2013年高考数学热点专题专练专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题理

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高考数学解答题专项练习：三角函数解三角形平面向量

三角函数、解三角形、平面向量1．已知函数f(x)＝2sin xcos x （1）求f(x)的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈]2,0[π时，求函数f(x)的最大值和最小值。

2．已知函数()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且()1f B =，2b =，求△ABC 的面积的最大值．3．ABC ∆中，D 是BC 边上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 边和AC 边的长．4．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足．（1）求证：A ，B ，C 三点共线；（2）若，()22f x OA OC 2m AB 3⎛⎫=⋅-+⋅ ⎪⎝⎭的最小值为，求实数m 的值．5．已知A 、B 、C 是△ABC 三内角，向量=（﹣1，），=（cosA ，sinA ），且，（Ⅰ）求角A （Ⅱ）若．6．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cosA)，向量n ＝(cosC ，c)，且m ⋅n ＝3bcosB ．（1）求cosB 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值．7．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 2sin c A = （Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若c =ABC S =a b +的值． 8．设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+,=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．9．（2015秋•河西区期末）设平面内的向量，，，点P 在直线OM 上，且．（1）求的坐标；（2）求∠APB 的余弦值；（3）设t ∈R ，求的最小值．10．已知平面向量32a = (,)，12b =- (,)，41c =(,)．（1）求满足n m +=的实数m ，n ；（2）若()()2a kc b a +⊥-，求实数k 的值．参考答案1．（1）3π) ∴ T=π 由-2π+2k π≦2x-3π≦2π+2k π， -12π+k π≦x ≦512π+k π∴ f(x)的单调增区间为： 5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k z ∈（2） 02x π≤≤∴22333x πππ-≤-≤sin 2123x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭∴()()max min 2,f x f x ==考点：1.三角函数的恒等变形及函数性质（整体思想）；2.三角函数的性质.2．（1）()f x =（sin 2x ﹣cos 2x+）﹣sin 2（x ﹣），x ∈R=（﹣cos2x ）﹣[1﹣cos （2x ﹣）]=sin2x ﹣cos2x=sin(2)6x π-，令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到k π﹣≤x ≤k π+，k ∈Z则函数f （x ）的单调递增区间[k k ]63ππππ+﹣，，k ∈Z（2）由f （B ）=1，得到sin （2B ﹣）=1，∴2B ﹣=，即3B π=，由余弦定理得：222b ac 2accosB =+﹣，即224a c ac 2ac ac ac =+≥=﹣﹣，即ac 4≤，∴ABC 1S acsinB 2==≤ ABC 的面积的最大值为．考点：三角函数的基本公式；正弦型函数的性质；余弦定理；三角形的面积；均值不等式. 3．(Ⅰ)1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠，1sin 2ADC S AC AD CAD ∆=⋅∠，因为2ABDADC S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，所以2AB AC =．由正弦定理可得sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠(Ⅱ)因为::ABD ADC S S BD DC ∆∆=，所以BD ABD ∆和中，由余弦ADC ∆定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．考点：正弦定理；三角形中的几何计算 4．解：∵（1），∴==﹣+，=，∴=×，∴∥，即A ，B ，C 三点共线．（2）由，∵，∴，∵=（1+sinx ，cosx ），从而 ()222222f x OA OC 2m AB 1sin x cos x 2m sin x 333⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=﹣sin 2x ﹣2m 2 sinx+2=﹣（sinx+m 2）2+m 4+2．又，则t=sinx ∈[0，1]，f （x ）=g （t ）=﹣（t+m 2）2+m 4+2．由于﹣m 2≤0，∴g （t ）=﹣（t+m 2）2+m 4+2 在[0，1]上是减函数，当t=1，即x=时，f （x ）=g （t ）取得最小值为，解得m=±，综上，．考点：平面向量数量积的运算． 5．解：（Ⅰ）∵∴即，∵∴∴（Ⅱ）由题知，整理得sin 2B ﹣sinBcosB ﹣2cos 2B=0∴cosB≠0∴tan 2B ﹣tanB ﹣2=0,∴tanB=2或tanB=﹣1 而tanB=﹣1使cos 2B ﹣sin 2B=0，舍去 ∴tanB=2, ∴tanC=tan[π﹣（A+B ）]=﹣tan （A+B ）===考点：同角三角函数基本关系的运用；平面向量数量积的运算；任意角的三角函数的定义；二倍角的正弦． 6．（1）因为m ⋅n ＝3bcosB ，所以acosC ＋ccosA ＝3bcosB ．由正弦定理，得sinAcosC ＋sinCcosA ＝3sinBcosB ，所以sin(A ＋C)＝3sinBcosB ，所以sinB ＝3sinBcosB ．因为B 是△ABC 的内角，所以sinB ≠0，所以cosB ＝13．（2）因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2＝ac ．由正弦定理，得sin 2B ＝sinA ⋅sinC ．因为cosB ＝13，B 是△ABC 的内角，所以sinB ．又11cos cos cos sin cos sin sin()tan tanC sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A A A C A C A C +++=+==2sin sin 1sin sin sin sin B B A C B B ====考点：向量数量积、正弦定理、同角三角函数关系7．（12sin c A =及正弦定理，得sinsin a Ac C ==.sin 0,sin A C ≠∴=又ABC ∆是锐角三角形，3C π∴=.（2）c =3C π=，由面积公式，得1sin 23ab π=6ab =.① 由余弦定理，得222cos73a b ab π+-=，即227a b ab +-=.②由②变形得()237a b ab +=+ .③ 将①代入③得()225a b +=，故5a b +=. 考点：正弦定理；余弦定理； 8．解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====， ||====（3）cos ＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．考点：向量的数量积的定义和性质；向量之间的夹角. 9．解：（1）∵点P 在直线OM 上，设∴，∴，解得，∴．（2），， ∴．（3），∴=2（t ﹣2）2+2．当t=2时，（+t）2取得最小值2，∴的最小值为．考点：平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算．10．（1）∵ (,2)mb m m =- ，(4,)nc n n = 得(4,2)mb nc n m m n +=-+且(3,2)a mb nc ==+∴ 4322n m m n -=⎧⎨+=⎩，得58,99m n ==（2） ∵(34,2)a kc k k +=++ ，2(5,2)b a -=- ,且()(2)a kc b a +⊥-∴5(34)2(2)0k k -⨯++⨯+=,∴ 1118k =-考点：向量的线性运算性质及几何意义；平面向量共线（平行）的坐标表示。

2013高考数学选择题高效训练三角函数向量解三角形

2013高考数学选择题高效训练三角函数，向量，解三角形1．－3000化为弧度是A ．34π-B ．35π- C ．47π- D ．67π-2．已知53)sin(-=+απ，则一定有（） A ．53)2sin(=-απ B ．53)sin(=-α C ．53)2sin(-=+απk D ．53)sin(=-απ3．已知角α的终边过点P(－4,3) ，则2sin cos αα+ 的值是A ．－1B ．1C ．52-D ． 254．sin105cos105的值为（）Ａ．14 Ｂ．－14 Ｃ．4 Ｄ．－45．函数sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象的一条对称轴是（） A ．4x π=-B ．2x π=-C ．8x π=D ．54x π=6．000054cos 66cos 36cos 24cos -的值等于（） A ．0 B ．22 C ．23 D ．21 7. 函数 )252sin(π+=x y 是（） A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π 的奇函数 D.周期为2π的偶函数8.函数12cos 222y x x =+的图象可以由函数sin 2y x =的图象作以下平移得到（）A. 向右平移6p B. 向右平移12p C. 向左平移6p D. 向左平移12p 9. 已知sin cos 1x x +=-,则20052005sincos x x +的值为 A ．0 B ．1 C ．-1 D ．± 110. 若函数()sin ()f x x g x =+在区间[3,44p p -]上单调递增，则函数)(x g 的表达式为A ．x cosB ． cos x -C ．1D ．tan x -11. 函数12log (12cos 2)y x =-的一个单调递减区间是A ．(,0)6p -B ．(0,4p )C ．[,62p p ]D ．[,42p p ]12. 函数())sin(3)f x x x q q =---是奇函数，则tan q 等于 A ．33 B ．- 33 C ．3 D ．- 3 13. 把函数4cos()3y x p =+的图象向右平移q (q >0)个单位，所得的图象关于y 轴对称，则q 的最小值为A ．6pB ． 3pC ． 23pD ． 43p14、在ABC ∆中，,4,2,2π=∠==A b a 则=∠B （） A.3π B. 6π C. 6π或65π D. 3π或32π15、某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30，灯塔B 在观察站C 南偏东30处，则两灯塔A 、B 间的距离为（）A.400米B.500米C. 800米D. 700米16、已知三角形ABC 的面积4222c b a s -+=，则C ∠的大小是（）A. 045B.030C.090D.013517、在ABC ∆中，1,60,30==∠=∠O O a B A ，则=b （） A 2 B 3 C 23 D 3318、＝则中，A c b a ABC ∠===∆,2,3,7（）A O 30B O 45C O 60D O 9019、在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是（） A 、10,45,70b A C === B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===20、在△ABC 中，若B a A b cos cos =，则△ABC 的形状为（）A 、直角三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形21、△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦为31，则其外接圆的半径为（）A 、229 B 、429 C 、 829 D 、92222、在ABC ∆中，2,60a b C ︒==，则ABC S ∆=（）A ：：32 C ：：23、在ABC ∆中，若()()a b c c b a bc +++-=，则A 为（）A ： 60︒B ：45︒C ： 120︒D ： 30︒24. 某人向正东方向走xkm 后，向左转身150︒，然后朝新方向走3km ，，那么x 的值为（）A ：： C ： 325．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若OC e DC e BC 则213,5===A ．)35(2121e e + B ．)35(2121e e - C)53(2112e e - D ．)35(2112e e -26．下列四式不能化简为的是（） A ．＋（ B ．（MC ．；MD ．＋－27．已知=（3，4），=（5，12），与则夹角的余弦为（）A ．6563B ．65C ．513D ．13、28．下面四个有关向量数量积有关系式中：⑴000=∙→→； ⑵)()(→→→→→→∙∙=∙∙c b a c b a ； ⑶→→→→∙=∙a b b a ; ⑷→→→→∙≤∙b a b a 其中正确的是（）A ．⑴⑵ B ．⑵⑶ C ．⑶⑷ D ．⑴⑶29. 已知向量a =(sin ,cos )a a ，=（3，4），且a //，则tan a 等于（）A ．43 B ．34- C ． 34 D ．43-30. 向量m 和n 满足m =1, n =2, 且)(n m m -⊥,则m 与n 夹角的大小为A. 30o B. 45o C. 75o D. 135o31.已知O 为原点，点B A 、的坐标分别为）（0,a ,),0(a 其中常数0a >，点P 在线段AB上，且=t )10(≤≤t ，则OA ·OP 的最大值为A ．aB ．2aC ．3aD ．2a参考答案：1~5. BDDBB 6~10. DBDCB 11~15. DDBBD 16～20. ABCDC 21～25. CBCAA 26～30. CADAB 31.D。

2013年高考试题分项版解析数学(文) 专题04 三角函数与解三角形(Word精析版)(2)

第四章三角函数与解三角形一．基础题组1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科】若sin 2a =，则cos a =（） A ．23-B ．13-C ．13D ．23[答案]C[解析]221cos 12sin 12..23C αα=-=-⨯=∴选 [考点定位]此题主要考查三角恒等变换里面的二倍角余弦公式、三角函数求值问题. 2.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】已知a 是第二象限角，5sin ,13a =则cos a =（）（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】∵a 是第二象限角，∴12cos 13α===-.故选A. 【考点定位】三角求值3.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）文科】已知51sin()25πα+=，那么cos α=（）A ．25-B ．15-C ．15D ．25【答案】C 【解析】51sin()sin(2+)sin cos 2225πππαπααα⎛⎫+=+=+== ⎪⎝⎭，选C. 【考点定位】三角函数诱导公式.4.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】若函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图像如图，则=ω（）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】∵由题中图像可知0042T x x π+-=.∴2T π=.∴22ππω=.∴4ω=.故选B. 【考点定位】三角函数的图像与解析式.5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）文科】函数()2s i n ()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别是（）（A ）2,3π- （B ）2,6π-（C ）4,6π-（D ）4,3π【答案】A【解析】由图知，周期T 满足111521212T ππ=-，∴T π=，又0ω>，∴2ω=，故()2sin(2)f x x ϕ=+，图象的最高点为5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，于是由“五点法”作图，知52122ππϕ⨯+=，解得3πϕ=-，选A.【易错点】注意求初相ϕ的值时，图象的最高点坐标与五个关键点坐标的对应关系最容易代错！【考点定位】本题考查正弦型函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质，难点是确定初相ϕ的值，关键是理解“五点法”作图.6.【2013年高考新课标Ⅱ数学（文）卷】已知sin2α=错误！未找到引用源。

解三角形(2013高考题)

解三角形（理科）（13四川高考）在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则A 的取值范围是( ) A 、]6,0(πB 、),6[ππC 、]6,0(πD 、 ),3[ππ（13辽宁高考）ABC ∆的三个内角C B A 、、所对的边分别为c b a ,,，a A b B A a 2cos sin sin 2=+则ba=( )A 、B 、C D（13天津高考）如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且,2,2AB AD AB BC BD ===，则sin C的值为（）A ．3 B ．6 C ．3D ．6（13重庆高考）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边c b a ,,满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为（）A ．43B ．8-C ． 1D ．23（13全国课标）在ABC 中,60,B AC ==2AB BC +的最大值为 .（13上海高考）在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=，则A 、C 两点之间的距离为千米．(13安徽高考）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为___（13北京高考）在ABC ∆中，若5=b ，4B π∠=，2tan =A ，则=A s i n ____________；=a _______________。

（13福建高考）如图，△ABC 中，AB=AC=2，BC=，点D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。

（13湖北高考）设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.（13江西高考）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin1cos sin C C C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.（13浙江高考）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为c b a ,,.已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =. （1）当5,14p b ==时，求,a c 的值； (2) 若角B 为锐角，求p 的取值范围；（13山东高考）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. （1）求sin sin CA的值；（2）若1cos 4B =，2b =,求ABC ∆的面积.（13全国大纲）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知90A C ︒-=, b c a 2=+,求C .（13江苏高考）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,．（1）若sin()2cos 6A A π+=，求A 的值；（2）若1cos 3A =，3b c =，求C sin 的值． (13广州调研)已知ABC V 的内角A B C ,,的对边分别是a b c ,,,且123a b B ,,π===.(1) 求A sin 的值； (2) 求2C cos 的值.(13佛山质检)如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =. 记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-．（1）求cos α；（2）求BC 边上高的值．12.已知角(0,)απ∈,向量(2,cos )m α=，2(cos ,1)n α= ，且1m n ⋅=，()cos f x x x =+。

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试(含答案)

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试（含答案）大冶一中孙雷一、选择题(每题只有一个正确选项，共60分)1.若向量===BAC ∠),0,1-(),23,21(则( ) ° ° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ，)(+•的最小值是( )B. -143.已知在正方形ABCD 中，点E 为CD 的中点，点F 为CB 上靠近点B 的三等分点，O 为AC 与BD 的交点，则=DB ( ) A.51858-+ B.74718-+ C.58518-+ D. 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=，则=+αααtan -1)tan 1(2sin ( ) （ A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3，则实数=m ( )A.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角，且2)8π-α(tan =，则=α2sin ( ) A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ，)4πα0)(1-α(cos <<=，，且//，则=)4π-αcos(( ) A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中，3:2:1::=A B C ,则=a b c ::( ) :2:3 :2:1 :3:2 D. 2: 3:19.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，若B A C sin sin sin 3+=，53cos =C ，且4=ABC S △，则=c ( )、 A.364 C.362 10.在ABC △中，°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上，且772sin =∠BAD ，则CD =( )A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3135尺，则这位女子织布的天数是( )12.数列}{n a 中，01=a ，且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ，则数列})1-(1{2n a 前2019项和为( ) A.20194036 B.10102019 C.20194037 D.20204039 二、填空题（共20分）13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，且1-20192020<a a ，则当0<n S 时n 的最小值为_____________. ）14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ，则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+，且121==a a ，则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中，Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+，若1=+b a ，则c 的取值范围是___________.三、解答题（共70分）17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，81=a ，10-10=S(1)求n a ，n S ；(2)设||||||21n n a a a T +++= ，求n T .；18.在ABC △中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且552sin =B ，6=• (1)求ABC △的面积；。

平面向量三角函数解三角形

平面向量三角函数解三角形【热点强化训练】1.（2013届山东省德州市乐陵一中高三10月月考）已知ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、的对边， 60,3,2===B b a ，则A =A.135 B.45 C.135或45 D.90 2.（20l3届山东省烟台市莱州一中高三第二次质量检测）已知cos 21,054x x π=⎛⎫+ ⎪⎝⎭＜x ＜π，则tan x 为 A.43-B.34-C.2D.2-3.（2013届云南省玉溪一中高三第四次月考）要得到)32sin(π-=x y 的图象，只要将x y 2sin =的图象（）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向左平移6π个单位 4.（2013届山东省兖州市高三9月入学诊断检测）函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为( )A．2 B ．0 C ．－1 D．1-5.（2013届山东省济南外国语学校高三上学期期中考试）已知向量a =（2,1），b =（-1，k ），a ·（2a -b ）=0，则k=（）A. -12B. -6C. 6D. 126.（2013届山东省青岛市高三上学期期中考试）已知非零向量a 、b ，满足a b ⊥，则函数2()()f x ax b =+(R)x ∈是A. 既是奇函数又是偶函数B. 非奇非偶函数C. 奇函数D. 偶函数7.向量a 、b 满足（a -b ）（2a +b ）=-4=2=4，则a ，b 夹角等于。

8已知81cos sin =⋅θθ,且24πθπ<<，则θθsin cos -的值为。

9.已知2)4tan(=+πx ，则xx2tan tan 的值为。

10．（2013届天津市天津一中高三上学期一月考）已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)=-，m ，(cos sin )A A =，n ．若⊥m n ，且c o s c o ss a B b A c C +=，则角B = ．11．(2012年高考山东卷)已知向量(sin ,1),cos ,cos 2)(0)2A x x x A ==>m n ，函数()f x =⋅m n 的最大值为6．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在5[0,]24π 上的值域．12.在ABC ∆中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，),cos ,(cos ),2,(C B c a b =-=且//。

2013年高考数学热点专题专练 9-22三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题理

高考专题训练(二十二) 三角函数、平面向量、立体几何、概率与统计型解答题时间：45分钟分值：50分1．(2012·)(12分)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝sin x －cos x sin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k ππ8，k π和⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋38π(k ∈Z )． 2.(2012·某某)(12分)如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱CC 1上，且不与点C 重合．(1)当CF ＝1时，求证：EF ⊥A 1C ；(2)设二面角C —AF —E 的大小为θ，求tan θ的最小值．解解法一：过E 作EN ⊥AC 于N ，连接EF .(1)如图①，连接NF 、AC 1，由直棱柱的性质知，底面ABC ⊥侧面A 1C ，又底面ABC ∩侧面A 1C ＝AC ，且EN ⊂底面ABC ，所以EN ⊥侧面A 1C ，NF 为EF 在侧面A 1C 内的射影．在Rt △E 中，＝CE cos60°＝1. 则由CF CC 1＝CA ＝14，得NF ∥AC 1，又AC 1⊥A 1C ，故NF ⊥A 1C . 由三垂线定理知EF ⊥A 1C .(2)如图②，连接AF ，过N 作NM ⊥AF 于M ，连接ME . 由(1)知EN ⊥侧面A 1C ，根据三垂线定理得EM ⊥AF . 所以∠EMN 是二面角C —AF —E 的平面角，即∠EMN ＝θ. 设∠FAC ＝α，则0°<α≤45°. 在Rt △E 中，EN ＝EC ·sin60°＝3，在Rt △AMN 中，MN ＝AN ·sin α＝3sin α，故tan θ＝NE MN ＝33sin α.又0°<α≤45°，∴0<sin α≤22.故当sin α＝22，即当α＝45°时，tan θ达到最小值． tan θ＝33×2＝63.此时F 与C 1重合．解法二：(1)建立如图③所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (23，2,0)，C (0,4,0)，A 1(0,0,4)，E (3，3,0)，F (0,4,1)，于是CA 1→＝(0，－4,4)，EF →＝(－3，1,1)，则CA 1→·EF →＝(0，－4,4)·(－3，1,1)＝0－4＋4＝0，故EF ⊥A 1C .(2)设CF ＝λ，(0<λ≤4)，平面AEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则由(1)得F (0,4，λ)．AE →＝(3，3,0)，AF →＝(0,4，λ)，于是由m ⊥AE →，m ⊥AF →可得⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE →＝0，m ·AF →＝0，即⎩⎨⎧3x ＋3y ＝0，4y ＋λz ＝0.取m ＝(3λ，－λ，4)又由直三棱柱的性质可取侧面AC 1的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m ·n ||m |·|n |＝3λ2λ2＋4，sin θ＝λ2＋162λ2＋4，所以tan θ＝λ2＋163λ＝13＋163λ2. 由0<λ≤4，得1λ≥14，即tan θ≥13＋13＝63. 故当λ＝4，即点F 与点C 1重合时，tan θ取得最小值63. 3．(2012·某某)(13分)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD＝120°，且PAN⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．如图，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角B－AP－C的大小．分析本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力．对于(1)，依据直线与平面所成的角的意义，确定相关直线在相应平面内的射影，由此明确所求角的位置，再通过计算求出答案即可；对于(2)，根据二面角的平面角的意义，借助于三垂线定理，构造出相关的二面角所对应的平面角，再通过计算求出答案．解解法一：(1)设AB 的中点为D ，AD 的中点为O .连结PO 、PD 、CO 、CD .由已知，△PAD 为等边三角形．所以PO ⊥AD .又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AD ，所以PO ⊥平面ABC . 所以∠OCP 为直线PC 与平面ABC 所成的角．不妨设AB ＝4，则PD ＝2，CD ＝23，OD ＝1，PO ＝ 3. 在Rt △OCD 中，CO ＝OD 2＋CD 2＝13. 所以，在Rt △POC 中，tan ∠OCP ＝PO CO＝313＝3913. 故直线PC 与平面ABC 所成的角的正切值为3913. (2)过D 作DE ⊥AP 于E ，连结CE . 由已知可得，CD ⊥平面PAB . 根据三垂线定理知，CE ⊥PA .所以∠CED 为二面角B －AP －C 的平面角．由(1)知，DE ＝ 3. 在Rt △CDE 中，tan ∠CED ＝CD DE ＝233＝2. 故二面角B －AP －C 的正切值为2.解法二：(1)设AB 的中点为D ，作PO ⊥AB 于点O ，连结CD . 因为平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB ∩平面ABC ＝AD ，所以PO ⊥平面ABC . 所以PO ⊥CD .由AB ＝BC ＝CA ，知CD ⊥AB .设E 为AC 中点，则EO ∥CD ，从而OE ⊥PO ，OE ⊥AB .如图，以O 为坐标原点，OB 、OE 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O －xyz .不妨设PA ＝2，由已知可得，AB ＝4，OA ＝OD ＝1，OP ＝3，CD ＝23，所以O (0,0,0)，A (－1,0,0)，C (1,23，0)，P (0,0，3)．所以CP →＝(－1，－23，3)，而OP →＝(0,0，3)为平面ABC 的一个法向量．设α为直线PC 与平面ABC 所成的角，则sin α＝|CP →·OP →||CP →|·|OP →|＝|0＋0＋3|16·3＝34.故直线PC 与平面ABC 所成的角的正弦值为34. (2)由(1)有，AP →＝(1,0，3)，AC →＝(2,23，0)．设平面APC 的一个法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ⊥AP →，n ⊥AC→⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ·AP →＝0，n ·AC →＝0⇒⎩⎨⎧x 1，y 1，z 1·1，0，3＝0，x 1，y 1，z 1·2，23，0＝0.从而⎩⎨⎧x 1＋3·z 1＝0，2x 1＋23·y 1＝0.取x 1＝－3，则y 1＝1，z 1＝1，所以n ＝(－3，1,1)．设二面角B －AP －C 的平面角为β，易知β为锐角．而平面ABP 的一个法向量为m ＝(0,1,0)，则cos β＝|n ·m ||n |·|m |＝|1|3＋1＋1＝55.故二面角B －AP －C 的余弦值为55. 4．(2012·某某)(13分)现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .分析本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查分类整合思想和运算求解能力．(1)该射手恰好命中一次包括命中甲靶一次且乙靶两次都没有命中，没有命中甲靶且命中乙靶一次；(2)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5，根据X 取各个值时命中靶的情况分别求出其概率值，即可得到概率分布列，进而求出数学期望．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，由于A ＝B C D ＋B C D ＋B C D ，根据事件的独立性和互斥性得P (A )＝P (B C D ＋B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＋P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D )＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136. P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23 ＝112， P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D )＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23 ＝13， P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23 ＝13. 故X 的分布列为。

高考数学热点专题专练专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题理

专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的一个增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8B.⎝⎛⎭⎪⎫7π8，9π8C.⎝⎛⎭⎪⎫5π8，7π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8，－3π8解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的增区间即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C. 答案 C2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0 D ．(0,0)解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0是其一个对称中心，故选C.答案 C3．已知函数f (x )＝a sin x ＋a cos x (a <0)的定义域为[0，π]，最大值为4，则a 的值为( ) A ．－ 3 B ．－2 2 C ．－ 2D ．－4解析 f (x )＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈[0，π]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，由于a <0，故2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2a ，－a ]，即f (x )的最大值为－a ，∴－a ＝4，即a ＝－4.故选D.答案 D4．将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象向右平移2π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x －21π22＋1B ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫1112x ＋21π22－12D ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12解析图象平移之前与平移之后的A ，ω，k 都是相同的，由平移之后的图象可知2A ＝3，∴A ＝32，k ＝12；T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－π4＝2πω，∴ω＝1211.设平移后的函数解析式为g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋φ1＋12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π11＋φ1＝1，∴φ1＝2k π＋5π22，k ∈Z ，取k ＝0，则φ1＝5π22，故g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12.将其图象向左平移2π3个单位，得f (x )的解析式为f (x )＝32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1211⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋5π22＋12，即f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12.故选B.答案 B5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上都不对解析由正弦定理，得sin B ＝143×42×32＝22，∴B ＝45°或135°，又a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.故选C.答案 C6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc，化简得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．故选B. 答案 B7．在△ABC 中，若角A ，B ，C 成公差大于0的等差数列，则cos 2A ＋cos 2C 的最大值为( ) A.12 B.32 C ．2D ．不存在解析 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C 2＝1＋12(cos2A ＋cos2C )＝1＋12[cos(240°－2C )＋cos2C ]＝1＋12cos(2C ＋60°)．∵60°<C <120°，∴180°<2C ＋60°<300°，∴12<1＋12cos(2C ＋60°)<54，即cos 2A ＋cos 2C 的最大值不存在，故选D. 答案 D8．关于x 的方程cos2x ＋sin2x ＝2k 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有两个不同的实数解，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，22 解析由cos2x ＋sin2x ＝2k ，得k ＝12(cos2x ＋sin2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4， ∴－12<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22.数形结合可知，当12<k <22时，方程有两个不同的实数解．故选A.答案 A9．(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析选项A 错，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则有a 与b 方向相反，且有|a |≥|b |；由此可得选项B 中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D 中，若λ>0则a ，b 同向，故错误．答案 C10．(2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则c ＝2，b ＝3，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠B )＝－ac cos B ＝1，得a cos B ＝－12.由余弦定理得：a cos B ＝a ×a 2＋22－322×a ×2＝a 2－52×2＝－12，解得a ＝BC ＝ 3.答案 A11．(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则可知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b .也可直接等式两边平方化简得a ·b ＝0，从而a ⊥b .答案 B12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α ·β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析解法一：b ○a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ，因θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，又|a |≥|b |>0，所以b ○a <1，又b ○a ∈{n 2|n ∈Z }，故b ○a ＝12，|b ||a |cos θ＝12，|b ||a |＝12cos θ，a ○b ＝|a ||b |cos θ＝2cos 2θ，又因cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以a ○b ∈(1,2)，又a ○b ∈{n 2|n ∈Z }，所以a ○b ＝32.解法二(特殊值法)：取|a |＝3，|b |＝1，θ＝π6，则a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝32，b ·a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝12，都在{n2|n ∈Z }中．答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析在△ABC 中，cos C ＝12BC AC ＝32，∴C ＝30°，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD ＝ACsin ∠ADC·sin C ＝222·12＝ 2. 答案 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析设三边长为a ，a ＋4，a ＋8，则120°角所对边长为a ＋8，由余弦定理得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)·cos120°，化简得a 2－2a －24＝0，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)．∴三角形面积S ＝12a ·(a ＋4)·sin120°＝15 3.答案 15 315．(2011·课标)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．解析由正弦定理，ABsin C ＝BC sin A ＝332＝2，得AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，则AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(180°－60°－A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，其中tan φ＝35(φ为锐角)，故当A ＋φ＝π2时，AB ＋2BC 取最大值27. 答案 2716．(2011·上海)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin45°＝ACsin60°.得AC ＝ 6. 答案6三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ) 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14解得a ＝1，从而c ＝2又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.解法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值；(2)cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54ac ＝14解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2，即π2<C <π，由sin C ＝34，得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 22．(本小题满分14分)(2012·黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)A ，C 分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡AB 的坡角为θ，D 为山脚，某人在E 处测得A ，B ，C 的仰角分别为α，β，γ，ED ＝a .(1)求：BD 间的距离及CD 间的距离； (2)求证：在A 处攀岩者距地面的距离h ＝a sin αθ＋βcos βα＋θ.解 (1)根据题意得∠CED ＝γ，∠BED ＝β，∠AED ＝α. 在直角三角形CED 中， tan γ＝CD DE，CD ＝a tan γ，在直角三角形BED 中，tan β＝BD DE，BD ＝a tan β. (2)证明：易得AE ＝hsin α，BE ＝acos β，在△ABE 中，∠AEB ＝α－β，∠EAB ＝π－(α＋θ)，正弦定理BE sin ∠EAB ＝AEsin ∠ABE ，代入整理：h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ。

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专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的一个增区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，7π8B.⎝⎛⎭⎪⎫7π8，9π8C.⎝⎛⎭⎪⎫5π8，7π8 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8，－3π8解析由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x >0，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4<0，∴π＋2k π<2x －π4<2π＋2k π，k ∈Z ；又f (x )＝lgsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的增区间即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 在定义域内的增区间，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在定义域内的减区间，故π＋2k π<2x －π4<3π2＋2k π，k ∈Z .化简得5π8＋k π<x <7π8＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，5π8<x <7π8，故选C. 答案 C2．若函数f (x )＝sin ax ＋3cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( )A ．(－13，0)B ．(－π3，0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0 D ．(0,0)解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π3(a >0)，∵T ＝2πa ＝1，∴a ＝2π，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3，由2πx ＋π3＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2－16，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝13，故⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0是其一个对称中心，故选C.答案 C3．已知函数f (x )＝a sin x ＋a cos x (a <0)的定义域为[0，π]，最大值为4，则a 的值为( ) A ．－ 3 B ．－2 2 C ．－ 2D ．－4解析 f (x )＝a sin x ＋a cos x ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈[0，π]时，x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，由于a <0，故2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[2a ，－a ]，即f (x )的最大值为－a ，∴－a ＝4，即a ＝－4.故选D.答案 D4．将函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0,0<φ<π)的图象向右平移2π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x －21π22＋1B ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫1112x ＋21π22－12D ．f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12解析图象平移之前与平移之后的A ，ω，k 都是相同的，由平移之后的图象可知2A ＝3，∴A ＝32，k ＝12；T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－π4＝2πω，∴ω＝1211.设平移后的函数解析式为g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋φ1＋12，将⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，2代入，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π11＋φ1＝1，∴φ1＝2k π＋5π22，k ∈Z ，取k ＝0，则φ1＝5π22，故g (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋5π22＋12.将其图象向左平移2π3个单位，得f (x )的解析式为f (x )＝32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1211⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋5π22＋12，即f (x )＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1211x ＋21π22＋12.故选B.答案 B5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B ＝( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上都不对解析由正弦定理，得sin B ＝143×42×32＝22，∴B ＝45°或135°，又a >b ，∴A >B ，∴B ＝45°.故选C.答案 C6．在△ABC 中，cos 2A 2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析 ∵cos 2A 2＝b ＋c 2c ，∴1＋cos A 2＝b ＋c 2c ， ∴1＋b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋cc，化简得a 2＋b 2＝c 2，故△ABC 是直角三角形．故选B. 答案 B7．在△ABC 中，若角A ，B ，C 成公差大于0的等差数列，则cos 2A ＋cos 2C 的最大值为( ) A.12 B.32 C ．2D ．不存在解析 ∵角A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. cos 2A ＋cos 2C ＝1＋cos2A 2＋1＋cos2C 2＝1＋12(cos2A ＋cos2C )＝1＋12[cos(240°－2C )＋cos2C ]＝1＋12cos(2C ＋60°)．∵60°<C <120°，∴180°<2C ＋60°<300°，∴12<1＋12cos(2C ＋60°)<54，即cos 2A ＋cos 2C 的最大值不存在，故选D. 答案 D8．关于x 的方程cos2x ＋sin2x ＝2k 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内有两个不同的实数解，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，22 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，22 解析由cos2x ＋sin2x ＝2k ，得k ＝12(cos2x ＋sin2x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4， ∴－12<22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22.数形结合可知，当12<k <22时，方程有两个不同的实数解．故选A.答案 A9．(2012·浙江)设a ，b 是两个非零向量( ) A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析选项A 错，若|a ＋b |＝|a |－|b |，则有a 与b 方向相反，且有|a |≥|b |；由此可得选项B 中的结论也是错误的；选项C 是正确的，选项D 中，若λ>0则a ，b 同向，故错误．答案 C10．(2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2D.23解析在△ABC 中，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则c ＝2，b ＝3，AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠B )＝－ac cos B ＝1，得a cos B ＝－12.由余弦定理得：a cos B ＝a ×a 2＋22－322×a ×2＝a 2－52×2＝－12，解得a ＝BC ＝ 3.答案 A11．(2012·辽宁)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( )A ．a ∥bB ．a ⊥bC ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b解析因为|a －b |＝|a ＋b |，由向量的加法和减法法则可知以a ，b 为邻边的平行四边形对角线相等，故该平行四边形是一个矩形，所以a ⊥b .也可直接等式两边平方化简得a ·b ＝0，从而a ⊥b .答案 B12.(2012·广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α ·β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，则a ·b ＝( )A.12 B ．1 C.32D.52解析解法一：b ○a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ，因θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，又|a |≥|b |>0，所以b ○a <1，又b ○a ∈{n 2|n ∈Z }，故b ○a ＝12，|b ||a |cos θ＝12，|b ||a |＝12cos θ，a ○b ＝|a ||b |cos θ＝2cos 2θ，又因cos θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以a ○b ∈(1,2)，又a ○b ∈{n 2|n ∈Z }，所以a ○b ＝32.解法二(特殊值法)：取|a |＝3，|b |＝1，θ＝π6，则a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝32，b ·a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝12，都在{n2|n ∈Z }中．答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上． 13.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．解析在△ABC 中，cos C ＝12BC AC ＝32，∴C ＝30°，由AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，∴AD ＝ACsin ∠ADC·sin C ＝222·12＝ 2. 答案 214．已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析设三边长为a ，a ＋4，a ＋8，则120°角所对边长为a ＋8，由余弦定理得(a ＋8)2＝a 2＋(a ＋4)2－2a ·(a ＋4)·cos120°，化简得a 2－2a －24＝0，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)．∴三角形面积S ＝12a ·(a ＋4)·sin120°＝15 3.答案 15 315．(2011·课标)在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．解析由正弦定理，ABsin C ＝BC sin A ＝332＝2，得AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A ，则AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(180°－60°－A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A ＝27sin(A ＋φ)，其中tan φ＝35(φ为锐角)，故当A ＋φ＝π2时，AB ＋2BC 取最大值27. 答案 2716．(2011·上海)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米．解析如图，∠C ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，2sin45°＝ACsin60°.得AC ＝ 6. 答案6三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .解 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B. 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C ) 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2.(2)由sin C sin A＝2得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14解得a ＝1，从而c ＝2又因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154.因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝154.18．(本小题满分12分)(2012·辽宁)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列． (1)求cos B 的值；(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．解 (1)由已知2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝180°，解得B ＝60°，所以cos B ＝12.(2)解法一：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，所以sin A sin C ＝1－cos 2B ＝34.解法二：由已知b 2＝ac ，及cos B ＝12，根据余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－ac2ac，解得a ＝c ，所以A ＝C ＝B ＝60°，故sin A sin C ＝34.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值；(2)cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ，从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2.所以sin C ＝cos A ＝13.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解 (1)由题设并利用正弦定理，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝54ac ＝14解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ，即p 2＝32＋12cos B .因为0<cos B <1，得p 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，由题设知p >0，所以62<p < 2.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C ＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．解 (1)由已知得sin C ＋sin C2＝1－cos C ，即sin C 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12>0，得π4<C 2<π2，即π2<C <π，由sin C ＝34，得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，得(a －2)2＋(b －2)2＝0，得a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1. 22．(本小题满分14分)(2012·黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1)在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援．为了方便测量和计算，现如图(2)A ，C 分别为两名攀岩者所在位置，B 为山的拐角处，且斜坡AB 的坡角为θ，D 为山脚，某人在E 处测得A ，B ，C 的仰角分别为α，β，γ，ED ＝a .(1)求：BD 间的距离及CD 间的距离； (2)求证：在A 处攀岩者距地面的距离h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ.解 (1)根据题意得∠CED ＝γ，∠BED ＝β，∠AED ＝α. 在直角三角形CED 中， tan γ＝CD DE，CD ＝a tan γ，在直角三角形BED 中，tan β＝BD DE，BD ＝a tan β. (2)证明：易得AE ＝hsin α，BE ＝acos β，在△ABE 中，∠AEB ＝α－β，∠EAB ＝π－(α＋θ)，正弦定理BE sin ∠EAB ＝AEsin ∠ABE ，代入整理：h ＝a sin αsin θ＋βcos βsin α＋θ。