排列组合典型问题-分球入盒
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”模型
解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型--“小球入盒”
模型
凤斌;叶菊
【期刊名称】《青苹果：高中版》
【年(卷),期】2016(000)005
【摘要】数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段。
排列组合问题的情景设置千变万化，“小球入盒”是一类典型的数学模型，将其用来解读排列、组合问题，可以搭起挖掘知识的内涵和外延的平台，直击目标。
【总页数】3页(P42-44)
【作者】凤斌;叶菊
【作者单位】安徽省宿州二中
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——『小球入盒』模型 [J], 凤斌;叶菊
2.排列组合中一类分组分配问题的统一球盒模型 [J], 姜保庆;郭旌巍;张忠军
3.利用"球入盒"模型解决分组问题 [J], 叶德凤
4.解决排列组合中分组与分配问题的一类重要模型——“小球入盒”模型 [J], 凤
斌;叶菊;
5.利用“球入盒”模型解决分组问题 [J], 司振玲
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排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题
数学教学：浅谈排列组合中的“球入盒”问题作者：蔡丽菊来源：《数学大世界·中旬刊》2019年第08期在高中数学中有《排列组合》这一章，对学生逻辑推理能力、分类讨论以及建构模型的能力都有极高的要求，包括现在的数学竞赛中都涉及排列组合问题。
其中，“小球与盒子”的模型问题一直是一个热门话题。
由于球与盒子都有着“相同”与“不同”的分类，并且具有知识上的综合性、解题技巧上的灵活性以及思维方式上的抽象性，使同学对此类问题感到很是困惑，感觉千变万化，无从下手。
下面我就对此模型问题的解法及运用作一个总结和分析，望同学有所感悟。
类型一：不同小球入不同盒子的模型1.球少盒多型例1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，有几种不同的放法？解：分四步完成，每一个小球都有5种放法，所以共有种不同的放法。
变式1：若将4个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至多放一个，有几种不同的放法？解：与例1相比，这次把盒子看成元素，即从5个不同的盒子里任意取出4个盒子，来放4个不同的小球，所以这是个排列问题。
有种不同的方法。
变式2：若将5个不同的小球，放入5个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：此题是5个不同小球的全排列问题，所以有种不同的方法。
注：此类问题一般用排列组合思想，利用分步计数原理2.球多盒少且每盒至少放一球型例2：若将5个不同的小球，放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有几种不同的放法？解：分两步完成，先将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有种方法；然后再将分成4组的小球放到4个不同的盒子里，相当于全排列，即有种方法，所以共有种不同的方法。
变式：若将5个不同的小球放入4个不同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？解：分三步完成。
第一步，选1个空盒，有种不同的方法；类型二：相同小球放入不同盒子的模型例3：若将10个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子不空，有多少种不同的放法？解：此类问题可以用隔板法解决，即在10个小球中间的9个空中放两个相同隔板的问题，自然分成3组，代表放入三个不同盒子中，故有种方法。
球入盒问题分类例析
“球入盒”问题分类例析排列组合问题中经常遇到“球入盒子”类型题目，这类问题的类型和解法如下：一、球相同，盒子相同，且盒子不能空例1. 8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析球入盒问题，可以看成分两步完成，首先是将8个球分成三堆，每堆至少一个•由于这里球和盒子都相同，每三堆放入3个盒子中只有一种情况，所以只要将8个球分成三堆•即1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3五种，故将8个相同的球放入3个相同的盒子中，每个盒子至少有一个，有五种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n>m），不能有空盒时的放法种数等于n分解为m个数的和的种数•二、球相同，盒子相同，且盒子可以空例2. 8个相同的球放入3个相同的盒子中•问有多少种不同的放法解析与上题不同的是分成的三堆中，上题中的每一堆至少有一个球，而这个题中的三堆可以有球数为零的堆，即除了分成上面的五堆外，还可分为1-7、2-6、3-5、4-4和只一堆共五种情况，故8个相同的球放入3个相同的盒子中•，有十种不同的放法•结论n个相同的球放入m个相同的盒子（n A m），可以有空盒时的放法种数等于将n分解为m个、（m- 1）个、（m—2）个、…、2个、1个数的和的所有种数之和•三、球相同，盒子不同，且盒子不能空例3. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析这是个相同的球放入不同的盒子中，与前面不同的是，这里盒子不同，所以不能再用前面的解法•将8个球排成一排，形成7个空隙，在7个空隙中任取两个插入两块隔板，有C" =7-621种，这样将8个球分成三2堆，第一堆放到1号盒子内，第二堆放到2号盒子内，第三堆放到3号盒子内•故将8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个，有21种不同的放法•结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），不能有空盒的放法种数等于•四、球相同，盒子不同，且盒子可以空例4. 8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中•问有多少种不同的放法解析与上一题不同的是，这里可以有盒子没放一个•还是利用隔板原理将8个球分为三堆，只不过有的堆的球数为零，即在8个球之间插入两块隔板•首先将8个球排成一排，就有9个空，任取一个空插入一块隔板，有C11种；然后再将第二块隔板插入前面8个球和第一块隔板形成的10个空中，有C w种，但这两种放法中有重复的，要除以2;最后将第一块隔板左边的球放入1号盒子中，两块隔板之间的球放入2号盒子中，第二块隔板右边的球1 1 1 210 9放入3号盒子中•故一共有一C9 C10 C10------------ 45种•2 2或者，将8个球分成三堆（包括没有0数堆和有0数堆），也就是在8个球的9个空隙中取两个插入隔板或取一个插入两块隔板，即C9 Cg 9 36 45种•例3也可利用上面的分法来解，8个相同的球放入标号为1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•先放一个到每个盒子中，只有一种放法•然后将剩下的5个球排成一排，插入两块隔板，2 2 种.结论n个相同的球放入m个不同的盒子中（n A m），可以有空盒的放法种数等于Cr?；.五、球不同，盒子相同，且盒子不能空例5. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 由于盒子相同，所以只要对8个不同的球分成三堆就行了， 因为放入盒子只有一种情况•而8个球分成（注意，分组有几组个数相同即几组均分就要除以几的阶乘）•故一共有 C 1C 1C 6C 2C 2C 4C 2C 3C 3C 8C7C6.12 5.13 4 c8 c6 c4 , c8 C6C3+ C 8C 7C 5 +C 8C 7C 4 ++ —2 2结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（ n 》m ），不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数•六、球不同，盒子相同，且盒子可以空例6. 8个不同的球放入三个相同的盒子中，问有多少种不同的放法 解析 只比上一题多了两种情况，一是有一堆为0的，即分成两堆，1-7、2-6、3-5、4-4四种情况，有1c 8c ；c f c f -Cs127 ;二是有两堆为0的，即只分成一堆，一种情况•所以一共有966+127+仁10942种.结论 n 个不同的球放入m 个相同的盒子中（n > m ）,可以有空盒的放法种数等于将n 个不同的球分成m 堆、 （m—1）堆、（m — 2）堆、…、2堆、1堆的所有种数之和•七、球不同，盒子不同，且盒子不能空例7. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，每个盒子中至少有一个•问有多少种不同的放法解析 这个问题就等价于“ 8本不同的书分给3个同学，每人至少有一本，有多少种分法” 就是在例5先分堆的基础上，再加一步，分到三个不同的盒子中•即966 A 33=5796种•结论 n 个不同的球放入m 个不同的盒子中，不能有空盒的放法种数等于n 个不同的球分成m 堆的种数乘以m! •例8将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒子内放一个球，恰好 3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（）•A 120B 240C 360D 720解析 先在10个不同的球中任取 7个分别放到对应标号的盒子中，有 Cw 种选法；再将剩下的三个球分别放入剩下的三个盒子中，每个盒子放一个且标号不能相同，有2种放法•故满足题意的放法有 2C 170 =240种，选B.八、球不同，盒子不同，且盒子可以空例9. 8个不同的球放入标号为 1、2、3的三个盒子中，问有多少种不同的放法 解析 包括分三堆的5796种，还有分两堆的 127 A 33762，还有只分一堆的3种情况，所以一共有5796+762+3=6561 种.三堆，各堆球数依次为 1-1-6、1-2-5、1-3-4、2-2-4、2-3-3 五种.对情况 1-1-6 有c 8c ；c种分法, 对情况1-2-5有C ；C ；C ；种分法，对情况1-3-4有C 8C ；C ：种分法，对情况2-2-4有CsCsC种分法，对情况2-3-3=966 种.它也等价于“ 8封信投到3个邮箱里”，应该有38=6561种•结论n个不同的球放入m个不同的盒子中（n》m），可以有空盒的放法种数等于m n种.。
常见算法之14---球放入盒问题
常见算法之14---球放⼊盒问题N个球放⼊M个盒⼦中的问题研究：本来这是组合数学中的问题，但近年来公务员考试，企业⾯试经常会涉及到这个问题。
这个问题并⾮咋⼀看上去那么容易，不妨⾃⼰先动⼿计算⼀下下⾯⼏个题⽬：情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法情形4 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形5 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形6 N个相同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
情形7 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
情形8 N个不同的球，放⼊M个相同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
==================分割线=========================假定：c(N,M)表⽰为从n个项中挑选出m个项的⽅案数。
情形1 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
每个球都可以随意放，有M个选择，故共M^N种⽅式。
情形2 N个不同的球，放⼊M个不同的盒⼦，盒⼦不为空的放法。
⾸先，从N个球中选出M个球，将这M个球排列。
（相当于每个盒⼦⾥放⼀个）c(N,M)*M!种然后，剩下的N-M个球就可以随意放了。
M^(N-M)种综上，c(N,M)*M!*[M^(N-M)]情形3 N个相同的球，放⼊M个不同的盒⼦，允许盒⼦为空的放法。
根据隔板原理：将N个球排成⼀列，中间插⼊M-1个隔板，分成M个堆，其中允许隔板相邻，也可以放在两边。
N个球时，有N+1个空；插⼊⼀个板后，有N+2个空....故⼀共有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)种。
但板⼦的插⼊顺序是没有要求的，所以我们要去除重复的情形。
板⼦的顺序有(M-1)!综上，有(N+1)*(N+2)....*(N+M-1)/(M-1)!种情形。
排列组合：小球入盒
小球入盒模型的推广应用摘要：小球入盒是排列组合的典型问题，本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面对小球入盒模型的加以推广应用。
小球入盒是排列组合的典型问题，与之相关的有名额分配、人员分配等问题，形式多样.“小球入盒问题”问题可以分为四类：不同的小球放入不同的盒子里；不同的小球放入相同的盒子里；相同的小球放入不同的盒子里；相同的小球放入相同的盒子里（此类不做重点讨论）。
解答小球入盒问题的最有效、最易于操作的方法是“先分组后分配”，即先将元素分组、再分配到位置.分组时应注意平均分组与非平均分组的区别；放入相同盒子可看作分组无分配问题；解答相同小球入不同盒子问题的最有效、最易于操作的方法是隔板法。
【引例】①把4个相同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？②把4个不同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？③把4个不同的小球放入3个相同的盒子，共有多少种不同的放法？④把4个相同的小球放入3个不同的盒子，共有多少种不同的放法？【解析】①由于小球相同，盒子也相同，故小球数目的不同分组就对应不同的放法，小球数目分组有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，故只有4种放法.②（乘法原理）分4步，把小球一个一个地放入盒子，每一个小球都有3种放法，由乘法原理，共有种放法.③（先分组后分配）先将不同小球分为三组，有4+0+0型(种方法)、3+1+0型（种方法）、2+2+0型(种方法)、2+1+1型(种方法)，共14 种分组方法，再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子相同，故都只有1种方案，故共有14 种放法.④法1：（先分组后分配）先将小球分为三组，有4+0+0型、3+1+0型、2+2+0型、2+1+1型，由于小球相同，故各只有1种分组方法；再将三组小球分配到三个盒子，由于盒子不同，故有种放法.法2：（隔板法）每种放法对应于将4个相同小球与2个相同“隔板”进行的一次排列，即从6个位置中选2个位置安排隔板，故共有 =15种放入的方式。
分球人盒问题例析
ʏ浙江省绍兴市上虞区上虞中学 章舜龙在求解排列㊁组合问题的过程中,我们经常会遇到一类 分球入盒 的问题或可转化为 分球入盒 模型的问题㊂不少同学由于不能正确对待 球 和 盒 的顺序而导致错解㊂下面例析 分球入盒 问题,以期帮助同学们厘清思路,顺利解答该类问题㊂一㊁球同盒同例1 将7个相同的小球,放入4个相同的箱子中㊂(1)每个箱子中至少有一个小球(即箱子不空),有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,又有多少种不同的放法?分析:箱子相同时不需要考虑箱子的顺序,球相同也无须考虑球的差别,只要考虑各个箱子中放入小球的数量多少,故可用 穷举法 求解㊂解:(1)箱子不空有3种放法:{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,2}㊂(2)箱子允许空共有11种放法:{0,0,0,7},{0,0,1,6},{0,0,2,5},{0,0,3,4},{0,1,1,5},{0,1,2,4},{0,1,3,3},{0,2,2,3},{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,3}㊂点评: 穷举法 是求解排列组合问题中最常见的数学思想方法㊂此时, 无招胜有招㊂二㊁球同盒不同例2 将7个相同的小球,放入4个不同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)若箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:本题与例1的不同点是这里的4个箱子是不同的,需考虑箱子间的顺序,若还用穷举法解就显得繁杂,可将问题转化为方程正整数解的问题,进而利用 插空法 求解㊂解:(1)设第i 个箱子里放入m i (i =1,2,3,4)个球,则问题转化为求不定方程m 1+m 2+m 3+m 4=7(*)的正整数解的个数㊂将7个小球排成一排,用3个隔板将7个小球分成四份,每一种分隔方法对应一种放法,7个小球之间有6个间隙,在其中任选3个插入隔板,有C 36=20(种)方法㊂故共有20种不同的放法㊂(2)箱子允许有空,等价于求(*)式的非负整数解个数㊂设x i =m i +1(i =1,2,3,4),问题转化为求不定方程x 1+x 2+x 3+x 4=11的正整数解的个数㊂仿(1)知共有C 310=120(种)不同方法㊂对于(2)也可这样思考,此时把7个小球81 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年3月与3个隔板等同看待,认为共有10个元素,将它们排成一列,每一个排列对应一种放法,如O O O O O||O O|对应的放法就是:{5,0,2, 0},10个位置任选3个放隔板,其余7个位置放小球,共有C310=120(种)不同方法㊂点评:求解相同元素的分配问题用 隔板法 ,将n个相同的元素分成m份(n,m为正整数),每份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为C m-1n-1㊂三㊁盒同球不同例3将7个不同的小球,放入4个相同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:此情形中要注意球是不同的,需考虑其差异,而箱子是相同的就不需要考虑其顺序,故常用 分类累加法 求解㊂解:(1)箱子不空,分为以下三类:①4个箱子中小球数是{1,1,1,4},放法有C17C16C15C44/A33=35(种);②4个箱子中小球数是{1,1,2,3},放法有C17C16C25C33/A22=210(种);③4个箱子中小球数是{1,2,2,2},放法有C17C26C24C22/A33=105(种)㊂放法共有35+210+105=350(种)㊂(2)箱子允许空,分为下面四类㊂①4个箱子均不空,由(1)知有350种放法㊂②4个箱子中有1个是空的,则分为下面四种情形㊂ⅰ)4个箱子中小球数是{0,1,1,5},不同的放法有C17C16C55/A22=21(种);ⅱ)4个箱子中小球数是{0,1,2,4},不同的放法有C17C26C44=105(种);ⅲ)4个箱子中小球数是{0,1,3,3},不同的放法有C17C36C33/A22=70(种);ⅳ)4个箱子中小球数是{0,2,2,3},不同的放法有C27C25C33/A22=105(种)㊂此时共有不同的放法数为21+105+ 70+105=301㊂③4个箱子中有2个是空的,又分为下面三种情形㊂ⅰ)4个箱子中小球数是{0,0,1,6},不同的放法有C17C66=7(种);ⅱ)4个箱子中小球数是{0,0,2,5},不同的放法有C27C55=21(种);ⅲ)4个箱子中小球数是{0,0,3,4},不同的放法有C37C44=35(种)㊂此时共有不同的放法数为7+21+35= 63㊂④4个箱子中有3个是空的仅有一种情形{0,0,0,7},共有1种放法㊂综上所述,共有350+301+63+1=715 (种)不同放法㊂点评:本题属于分组问题,分组的类型包括整体均分㊁部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有元素的个数相等的组存在,就需要考虑均分的现象(即:整体平均分组;或部分平均分组)㊂四㊁球盒均不同例4将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中㊂(1)箱子不空,有多少种不同的放法?(2)箱子允许空,有多少种不同的放法?分析:与例3比较,需考虑箱子的差异,即箱子间的顺序㊂解:(1)由例3可知7个不同的小球,放入4个相同的箱子中,箱子不空时共有350种放法㊂故将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子不空,共有350A44=8400 (种)不同的放法㊂(2)用 分步法 求解㊂将7个不同的小球,放入4个不同的箱子中,箱子允许空,每一个小球都有4种不同的放法,故共有47= 16384(种)不同的放法㊂点评:重复排列问题要区分两类元素,一类可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,把能重复的元素看作 店 ,通过 住店法 可顺利解题㊂在使用住店策略解决这类问题时,关键是正确判断哪个是底数,哪个是指数㊂(责任编辑徐利杰)91解题篇经典题突破方法高二数学2024年3月。
你了解分球入盒问题吗？
你了解分球入盒问题吗？将n 个球放入k 个盒子中，有多少种不同的放法？这类问题我们称之为分球入盒问题。
其中问法常有两类：（1）允许有空盒子，共有多少种不同的放法；（2）盒子不许空，有多少种不同的放法。
而球与盒子又分为下面几种情况：（1）相同的球与相同的盒子；（2）相同的球与不同的盒子；（3）不同的球与相同的盒子，（4）不同的球与不同的盒子。
其中，盒子相同时不用考虑其顺序；盒子不同时则和顺序有关，但盒子可以空着的时候，空着的盒子则又不要考虑顺序。
球相同时，球没有顺序没有区别，但球不同时，在同一个盒子中的球没有顺序，不在同一个盒子中的球是有区别的，所以要先选再放。
下面通过具体例子进一步说明：例1将9个相同．．的小球放入5个相同．．的盒子中。
（1）若每个盒子中至少有一个小球，一共有多少种不同的放法？（2）若允许有空的盒子，一共有多少种不同的放法？分析：盒子相同时不用考虑盒子的顺序，球相同也不用考虑球的差别，所以考虑每个盒子放多少个球就可以了，可以利用列举法。
解：（1）每个盒子至少有一个球的方法有如下5种：{1，1，1，1，5}，{1，1，1，2，4}，{1，1，1，3，3}，{1，1，2，2，3}，{1，2，2，2，2}。
（2）允许盒子空着的一共有如下23种：{0，0，0，0，9}，{0，0，0，1，8}，{0，0，0，2，7}，{0，0，0，3，6}，{0，0，0，4，5}，{0，0，1，1，7}，{0，0，1，2，6}，{0，0，1，3，5}，{0，0，1，4，4}，{0，0，2，2，5}，{0，0，2，3，4}，{0，0，3，3，3}，{0，1，1，1，6}，{0，1，1，2，5}，{0，1，1，3，4}，{0，1，2，2，4}，{0，1，2，3，3}，{0，2，2，2，3}，{1，1，1，1，5}，{1，1，1，2，4}，{1，1，1，3，3}，{1，1，2，2，3}，{1，2，2，2，2}。
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分球入盒问题
高二数学组朱育璋
分球入盒问题（球在盒子的分布情况）是概率中常见的一类题型，如：
(1)生日问题：n个人的生日的可能情况（每个人生日是365天之一），相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；
（2）书籍分堆问题：6本画册分给3份，每份至少一本
（3）名额分配问题：7个参赛名额分给不同班级
（4）有n封信随机的投放在N个信筒中（筒内信数不限）；
此类问题具有背景丰富，应用广泛等特点。
本文旨在总结解此类题的规律，理清思路，以便更好的更快的求解问题。
例题分析
【例1】按下列要求分配6个不同的小球，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1个，1份2个，1份3个；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1个，一人得2个，一人得3个；
分析：（1）为典型无序分组问题，可分三步完成，即拿出一个做第一份，拿出2个做第二份，拿出3个做第三份，完成分组，对于（2）为有序分组问题，可采取先按（1）分组，再进行分配，即排列。
归纳：从1,2问区分分组要求与分配要求，并掌握基本方法。
另外，举出类似问题，一起归结为：不同小球投入相同的盒子，不同小球投入不同的盒子
(3)分成三份，1份4个，另外两份每份1个；
(4)甲、乙、丙三人中，一人得4个，另外两人每人得1个；
分析：（3）与（1）问题类型相同，同为分组要求，不同的地方：出现两份小球数目一
样，即有均分组，此时按原方法计算会导致重复计算，举例：不妨记6个球为A、B、C、D、E、F，若第一步取了ABCD，第二步取了E，第三步取了F，记该种分法为(ABCD，E,F)，则同样分法中还有(ABCD,F,E) ，共2种情况，而这2种情况仅是E，F的顺序
不同，从排列角度易算出不同的分法为2
A，需在原基础上除以22A，消去顺序。
2
归纳：在分组中出现均分组情况，需要消序，即除以均分组的组数全排列数
【例2】按下列要求分配6个相同的小球，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1个，1份2个，1份3个；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1个，一人得2个，一人得3个；
一.（1）通过穷举的办法算出结果，认识到分法差异在于各组小球数量的相对性
二. （2）分法差异在于不同的小组小球的数量，方法：先定数量分配，再分配入盒。
归纳：
1.球不同，盒子同（分组问题）
方法：典型组合问题，首先明确各组小球的数量，然后逐步算出每一组的组合方式，再相乘。
注意：平均分组时，需消序，即除以均分组的个数的全排列数
2.球不同，盒子不同（分配问题）
方法：先组合后排列，首先按1类型算出分组方法，然后将各组整体视为单个元素，再进行排列。
特别地：当每个盒子不限小球的个数时，可让每一个小球依
次选择盒子，各小球的选择方法有b种，总数a b·
3.球同，盒子不同（分法的差异：不同盒子所装小球的数量）
穷举法：
隔板法：将a个小球排成一列，小球间形成a-1个空位，从中选择b-1个空位插入隔板，等价于将元素分成b份。
注意;该法要求每个盒子至少有一个小球，不允许空盒
4.球同，盒子同（分法的差异：各盒子所装小球数量的相对性）
穷举法：即把每一个分法详细写出来。
分球入盒问题思考方式
1. 如何辨认何种考题属于此题型？
特征：考察对象有两个，一个是待分配的，另一个对象具有容纳功能，常见问题：信件投信箱，多人人选房子住宿，赠书给人
2. 辨别哪个是小球，哪个是盒子。
盒子：具有容纳的功能
3. 辨别小球（盒子）同还是不同，确定问题的具体类型，准确选择方法。
4. 计算概率时，为典型的等可能实验。