3-1矩阵及其运算
3-1.初等变换化简矩阵
为零. m r O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
行阶梯形矩阵中非零行 的行数.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换
化为行最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换 化为标准形矩阵. 下面我们还是通过例子来说明该定理.
Ex1：将以下矩阵化为行最简形
1 0 2 1 2 0 3 1 1 3 0 4 3
1 3 3 2 3 1 3 2 3 3 5 3 4 4 3 4 1 2 0 2 1
0 2 3 1 2 0 3 4 3 0 4 7 1
克莱姆法则中，要求：
１．未知量的个数
方程的个数
２．系数行列式 det A 0 而线性方程组的一般形式为 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 如 x1 2 x2 6 x3 2 x4 3 7 x1 0.5 x2 x3 x4 1
若( A) 若( A)
i
i
k k
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i
k ( A); k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与 变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换. 因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性 运算, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算.
行 最 简 形
利用矩阵的初等行变换将矩阵化为行阶梯形和 行最简形是解决矩阵问题的主要方法之一. 同学们应该熟练掌握.
3-1矩阵的初等变换
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
A
有限次初等变换
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质： 反身性 对称性 传递性
A~ A ；
若 A ~ B，则 B ~ A ； 若 A ~ B, B ~ C，则 A ~ C．
1 0 0 0
r1 r2
1 2 1 4 1 1 1 0 B4 0 0 1 3 0 0 0 0
① ② ③ ④
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3
4 2 B1 2 9
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
①
②
③ ④
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
②－③
③－2×① ④－3×①
①
②
③ ④
ri krj
ri krj .
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
4, ① 0, ② 6, ③ 3. ④
1 0 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
大学高等数学及线性代数课件3-1
§1 矩阵的初等变换
定理1：（只记结论）
⎛ Er O ⎞ 设 A是m × n阶矩阵，则 A ~ ⎜ ⎜ O O ⎟ ，其中0 ≤ r ≤ min(m, n), ⎟ ⎝ ⎠ m×n ⎛ Er O ⎞ ⎜ ⎜ O O ⎟ 称为A的标准形或叫等价标准形。 ⎟ 这是个什么类 ⎝ ⎠ m×n 型的矩阵呢？ 注释：所有n阶可逆方阵A的标准形都是n阶单位阵En
只能施行初等行变换
(
A
−1
)
只能用初等 列变换
⎛ A⎞ ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ → L → ⎜ −1 ⎟ ⎜E⎟ ⎜A ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ 例：设 A = ⎜ 2 2 1 ⎟, 求 A−1. ⎜ 3 4 3⎟ ⎠ ⎝
【1】此方法只能用初等行 变换！！ 【2】若不知A是否可逆， 仍可用上述方法做，只要 矩阵[A E]左子块出现一 行（列）的元素全为零， 则A不可逆。
这三个 矩阵既 可理解 为行变 换，又 可理解 为列变 换得到 的。
定理： 设A是n × s阶矩阵； B是m × n阶矩阵；则 [1]E (i, j ) A表示互换 A的第 i, j行； BE (i, j ) 表示互换 B的第 i, j列； [ 2]E (i ( k )) A表示 A的第 i行乘以 k ( ≠ 0); BE (i ( k )) 表示 B的第 i列乘以 k ( ≠ 0); [3]E (ij ( k )) A表示 A的第 j行的 k倍加到第 i行； BE (ij ( k )) 表示 B的第 i列的 k倍加到第 j列.
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ O ⎟ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 L 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎜ ⎟ E(i(k)) = ⎜ ⎟ E(i, j) = ⎜ M O M ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 L 0 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ O ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
3-1.初等变换化简矩阵
r4 −3r2
① ② ③ ④
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 = B3 0 0 2 −6 0 0 1 −3
r3
r4
r4 − 2r3
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 ① ② x2 − x3 + x4 = 0 x4 = −3 ③
0 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0
4 3 0 − 3 0 0
c4 + c1 + c2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 4 0 3 0 − 3 0 0
c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3
1 0 0 0
求解线性方程组
对应
增广矩阵
同解
初等行变换
行最简形矩阵
对应
阶梯形的线性方程组
回代法
原方程组的解
例2 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形. 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形.
1 −1 −1 1 0 0 1 2 −4 1 A= 2 −2 −4 6 − 1 3 −3 −5 7 − 1
（2） ）
其中c 其中 为任意常数 .
小结： 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． ．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 倍． ）一个方程加上另一个方程的k倍 3．上述三种变换都是同解变换． ．上述三种变换都是同解变换．
3-1矩阵的初等行变换
0
1/3
2 / 3
0 0 1 1 2 / 3 1/ 3
r1 r2
1 0 0 0 1/3 1/3
0
1
0
0
1/3
2
/
3
=
E | A1
0 0 1 1 2 / 3 1/ 3
初等行变化求逆矩阵旳基本环节
• 先写出（A|E），用经初等行变换将其中旳 A化为上三角，注意此过程中E也同步变化；
• 依次将
1 E(i，j)
0 1
1
i列
1
i行
1 0 0
1 0
E(2，3)
0
j行
0
0 1
1
0
j列
1
（2）初等倍乘矩阵
1
E(i(k))
k
i列
i行
1
1 0 0 0
E
(3(5))
0
1
0
0
0 0 5 0
0
0
0
1
（3）初等倍加矩阵
1
1
k
E(ij(k))
6
0
3 3
4 3
③+5② ④–3②
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2x4 6
x4 3
1 1 2 1 4
r3+5r2 r4–3r2
0
0
1 0
1 0
1 2
0
6
0
0
0 1 3
③2④ ③④
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0 x4 3
第三章 矩阵旳初等变换与线性方程组
内容简介
• 矩阵旳初等变换 • 矩阵旳秩 • 线性方程组旳解
3_1矩阵的概念及运算
矩阵的加法运算与数乘运算, 矩阵的加法运算与数乘运算,统称为矩阵的 线性运算. 线性运算.
例3(1)已知 已知
2 −1 4 3 −1 2 3 1 0 3 −2 1 B = 5 −3 0 1 A= 1 2 −5 0 4 0 3 2
ij m× n
矩阵A的 (m, n)元
Am×n ,
(a ), (a )
.
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵。 元素是复数的矩阵称为复矩阵。 复矩阵
例如
1 0 3 5 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
用矩阵表示
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
二、矩阵的概念
1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 这张表的研究 （线性方程组的 增广矩阵。） 增广矩阵。） B
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示 到站 B D A C
发站
A B C D
表示有航班. 表示有航班 改成1,空白地方填上 改成 空白地方填上
其中
3--1,2,3矩阵的基本运算、逆矩阵分块矩阵
A , B b21 a23 a21 a 代入(3.1)22 即得 23 b31
b11 b12 a13 1 11 t1 12 b21 b22 Examplea 1 a 设有两个线性变换 t a23 22 y2 21 2 b31 b32 x1 b11t1 b12t2 y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a11b11 a12b21 a13b31 a(3.1) a12 222 a13t132 b22tt21 (3.2) bx b21b 11b12 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x b t b t 1 223 a31 b32 t22 23 a21b11 a22b21 a23b31 a21b12 a22b 32 by b a11 a12 a13 若想求出从 t1, t2 到11 y1, 12 的线性变换，可将(3.2) 2
5
一、矩阵的基本运算
矩阵加法满足如下性质： （1） A + B = B + A ； （2）A + (B + C) = (A + B) + C （3） A+ 0= 0+ A=A ( 0为与 A 同型的零矩阵 )
（4） ( )A A A （5） ( A B) A B 显然有 A + (-A) = 0. 矩阵的减法定义为
质
A10 ( A2 )5 (9 E3 )5 95 ( E3 )5 95 E3
0 20 28 24 0 10 14 12 0 10 14 12 0 5 7 6 44
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注
f ( A) g ( A) = g ( A) f ( A).
T T
五、矩阵的转置与矩阵运算的关系
(1) ( A
)
= A;
T
2 ) ( A + B ) = AT + B T ; (
T
( 3) ( λ A )
= λA ;
T
倒序) 倒序 4 ) ( AB ) = B T AT . (倒序 (
T
性质(2)和 可推广到有限个矩阵的情形 注 性质 和(4)可推广到有限个矩阵的情形
(1) (λµ ) A = λ (µA); (2) (λ + µ ) A = λA + µA; (3 ) λ ( A + B ) = λA + λB .
(4) kA = O ⇒ k = 0 或 A = O
矩阵加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算. 矩阵加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算. 线性运算
aii b ii , (i = 1,2,L, n)
（P84 ）
小结 （1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 ）只有当两个矩阵是同型矩阵时， 进行加法运算. 进行加法运算 （2）只有当左乘矩阵的列数等于右乘矩阵的 ） 行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘一般不 行数时，两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘一般不 满足交换律. 满足交换律 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不 ） 同.
2、 矩阵加法的运算规律
(1) A + B = B + A;
( 2 ) ( A + B ) + C = A + ( B + C )；
(3) A + O = O + A = A.
(4) 加法消去律成立，即 加法消去律成立，
A + B = A + C ⇒ B = C.
−a11 −a12 −a −a22 21 令− A= L L −am1 −am1
′ ( A + A + L + A )T = A T + A T + L + A T ; ( 2) 1 2 s 1 2 s ′ ( A A L A )T = A T A T L A T . ( 4)
1 2 s s s−1 1
1 7 − 1 2 0 − 1 , B = 4 2 3 , 例1 已知 A = 1 3 2 2 0 1 T 求 ( AB ) .
矩阵 A的数量乘积） , 规定为
ka11 ka12 ka ka22 21 kA = L L kam1 kam1 L ka1n L ka2 n = [kaij ]m×n . L L L kamn
2、数量乘法的运算规律
λ 、 矩阵， 为数， 设 A、B为 m × n 矩阵， , µ 为数，则
AB = O ⇒ A = O 或 B = O
（3）矩阵乘法无消去律 ）
AB = AC ( A ≠ O ) ⇒ B = C
例如 3 1 0 0 = 2 1 0 0 4 6 1 1 5 6 1 1 4. 矩阵乘法的应用 （1）线性方程组的三种表达式 ）线性方程组的三种表达式(P61)； （2）证明命题 ： 同阶上 下）三角阵 ）证明命题3.3： 同阶上(下 的乘积仍为上(下 三角阵， 的乘积仍为上 下）三角阵，且主对角元为
T
T T T
T T T
证明 Q H = (E − 2 XX ) = E − 2( XX = E − 2 XX T = H ,
a11 + b11 a 21 + b21 A+ B = L a + b m1 m1
a12 + b12 a 22 + b22 L a m 2 + bm 2
a1n + b1 n L a 2 n + b2 n L L L a mn + bmn L
只有当两个矩阵是同型矩阵 同型矩阵时 注 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.（可加的条件） 行加法运算 （可加的条件）
(1) ( AB )C = A( BC );
( 4 ) Am×n En = Em Am×n = Am×n ;
(5) Am×nOn×p = Om×p ; Op×m Am×n = Op×n ;
3. 矩阵乘法的运算特性
（1）矩阵乘法一般不满足交换律，即： AB ≠ BA. ）矩阵乘法一般不满足交换律，
1 1 1 − 1 B= 则 例1 设 A = − 1 − 1 −1 1
例如
12 3 − 5 1 8 9 1 − 9 0 + 6 5 4 3 6 8 3 2 1
对 应 元 相 加
12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 13 11 4 = 1 + 6 − 9 + 5 0 + 4 = 7 − 4 4 . 3+ 3 6+ 2 6 8 9 8+1
称为矩阵A 称为矩阵 的负矩阵.
L −a1n L −a2 n L L L −amn
= [− aij ],
显然, A + ( − A ) = ( − A ) + A = O, 规定 : A − B = A + ( − B ) .
二、矩阵的数量乘法（数乘） 矩阵的数量乘法（数乘） 1、定义3.3 定义3.3 数 k 与矩阵 A 的乘积记作 kA （称之为数 k 与
注1 一般 ( AB ) ≠ A B ,
k k k
A, B ∈ P
n×n 2
n×n
注2 当
AB = BA
k k k 2 2
时，以下结论成立. 以下结论成立
(1) ( AB ) = A B ,
A, B ∈ P
2
;
(2) ( A + B) = A + 2 AB + B ; ( A + B)( A − B ) = A − B ;
例2、同阶对角阵关于矩阵乘法可交换， 同阶对角阵关于矩阵乘法可交换， 且具有封闭性. 且具有封闭性.
例3、与所有同阶方阵可交换的方阵只 能是数量阵 kEn . （2）矩阵乘法有零因子； ）矩阵乘法有零因子； 定义：若A ≠ O，B ≠ O，但AB = O，则 称A，B为零因子. 如例1, 如例 从而
第3章 矩阵及其运算 章
矩阵的基本运算及关系 （加 法 、 数 乘 、 乘 法 、 幂 、 多 项 式 ） 分块运算 矩阵的逆 矩阵的秩与相抵
§3.1 矩阵的运算
一、矩阵的加法 １、定义3.2 定义
设有两个 m × n 矩阵 A = [aij ], B = [bij ], 那么矩阵 A 与 B 的和记作 A + B，规定为 A + B = [aij + bij ]
( AB ) = BT AT
T
1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3 = 14 13. − 1 3 1 − 1 2 − 3 10
例2
设列矩阵 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) 满足 X T X = 1, E为n阶单位矩阵 , H = E − 2 XX T , 证明H是对称矩
1 2 例如 f ( x) = 5 x − 2 x − 4, A = , 则 −1 1
2
n×n
f ( A) = 5 A − 2 A − 4 E2
2
−1 4 1 2 1 0 −11 16 = 5 − 2 −1 1 − 4 0 1 = −8 −11 −2 −1
c ij = a i 1 b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj = ∑ a ik bkj
k =1
s
(i = 1,2,L m; j = 1,2,L, n ),
C = AB .
例１
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2×2 − 3 − 6 2×2
3 2
由此归纳出
1 A = 0
n
2n 1
( n ≥ 2 ).
用数学归纳法证明 显然成立. 当 k = 2 时，显然成立 时成立， 假设k = n − 1时成立，则 k = n 时，
1 2(n −1) 1 2 1 2n A = A A= 0 1 = 0 1 , 1 0
三、矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘） 矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘） １、定义3.4 定义
矩阵， 设 A = [aik ] 是一个 m × s 矩阵， = [bkj ]是 B 矩阵， 一个 s × n矩阵，规定矩阵 A与矩阵B 的乘积是 一个m × n 矩阵 C = [cij ] ，其中
行 乘 列 法 则
n n−1
所以对于任意的 k 都有
思 考 其 它 方 法 .
法3 …
1 2k A = . 0 1
k
法2
P66 3.7 ,
用
3. 矩阵多项式
f ( A) = am Am + am−1 Am−1 + L + a1 A + a0 En 定义 称
的矩阵多项式. 为方阵 A ∈ P 的矩阵多项式
解法1 解法
2 Q AB = 1
0 = 17
1 7 − 1 0 − 1 4 2 3 3 2 2 0 1 14 − 3 , 13 10
0 17 T ∴( AB) = 14 13. − 3 10