高中数学第二章平面向量22平面向量的线性运算221向量加法运算及其几何意义课后集训.doc

2. 2.1向量加法运算及其几何意义
课后集训
基础达标
1 •在四边形ABCD 中，CB + AD + BA 等于（ ）
解析：CB + AD + BA= （CB + BA ） AD = CA +AD = CD,故选 C.
答案：C
2. 在AABC 中，必有AB + C4 + BC 等于（ ）
A.O
B.O
C.任一向量
D.与三角形形状有关 解析：AB + G4 + BC = AC + C4=0.故应选 B.
答案：B
3. 如右图，在厶ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的屮点，则乔十丽（ ） 解析：由于D 、E 、F 分别是AABC 三边的中点，
A AF = D£贝0乔+丽二丽+旋二庞，故应选D.
答案：D
4.
已知正方形ABCD 的边长为1 （如右图），AB=a f AC=c, BC =b,则|a+b+c|等于（ ）
A.O
B. 3 解析：如右图所示,a+b 二c,
| a+b+c | =21 c | = 2V2 . A. DB B. CA C. CD D. DC A. FD B. FC D. BE
c. V2 D. 2V2
・・・应选D.
答案：D
5.如
右图所示,0是四边形ABCD对角线的交点，若a+d二c+b则四边形ABCD形状为（）A.等腰梯形 B.菱形 C.平行四边形 D.矩形
解析：c+b= CB , a+d=d+a= DA ・•・DA = CB. A ABCD为平行四边形.
答案：C
6.(1) + + ____________________________ ;
(2)OB + AO + OC + CO= _______________ ;
(3)(AC + BA ) +CB= ______________ ;
(4)( AB + CB) +BD + DC= _______________ .
解析：(1) CD^BC^AB = CD^ ( AB + BC) =CD^AC = AC^CD = AD.
(2)OB + AO + OC + CO二+ =
(3)( AC + BA ) +CB = AC^BA + CB = AC+ (CB + BA) =AC + C4=0.
(4)(AB + CB) +BD +5C= ( AB + BD) +5C + CB = AD + DB = AB.
答案：(1) AD (2) ~\B(3) 0 (4) ~\B
综合运用
7.下列各式中不能化简为乔的是( )
A. ( AB + CD) +BC
B. (AD^MB ) + (BC + CM )
C. MB + AD + MB
D. 0C + A0 + CD
答案：C
&向量a、b满足|a|=6, |b|=10,则|a+b|的最大值是__________________________ ,最小值是
解析:当a 、b 不共线时,如右图，作AB =a, BC=b,则AC 二a+b.由向量加法的几何意义知 Ia+b | < |a| + |b |=16.
当a. b 共线同向时，如下图，作AB -a, BC 二b,则AC 二a+b,由向量加法的几何意义可 知 | AC | = |a+b| = |a| + |b|=16.
A a
B b c
当a 、b 共线反向时：如下图所示，作AB=a t BC=b,则疋二a+b 由向量加法的几何意义可 知 |a+b | = b -1 a| =10-6=4, /. | a+b | 的最大值为 16,最小值为 4.
C A
答案：16 4
9. 某人从点A 向东位移60 m 到达点B,又从点B 向东偏北30°方向位移50 m 到达点C,又 从点C 向北偏酋60°方向位移30 m 到达点I),选用适当的比例尺作图，求点D 相对于点* 的位置.
在 RtACFB 中，|CF|二50Xsin30° =25, | BF |=50Xcos30° =25^3 .
在 RtACED 中，| CE |=30Xcos30° =15V3 , | DE |=30Xsin30° =15.
| DM | = | DE | + | EM 1=15+25=40.
~BM | = | BF\-\~MF\ = \ ~BF |-| EC 1 = 25^3-15^3 = 10^3.
・••在 RtADMA 中，| 而 |二40, | 而 |二60+10
・•・ I AD | = 7402 +(60 + 10V3)2 ^87.
由计算器计算得ZDAM 二27° 18’ .
tanZDAM= \ DM \_ 40
\AM\ 60 +10徭 〜0. 517 3.
・・・D在A点东偏北27° 18’且距A87米处.
拓展探究
10.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30°的方向飞行300 km后到达B地,然后向C地飞行，已知C地在A地东偏北30°的方向处，且A、C两地相距300 km,求飞机从B地到C地E 行的方向及B、C间的距离.
解：如右图，+ ZBAC=90° , | AB | = | AC |=300,所以| BC | = 300血（km）. 又因为ZABC二45°，且A地在B地的东偏南60°的方向处，可知C地在B地的东偏南15°的方向处.
答:飞机从B地向C地飞行的方向是东偏南15° ,B、C两地间的距离为300^2 km.
备选习题
11.（1）若a、b为非零向量，且| a+b | = |a | +1b |,则a的方向与b的方向必定________ .（2） _________________________________________________ 向量a与向量b反向，则a+b 与a的方向是 ________________________________________ .
（3） _________________________________________ 向量a、b满足关系式a+b二b,则a二, |a+b|= .
答案：⑴相同（2）同向或反向（3） 0 |b|
12.设a表示“向东走了2 s千米”，b表示“向南走了2 s千米”，c表示向西走了2 s 千米，d表示向北走了2 s千米，则
（1）a+d表示向_________ 方向走了___________ 千米.
（2） ____________________ b+c表示向__________ 方向走了千米.
（3） ______________________ a+c+d表示向________ 方向走了千米.
（4） ______________________ b+c+d表示向________ 方向走了千米.
答案：（1）东北22 s （2）西南22 s （3）北2 s （4）西2 s
13.如图1所示，己知0是线段AB的中点，M是平面上任意一点，试证明
MA^MB = MO + MO.
证法1：如图2,过A、B分别作MB、MA的平行线交于W易知MO + MO二+ . 证法2：因为MO二MB十BO , MO = MA + AO ,而AO + BO =0 ,所以易得
MO + MO = MA^MB.
14. 如下图甲所示，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂 线的夹角分别为30°、60° ,求当整个系统处于平衡状态时，两根绳子拉力的大小•
甲 乙
解：如上图乙所示，作出OOACB 的图形，使ZA0C=30° , ZB0C=60o ,在ZX0AC 中, ZAC0=ZB0C-60° , Z0AC=90° •
OB | = | AC |=150 N. 则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150巧N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是 150 N.
15. 己知下图中电线A0与天花板的夹角为60。

,电线A0所受拉力Fi 二24N;绳B0与墙壁垂直,
解：如右图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F 二N+F 尸OC.
在ZXOCA 中,|F ：|=24, | AC |=12, Z0AC=60° ,
A AOAC 为直角三角形.
| OC |=24Xsin60° =24X —= 12V3 ・ ・・・F 】与F2的合力为12侖N 与F2成90°角竖直向上.
16. 如图（1） （2），一条河的两岸平行，河的宽度4500 m. —艘船从A 处出发到河对岸.已知 船的速度"I 二10 km/h,水流速度|v2〔二2 km/h,问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到 0. 1 min ）
?
OA\ = \OC
• cos30°
图(1)
解：IV |二yj\ Vj I 2 -| v 2 I 2 = V% km/h, d 0.5 • • t = ---- = —.— X 60=3 ・ 1 min. Iv| V96
答:行驶航程最短时，所用时间是3. 1 min.
B D
A。