《解析几何》第13讲 双曲线及其标准方程(修订)
双曲线及其标准方程ppt课件
x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2
结论：已知F1，F2分别是双曲线C：
高中数学 双曲线及标准方程 讲义
授课内容 双曲线及标准方程知识梳理双曲线标准方程（焦点在x 轴）)0,0(12222>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴）)0,0(12222>>=-b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{}a MF MF M221=-()212F F a <范围 x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈对称轴x 轴 ，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b对称中心 原点(0,0)O焦点坐标1(,0)F c - 2(,0)F c1(0,)F c - 2(0,)F c焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c =顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a )离心率 e a ce (=>1)渐近线方程x a b y ±=x bay ±= 共渐近线的双曲线系方程k by a x =-2222（0k ≠） k bx a y =-2222（0k ≠） xyP1F 2FxyxyP1F 2F xy知识点一. 双曲线的定义1、 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；2、当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上；注意：1、定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。
2、 若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在.知识点二．双曲线的标准方程判别方法是： 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上； 如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.【例题精讲】例1、双曲线x 210－y 22＝1的焦距为( )A ．32B ．4 2C ．3 3D ．4 3例2．双曲线的两焦点坐标是F 1(3,0)，F 2(－3,0),2b ＝4，则双曲线的标准方程是( )A.x 25－y 24＝1B.y 25－x 24＝1C.x 23－y 22＝1D.x 29－y 216＝1例3、双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A .x 24－y 24＝1B .y 24－x 24＝1 C .x 28－y 24＝1 D .y 28－x 24＝1【同步练习】1．已知双曲线的焦点在x轴上，且a＋c＝9，b＝3，则它的标准方程是________．2．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是它的左，右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.3、若动点P到F1(－5,0)与到F2(5,0)的距离的差为±8，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x225－y216＝1 C.x216＋y29＝1 D.x216－y29＝14．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和a＝5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线5．已知椭圆C1的离心率为35，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为()A.x24－y25＝1 B.x25－y24＝1 C.x252－y242＝1 D.x242－y252＝16、若双曲线x216－y29＝1上的点P到点(5,0)的距离是15，则点P到点(－5,0)的距离是()A．7 B．23 C．5或25 D．7或237、已知双曲线的焦距为26，a2c＝2513，则双曲线的标准方程是________．8、“ab <0”是“方程ax 2＋by 2＝c 表示双曲线”的________条件．专题精讲【例题精讲】例1.已知双曲线x 23－y 2m ＝1的离心率e ＝233，则实数m 的值是________．例2、设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±22x D ．y ＝±12x例3、双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x －2y ＋20＝0上，两焦点关于原点对称，离心率e ＝53，则此双曲线的方程是( )A.x 236－y 264＝1 B.x 264－y 236＝1 C.x 236－y 264＝－1 D.x 264－y 236＝－1例4、若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32 D ．1【同步练习】1、设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．12、双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ） （A ）23y x =± （B ）49y x =± （C ）32y x =± （D ）94y x =±3、双曲线12222=-ay b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．234、已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为（ ）（A ）112422=-y x （B ）141222=-y x （C ）161022=-y x （C ）110622=-y x5、如图，1F 和2F 分别是双曲线)0,0(12222 b a br a x =-的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1F O 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△AB F 2是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A ）3 （B ）5 （C ）25（D ）31+6、已知双曲线22112x y n n-=-的离心率是3。
双曲线及其标准方程 课件
(3)设双曲线的方程为 Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点 P，Q 在双曲线上，
∴92A956＋A2＋12652B5B＝＝1，1，
解得AB＝＝－19. 116，
∴双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
[规律方法] 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)确定双曲线的类型，并设出标准方程； (2)求出 a2，b2 的值． 2．当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在 x 轴上和 y 轴上两 种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为 Ax2 ＋By2＝1(AB<0)来求解．
图 2-3-1
[思路探究]
建立平面直 角坐标系
→
由已知条件得 到边长的关系
→
判断轨迹 的形状
→
写出轨迹方程
[解] 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直
角坐标系，如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．由正弦定理，得 sin A＝|B2CR|，
sin B＝|A2CR|，sin C＝|A2RB|(R 为△ABC 的外接圆半径)．
求双曲线的标准方程
例 2、根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)a＝4，经过点
A1，－4
310；
(2)与双曲线1x62 －y42＝1 有相同的焦点，且经过点(6，5且焦点在坐标轴上．
[思路探究] (1)结合 a 的值设出标准方程的两种形式，将点 A 的坐标代 入求解．
|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
双曲线及其标准方程 课件
新知视界
1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个 定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线 的焦距．
思考感悟
1．双曲线的定义中，常数为什么要小于|F1F2|? 提示：①如果定义中常数改为等于|F1F2|，此时 动点的轨迹是以 F1、F2 为端点的两条射线(包括端 点)． ②如果定义中常数为 0，此时动点轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线． ③如果定义中常数改为大于|F1F2|，此时动点轨 迹不存在．
解得ab22＝ ＝19， 6， ∴双曲线的方程为1y62 －x92＝1.
(2)解法一：设双曲线方程为xa22－by22＝1. 由题意易求得 c＝2 5. 又双曲线过点(3 2，2)，∴3a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2，∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
2．平面内与两个定点F1、F2的距离的差等于常数 (小于
|F1F2|)的点的轨迹是不是双曲线？ 提示：不是，是双曲线的某一支．
在双曲线的定义中，P为动点，F1，F2分别为双曲 线的左、右焦点，则①|PF1|－|PF2|＝2a，曲线只表示 双曲线的右支．
② |PF1| － |PF2| ＝ － 2a ， 曲 线 只 表 示 双 曲 线 的 左 支．
类型三 双曲线中的焦点三角形 [例 3] 若 F1，F2 是双曲线x92－1y62 ＝1 的两个 焦点，P 是双曲线上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试 求△F1PF2 的面积．
双曲线 [分析] 双曲线方程 的―定―→义 |PF1|－|PF2|＝±2a ―平―方→ |PF1|2＋|PF2|2的值 余―弦―定→理 ∠F1PF2＝90° 面积公式 ――→ S△F1PF2
双曲线及其标准方程课件
(3)当 k<0 时，方程为y42－－x24k＝1，表示焦点在 y 轴上的双曲线；
(4)当 0<k<1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 x 轴上的椭圆； k
(5)当 k>1 时，方程为x42＋y42＝1，表示焦点在 y 轴上的椭圆． k
[一点通] 解决这类题的基本方法是分类讨论，在分
类讨论的过程中应做到不重不漏，选择适当的分界点．在
(3)若|F1F2|<2a，动点的轨迹不存在．
2．通过双曲线方程xa22－by22＝1(焦点在 x 轴上)和ay22－xb22 ＝1(焦点在 y 轴上)(a>0，b>0)可以看出：如果 x2 项的系 数是正的，那么焦点在 x 轴上；如果 y2 项的系数是正的， 那么焦点在 y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于 b，但是无 论双曲线的焦点在哪个轴上，方程中的三个量都满足 c2 ＝a2＋b2.
[例3] 已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同 范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
[思路点拨] 解答本题可依据所学的各种曲线的标准形 式的系数应满足的条件进行分类讨论．
[精解详析] (1)当 k＝0 时，y＝±2，表示两条与 x 轴平行 的直线；
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径 为 2 的圆；
72 b2 ＝1，
解得a12＝19， b12＝116，
即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线的标准方程为y92－1x62 ＝1.
法二：∵双曲线的焦点位置不确定，
∴设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)． ∵P1，P2 在双曲线上，所以
4m＋445n＝1， 196×7m＋16n＝1，
双曲线及其标准方程完整版课件
2
则双曲线的标准方程为20 − 16 =1.
(2)设双曲线方程为 mx2-ny2=1,
1
= 25 ,
49-72 = 1,
则有
解得
1
28-9 = 1,
= ,
75
2
2
则双曲线的标准方程为25 − 75 =1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似,可
以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法求出a,b
联立两方程解得 x=8(舍负),y=5 3,
所以 P(8,5 3),
kPA=tan∠PAx= 3,所以∠PAx=60°,
所以 P 点在 A 点的北偏东 30°方向.
当堂达标
1.已知两定点F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,则当a=3和5时
,P点的轨迹为(
)
A.双曲线和一条直线
情景导学
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声
音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双
曲线的有关问题。
问题导学
新知探究
如图，在直线
l 上取两个定点
在平面内，取定点
F1 , F 2，以点 F1 为圆心、线段
在以 F 2 为圆心、线段
我们知道，当点
2
2
解析:∵方程1+ + -2=1,∴(m-2)(m+1)<0,
解得-1<m<2,∴m的取值范围是(-1,2).
答案:D
)
4. 一块面积为12公顷的三角形形状的农场.如图所示△PEF,已知
1
tan∠PEF=
《双曲线及其标准方程》教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计【教学目标】知识与技能：1 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
2 能用坐标发解决一些与双曲线有关的简单几何问题和实际问题，在解决问题的过程中，体会a,b,c,的几何意义以及双曲线性质的应用3 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的作用。
过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力情感、态度与价值观：通过类比的思想让学生感受的事物之间的相互联系，通过对定义的学习培养学生思考问题的严谨性。
【教学重点】重点：双曲线的有关概念及类比椭圆的学习方式学习双曲线的简单几何性质。
难点：运用概念及性质解决有关数学问题和实际问题，数形结合的思想，方程的思想及转化的思想在研究问题和解决问题中的应用。
【教学程序与设计环节】【教学仪器】电脑，投影仪【教学过程与操作设计】【情景一】问题引入：前面我们一起学习了椭圆，请同学们回忆一下椭圆的定义是什么？（请一位同学回答）如果把定义中距离的和改成距离的差那又变成了什么曲线了呢？【设计意图】与椭圆的定义进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】（幻灯片：双曲线的几何画板演示）【设计意图】通过直观感受让学生印象更深刻【情景三】（切换幻灯片）让同学们分组讨论总结出双曲线的定义，并思考定义中关键词是什么？（教师板书课题：双曲线及其标准方程）（3分钟后）根据讨论结果总结出：定义中的差的绝对值和常数小于两定点距离是关键词（切换幻灯片）【设计意图】通过分组讨论培养学生合作学习的能力和意识．【情景四】了解了双曲线的定义后，我们下面来研究一下双曲线的标准方程怎样推导，请大家先回顾一下推导轨迹方程的一般步骤是什么（请学生回答教师给予点评），再请同学们思考椭圆标准方程的推导过程可不可以类似的得出双曲线的标准方程呢？【设计意图】进一步巩固用类比的方法解决圆锥曲线的问题．【问题解决】讨论：以上是焦点在X轴上的情况，对于焦点在Y轴上的情形是什么样的呢？【设计意图】经过讨论可根据椭圆方程的类比得出结论．这个问题是对该方法的进一步的应用，使学生熟练和运用这种思想，并用之培养学生数学分析问题、解决问题的能力．【例题讲解】【设计意图】例1是求双曲线标准方程的简单应用，可针对学生的实际情况添加或减少练习的数量。
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
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第13讲
1．双曲线的定义的内涵与外延
文字语言：
平面内与两个定点 F1 ， F2的距离之差的绝对值等于常数 (小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．
即： |PF1|-|PF2| ＝2a（2a<|F1F2|）,点M的轨迹是双曲线．
思考1：
|
|
① |PF1|-|PF2| ＝2a (2a<|F1F2|), 点M的轨迹是 双曲线的一支 ．
2014-11-25
性 对称轴：x轴，y轴 质 对称 性 对称中心：__________ 坐标原点
思考3：你能区分双曲线和椭圆吗？
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
x y 1 9 16
a= b= ; ;
2
2
c=
2014-11-25
.
c=
.
a2=b2+c2
c2=a2+b2
x y 例题 1. 若方程 ＋ ＝1 表示双曲线， 5－ k k － 3
标准方程
y2 x2 x2 y2 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) 2－ 2＝ 1(a＞0，b＞ 0) a b a b
图形
x≥a或x≤－a 范围 思考 2： ________________
y≥a或y≤－a ________________ 对称轴：x轴，y轴
如何判定双曲线焦点的位置？ 对称中心：坐标原点
P
A
y =x+b
KAB KPQ = -1
Q B
求点Q(x,y)的坐标 成为本题的关键.
2
2
( ∞,3) ∪ (5, +∞) 则 k 的取值范围是 ．
变式 1. 若方程表示焦点在 y 轴上的双曲线， 则 k 的取值范围是 (5, +∞) ．
变式 2. 若方程表示焦点在 x 轴上的双曲线， ( ∞,3) 则 k 的取值范围是 ．
2014-11-25
例题2. 求满足下列条件的双曲线的方程.
② ||PF1|-|PF2||＝2a (2a=|F1F2|), 点M的轨迹是 ③ ||PF1|-|PF2||＝2a (2a>|F1F2|), 点M的轨迹是
两条射线 不存在的
． ．
④ ||PF1|-|PF2||＝2a (2a=0), 点M的轨迹是 F1F2的中垂线 ．
20). 虚轴长是实轴长的2倍 ,焦点 5,0 .
x y (2). 与椭圆 1 共焦点, 过点 1, 3 16 12
2
2
.
2014-11-25
x y 1 的两 例题 3. F1, F2是双曲线 9 16
个焦点,过F2的直线与双曲线交于A,B. ①若 |AB|=16, 则△ F1AB的周长是 .
2
2
②若∠F1AF2=60°, 则△AF1F2的面积是
A F1
2014-11-25
.
F2
B
Thank You!
今天可以建立这样的专题，以后扩充. 数形结合专题 1.复杂图形中“去伪存真”
例题1.作业P251第6题
2014-11-25
转化化归专题 1. 题目条件的“有效转化”.
例题1．以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．