多维尺度与对应分析
数学建模各种分析方法
现代统计学1.因子分析(Faｃｔor Ａｎalysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子(之所以称其为因子,是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息.运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。
2．主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前,用主成分分析来分析数据,让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的.主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。
(screeninｇ the daｔa)，b，和ｃｌuｓteｒ aｎaｌysｉs一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解,这时候可以使用主成份发对变量简化。
（ｒeduce dimensiｏｎality)d,在多元回归中,主成分分析可以帮助判断是否存在共线性(条件指数),还可以用来处理共线性。
主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。
2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。
３、主成分分析中不需要有假设(ａｓｓｕｍptions）,因子分析则需要一些假设。
因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（speｃific fａct ｏr）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关.４、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的,可以旋转得到不同的因子。
５、在因子分析中,因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定,只要是特征值大于1的因子进入分析),而指定的因子数量不同而结果不同。
多维尺度分析
参考书
• Naresh K．Malhotra(著)，涂平(议)．市场营销研 究：应用导向(4)[M]．北京：电子工业出版 社．2006：416-420． • 林震岩．变量分析：SPSS的操作与应用[M]．北 京：北京大学出版社，2007．8：434，456466．
• 张文彤．SPSS统计分析高级教程[M]．北 京：高等教育出版社．2004：314，313
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Байду номын сангаас
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2. MDS分析步骤
• 多维尺度分析与其他多元统计方法一样，首先需要对所研究的问题进行准确 界定；由于MDS允许多种类型数据的输入，所以，需要根据问题决定获取数 据的形式和方法；并在多种MDS算法中选择一种符合研究目的的方法；处理 分析结果的一个重要方面就是确定适当的空间图维数；之后需要基于空间结 构的解释，对空间图的坐标轴进行命名；最后要对评估所用方法的可靠性和 有效性。具体的分析步骤如图所示：
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–
2.5模型评价：信度检验
• 信度评价：最常用的 是考察MDS结果中的 压力系数或是应力值 （Stress）和拟合指数 （RSQ） 。 • 一般来说，压力系数 小于0.1表示结果比较 好，如果大于0.2则是 不可接受的；RSQ值 在0.60以上是可接受 的。
应力(stress) 0.20 0.10 0.05 0.025 0 拟合优度 差 一般 好 很好 完美
1.1方法原理
• 空间图的轴表示调查对象对刺激物形成的感知以及偏好的 潜在维度；空间图上点的位置表示不同的刺激物之间的潜 在规律性联系。多维尺度分析本质上是数据缩减技术的一 种，它试图是将刺激物间原始的相异性数据结构，转化成 一个多维度的空间感知图，个体在空间中的相对关系会与 原始输入数据保持一致。这种空间的维度可以解释并用来 进一步了解输入的原始数据。通过MDS方法可以探讨各种 刺激物之间的相似性和相异性，并于二维或三维空间表达 个体间的相对位置。 • 此方法的原理是通过输入相似性程度矩阵，在低维空间中 找到相对位置坐标，从而用欧几里德直线距离（Eucliden Distance)公式计算两点之间的距离，从而根据距离的长短 判断刺激物之间的相似程度。
多维尺度分析
我们知道对应分析是一种图示分析技术，通过对应分析图能够简单直观的将变量间的关系加以呈现，多维尺度分析和对应分析类似，也是将变量间的关系通过图形进行展现，关于二者的区别后面会做论述。
一、多维尺度分析简介多维尺度分析Multidimensional Scaling，简称MDS，是一种探索性数据分析技术，主要是用适当的降维方法，将多个变量通过坐标定位在低维空间中(二维或三维)，变量之间的欧氏距离就可以反映它们之间的差异性和相似性。
多维尺度分析根据数据集特征分为：1.不考虑个体差异MDS模型2.考虑个体差异MDS模型MDS模型允许多种类型的数据输入，并且在实际应用中，也有多种测量相似性或差异性的方法，根据分析数据的类型分为：1.度量化MDS模型：也称为古典MDS模型，所输入的数据是直接反映变量间差异或相似的距离或比率，例如城市间的距离就是现成的反映差异的数据。
2.非度量化MDS模型：输入的数据不是直接反映变量间的差异，而是通过对其属性的评分，间接的反映变量间的差异或相似性。
二、多维尺度分析的分析步骤1.界定问题明确研究的问题和范畴，确定相关的变量种类和数量2.获取数据根据实际情况获取分析数据3.选择MDS模型根据获得的数据类型，选择相应的MDS模型4.确定维度MDS模型是为了生成一个用尽可能小的维度对数据进行最佳拟合的空间感知图，因此要确定一个合适的维度，维度太高不易于解读，维度太低会影响拟合度，通常采用二维或三维。
5.模型评价考察应力系数Stress和拟合指数RSQ，应力系数越小越好，RSQ越大越好6.解读图表多维尺度分析最重要的结果是感知图，图中各点之间的距离直接反映了各变量的相似或差异程度，除了查看差异程度之外，如果要对图表进行整体的分析解读，还需要对每个维度进行解释。
三、多维尺度分析与对应分析的异同相同点：1.都是可以得出有直观的图形结果，并且也都常用在市场分析中2.都具有降维，数据浓缩的思想，实际上，多元统计分析都是基于将高维空间的数据压缩至低维空间进行分析。
多维尺度分析
例如；希望研究消费者对自己公司某个品牌的产品和另外几个 主要竞争对手产品的认可程度，则使用多维尺度分析可以回答 下列问题：
1、消费者认为那些品牌的产品类似与我们的产品？
2、在这些品牌中消费者用于评价相似性的是哪些特征？
分析原理：将观察数据分配到“概念空间”（二、三维）的特 殊位臵，数据点间的距离由计算出的不相似性决定，从而可以 在低度空间描述相似性和不相似性，以得到对象关系的“空间” 理解。
多维尺度分析
多维尺度分析是市场调查、分析数据的统计方法之一 。 通过多维尺度分析，可以将消费者对商品相似性的判断产生一 张能够看出这些商品间相关性的图形。 例如：有十个百货商场，让消费者排列出对这些百货商场两两 间相似的感知程度，根据这些数据，用多维尺度分析，可以判 断消费者认为哪些商场是相似的，从而可以判断竞争对手。 用于反映多个研究事物间相似（不相似）程度，通过适当 的降维方法，将这种相似（不相似）程度在低维度空间中用点 与点之间的距离表示出来，并有可能帮助识别那些影响事物间 相似性的潜在因素。这种方法在市场研究中应用得非常广泛。 它使用的数据是消费者对一些商品相似程度（或差异程度 的评分，通过分析产生一张能够看出这些商品间相关性的图形 （感知图）。
1、所有饮料分成两类： yukon、可口可乐、百事可乐、shasta、 rc、pepper为一类 无糖pepper、无糖可口可乐、无糖百事 可乐、tab为一类 2、第一维度方向上： 两种pepper在最右侧，两种百事可乐在中 间， （饮料自身口味） 两种可口可乐靠左，除RC和百事可乐比较 接近外，另外三种饮料均比较靠左。 第二维度方向上： 三种无糖饮料在上方，而对应的原始饮料 在下方。 （饮料对健康 的有益程度）
例：对七种彩电品牌的相似程度评价情况: 1、对七种彩电品牌两两组合（21对） 2、对这些对子相似程度打分（1分—10分，1分——最相似） 3、分值平均 4、形成七种品牌相似评分矩阵 5、多维尺度分析可以对该矩阵进行分析，用图形化将结果 呈现出来。（哪些品牌靠得比较近）
对应分析数据
对应分析数据一、概述对应分析数据是一种数据分析方法，用于研究两个或者多个变量之间的关系。
通过对数据进行对应分析，可以揭示变量之间的相关性，并匡助我们理解数据暗地里的模式和趋势。
本文将介绍对应分析数据的基本概念、步骤和应用场景。
二、基本概念1. 对应分析对应分析是一种多元数据分析方法，它通过将多个变量映射到一个低维空间中，从而揭示变量之间的关系。
对应分析可以匡助我们发现数据中的结构和模式，进而进行更深入的分析。
2. 对应图对应图是对应分析结果的可视化表示。
对应图通常是一个二维平面图，其中每一个数据点表示一个观测值，不同的颜色或者符号表示不同的组别或者类别。
通过观察对应图，我们可以看到数据点之间的关系和趋势。
三、步骤对应分析数据的步骤如下：1. 数据准备首先，需要准备要进行对应分析的数据。
数据可以是任何类型的，可以是定量数据（如数值）或者定性数据（如类别）。
确保数据的质量和完整性非常重要。
2. 数据标准化对应分析需要对数据进行标准化，以消除不同变量之间的量纲差异。
常用的标准化方法包括Z-score标准化和归一化等。
3. 计算对应分析利用对应分析的算法，对标准化后的数据进行计算，得到对应分析的结果。
对应分析的算法有多种，常用的包括主成份分析（PCA）和多维尺度分析（MDS）等。
4. 绘制对应图将对应分析的结果绘制成对应图，以便更直观地观察数据之间的关系和趋势。
对应图可以通过各种数据可视化工具来实现，如散点图、气泡图等。
5. 解读对应图通过观察对应图，我们可以解读数据之间的关系和趋势。
可以观察数据点的分布情况、类别之间的距离和相对位置等。
根据对应图的结果，可以进一步进行数据分析和决策。
四、应用场景对应分析数据在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 市场调研对应分析数据可以匡助市场调研人员了解不同产品或者品牌之间的关系和竞争状况。
通过对应分析，可以发现市场中的潜在细分市场和目标客户群体。
05.对应分析及应用(市场细分)
对应分析、多维尺度分析在市场细分中的应用一、分析方法对应分析方法（correspondence analysis）是将R型因子分析与Q型因子分析相结合、对指标与样品同时进行分类的一种多元统计分析方法。
由于R型因子分析与Q型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，两者之间具有一定的内在联系，对应分析就是通过过渡矩阵两者结合起来。
1、计算数据变换矩阵Z设有n个样品，p个指标x1，x2，…，xp，数据记为xij。
对数据xij进行对应变换，得到：Z=［zij ］n×p，其中，2.进行R型因子分析计算矩阵Z′Z的特征值：λ1≥λ2≥…≥λp。
根据累积贡献率80%、85%或90%，取前m个特征值，计算相应的单位特征向量，从而得到R型因子载荷矩阵；在两两因子轴平面上作出指标散点图。
3.进行Q型因子分析对上面计算出的m个特征值，计算矩阵ZZ′的单位特征向量，从而得到Q 型因子载荷矩阵；在与R型相应的因子平面上作出样品散点图。
4.合理进行解释与推断根据对应分析的原理、方法，针对不同的实际问题，进行合理地解释、分析。
二、多维标度分析多维标度分析（multidimensional scaling MDS）：是一组通过直观的空间图，表示研究对象的感知和偏好的分析方法。
对应分析（correspondence analysis）则是一种用于定性资料的MDS技术，其优点在于调查对象提供数据的负担减轻了。
(一)通过计算得到对象之间的距离矩阵对于任意两个评价对象i，j:如果Fi =Fj，即两个对象处于同一个组内，被访者k认为这两个对象是相似的，那么将他们之间的距离记为：Dijk=0,如果Fi ≠Fj，则将它们之间的距离记为Dijk=1于是我们可以得到被访者k对研究对象之间的相似性评价。
我们不妨记这个矩阵为D k=(D ijk)对于所有n个被访者，我们将被访者的距离矩阵相加作为总体的距离矩阵：根据矩阵的构造方法，很容易看出这个矩阵是一个对称矩阵，并且满足D ii=0(二)作空间知觉图于是我们得到了总体的矩阵，通过多维尺度分析软件（如SPSS）对该矩阵进行分析，就可以绘出研究对象在被访者总体的空间知觉图。
多维尺度与对应分析
多维尺度与对应分析多维尺度分析（Multidimensional Scaling，简称MDS）是一种用于分析和可视化数据间的相似性和差异性的统计技术。
它可以将多维的数据映射到一个低维的空间中，从而使得数据的结构和关系可以更容易地被理解和分析。
多维尺度分析的基本思想是，通过计算数据间的相似性矩阵或者距离矩阵，然后通过数学方法将高维的数据映射到一个低维的空间，使得数据间的相似性和差异性在低维空间中得到保持。
通常，二维或者三维的空间是最常用的低维空间，可以通过散点图或者其他可视化手段进行展示。
对应分析（Correspondence Analysis，简称CA）是多维尺度分析的一种扩展，它适用于分析两个或者多个变量之间的关系。
对应分析可以用于分析数据表中的行和列之间的关系，并通过将行和列都投影到一个低维空间中，展示它们之间的关系。
多维尺度分析和对应分析是互为补充的技术，它们都可以用于发现数据中的模式、结构和关系。
这两种分析方法的目标都是通过降维来提取和可视化数据中的信息，同时保留数据间的相似性和差异性。
多维尺度分析和对应分析在许多领域都有广泛的应用。
比如，在社会科学中，它们可以用于研究人们对产品、政策或者观点的态度和偏好；在市场研究中，它们可以用于分析产品和品牌之间的相似性和差异性；在生物学中，它们可以用于分析不同物种之间的相似性和差异性等等。
在进行多维尺度分析和对应分析时，通常需要经历以下几个步骤：1.数据准备：首先，需要明确定义变量和测量方式，并将数据整理成矩阵的形式。
对于多维尺度分析，常常使用距离矩阵来表示数据间的相似性或者差异性；对于对应分析，常常使用频率矩阵或者卡方矩阵来表示数据间的关系。
2.计算相似性或者距离矩阵：根据数据的特点和要求，选择合适的相似性或者距离度量方法，计算出数据间的相似性或者差异性矩阵。
3.进行多维尺度分析或者对应分析：根据矩阵数据，利用合适的算法进行多维尺度分析或者对应分析，得到低维空间中的投影结果。
多维尺度分析MDS
Wanshing ton D.C.
. . . . . . . . . 0
邻近矩阵反应了城市之间的航空距离。 因为距离是对称的，只要输入下对角线数据。
实用文档
SPSS结果
Derived Stimulus Conf iguration
Euclidean distance model
.8
seattle
.6
实用文档
什么是多维尺度分析？
分析研究对象的相似性或差异性的一种多元统计分析方法。 可以创建多维空间感知图，图中的点（对象）的距离反应了它
们的相似性或差异性（不相似性）。 一般在两维空间，最多三维空间比较容易解释。 可以揭示影响研究对象相似性或差异性的未知变量-因子-潜在
维度。
实用文档
MDS的基本概念
1
0
0
0
1
1
3
B-D011 Nhomakorabea0
1
0
3
C-D
1
0
1
1
0
1
4
D-A
1
1
0
1
1
0
4
矩阵对角线为0， I 列一对品牌较j 行一对品牌更相似=1，而列j 行I 元素=0。
实用文档
三分法配对比较矩阵
将所有被访者的品牌配对比较矩阵加起来。 计算列的总和，总合数越大，相似程度越高。 再将每对品牌依列总和的大小排序，编号。 列总和最大者序号=1，其次=2，以此类推。 得到总和次序相似/差异矩阵。
所有研究对象的邻近数据可以用一个邻近矩阵表示。 反映邻近的测量方式：
相似性-数值越大对应着研究对象越相似。 差异性-数值越大对应着研究对象越不相似。
实用文档
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多维尺度与对应分析
多维尺度与对应分析多维尺度分析（MDS)，是基于研究对象之间的相似性或距离，将研究对象在一个低维（二维或三维）的空间形象地表示出来，进行聚类或维度分析的一种图示法。
通过多维尺度分析所呈现的空间定位图，能简单明了地说明各研究对象之间的相对关系。
多维尺度分析常用于品牌形象评价，比较消费者对公司及其竞争对手的品牌认知差异，了解在消费者心目中，公司品牌与竞争对手相比处于什么样的位置。
如，广州民众对市内各医院，从专业、服务、费用、方便等四个角度的感知评价，通过多维尺度分析所产生的空间定位图。
广州民众对市内各医院的感知评价基本分为三类，中山医院、省人民医院、中医药大学医院、省中医院，及专科医院是民众心目中是专业性强、技术高的医院；市/区的中医院、人民医院及妇幼保健医院是费用比较合理的医院；红十字会医院、军区/部队医院的特点则不明显（注：由于样本数量限制，分院、同类型医院合并分析，差异性有所平均，结论仅供参考。
）
对应分析的本质是将行和列变量的交叉表变换为一张散点图，从而将表格中包含的类别关联信息用各散点空间位置关系的形式表现出来。
如上述数据用对应分析呈现如下：
似乎看起来，对应分析比多维尺度分析更直观、更简单易懂；而且在操作上，通过xlstat插件做对应分析非常方便，做一个多维尺度分析所花的时间可以做十个对应分析了。
那么，能用对应分析来替代多元尺度分析吗？
通过分析两者所使用的原始数据表格，能容易区分两者的差异所在，并且知道在什么时候用多维尺度分析，什么时候用对应分析。
多维尺度分析，计算的是行变量之间的差异性或相似性，即表中“省人民医院、中山医院、省中医院
…”等各类医院之间的差异或相似性。
对应分析，计算的是行变量与列变量的相关性，如表中行变量中“省人民医院”与列变量“医院专
业水平、医院服务…”之间的相关性。
所以，在上述多维尺度空间图中，强调的是各类医院之间的相对位置；在上述对应分析图中，强调的是各类医院与专业、服务、费用、方便等之间的相关性，而不是各医院之间的相对关系。
那么，对应分析图中各医院的分布，同样能说明各医院之间的相对位置吗？我们用聚类分析来验证，同样用“专
业、服务、费用、方便”作为特征变量来对各类医院聚类，结果如图所示：
聚类结果中，“省人民医院、中山医院、专科医院、省中医院、中医药大学医院”明显被聚为一类，与上述多维尺度分析空间图中所示完全一致；而对应分析图中，省中医院、中医药大学医院明显远离省人民医院、中山医院。
因此，对应分析图中行变量的位置分布，并不能用来说明彼此之间的相对关系。
概括来说，多维尺度分析描述的是行变量之间的关系，对应分析描述的是行变量与列变量之间的关系。