2013年北京普通高中会考数学真题

第一部分选择题（每小题3分，共60分）

在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．如果集合A={1,2}-，{0}B x x =>，那么集合A B 等于（）

A ．?

B ．{1}-

C ．{2}

D ．{1,2}- 2．不等式2

20x x -<的解集为（）

A ．{|2}x x >

B ．{|0}x x <

C ．{|02}x x <<

D ．{|0x x <，或2}x > 3．如果向量a =(2,3)-，b =(1,5)，那么a ·b 等于（） A ．-13 B ．-7 C ．7 D ．13

4．如果直线3y x =与直线1y mx =-+垂直，那么m 的值为（）

A ．3-

B ．13-

C ．1

3 D ．3 5．如果0a >，那么1

1a a

++的最小值为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 6．要得到函数2sin()6

y x π

=+的图象，只要将函数2sin y x =的图象（）

A ．向左平移

6π个单位 B ．向右平移6π

个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3

个单位

7．在等差数列{}n a 中，11a =，525S =，那么5a 等于（） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6

8．在函数cos y x =，3

y x =，x

y e =，ln y x =中，奇函数是（） A ．cos y x = B ．3

y x = C ．x

y e = D ．ln y x = 9．11cos

的值为（）

A ．-

．2- C ．2

D 10．函数()sin 2cos2f x x x =+的最小正周期为（）

A ．

B ．π

C ．2π

D ．4π 11．已知函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[]0,1上的最大值是2，那么a 等于（） A ．

14 B ．1

C ．2

D ．4 12．在ABC ?中，60A ∠=，23AC =32BC =，那么B ∠等于（） A ．45 B ．30或60 C ．135 D ．45或135

13．口袋中装有4个大小、材质完全相同的小球，球的颜色分别是红色、黄色、蓝色和白色，从口袋中随机摸出2个小球，摸到红色小球和白色小球的概率是（） A ．

16 B ．13 C ．12 D ．23

14．为了解某学校门前公路的交通状况，从行驶过的汽车中随机抽取200辆进行统计分析，绘制出关于他们车速的频率分布直方图（如图所示），那么车速在区间[60,70)的汽车大约有（） A ．20辆 B ．40辆 C ．60辆 D ．80辆

15．已知平面,αβ，直线,a b ，下面的四个命题

①//a b b a αα??⊥?⊥?； ②//a a b b αα⊥???

⊥?

； ③a b a b αβαβ??

??⊥??⊥?； ④////a b a b αβαβ??

?????

中，所有正确命题的序号是（） A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．②④

16．当,x y 满足条件0230x y

y x y ≥??

≥??+-≤?

时，目标函数3z x y =+的最大值是（）

A ．1

B ．1.5

C ．4

D ．9

17．针对2020年全面建成小康社会的宏伟目标，十八大报告首次提出“实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2010年翻一番”的新指标，按照这一指标，城乡居民人均收入在这十年间平均年增长率x 应满足的关系式是（） A ．1102x += B ．10(1)2x +=

C ．10

(1)2x += D ．10

12x +=

18．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（） A ．12 B ．18 C ． 24 D ． 30

19.将长度为1米的绳任意剪成两段，其中一段的长度小于0.4米的概率是（） A ．1 B ．0.8 C ．0.6 D ．0.5

20．记时钟的时针、分针分别为,OA OB （O 为两针的旋转中心）．从12点整开始计时，经过m 分钟，OA OB ?的值第一次达到最小，那么m 的值是（） A ．30 B ．36011 C ．31 D ．211

第二部分非选择题（共40分）一、填空题（共4个小题，每小题3分，共12分） 21．计算1

31()log 12

-+的结果为．

22．已知圆2

:(1)(1)1C x y -++=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是． 23．某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值为．

24．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，且各项均为正整数，如果11a =，16n a =，那么n d +的最小值为．二、解答题（共4个小题，共28分） 25．（本小题满分7分）

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点．（Ⅰ）证明：1AC //平面BDE ；（Ⅱ）证明：1AC BD ⊥

E D 1

C 1

B 1

A 1

C B

26．（本小题满分7分）

在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ（0,

22ππ

αβπ<<

<<）的顶点与原点O 重合，始

边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为53

,135

．

（Ⅰ）求tan β的值；（Ⅱ）求AOB ?的面积 27．（本小题满分7分）

已知圆222

:5(0)C x y m m +=>，直线l 过点(,0)M m -且与圆C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）如果直线l 的斜率为1，且||6AB =，求m 的值；

（Ⅱ）设直线l 与y 轴交于点P ，如果||2||PA PM =，求直线l 的斜率．

28．（本小题满分7分）

已知函数2

()f x ax bx c =++满足： ①()f x 的一个零点为2； ②()f x 的最大值为1

③对任意实数x 都有(1)(1)f x f x +=-．（Ⅰ）求,,a b c 的值；

（Ⅱ）设函数,

()(),x x A g x f x x B ∈?=?

∈?

是定义域为(0,1)的单调递增函数，00'1x x <<<，

当0x B ∈时，证明：'x B ∈．