五年级数学上册重难点突破
《小数乘法》重难点突破
一、理解小数乘整数的算理，掌握小数乘整数的一般方法
突破建议：
1．充分利用主题图展示的数学信息（风筝单价及要解决的问题），为学生理解算理提供感性支撑。教学中可以放手让学生利用已有的知识经验独立解决“买3个蝴蝶风筝多少钱”的问题，学生解答后，从中选出一种较为简单的方法（如35角×3）进行重点分析、说理，引导学生用简洁的语言进行总结和概括：先把3.5元转化为35角，再计算35角×3，最后将结果105角转化为10.5元。从而通过“元、角”这些具体量的进率关系，初步为算理的理解提供感性支撑，为后面例2的教学做好铺垫。
2．引导学生运用“转化”的思想方法，通过旧知迁移，理解和掌握新知。要注意引导学生紧紧抓住例1中的计算经验，特别是“将3.5元转化为35角”的经验来学习例2。放手让学生应用已有的整数乘法经验自主计算“0.72×5”，列出竖式，并尝试对过程做出合理的解释，有效地突破难点。
3．及时引导学生梳理和总结小数乘整数的竖式计算要点。在学生理解上述算理的基础上，重点引导学生归纳用竖式计算的要点：①按整数乘法的规则进行计算；②处理好积中小数点位置的确定，因数中一共有几位小数，积中也应有几位小数；③如果积的小数部分末尾有0，应根据小数的基本性质去掉小数末尾的“0”。
二、积的小数数位不够时如何确定小数点的位置
突破建议：
1．在教学小数乘小数及相应的练习中，应结合具体的计算实例组织学生观察、比较因数与积的小数位数，引导学生发现因数与积的小数位数之间的关系，为正确确定积的小数点的位置提供操作依据。
2．在教学例4时，可以先放手让学生按照一般方法计算，引出“乘得的积的小数位数不够，怎么点小数点？”的问题，教师再来引导学生去寻找解决问题的办法，让学生自己想到可以根据小数点移动引起小数大小的变化规律来解决问题，理解乘得的积的小数位数不够时，应该先在前面用0补足，再点小数点，让学生经历发现问题——解决问题的学习过程，留下较为深刻的印象。
3．设计具有针对性的练习（不一定要完整的计算），让学生明确：①一定要数清楚两个因数中小数的位数，弄清楚应补上几个0；②确定积的小数点位置时，应先点上小数点，然后再把小数末尾的0去掉。
三、理解“倍”可以是小数，能解决求一个数的小数倍的实际问题，掌握计算方法
突破建议：
1．激活已有经验，帮助学生扩充“倍”的认识。学生在第一学段已经对“倍”有了初步认识，对两个数量之间“倍”的关系并不陌生，知道求一个数的几倍是多少用乘法计算。在本课教学时，教师应帮助学生激活已有的旧知，让学生先解决整数倍的数学
问题，并说一说列式的理由，以利于学生在分析、解决“小数倍”的问题时，能从对整数倍的认识扩充到对“小数倍”的认识。
2．借助具体事例，引导学生理解小数倍的含义。在教学例5时，可以借助生动的情境，让学生用自己的方式读题，再用自己的话表述题意。在表述“鸵鸟的最高速度是非洲野狗的1.3倍”时，应尽可能给学生创设表述的空间，让学生充分表述自己的理解，着重是对“1.3倍”含义的理解，从具体事件中领会“倍”不仅可以是整数，也可以是小数，有时用小数倍表示两个数量之间的关系更为直观。
四、理解求积的近似数往往是“实际应用”的需要
突破建议：
1．在教学“积的近似数”时，可以明确揭示求“积的近似数”的背景与一般方法：在实际应用中，小数乘法的积往往不需要保留很多的小数位数，这时可以根据需要，按“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出积的近似数。
2．在例题教学中，可借助教材创设的情境，从例题给出的信息“人的嗅觉细胞约有0.049亿个”和要解决的问题“狗约有多少亿个嗅觉细胞？”使学生认识到，生活实际中有些小数我们既无可能、又无必要知道它们的准确值，只要知道它们的近似数就可以了，使学生感受到求积的近似数是“实际应用”的需要。
3．选择、设计一些与求积的近似数有关的实际问题，让学生在解决问题的过程中辨析、体会。如：教材第13页第3题求“这台计算机有多重？”为什么要“得数保留整数”？又如：教材第11页“做一做”第2题求“买2.5 kg应付多少钱？”为什么没有明确提出求近似数的要求，但也要自觉地“得数保留两位小数”？使学生在解决问题的过程中，体会到求积的近似数不是随意的要求，而确实是“实际应用”的需要。
五、应用乘法运算定律进行小数的简便计算
突破建议：
1．在教学将整数乘法运算定律推广到小数时，教师要通过具体的例子引导学生亲身经历“推广”的过程，在“推广”的过程中理解整数乘法运算定律对于小数乘法也适用，使学生明确，现在乘法运算定律中数的适用范围不仅包括整数，也包括小数。
2．在教学应用乘法运算定律进行小数的简便计算时，教师要重视培养学生思维的逻辑性，着重引导学生交流简便计算的思维顺序，根据算式的结构和数据的特点怎样算比较简便？第一步应该怎样将算式变换？应用的是哪一条运算定律？第二步又该怎样做？
3．应用乘法分配律进行简便计算是学生容易出错的地方，教师要注意分析学生出错的原因，加强就题说理练习。在乘法分配律的应用中，既有乘法分配律的正向应用，也有乘法分配律的逆向应用。因此，要适当进行乘法分配律算式结构的正向和逆向的变换训练，提高学生应用乘法分配律解决问题的能力。
六、根据实际问题和数据选择适当的估算策略
突破建议：
1．关注估算思路，注重方法指导。在教学过程中，引导学生完整地叙述自己的估算思路，教师组织学生及时反思“这样估算行吗”“这样估算有什么好处”“有什么需要改进的地方”等问题，及时有效地对学生的估算思路进行指导。
2．加强对比沟通，体会策略多样。在教学过程中，由于学生生活经验不同，会产生不同的估算方法，教师要主动对典型估算方法进行展示，引导学生体会估算方法的多样性。与此同时，还需要加强不同估算方法之间的对比沟通，如“这两种估算方法的相同点和不同点是什么”，从而让学生体会估算的本质就是“近似计算”，根据具体数据和实际问题选择不同的处理方法，就会产生不同的估算策略。
七、引导学生对分段计费问题的规律进行探寻
1．要重视引导学生理解题意，尤其是对“收费标准”的理解，因为它直接关系到如何根据里程确定怎样分段。教学中，教师可以设计如下问题：①“3 km以内7元”是什么意思？②从什么时候开始按每千米1.5元收费？③假如行驶了3.1 km，应付车费多少元？④行驶3.1 km和行驶4 km,应付的车费同样多吗？为什么？通过这些理解性的问题帮助学生明确收费标准。
2．在完成了例题的“分析与解答”后，教师可沿用例题情境进行适当的变式练习，如：①如果行驶的里程是8.4 km，你们还能用刚才的方法计算出车费吗？②如果行驶的里程是9.8 km呢？让学生通过算式的对比，发现“分段计费”的方法都是用7元加后段里程车费，用“先假设再调整”的方法都是用假设车费再加上2.5元。在学生发现规律后，再来引导学生进一步探索，分析其中的原因。
3．在例题的“回顾与反思”中，教师不仅要让学生完成教材上的出租车价格表，还应引导学生观察表中的数据，探索其中的规律。教师也可以用图象来表示行驶里程与出租车费之间的关系，让学生直观感受分段计费的特点和规律。
《位置》重难点突破
一、在具体情境中用数对确定物体的位置
突破建议：
1、充分利用情境，不要急于抽象。教学时，教师应该充分利用好教材中呈现的各种具体情境图，引导学生探究（在平面中）确定一个物体的位置的方法。第一课时在熟悉的教室座位情境中，引导学生明确“行、列的含义”“确定行、列的一般规则”“用数对表示某个同学的位置”，体会到唯一性，一步一步，层层推进，为第二课时的抽象打下基础。本课时还要完成练习五中的第1题至第5题，每道题都是在生活情境中巩固应用数对。教师要变化形式，让学生在丰富的生活情境中巩固数对。
2、结合具体情境，亲历建模过程。在本节课中，要从真实的课堂情境引入，真实地展开学生学习探究的过程。教学时可分三步实施：
第一步，结合具体的情境，说一说张亮同学的位置。由于个人生活经验不同，学生的表示方法会各不相同。
第二步，将学生的生活经验提升、抽象，揭示行、列的含义以及确定行、列的一般规则，引出数学表示方法──“数对”，感受到“数对”的简洁性和准确性。
第三步，能用“数对”表示示意图上或班级同学的位置，以及根据所给的“数对”确定现实中物体的位置。从学生的经验中逐步抽象出数学的表示方法，符合学生的由具体到抽象、由特殊到一般的数学认知规律，有助于学生理解数对在确定位置中的作用。
在经历“数对”这一概念的建模过程中，要让学生展开“数学化”的探索和数学思考，而行、列的含义以及确定行、列的一般规则等则需要教师揭示。在建立数学概念的同时，让学生感受数的顺序及一一对应（数对与物体位置的对应关系）。
二、在具体情境中理解要用两个数表示物体在平面上的位置
突破建议：
1、复习旧知，做好衔接。例1是学习用数对（两个数）来确定一个物体在平面中的位置。在此之前，学生已经积累了一些关于描述物体位置的学习经验和生活经验：在一年级的《位置》单元，学生认识上、下、前、后、左、右这几个方位，并能描述简单的位置关系；在三年级下册的《位置和方向（一）》单元，学生会辨认八个方向等。所以教学时可设计复习铺垫，明确“确定一个物体在直线上的位置只需要一个数”，那“确定一个物体在平面中的位置”需要几个数呢？由“线”推广到“面”，从而为引出数对做好充分的铺垫。
2、引发矛盾，逐渐统一。虽然数对的表示方式和含义都是有着统一规定的，但教师也不可让学生死背硬记，要耐心给足时间，创设三次矛盾冲突，让学生一次次体会到“统一规则”的必要性，从而自然理解数对的规则和含义。将用生活经验描述位置上升为用数学方法确定位置，发展学生的应用意识和空间观念。
（1）统一“行”“列”的含义。
受生活中口语的影响，学生喜欢用“第几条第几个”“第几竖条第几个”“第几横
排第几个”之类的语言描述位置，而规范的数学语言是“第几行第几列”“第几列第几行”。教师需要引导学生把“生活语言”统一成规范的“数学语言”。
（2）统一“确定行、列的一般规则”。
在生活中，人们可以依照自己的习惯去数“第几行”“第几列”，不论是从右起，还是从左起，都能表示出物体的位置。引导学生体会“行”“列”的方向若没有规定会很混乱，从而产生统一“行、列规则”的需求。明确一般情况下，数“列”是从左往右数；数“行”是从下往上数。统一方向和规则，就会避免歧义。
（3）统一“数的顺序”及一一对应（数对与物体位置的对应关系）。
数对的第一个数表示“列”（其实就是直角坐标系中的横坐标），第二个数才表示“行”（其实就是直角坐标系中的纵坐标），也就是“先列后行”“先横后纵”。这与生活中的习惯说法“行列”又是一个冲突。此时需要统一数的顺序，建立数对与物体位置的一一对应，即唯一性。
三、在方格图上用数对准确表示点的位置
突破建议：
1、通过迁移，逐步由具体到抽象。开课通过与例1的对比，使学生直观看到异同，相同的地方可以作为今天学习的基础，不同的地方是今天对于位置知识点内涵的进一步探究，这样体现了新旧知识的衔接，学生很快找到运用旧知尝试解决新问题的方向，同时进一步理解数对与方格图上的点一一对应的关系。
2、分层处理，掌握运用数对准确表示点的位置。针对各馆所的位置可以采取教师指导示范大象馆的位置，学生讨论具有特点的大门的位置，独立思考其他馆所的位置，这样层层递进、逐步放手的方式使学生逐步明确：怎样用数对表示？为什么这样表示？知其然更知其所以然。在大门位置的讨论中更明确了0既是列的起点，又是行的起点，渗透了原点的含义，构建直角坐标系的原型。
四、发现同一行同一列等特殊数对的特征
突破建议：
1、结合主题图素材，从无意到有意。教师可以结合主题图中各馆所的位置以及数对，引导学生观察数对中第一个数相同的，点的位置有什么特点；第二个数相同的点的位置有什么特点。这样学生由无意地观察到有意地思考，从而抽象概括出特殊数对的特征，符合学生的认知规律。
2、通过不确定的数对，由具体描述到抽象概括。由不确定的（，4）（4，）数对，思考其对应点会在哪里？学生通过前面的具体描述抽象概括出点的位置，实际上也就是发现同一列、同一行等特殊数对的特征。也明确了确定一个点的位置至少需要两个数据，这样更加理解了用数对确定平面上点的位置的方法。
《小数除法》重难点突破
小数除法的计算方法以及如何正确灵活计算
突破建议：
1．抓住新旧知识的连接点，在理解算理的基础上，引导学生通过讨论总结小数除法的计算方法。本单元内容与旧知识联系十分紧密。小数除法的计算法则是以整数除法中“被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变”以及小数点位置移动规律等知识为基础来说明的。小数除法的试商方法、除的步骤和整数除法基本相同，不同的只是小数点的处理问题。因此，要注意复习和运用整数除法的有关知识，为新知识的学习奠定好基础。
同小数乘法一样，教学中要让学生在理解算理的基础上，及时归纳、总结小数除法的计算方法，帮助学生形成良好的计算能力。
2．要注意突出重点，攻破难点。除数是整数的小数除法，要注意讲明商的小数点为什么要与被除数的小数点对齐。小数除以小数，要重点说明除数怎样转化为整数。讲清了一般的计算原理，注意克服难点：小数点的处理问题。学生在计算中经常出现只去掉除数的小数点，而不把被除数的小数点相应地向右移动，或者把小数点的位置移错，使商的小数点常常处理错。为了帮助学生攻破难点，可适当安排有针对性的单项练习。
如学完小数除法后，学生计算“0.63÷0.6”的正确率较低，错误主要有两方面：第一，商的小数点位置不对。例题中没有单独安排“被除数比除数小数位数多”的类型，只是在“做一做”中以练习形式出现，而且，如果将被除数、除数的位数多少的三种情况安排在一节课内，对一些学生来说掌握起来可能有困难。第二，商中间的0漏掉。商中间有0的除法仅在三年级“除数是一位数的除法”时出现过，而四年级“除数是两位数的除法”受到计算步数的制约，避免计算的繁杂，没有将“除数是两位、商是三位”作为教学要求，因此，商中间有0的除法的学习基础是薄弱的。基于这两个原因，教学中，一方面需要关注要点，重视“除数的小数位数与被除数的小数位数不同”这一除法类型；另一方面，需要加强商中间有0的除法的铺垫与练习，以弥补薄弱，突破难点。
3．灵活选择、优化策略，发展思维。运算能力中，“根据计算的具体情况，自觉地判断、选择算法”是重要的维度。这一意识与能力的形成，是不断经历、不断反思、不断沉淀的结果。教学时，一方面，要善于挖掘内涵，捕捉教材例题、练习中关于能力培养的契机；另一方面，则需要精心设计有关选择策略、发展思维的问题。
首先，挖掘教材内涵，灵活选择算法。教材中有不少的练习，如果仅以计算出正确答案为主要目的，则大大减少了其“意识与能力培养”的价值。如第37页第11题中的“42÷28”“2.5×3.6”“19.8÷3.3”“18×0.45”，这些题目除了学生根据法则正确列竖式计算之外，还应进一步思考：有更简洁的方法吗？可以引导学生将“42÷28”的被除数、除数同时除以7，转化为“6÷4”，则可以口算得出结论；其余几题也是如此，适当地运用转化代换，可以大大降低计算的繁杂程度。显然，这是培养学生计算灵活性的极好素材，教材题目要求中没有给出“怎样简便怎样算”的指向，也正可以真实
地反映学生思维的灵活程度。通过对不同学生不同方法的比较，凸显“灵活选择方法意识”的重要性。其次，开发设计练习，优化解题策略。
除了很好地捕捉利用教材的题目之外，教师可以设计一些用多种计算方法、多种运算形式、多种解决策略来解决的练习，将口算、笔算、估算、简算相互融合，从而优化策略，发展学生的思维。
《可能性》重难点突破
一、体验事件发生的确定性和不确定性
突破建议：
1．在教学中，教师应注意创设各种问题情境，充分调动学生的主动性和积极性，让学生进行独立思考，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴交换自己的想法。如在教学例1时，教师可以利用主题图中“联欢会上抽签”的情境，激活学生已有经验，初步感知事件发生有时候不能预先知道结果，从而认识随机事件。然后模拟抽签的场景，让学生参与由三张卡片逐渐到两张卡片、一张卡片抽签的过程，引导学生逐步分析：抽到什么节目是否确定，可能会抽到什么节目，学生在独立思考和同伴交流中充分感知并逐步体会事件发生的确定性和不确定性。
2．教师可以引导学生在观察、猜测、试验与交流等数学活动中，充分感受和体验不确定现象和事件发生的可能性。如通过“做一做”中摸棋子的游戏活动，学生围绕4个问题（①哪个盒子里肯定能摸出红棋子；②哪个盒子不可能摸出绿棋子；③哪个盒子里可能摸出绿棋子；④如果从2号盒任意摸一个棋子，可能是什么颜色展开分析，让学生充分经历猜测、试验与交流的活动过程，进一步丰富学生对确定现象和不确定现象的体验。
二、能够列出简单试验所有可能发生的结果，知道事件发生的可能性是有大小的
突破建议：
1．教师可以结合具体情境，通过活动体验，引导学生列出简单的随机现象中所有可能发生的结果。如在教学例1中，通过学生抽签活动，列举“抽到什么节目”这一随机现象的所有可能发生的结果，以及在“做一做”中，学生在探讨第四个问题“如果从2号盒任意摸一个棋子，可能是什么颜色”的活动中，学会列举简单的随机现象中所有可能发生的结果。
2．通过有趣的有层次的练习进一步感知事件发生可能性是有大小的。教师可以通过相关练习，让学生列出简单的随机现象中所有可能发生的结果，例如：说一说转动指针可能停止哪种颜色上？
一个正方体，六个面上分别写着数字1-6。掷一掷，可能掷出哪些数字？
三、能结合具体问题情境，用“一定”“不可能”“可能”等词语来描述事件发生的确定性和不确定性
突破建议：
1．通过“生活中的数学”以及学生对生活中确定现象和不确定现象的判断和举例，使学生能结合具体问题情境，用“一定”“不可能”“可能”等词语来描述事件发生的确定性和不确定性。如：用相应的符号判断下列事件是否可能。（“一定”的打√，“不可能”的打×，“可能”的打○。）
三天后下雨。（）
爸爸的年龄比儿子的年龄大。（）
小明跑完100米只用了2秒。（）
地球绕着太阳转。（）
2．通过涂色的活动，学生在动手操作中进进一步理解“一定”“可能”与“不可能”。如：按要求涂一涂。
摸出的一定是。
摸出的不可能是。
摸出的可能是。
四、体验事件发生可能性的大小与事物出现的数量有关
突破建议：
1．在材料的选择运用上让学生体验事件发生可能性的大小与事物出现的数量有关。例如例2的教学，在教学材料的选择运用上，对教材灵活进行处理。为每个小组准备的盒子，里面装有红蓝棋子（4红1蓝，5红1蓝，6红1蓝，7红1蓝，7红2蓝）虽然不一样，但是原理一样。而且事先学生不知道，在各组展示完试验结果后，才揭开谜底。遵循学生的心理特点，抓住问题的关键，引导学生体验事件发生可能性的大小与事物出现的数量有关。
2．在收集分析试验数据和归纳中，体验事件发生可能性的大小与事物出现的数量有关。同样是例2的教学，在小组合作学习完成后，先引导学生对所在的小组试验数据进行分析归纳，人人都有切身体会，都亲身经历了知识的形成过程。在所有小组汇报展示完后，引导学生对所有小组的试验数据进行归纳分析，虽然每个小组的数据不一样，材料也不完全一样，但是综合归纳，都能让所有学生体验事件发生可能性的大小与事物出现的数量有关。
五、体会随机现象的统计规律性，根据数据推测事件发生的可能性的大小
突破建议：
1．通过对统计数据的分析，推测事件发生的可能性的大小。例如例3的教学，此部分内容的学习宜采取小组合作学习的方式，教学中可以分以下几步进行：首先，教师可以依照教材中的图示，事先在各小组的盒子里放进两种颜色的球，让学生列出简单试验所有可能发生的结果。需要注意的是，通过例2的教学，学生已经能够借助试验列出简单试验所有可能发生的结果。这里，教师应引导学生根据盒子里球的颜色、种类列出这个简单试验所有可能发生的结果：既可能摸出红球，也可能摸出黄球。
接着，组织学生仿照例2进行试验。在做试验前，教师首先要使学生明确试验的过程，“摸出一个球，记录下它的颜色，再放回去，重复20次”。还要使学生明确组内成员的分工，应有人负责摸出球，有人负责记录下它的颜色，并应提醒学生在试验前要选择好统计试验数据的方法。而且还要向学生说明，在试验的过程中，应注意保证试验的随机性，如：每次摸球前应将盒中的球摇匀；摸球时不要偷看等。在各小组进行试验的过程中，教师应关注每一个小组，及时给予指导，保证试验的随机性。
然后，教师可引导学生交流对随机现象的不确定性的体验。先让每个小组展示实验结果，再将全班各小组的试验结果进行汇总，并引导学生不只关注本小组的统计结果，还要分析所有小组的统计结果有什么共性。如提问“每一个小组的统计结果都一样吗？”“所有小组的统计结果有什么相同的地方？”，引导学生发现，虽然每次摸到球的结果不确定，但当大量重复试验时，试验结果就呈现了一种规律性，都是摸出黄球的次数比红球少。接着，教师再引导学生根据试验的统计结果进行推测“哪种颜色的球多”，如提问“为什么每个小组摸到的都是红球多黄球少？盒子里红球和黄球数量相等吗？”，使学生认识到，在这个摸球的随机试验中，每一个球被摸到的可能性是相等的，但摸到的红球与黄球的次数不等，那么说明盒子里的红球与黄球的数量是不一样的──红球的数量多，摸出红球的可能性就大。最后再打开袋子看一看，验证自己的猜测，获得成功的体验。
最后，我们还可以提出一个问题“再摸一次，摸出哪种颜色的球可能性大”，让学生根据试验的统计结果对下一次试验的结果进行推测。
在学生进行推测后，教师可以再让学生实际摸摸看。学生很可能摸出红球，但也有可能摸出黄球。通过试验使学生认识到，虽然知道了摸出红球的数量多，摸出红球的可能性大，但在单次试验中并不能确定会摸出红球。进一步感受不确定现象的特点，体会概率虽然能够帮助我们了解这些不确定现象的规律，但概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象的本质造成的。
2．初步感受事件发生的等可能性。“做一做”的第2题是一个掷硬币的游戏。教材是想通过掷硬币试验，使学生初步感受事件发生的等可能性。教师可先让学生说一说掷出后可能出现的结果有哪些，再让学生猜测实验后的结果（即正面、反面出现的次数）会有什么特点。让全班一起掷一次，是为了使试验次数足够多，以减少误差。
由于实验结果与理论概率存在的差异，也可能得不到预期的结果，可以再让学生掷几次，增加试验的总次数，尽量使实验结果接近理论概率。然后，再引导学生讨论正面、反面出现的次数的特点。让学生根据试验的结果初步感受到硬币是均匀的，两种结果出现的可能性是相等的就可以了，不必要求学生用概率术语进行表述。
《简易方程》重难点突破
一、理解用字母表示数的意义和作用，掌握用字母表示数的一般方法
突破建议：
1．关注由具体到一般的抽象概括过程。本单元的知识大多数都比较抽象，教学时要充分利用学生原有的认知经验和基础，关注到由具体实例到一般意义的抽象概括过程。如爸爸比小红大30岁，当小红是1岁、2岁、3岁……时，学生会用“1+30，2+30，3+30…”这样的式子表示爸爸的年龄，然后在教师的引导下，学生用一个式子来表示任何一年爸爸的年龄即“”。之后教师可以继续追问：这里的表示什么？又表示什么？让学生明白“”既表示爸爸的年龄，还能反映出爸爸和小红年龄之间的关系，这样表示既简明又高度概括了爸爸和小红的年龄情况。使学生体会由特殊到一般的认识需要，初步感知抽象的作用。
2．注意突显用字母表示数的意义和作用。在教学用字母表示运算定律和计算公式时，教师可以用对比的方法让学生深切体会用字母表示简明易记、便于运用。以乘法分配律为例，先让学生用语言表述：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。再让学生用字母表示为,这样形成鲜明、强烈的对比，使学生感悟到用字母表示数的意义和作用。
3．适当加强用含有字母的式子表示数量的训练。用含有字母的式子表示数量的训练，也就是写代数式的训练。如：“一本书有页，张华每天看8页，看了天，用式子表示还没有看的页数”“商店原有120 kg苹果，又运来10箱，每箱重 kg。用式子表示出商店一共有多少箱苹果”等，这是列方程的基础。加强这方面的训练可以是书面作业的形式，也可以采用口答方式（个别口答、集体口答、小组互说、同桌互说均可），以提高练习的效率。
4．注意渗透函数思想。在归纳数量关系用字母表示时，可适当渗透变量间的对应关系、依存关系。如爸爸的年龄随小红的年龄变化而变化，两个量之间具有一一对应的关系。在说明字母取值范围时，可适当渗透函数的定义域思想。可以追问：式子中的字母还可以表示哪些数？可不可以是200？为什么？使学生初步认识到式子中的字母还可以是许多其他的数，但是在这里是有一定的范围的，这个范围要根据具体问题进行具体分析的，不可一概而论。
二、初步理解方程的意义和作用，掌握列方程的一般方法
突破建议：
1．可由分类揭示方程的意义。对于方程的概念的建立，教师可以引导学生通过观察下面的式子：50+50=100，，，等，让学生自己分类，从中获得像这样……这样含有未知数的等式就是方程。
2．注意引导学生经历由生活语言到用数学语言，逐步数学化的过程。当学生看到天平平衡时会用生活语言：“空杯子和水共重250克”来表述他们所看到的。教师引导：
谁能用一个式子来表示？学生可能用“100 g+水的质量=250 g”来表示。教师进一步引导：你能用一个含有字母的式子来表示吗？学生可能用“”也可能用“”等来表示。在教学“3本练习本共用2.4元”时，也可以采用这样的方法。让学生经历数学化的过程，可以更好地帮助学生理解方程的意义和作用。
3．适当增加一些列方程的练习。如“小明家有一些橘子，吃了5个，又买回8个，这时还有17个，小明家原有橘子多少个？请用方程表示题中的数量关系”。当学生列出方程“”之后，建议教师再让学生说说这个方程的含义，这样不仅可以加深学生对方程意义的理解，同时让学生感受到用方程表示数量关系简单明了，感知方程的作用和学习方程的必要性。像这样用纯文字表述的题在教材中比较少，建议教师在教学的过程中适当增加一点，以帮助学生更好地掌握列方程的方法，为后面学习用方程解决实际问题做一些铺垫。
三、理解等式的基本性质，学会用等式的基本性质解方程
突破建议：
1．通过天平游戏，让学生充分感知天平等值变换过程。关于天平游戏教师可以用实物进行演示，让学生真真切切地看到天平游戏中平衡的天平两边加上（或减去）同样重量的物品，天平保持平衡。如果受到条件的限制，建议也要用动画来进行游戏，将这一过程让学生有充分的感知，从而确认这一事实。教材中是两边加上的是杯子，教师也可改变一下物体（如两边同时加上一把茶壶等）。这样便于概括出：平衡的天平两边加上（或减去）同样重量的物品，天平保持平衡。等式的性质2的教学也建议如此。
2．适当增加具体的等式等值变换的例子，帮助学生理解等式的基本性质。在经过天平游戏感知到天平的等值变换后，教师可引导学生举例子说说等式有没有同样的性质。如：
；
；
；
；
。
或者设一把茶壶重克，1个茶杯重克，就会有：
；
；
；
。
对于含有字母的式子，如果学生还有疑问，教师可以引导学生将字母具体成一个数进行验证，让学生确信不疑。
这样增加一个环节，更加便于学生自己概括出等式的基本性质，理解更加深刻。
3．教学解方程时，可以由方程的意义入手，先让学生看图列出方程“”。再让学生明确所谓解方程实际上是这样一个问题：求的值是多少时，方程左右两边才能相等？明确解题目标之后，可以先让学生自己思考、探索的值，也可以组织小组讨论并交流。学生介绍自己的想法时，教师要注意引导学生不仅说出自己是怎样推算的，还要启发他们说出推算的依据，同时利用书上的图进行演示加以论证。在学生确信的值是6时，教师可以引出解方程的概念，明确指出：方程的解是一个数，而解方程是一个推算的过程。随后教师一定要追问：为什么要减去3？而不是其他的数呢？让学生明确解方程的一般思路。
4．要重视解题步骤和书写格式的指导，促进学生规范书写和自觉检验的良好学习习惯的形成。解方程实际上是在进行一个方程的同解变形的过程，因此教师要强调解方
程时一定要在原有的方程下面再写出一个方程来，不能连着
写等号(如
),或者是
解：。
学习解方程一定要强调解方程之后要进行检验，一方面为后期继续学习打下坚实基础，另一方面在此培养学生良好的学习习惯。
关于解题步骤，开始一般要求写出解题全过程，之后熟练了可以适当省略一些。
5．对于稍复杂的方程，解答时可以采用化繁为简的策略，引导学生自主探索。例4的教学，首先要关注学生列方程的练习，根据数量关系列方程是本单元的教学重点，也是教学的难点。在方程的意义教学时要注意加强这方面的训练，随后的学习中要不断训练，这里的教学是一个很好的契机。解答时，应先把看成一个整体。至于为什么要把看成一个整体？这是教学的难点。
建议一：可以借助直观图加以说明：
建议二：可以把看作“”，原方程就可以看成“”了。这样引导学生先把这个方程的解求出来，再把“”还原成即可推算出的值了。这样化繁为简引导学生自主探究出这类稍复杂的方程解法。
建议三：可利用运算顺序的事实说明。由于要先算二级运算，后算一级运算，即先要算是多少，后算加法，也就是说是求3与的积与4的和是多少。所以可以
把先看成一个整体。解答方程“”时，要先把看作一个整体，也是同样的道理。
四、掌握列方程解决问题的基本思路和一般方法，学会用方程解决实际问题
突破建议：
1．首次学习列方程解决问题，应以四则运算和数量关系为基础，注意从算术思路到方程（代数）思路的过渡和对比，掌握列方程解决问题的思考方法和特点：将未知的数用字母表示，分析实际问题中的数量关系，找出等量关系并列出方程。要向学生明确说明这是一种新的解决问题的方法，今后的学习中会用得非常多。在“做一做”和后面的练习中不提倡用算术方法解答，要求学生用方程解答，以强化列方程解决问题的基本思路和一般方法。
2．列方程解决问题的关键是要会分析问题中的数量关系，找出等量关系。因此在开始学习时要加强根据具体问题情境，寻找等量关系的练习。
建议一：要求学生在练习时像教材中那样写出等量关系，如：
解：设学校原跳远记录是x米。
原记录+超出记录=小明的成绩
x+4.21=0.06
建议二：找等量关系可以做专项练习。也就是看问题情境写等量关系，列出方程不解答。然后同桌两位学生互相说一说，或者小组几位同学互相说一说。这样可以提高练习的效率。在这样的练习中，教师要注意学生列出的方程是否符合所写的等量关系。像下面的错误教师要及时予以纠正，并要求学生改正。
原记录+超出记录=小明的成绩
4.21+x=0.06
3．将列方程解决实际问题的步骤融入到解决问题的一般步骤之中。列方程解决问题除了要引导学生概括列方程解决问题的步骤（如下图所示）
(1)找出未知数。用字母x表示；
(2)分析实际问题中的数量关系，列方程；
(3)解方程并检验作答。
同时也要注意体现解决问题的一般步骤，即“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”。虽然教材只是在例5中才出现，建议前面所有例题都要有这几个步骤，与低年级学习解决问题的要求保持一致。“回顾与反思”不仅要注意检查解答是否正确（检验时不能只是将的值代入原方程去检验，还应要求学生根据具体的问题情境来检验。如例1中算出的原纪录一定要比小明的成绩的米数少，又如例2中算出的黑色皮的块数一定要比白色皮的块数少，同时也要引导学生回顾所采用的方法，特别是数学的思想方法。
4．在教学例5时建议不要提及“行程问题”“相遇问题”等，要重点解决如何指导学生利用几何直观（即画线段图的方法）帮助分析数量关系的问题。让学生感受到利用画线段图的方法可以更加清楚地分析数量之间的相等关系。开始教师可以边演示画的过程，边指导学生跟着画图，之后可以放手让学生独立画出线段图。这里不可将这一环
节教学落空。另外，教材在例题和练习题中只安排了行程问题或工程问题），为了不让学生进入“典型应用题”的怪圈，建议教学时可以适当补充练习如“妈妈星期天买来同样多的苹果和橘子，共花了24元。已知苹果每千克5元，橘子每千克3元。妈妈买来的苹果和橘子各有多少千克？”或“妈妈星期天买来同样多的苹果和橘子，苹果比橘子多花了6元。已知苹果每千克5元，橘子每千克3元。妈妈买来的苹果和橘子各有多少千克？”
《多边形的面积》重难点突破
一、渗透“转化”思想，理解面积计算公式的推导，掌握面积计算的方法
突破建议：
“转化”是数学学习和研究的一种重要思想方法，本单元面积公式的推导都采用了转化的方法。在教学中，教师一方面要启发学生设法把所研究的图形转化为已经会计算面积的图形，渗透“转化”的思想方法；另一方面要引导学生主动探究所研究的图形与转化后的图形之间有什么联系，从而找到面积的计算方法，要利用讨论和交流等形式，让学生把自己操作──转化──推导的过程叙述出来，以发展学生的思维和表达能力。
1．教学平行四边形的面积时，应体会情境中“我只会算长方形的……”这句话所蕴含的深意，它既反映了学生现有的知识基础，又表明了探究平行四边形面积计算公式的思维方法（比较、转化），还指引了转化的方向。在将平行四边形转化成长方形后，教师应引导学生通过观察和比较，发现原来图形和转化后图形之间的关系，从而推导出平行四边形面积计算公式。
2．教学三角形的面积时，情境中“能不能把三角形也转化成学过的……”这句话再次指明了探究方向，因为学生刚研究过平行四边形的面积，知道“转化”的方法，所以自然就能够想到将三角形转化成学过的图形。教师要引导学生以推导平行四边形面积计算公式所积累的活动经验为基础，通过动手实践和探索，将三角形转化为已经会计算面积的图形：可以引导学生只用一个三角形进行割补转化，也可以用两个完全一样的三角形进行拼摆转化（分层处理）；在用两个完全一样的三角形进行转化时，应指导学生先在其中一个三角形上标明底和高，再动手进行拼摆和探索，从而突破三角形面积推导的难点。
3．教学梯形的面积时，可以放手让学生用不同的方法将梯形转化成已经会计算面积的图形（教学中分层处理），但同样要提出操作和探究的要求：转化后是什么图形？转化后图形的面积会不会计算？转化后图形的面积与原来梯形的面积有什么关系？引导学生根据自己的转化方法交流计算公式的推导过程（以拼摆的方法为重点），发展学生的推理能力和创新意识。
运用转化的方法推导平行四边形、三角形、梯形等面积计算公式时，可以有多种途径和方法。教师注意不要把学生的思维限制在一种固定或简单的途径或方法上，要尊重学生的想法，鼓励学生从不同的途径和角度去思考和探索解决问题。
二、重视动手操作与实验，发展空间观念
突破建议：
本单元面积公式的推导都是建立在学生数、剪、拼、摆的操作活动之上的，所以操作是本单元教学的重要环节。教师既要做好引导，又要注意不要包办代替，一定要学生在独立思考和合作交流的基础上进行操作，通过实际操作活动，发展学生的空间观念，
培养动手操作能力。
1．在“数”与“比”中发展数学思维。在教学平行四边形时，“数方格”环节后是平行四边形与长方形的表格对比，在数一数、比一比中，教师要引导学生发现平行四边形的底、高、面积与长方形的长、宽、面积之间的等量关系，为后面的一系列转化奠定基础。这一过程应让学生独立完成，有助于发展学生的思维。
2．在“剪”“拼”“摆”“画”等活动中发现图形之间的关系，培养空间观念。例如平行四边形转化为长方形，是通过动手剪、平移、旋转等一系列操作活动得到的；三角形转化为平行四边形，则是让学生在“画”“拼”中发现原三角形与拼成的平行四边形等底等高，从而得出面积关系；在将梯形转化为已经会计算面积的图形时，更要放手让学生用拼、剪等不同的方法进行转化，揭示不同图形之间的关系以及位置关系，有效地发展学生的空间观念。
三、理解和掌握组合图形面积计算的方法
突破建议：
1．强化对组合图形的认识，明确组合图形的意义。教师教学时可以先出示一些不规则图形，引导学生找找这些图形的特点，建立组合图形的表象；接着对这些图形进行具体分析，着重引导学生意识到组合图形不仅仅可以看成是简单图形“拼组”而成，还可以看成是从一个图形中“剪去”另一个图形；同样的简单图形，可以组成不同形状的组合图形；同一个组合图形，可以有不同的分解方法。在这个环节，学生对组合图形的认识越深刻，对后面理解和掌握面积的计算方法越有帮助。
2．分析图形的组合方式，找准计算面积需要的数据。计算组合图形的面积时，教师要让学生明确步骤：第一步是把组合图形进行分解，即将“组合图形的面积”转化为“简单图形面积之和或差”；第二步是找计算面积时需要的条件。教学中要着重对学生进行“分解方法”与“寻找数据”两方面的指导：指导“分解方法”时，应使学生意识到分解要尽量简单，即分的图形越少，计算越简便；同时配合“寻找数据”，让学生体会到有些分解方法虽然可行、简便，但在已知条件中却找不到计算时需要的数据，从而淘汰不合理的分解方法。
四、形成不规则图形面积的估算策略
突破建议：
1．准确理解面积的本质，正确估算图形的面积。学生在估计不规则图形的面积时，往往受图形“形状不规则”这一表征的影响，忽视了面积计算的本质理解。教学时，教师要引导学生认识到，无论求什么图形的面积，其实质就是看它包含多少个面积单位，即面积的本质，从而顺利想到求面积的第一种基本方法──数方格。此外，也可以借助学生已有的知识经验（会计算各种图形的面积），启发学生将已有图形近似看成某个规则图形，用面积计算公式予以解决。
2．体会方法多样，感悟估算价值。在对“数方格”的估算方法进行深入探讨时，要注意体会方法的多样化：方法一，数出图形内包含的完整方格数，估计这个图形的面
积；方法二，在完整方格数的基础上，再加上不完整的方格数，估计这个图形的面积；在此基础上可以进一步引导学生发现，第一种方法估计的比实际面积小，第二种方法估计的比实际面积大，实际面积应在这两个估计值之间；方法三，将不满一格的都算半格，从而得到较为准确的估计值。
此外，学生获得的估算策略、估算方法，并不是对每个图形都适用的，要让学生体会到不同的估算策略各有其优劣。如用“数方格”的方法，不仅可以估计图形的面积，还可以确定面积范围，但当图形过大时，这种方法就显得比较麻烦了，这时转化成近似的规则图形、用公式计算面积就比较方便。此外，教材还通过提问“你是怎样估的？”启发学生发散思维、开动脑筋，想出更多巧妙的估算方法。教学中，教师要注意引导学生通过不同估算策略的对比，体会不同估算策略的价值。
《数学广角──植树问题》重难点突破
一、建构数学模型，探寻规律
突破建议：
本单元是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法，同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。
教师教学时，应从实际问题入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程中逐步发现隐含于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。
二、初步体会植树问题的数学思想方法
突破建议：
“数学广角”的教学目的主要是让学生体验知识的形成过程和感悟数学思想方法。本单元并非让学生记熟规律、熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想和方法的一个学习支点。在教学中教师不妨让学生先猜测，再动手操作、实践验证。怎样检验这个结果是否正确？初步向学生渗透用比较简单的例子来验证较为复杂的问题，即化繁为简的思想。例1教学中，假设路长只有20米，要栽几棵树呢？提示学生用画线段图或者示意图的方式来辅助思考，从中渗透“数形结合”的思想。这样学生就很容易地发现直接用除法20÷5=4算出的结果和通过直观图看出的5棵树有冲突，引发学生的思考。还要结合教材中“对吗？检验一下”“可以画线段图来验证”等线索，向学生渗透简单的化归、数形结合、一一对应、模型、推理等数学思想，激发学生对数学的兴趣。
三、应用画图策略，有效地解决生活中的植树问题
突破建议：
在日常教学中，在指导学生学习数学的过程中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的。因此，教师在教学中要重视画线段图的方法，并通过多媒体直观演示辅助教学，突出“一一对应”思想，把间隔点数和栽树的棵数对应起来。之后让学生再用“25 m”或者自己列举的数据进一步探究，教师可以出示统计表，学生将研究结果记录下来，利用统计表发现栽树的棵数和间隔数之间的规律。
四、用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题
突破建议：
植树问题的模型是现实世界中一类相近问题的拓展，它源于现实，又高于生活。所以，在现实中有着广泛的应用价值。为了让学生理解这一建模的意义，在教学中把植树问题推广到与植树问题相近的一些问题中，以图片、文字等形式让学生了解生活中与植树问题相似的现象，让学生进一步体会现实生活中的许多不同事件（如队列问题、公交