Bezier曲面算法及Bezier曲线
Bezier曲线曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,在采用传统的 曲线曲面表示方法时,曲线曲面形状不易控制，且修 改任意一个型值点都会影响整个曲线曲面，且变化难 以预测。已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了 一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
（4）对称性
Bi ,n (t ) = Bn −i ,n (t )
因为
n Bn −i ,n (t ) = Cn −i [1 − (1 − t )]n −i ⋅ (1 − t ) n −( n −i )
=C t
i n −i n
(1 − t ) = Bi ,n (1 − t )
i
(5）递推性。
Bi ,n (t ) = (1 − t ) Bi ,n −1 (t ) + tBi −1,n −1 (t ), (i = 0,1,..., n)
c.）二阶导矢 P' ' (t ) = n(n − 1)∑ ( Pi + 2 − 2 Pi +1 + Pi ) Bi,n−2 (t ) i =0 P 当t=0时， (0) = n(n − 1)( P − 2 P + P ) P 当t=1时，(1) = n(n −1)(P − 2P + P ) 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实 上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无 关。 P (t ) × P (t ) " 将P ' (0) 、P (0) 及 P ' (1) 、P (1) 代入曲率公式 k (t ) = P (t ) ， 可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）
（4条消息）曲线曲面基本理论（二）一、Bezier曲线的生成生成一条Bezier 曲线实际上就是要求出曲线上的点。
下面介绍两种曲线生成的方法：1、根据定义直接生成 Bezier 曲线绘制Bezier曲线主要有以下步骤：2、Bezier 曲线的递推 (de Casteljau)算法根据 Bezier 曲线的定义确定的参数方程绘制 Bezier 曲线，因其计算量过大，不太适合在工程上使用。
de Casteljau 提出的递推算法则要简单得多。
Bezier 曲线上的任一个点(t)，都是其它相邻线段的同等比例( t ) 点处的连线，再取同等比例( t ) 的点再连线，一直取到最后那条线段的同等比例 ( t )处，该点就是Beizer曲线上的点( t ) 。
以二次 Bezier 曲线为例，求曲线上t=1/3的点：当t 从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一条二次Bezier曲线。
二次Bezier曲线P02可以定义为分别由前两个顶点(P0,P1)和后两个顶点(P1,P2)决定的一次Bezier曲线的线性组合。
由(n+1)个控制点Pi(i=0,1,...,n)定义的n次Bezier曲线P0n可被定义为分别由前、后n个控制点定义的两条(n-1)次Bezier曲线P0n-1与P1n-1的线性组合：这便是著名的de Casteljau算法。
用这一递推公式，在给定参数下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。
de Casteljau算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算Bezier曲线的基本算法和标准算法。
这一算法可用简单的几何作图来实现。
3、Bezier曲线的拼接几何设计中，一条Bezier曲线往往难以描述复杂的曲线形状。
这是由于增加特征多边形的顶点数，会引起Bezier曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难。
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。
第四章 Bezier曲线曲面(上)
j =1,2, n L
这时，Bezier曲线的方程变为：
r p (t ) = 0 £ t £ 1
其中:
j B j , n (t ) = Cn t j (1 - t ) n - j
Bernstein基函数
j = 0,1, n L
2、Bernstein-Bezier曲线
当n＝3 时： ( ) = ( - t ) 3 B0 , 3 t 1
¢ 证明： B j , n (t )
j n = Cnj jt j -1 (1 - t ) n - j - Cn (n - j )t j (1 - t ) - j -1 -1 j n = nCnj-1 t j -1 (1 - t ) n - j －nCn -1 t j (1 - t ) - j -1
二、Bezier曲线的性质
1、Bernstein基函数的性质 1）非负性：
0 £ Bi , n (u ) £ 1 0 £ u £ 1, i = 0,1, n L
2）规范性：
n
å B
i = 0
i , n
( u ) º 1 ,
n n i n
0 £ u £ 1
n i n -i
i i n = Cn -1u i (1 - u ) n -i + Cn -1 u i (1 - u ) -i -1
= (1 - u ) Bi ,n -1 (u ) + uBi -1, n -1 (u )
bezier曲面法向量 -回复
bezier曲面法向量-回复bezier曲面法向量（Bezier Surface Normal Vectors）引言：Bezier曲面是计算机图形领域中一种常用的曲面表示方法。
根据给定的控制点和权重，Bezier曲面可以生成平滑且逼真的曲面形状。
但是，在进行光照和渲染等计算时，我们需要计算曲面上每个点的法向量，以便进行光照模型计算等。
本文将详细介绍如何计算Bezier曲面的法向量，以及其中的数学背景和计算方法。
第一部分：Bezier曲面简介Bezier曲面是利用Bezier曲线在二维或三维空间中进行变形和组合而成的。
Bezier曲线由一系列控制点和权重定义，在曲线上的点是通过使用Bernstein多项式进行插值计算得到的。
Bezier曲线在绘制曲线和表面、CAD建模等领域得到广泛应用。
而Bezier曲面则是由多个Bezier曲线组成的曲面。
第二部分：Bezier曲面的参数化表示在图形学中，我们通常使用参数化表示来描述曲线和曲面。
Bezier曲面可以通过控制点和权重来进行参数化表示。
对于二维的Bezier曲面，我们可以用以下方式来定义：S(u,v) = ∑Bi(u)Bj(v)Pi,j其中，S(u,v)表示曲面上的一点，Bi(u)和Bj(v)是u和v参数所对应的一维Bezier曲线的基函数，而Pi,j表示控制点。
第三部分：Bezier曲面的切向量在计算曲面上某一点的法向量之前，我们首先需要计算该点的切向量。
切向量是描述曲面上某点在该点处切平面上的一个向量。
为了计算切向量，我们可以计算参数u和v分别增加一个微小值时，曲面上相应的两个点。
然后，通过这两个点及其切向量进行差值运算，得到该点的切向量。
计算切向量公式如下：Ts(u,v) = ∂S(u,v)/∂uTv(u,v) = ∂S(u,v)/∂v其中，Ts和Tv分别表示u和v方向上的切向量。
第四部分：Bezier曲面的法向量在得到切向量后，我们可以使用叉乘运算得到曲面上某点的法向量。
Bezier曲线与曲面
页码，3/25
（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
file://C:\360Rec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
2011-1-4
Untitled Document
点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
页码，15/25
3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
file://C:\360பைடு நூலகம்ec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
计算机图形学实验报告-实验3Bezier曲线
计算机图形学实验报告班级计算机工硕班学号 2011220456姓名王泽晶实验三:Bezier 曲线实验目的：通过本次试验，学生可以掌握Bezier 曲线的求值、升阶算法及Bezier 曲线绘制方法。
实验内容：1. 绘制控制多边形（使用鼠标左键指定多边形顶点，右键结束），使用白色折线段表示。
2. 绘制Bezier 曲线，使用红色，线宽为2，在右键结束控制多边形顶点指定时即执行。
Bezier 曲线是一种广泛应用于外形设计的参数曲线，它通过对一些特定点的控制来控制曲线的形状，我们称这些点为控制顶点。
现在我们来给出Bezier 曲线的数学表达式。
在空间给定1n +个点012,,,,n P P P P ，称下列参数曲线为n 次Bezier 曲线：,0()(),01ni i n i P t P B tt ==≤≤∑ 其中,()i n B t 是Bernstein 基函数，其表达式为：,!()(1)!()!i n ii n n B t t t i n i -=--，接着我们讨论3次Bezier 曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：3303!()(1)!(3)!i i ii P t P t t i i -==--∑32230123(1)3(1)3(1)t P t t P t t P t P =-+-+-+01323232323331,363,33,P P t t t t t t t t t P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦01322313313630,,,133001000P P t t t P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦试验步骤：添加成员函数，编写成员数代码为public class Al_deCasteljau {public function Al_deCasteljau(){}// de Casteljau递推算法的实现public function recursion( ctrlPts:Array, k:int , i:int ,t:Number ):Point {if ( k==0 ) return ctrlPts[i];return addPoints(multiplyNumToPoint((1 - t),recursion(ctrlPts, k-1, i, t)), multiplyNumToPoint(t , recursion(ctrlPts, k-1, i+1, t)));}public function multiplyNumToPoint(n:Number,p:Point):Point{return new Point(p.x * n,p.y * n);}public function addPoints(p1:Point,p2:Point):Point{return new Point(p1.x + p2.x,p1.y + p2.y);}public function minusPoints(p1:Point,p2:Point):Point{return new Point(p1.x - p2.x,p1.y - p2.y);}public function algorithm_deCasteljau(t:Number, ctrlPts:Array ):Point{var size:int = ctrlPts.length;return recursion( ctrlPts, size-1, 0, t );}public function upgradePoints(ctrlPts:Array):Array{var size:int = ctrlPts.length;var newPts:Array = new Array();newPts[0] = ctrlPts[0]; // i = 0for ( var i:int =1; i<size; ++i ){var factor:Number = i / size;newPts[i] = addPoints(multiplyNumToPoint( factor , ctrlPts[i-1] ) , multiplyNumToPoint((1 - factor) , ctrlPts[i]));}newPts[size] = ctrlPts[ctrlPts.length-1]; // i = n+1return newPts;}public function downgradePoints(ctrlPts:Array):Array{var size:int = ctrlPts.length;var newPts:Array = new Array();newPts[0] = ctrlPts[0]; // i = 0for ( var i:int=1; i<size-1; ++i ){var factor:Number = 1.0 /(size-1 - i);newPts[i] = multiplyNumToPoint(factor,minusPoints(multiplyNumToPoint(size-1 , ctrlPts[i]), multiplyNumToPoint(i , newPts[i-1])));}return newPts;}}编译运行得到如下结果：。
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
贝塞尔曲线玩法
贝塞尔曲线玩法贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线，由法国的数学家贝塞尔发明。
其优秀的特性，如任意阶数、曲线平滑、变形自然等，使它被广泛应用在计算机图形学中。
下面我们来探讨一下贝塞尔曲线的一些玩法与应用。
一、Bezier Curve的基本概念Bezier Curve，中文翻译为贝塞尔曲线，是由一些基于控制点来描述曲线的连续函数。
在计算机图形学界，Bezier曲线有着广泛的应用，如二维绘图，三维模型构建等。
下面，我们来说说Bezier曲线的基本概念：1.控制点Bezier曲线的形状和特性由一组控制点决定。
控制点决定着曲线起点、终点，以及曲线的形状与方向。
控制点的数量通常与曲线的阶数相等。
2.阶数Bezier曲线的阶数由控制点的数量决定。
例如，如果控制点数量为4，则Bezier曲线的阶数为3（n-1）。
当阶数为3时，Bezier曲线也被称为二次Bezier曲线或三次Bezier曲线。
3.点集形式Bezier曲线可以表示成点集的形式，其中一个控制点是Bezier曲线的起点，最后一个控制点是Bezier曲线的终点。
而其余的控制点可以看做是曲线上的中间点。
二、贝塞尔曲线的应用1.平滑曲线在绘制平滑曲线时，常常使用Bezier曲线来完成。
在二维绘图中，利用Bezier曲线可以绘制出一些基本的形状，如椭圆、圆弧等。
利用多条Bezier曲线的组合，可以快速实现对复杂曲线的绘制。
2.模型构建在3D计算机图形学中，Bezier曲面经常用作3D模型构建的基础。
对象为Bezier曲面的控制网格，其内部可由Bezier曲线组成。
通过控制点的移动，可以快速改变其表面曲率，实现3D模型快速构建。
3.路径动画路径动画是一种基于贝塞尔曲线的动画形式。
它指定了一个目标的路径，例如一个移动物体的运动轨迹，然后让目标沿着路径移动。
在游戏中，常常使用路径动画来为角色、弹道和粒子效果设置动画路径。
4.平滑编辑另一个应用Bezier曲线的领域是平滑编辑。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
昆明理工大学理学院
信息与计算科学专业设计/综合性实验报告
年级：2015级姓名：学号：1105 指导教师：胡杰
实验课程名称：计算机图形学开课实验室：理学楼210
实验内容：
1．实验/作业题目：
MFC绘图Bezier曲面算法及Bezier曲线
2．实验/作业课时：2个课时
3．问题描述(包括实验环境、实验内容的描述、完成实验要求的知识或技能)：实验环境：（1）硬件：每人一台PC机
（2）软件：windows OS，VC++或以上版本。
实验内容的描述：Bezier曲面算法及Bezier曲线，Bezier去面啊绘制需要加入控制网格加以控制，先生成控制网格，再根据Bezier算法来绘制出曲面Bezier曲线根据控制点来绘制曲线。
完成实验要求的知识或技能：
Bezier算法的迭代算法。
（2）Bezier曲线分为一次/二次/三次/多次贝塞尔曲线，之所以这么分是为了更好的理解其中的内涵。
一次贝塞尔曲线（线性Bezier），实际上就是一条连接两点的直线段。
在此使用了三次Bezier算法。
（3）曲线算法的几种主要算法以及各自的优缺点。
（4）基本的程序阅读能力，的基本使用技巧
4．基本要求(完成实验要达到的目标)：
Bezier曲线定义：给定n+1个控制顶点Pi(i=0~n) ，则Bezier曲线定
义为：P(t)=∑Bi,n(t)Pi u∈[0,1] 其中：Bi,n(t)称为基函数。
Bi,n(t)=Ci nti (1-t)n-i Ci n=n!/(i!*(n-i)!) 二、Bezier曲线性质1、端点性质：a）P(0)=P0, P(1)=Pn, 即：曲线过二端点。
b）P’(0)=n(P1-P0), P’(1)=n(Pn-Pn-1) 即：在二端点与控制多边形相切。
2、凸包性：Bezier曲线完成落在控制多边形的凸包内。
3、对称性：由Pi与Pn-i组成的曲线，位置一致，方向相反。
4、包络性：Pn (t)=(1-t)Pn-1 (t)+tPn-1 (t)
5．程序结构(程序中的函数调用关系图)
6．算法描述或流程图：
7．实验数据和实验结果（用屏幕图形表示，可另加附页）：
8．实验心得体会：
在数学的数值分析领域中，贝塞尔曲线（Bézier curve）是电脑图形学中相当重要的参数曲线。
更高维度的广泛化贝塞尔曲线就称作贝塞尔曲面，其中贝塞尔三角是一种特殊的实例。
9．改进建议：绘制Bezier曲面的时候的控制网格可以按多种风格生成也就是曲面有了不同的风格。
评分标准学风--报告格式规范，文字清晰观察能力--正确描述和理解问题
分析能力—准确分析问题，算法基本正确问题解决能力—详细算法过程严谨、准确
操作能力--正确输入程序，熟悉编程环境调试能力--熟练使用调试功能解决程序错误。