的性质，偶函数图象关于y 轴对称，在关于原点对称的区间上具有相反的单调性，利用函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，属于基础题．15.如果函数()f x 在其定义域内存在实数0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，则称函数()f x 为“可拆分函数”，若()lg21x a f x =+为“可拆分函数”，则a 的取值范围是A.13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.3,32⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.(]3,+∞【答案】B 【分析】根据条件将问题转化为方程0021213(21)x x a a +=++在0x R ∈上有解的问题即可得解．【详解】解：()21x af x lg =+ ,0x R a ∴∈> 函数()21x a f x lg =+为“可拆分函数”，∴存在实数0x ，使00021321213(21)x x x a a a a lg lg lg lg +=+=+++成立，∴方程0021213(21)x x aa +=++在0x R ∈上有解，即000113(21)331222121x x x a +++==+++ 在0x R ∈上有解，0x R ∈ ，∴011(0,1)21x +∈+，3,32a ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，a ∴的取值范围为：3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选B【点睛】本题主要考查了函数值的计算和对新定义的理解，关键是将问题转化为方程有解问题，属中档题．16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()111f x f x =+-当(1,0]x ∈-时，()111f x x=-+若函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是A.19,416⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.19[,416 C.11[,)42 D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【详解】若()0,1x ∈，则()11,0x -∈-，()()1111,111f x f x x x x-=-==-+，根据函数的平移变换与翻折变换，画出()12f x -在()1,1-上的图象，则()1y m x =+与()12y f x =-的图象有三个交点时，函数()102f x mx m ---=有三个零点，可得()()111122,114012AC AB k k ====----，()1y m x =+是斜率为m ，且过定点()1,0A -的直线，绕()1,0A -旋转直线，由图知，当1142m ≤<时，直线与曲线有三个交点，函数()()12g x f x mx m =---在()1,1-内恰有3个零点，m ∴的取值范围是11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选C.【方法点睛】已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数的图象的交点个数问题.三、解答题17.已知函数()21x f x =-的反函数是()1y f x -=，()()4log 31g x x =+（1）画出()21xf x =-的图像；（2）解方程()()1f xg x -=．【答案】（1）详见解析；（2）0x =或1x =．【分析】（1）作图见解析；（2）先求出()21xf x =-的反函数，再利用换底公式将底数化成一样的，即可得到关于x 的方程，需注意对数的真数大于零．【详解】（1）如图：（2）()21x f x =- 即21x y =-12xy ∴+=()2log 1x y ∴=+()()12log 1f x x -∴=+()()4log 31g x x =+ ()()1f x g x -∴=即()()24log 1log 31x x +=+()()421log 31log 312x x +=+ ()()221log 1log 312x x ∴+=+()213110310x x x x ⎧+=+⎪∴+>⎨⎪+>⎩解得0x =或1x =【点睛】本题考查求反函数的解析式，以及函数方程思想，属于基础题．18.已知定义在R 上的奇函数()x x f x ka a -=-（（0a >且1a ≠），k ∈R ）（1）求k 的值，并用定义证明当1a >时，函数()f x 是R 上的增函数；（2）已知()312f =，求函数()22x xg x a a -=+在区间[]0,1上的取值范围．【答案】（1）1k =，证明见解析；（2）172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数()f x 为R 上的奇函数，可求得k 的值，即可得函数()f x 的解析式，根据函数单调性的定义，利用作差法，即可证得函数的单调性；（2）根据()1f 的值，可以求得a ，即可得()g x 的解析式，利用换元法，将函数()g x 转化为二次函数，利用二次函数的性质，即可求得值域；【详解】解：（1）()x x f x ka a -=- 是定义域为R 上的奇函数，(0)0f ∴=，得1k =，()x x f x a a -∴=-，()()x x f x a a f x --=-=- ，()f x ∴是R 上的奇函数，设任意的21,x x R ∈且21x x >，则22112112211()()()()()(1)x x x x x x x x f x f x a a a a a a a a---=---=-+ ，1a >Q ，21x x a a ∴>，21()()0f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数；（2）()312f =，132a a ∴-=，即22320a a --=，2a ∴=或12a =-（舍去），则22()22x x g x -=+，[]0,1x ∈，1()44x xg x =+令4x t =，则[]1,4t ∈，则1()g t t t=+，[]1,4t ∈由对勾函数的性质可得1()g t t t =+在[]1,4t ∈上单调递增，故17()2,4g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()g x ∴的值域为172,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．属于中档题．19.松江有轨电车项目正在如火如荼地进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足220t ≤≤，市场调研测试，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当1020t ≤≤时电车为满载状态，载客为400人，当210t ≤≤时，载客量会少，少的人数与()10t -的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客为272人，记电车载客为()p t ．（1）求()p t 的表达式；（2）若该线路分钟的净收益为()6150060p t Q t -=-（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【答案】（1）24002(10),210()400,1020t t p t t ⎧--<=⎨⎩（2）5t =，()()max 60Q t =【分析】（1）由题意知，2400(10),210()(400,1020k t t p t k t ⎧--<=⎨⎩为常数），结合()2272p =求得2k =，则()p t 的表达式可求；（2）写出分段函数21(12180300),2101(60900),1020t t t t Q t t t⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【详解】解：（1）由题意知，2400(10),210()(400,1020k t t p t k t ⎧--<=⎨⎩为常数），()22400(102)272p k =--= ，2k ∴=．24002(10),210()400,1020t t p t t ⎧--<∴=⎨⎩．（2）由6()150060p t Q t-=-，可得21(12180300),2101(60900),1020t t t t Q t t t⎧-+-<⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，当210t <时，300180(1218060Q t t =-+-=，当且仅当5t =时等号成立；当1020t 时，90060609030Q t =-+-+=，当10t =时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点睛】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.对于定义域为D 的函数()y f x =，若存在区间[],a b D ⊂，使得()f x 同时满足，①()f x 在[],a b 上是单调函数，②当()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域也为[],a b ，则称区间[],a b 为该函数的一个“和谐区间”（1）求出函数()3f x x =的所有“和谐区间”[],a b ；（2）函数()43f x x=-是否存在“和谐区间”[],a b ？若存在，求出实数a ，b 的值；若不存在，请说明理由（3）已知定义在()2,k 上的函数()421f x m x =--有“和谐区间”，求正整数k 取最小值时实数m 的取值范围．【答案】（1）[]1,0-，[]0,1，[]1,1-；（2）不存在；理由见解析；（3）5823，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m 【分析】（1）根据“和谐”函数的定义，建立条件关系，即可求3y x =符合条件的“和谐”区间；（2）判断函数()43f x x=-是否满足“和谐”函数的条件即可；（3）根据函数()f x 是“和谐”函数，建立条件关系，即可求实数m 的取值范围．【详解】（1）因为函数()3f x x =在R 上单调递增，所以有3311a a a b b b a b ⎧==-⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩或10a b =-⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩；即[][],1,1a b =-或[][],1,0a b =-或[][],0,1a b =．（2）画出函数()43f x x=-的图象()43,0443,03443,3x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪∴=-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩由图可知函数在(),0-∞，4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减；且函数值域为[)0,+∞，故在(),0-∞上不存在“和谐区间”；假设函数在区间40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦存在“和谐区间”[],a b ，则4343b a a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩方程组无解，假设不成立；同理可得函数在区间4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭也不存在“和谐区间”．故函数()43f x x=-不存在“和谐区间”．（3）()421f x m x =-- 在()2,k 上有“和谐区间”，所以存在区间[],a b ，使函数()f x 的值域为[],a b ，()421f x m x =-- 函数在()2,k 上单调递增()421f x m x ∴=--在[],a b 单调递增，即421421a m a b m b ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，,a b ∴为关于x 的方程42-1x m x =-的两个实根，即方程421x m x =--在()2,k 上有两个不等的实根，即421m x x =+-在()2,k 上有两个不等的实根，令()4(),21g x x x x =+>-与2y m =，问题转化为函数()4(),21g x x x x =+>-与2y m =，在()2,k 上存在两个不同的交点.考察函数()4(),21g x x x x =+>-如图函数()4()21=+>-g x x x x 在()23，单调递减，在[)3,+∞上单调递增.min 4()(3)3531g x g ==+=-，且()()256==g g ，∵函数()g x 在()2,3上递减，当23k <≤时，直线2y m =与函数()y g x =不可能有两个交点，∴3k >∵()g x 在()3,k 递增，由图象可知，当3k >时，函数()y g x =与2y m =在()2,k 存在两个交点，所以正整数k 的最小值为4，()1643= g ，此时，16523<<m ，解得5823<<m .故5823，⎛⎫∈ ⎪⎝⎭m .【点睛】本题主要考查“和谐”函数的定义及应用，将“和谐”函数的定义转化为函数的零点个数是解决本题的关键，考查化归与转化思想以及数形结合思想的应用，属于中等题.21.定义在R 上的函数()g x 和二次函数()h x 满足：()()229x x g x g x e e+-=+-，()()201h h -==，()32h -=-（1）求()g x 和()h x 的解析式；（2）若对于1x ，[]21,1x ∈-，均有()()11253h x ax g x e ++≥+-成立，求a 的取值范围；（3）设()()(),0,0g x x f x h x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，在（2）的条件下，讨论方程()5f f x a =+⎡⎤⎣⎦的解的个数．【答案】（1）()3x g x e =-，()221h x x x =--+；（2）[]3,7-；（3）见解析【分析】（1）通过x -代替x ，推出方程，求解函数()g x 的解析式．利用()h x 是二次函数，且(2)(0)1h h -==，可设()(2)1h x ax x =++，然后求解即可．（2）设2()()5(2)6x h x ax x a x φ=++=-+-+，()33x x F x e e e e =-+-=-，转化条件为当11x -时，()()min max x F x φ，通过函数的单调性求解函数的最值，列出关系式即可求出实数a 的取值范围．（3）设5t a =+，由（2）知，画出函数在212()t f x 的图象，设()f x T =，则()f T t =当2t =，当223t e <<-，当23t e =-，当2312e t -<，分别判断函数的图象交点个数，得到结论．【详解】解：（1） 2()2()9x x g x g x e e +-=+-，①2()2()9x x g x g x e e ---+=+-，即1()2()29x x g x g x e e-+=+-，②由①②联立解得：()3x g x e =-．()h x 是二次函数，且(2)(0)1h h -==，可设()(2)1h x ax x =++，由(3)2h -=-，解得1a =-．2()(2)121h x x x x x ∴=-++=--+()3x g x e ∴=-，2()21h x x x =--+．（2）设2()()5(2)6x h x ax x a x φ=++=-+-+，()33x x F x e e e e =-+-=-，依题意知：当11x -时，()()min maxx F x φ()x F x e e =-，在[]1,1-上单调递增，()()10max F x F ∴==∴(1)70(1)30a a φφ-=-⎧⎨=+⎩，解得：37a -∴实数a 的取值范围为[]3,7-．（3）设5t a =+，由（2）知，212()t f x ，的图象如图所示：设()f x T =，则()f T t=当2t =，即3a =-时，11T =-，25T ln =，()1f x =-有两个解，()5f x ln =有3个解；当223t e <<-，即238a e -<<-时，(3)T ln t =+且52ln T <<，()f x T =有3个解；当23t e =-，即28a e =-时，2T =，()f x T =有2个解；当2312e t -<，即287e a -<时，(3)2T ln t =+>，()f x T =有1个解．综上所述：当3a =-时，方程有5个解；当238a e -<<-时，方程有3个解．【点睛】本题考查函数恒成立，二次函数的性质，函数的导数的综合应用，函数的图象以及函数的零点个数的求法，考查分类讨论思想数形结合思想以及转化思想的应用．。