平面向量模的坐标表示
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
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1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
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AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
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uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
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2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
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1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
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例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
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平面向量的模与方向
平面向量的模与方向平面向量是数学中的重要概念，它可以用来描述平面内物体的位移、速度和力等信息。
模与方向是平面向量的两个核心属性，本文将详细介绍平面向量的模与方向的概念及其计算方法。
一、平面向量的模平面向量的模是指该向量所表示的位移的大小或长度，通常用正实数表示，并记作|AB|或||AB||。
其中，A和B分别为该向量的起点和终点。
计算平面向量的模可以使用勾股定理或坐标计算两种方法。
1. 勾股定理：设平面向量AB的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则向量AB的模公式为：|AB| = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)2. 坐标计算：设平面向量AB的坐标分别为(x, y)，则向量AB的模公式为：|AB| = sqrt(x² + y²)需要注意的是，平面向量的模与起点和终点的位置没有关系，只与位移的大小有关。
二、平面向量的方向平面向量的方向是指该向量与某一参考方向之间的夹角，常用角度制或弧度制表示。
平面向量的方向有两种表示方法：字母表示和坐标表示。
1. 字母表示：通常使用斜体字母加箭头表示平面向量，箭头的方向即为向量的方向。
例如，向量a表示平面向量a的方向。
2. 坐标表示：向量的方向也可以使用向量的坐标表示。
设平面向量AB的坐标分别为(x, y)，则向量AB的方向为：θ = arctan(y / x)其中，θ为向量的方向角，arctan为反正切函数。
需要注意的是，如果平面向量的坐标中x和y的正负性相同，则方向角为锐角或钝角；如果x和y的正负性不同，则方向角为直角或其余三角函数的角度。
三、平面向量的模与方向的应用平面向量的模与方向在各个学科领域均有广泛的应用。
在物理学中，平面向量的模与方向可用于描述物体的位移和速度。
例如，在平面内的运动中，可通过计算物体的位移向量模与方向，来确定物体的位移和速度。
在几何学中，平面向量的模与方向可用于计算线段的长度和夹角。
平面向量的表示方法
平面向量的表示方法平面向量是研究平面上对象的重要工具。
在研究平面向量时，我们需要了解不同的表示方法。
下面将介绍平面向量的不同表示方法，包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。
一、坐标表示法坐标表示法是最常见的一种表示方法。
在平面直角坐标系中，平面向量可以用坐标表示为一个有序数对 (x, y)。
其中，x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
例如，向量 AB 可以表示为 (x, y)。
二、分量表示法分量表示法是将平面向量拆分为两个独立的有向线段的表示方法。
我们可以将向量拆分为水平和垂直方向的分量。
设向量 AB 的水平分量为 A 的 x 分量与 B 的 x 分量的差，垂直分量为 A 的 y 分量与 B 的 y 分量的差。
用 (a, b) 表示向量 AB 的分量表示法，其中 a 表示水平分量，b 表示垂直分量。
三、模长与方向角表示法模长与方向角表示法是将平面向量表示为一个长度与一个角度的表示方法。
向量的模长是从向量的起点到终点的长度，可以通过勾股定理计算出来。
向量的方向角是向量与平面上某个固定方向之间的角度，可以用三角函数计算出来。
表示为 |AB|，其中 |AB| 表示向量 AB 的模长，θ 表示向量 AB 的方向角。
总结：平面向量的表示方法包括坐标表示法、分量表示法和模长与方向角表示法。
坐标表示法是最常见的一种，通过给出向量在坐标系中的位置来表示向量。
分量表示法将向量拆分为水平和垂直方向的分量表示。
模长与方向角表示法是将向量表示为一个长度和一个角度的方式。
以上是关于平面向量的表示方法的讨论。
了解这些不同的表示方法对于理解平面向量的性质和运算非常重要。
在实际应用中，我们根据具体的问题选择合适的表示方法，并利用向量的性质进行计算和分析。
对于进一步学习平面向量的相关知识和应用具有重要的指导意义。
平面向量的坐标表示和几何意义
平面向量的坐标表示和几何意义平面向量是研究平面上的运动和力学性质的重要工具。
为了描述和计算平面向量，我们需要掌握坐标表示和几何意义。
一、平面向量的坐标表示平面向量可以通过坐标表示来描述。
假设平面上有一个点P(x, y)，我们可以将其与原点O(0, 0)之间的有向线段表示为向量OP。
在直角坐标系中，向量OP的坐标表示为OP = <x, y>，其中x为横坐标分量，y为纵坐标分量。
二、平面向量的几何意义平面向量的几何意义主要包括长度和方向两个方面。
1. 长度：平面向量OP的长度可以用勾股定理计算，即|OP| = √(x² + y²)。
2. 方向：平面向量OP的方向可以通过与坐标轴的夹角来确定。
- 当x > 0且y = 0时，向量OP与x轴正向平行。
- 当x < 0且y = 0时，向量OP与x轴负向平行。
- 当x = 0且y > 0时，向量OP与y轴正向平行。
- 当x = 0且y < 0时，向量OP与y轴负向平行。
- 当x > 0且y > 0时，向量OP位于第一象限。
- 当x < 0且y > 0时，向量OP位于第二象限。
- 当x < 0且y < 0时，向量OP位于第三象限。
- 当x > 0且y < 0时，向量OP位于第四象限。
三、平面向量的运算平面向量还可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 加法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的和为平面向量OC，记作OC = OA + OB。
向量OC的坐标表示为OC = <x₁ + x₂, y₁ + y₂>，即将对应分量分别相加。
2. 减法：设有向线段A和有向线段B分别对应平面向量OA和平面向量OB，则两个向量的差为平面向量OD，记作OD = OA - OB。
向量OD的坐标表示为OD = <x₁ - x₂, y₁ - y₂>，即将对应分量分别相减。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量的坐标表示与计算平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。
一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。
下面将详细介绍这两种表示方法。
1.有序数对表示法假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
其中，x₂-x₁表示横坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。
2.分量表示法平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的元素是向量在各个坐标轴上的分量值。
假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在y轴上的投影为4。
二、平面向量的计算平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。
下面将逐一进行介绍。
1.向量的加法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。
2.向量的减法设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。
3.数量乘法设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法
高中数学平面向量的坐标表示及计算方法在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它不仅在几何中有广泛的应用，还在代数中扮演着重要的角色。
平面向量的坐标表示及计算方法是我们学习平面向量的基础，下面我将结合具体的题目，详细介绍平面向量的坐标表示及计算方法。
一、坐标表示平面向量可以用一个有序数对表示，这个有序数对就是向量的坐标。
对于平面上的一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂)，其中a₁表示向量在x轴上的分量，a₂表示向量在y轴上的分量。
例如，给定平面上两点A(2, 3)和B(5, 1)，我们可以通过这两个点得到向量AB 的坐标表示。
向量AB的x轴分量为5-2=3，y轴分量为1-3=-2，因此向量AB的坐标表示为(3, -2)。
二、向量的加减法对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的加法定义为：a+b=(a₁+b₁, a₂+b₂)。
这意味着向量的加法就是将它们的对应分量相加。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算出它们的和向量c=a+b。
根据定义，c的x轴分量为2+(-1)=1，y轴分量为3+4=7，因此向量c的坐标表示为(1, 7)。
同样地，向量的减法也可以通过对应分量相减得到。
对于向量a和b，它们的减法定义为：a-b=(a₁-b₁, a₂-b₂)。
三、向量的数量积向量的数量积也叫点积，它是两个向量的乘积的数量表示。
对于平面上的两个向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的数量积定义为：a·b=a₁b₁+a₂b₂。
例如，给定向量a=(2, 3)和b=(-1, 4)，我们可以计算它们的数量积。
根据定义，a·b=2*(-1)+3*4=8。
四、向量的数量积的性质向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：a·b=b·a，即数量积的结果与向量的顺序无关。
2. 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为任意实数。
平面向量的模与方向角
平面向量的模与方向角平面向量是二维平面上的有向量，它有两个重要的属性：模和方向角。
模表示向量的大小，而方向角则表示向量相对于某一确定轴的方向。
一、平面向量的模平面向量的模是指向量的长度。
对于平面向量AB，其模可以用两点之间的距离来表示。
设坐标系中A点的坐标为(x1, y1)，B点的坐标为(x2, y2)，则向量AB的模表示为：|AB| = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)二、平面向量的方向角平面向量的方向角是指其相对于某一确定轴的方向。
一般情况下，我们采用与x轴的夹角来表示平面向量的方向角，记为α。
根据向量的方向角，可以将平面向量分为四个象限。
1. 第一象限：0° < α < 90°在第一象限中，向量的x轴分量和y轴分量均为正值。
2. 第二象限：90° < α < 180°在第二象限中，向量的x轴分量为负值，y轴分量为正值。
3. 第三象限：180° < α < 270°在第三象限中，向量的x轴分量和y轴分量均为负值。
4. 第四象限：270° < α < 360°在第四象限中，向量的x轴分量为正值，y轴分量为负值。
三、平面向量的坐标表示平面向量也可以用坐标表示，在坐标系中，平面向量的起点放在原点(0,0)上，终点则可以表示为一个点(x, y)。
四、平面向量的基本运算平面向量可以进行一系列的运算，包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加。
设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，它们的和向量C可以表示为：C(x1 + x2, y1 + y2)2. 向量减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减。
设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，它们的差向量D可以表示为：D(x1 - x2, y1 - y2)3. 数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个常数。
平面向量的坐标表示与运算
平面向量的坐标表示与运算一、平面向量的坐标表示平面向量是有大小和方向的量，可以用坐标来表示。
在平面直角坐标系中，以原点为起点，终点为点(x,y)的向量可以表示为：AB = xi + yj其中，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。
x和y分别为该向量在x轴和y轴的投影长度。
二、平面向量的运算1. 向量的加法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的和为：AB + CD = (a1 + b1)i + (a2 + b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相加得到新向量的x轴分量和y轴分量。
2. 向量的减法设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的差为：AB - CD = (a1 - b1)i + (a2 - b2)j即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相减得到新向量的x轴分量和y轴分量。
3. 向量的数量乘法设有一个向量AB = ai + bj，k为实数，则数量乘法的结果为：k * AB = (k * a)i + (k * b)j即将向量的x轴分量和y轴分量都乘以数k得到新向量的x轴分量和y轴分量。
4. 向量的点积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的点积为：AB · CD = a1b1 + a2b2即将两个向量的x轴分量和y轴分量分别相乘，然后再相加得到一个数。
5. 向量的叉积设有两个向量AB = a1i + a2j，CD = b1i + b2j，则两个向量的叉积为：AB × CD = (a1b2 - a2b1)k其中，k为垂直于平面的单位向量。
三、平面向量的应用平面向量的坐标表示与运算在几何学、力学、电磁学等领域中有着广泛的应用。
1. 几何学中，平面向量的坐标表示可以简化向量的计算，方便求解几何问题，如求解两条直线之间的夹角、判断两个向量是否垂直等。
2. 在力学中，平面向量的坐标表示与运算常用于描述物体的受力情况。
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课程小结
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数
量积等于它们对应坐标的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度
、角度及垂直问题.
课程小结
a＝(x1，y1)， b＝ (x2，y2)，则
4.(1)a | a |2 | a |
2
a
2
x2 y 2
其中a ( x, y)
平面向量模的坐标表示
高中数学
知识点 结论1:
已知 a ( x, y), 如何将 a 用其坐标表示？ a x2 y2 .
若设 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 ),如何将 的坐标表示？
AB
用A、B
结论2:
AB
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 ,
课程内容
(1).设a x, y , 则 a x2 y 2
用于计算向量的模
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 , 那么 a
x1 x2 2 y1 y2 2 .
即平面内两点间的距离公式．
| a b |
（1）:已知a ＝(1,√3 )， b ＝(– 2,2√3 ), 求|a |,| b |
a＝ b＝
a b (3, 3)
| a b |
√1 ＋(√3 ) ＝2, √(– 2) ＋(2√3 ) ＝4,
2 2 2 2
32 ( 3) 2
12 2 3
练习题 (2)已知a (2,3), b ( 2,4),
这就是A、B两点间的距离公式.
课程内容 向量的模和两点间的距离公式
( 1 )a a a
2
或a
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a
2
x2 y2 ,或 a
x 2 y 2；
（2）两点间的距离公式 设A（x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 则 AB （x1 x2 ) 2 （y1 y2 ) 2
则（a b ） （ ab ）
.
法一： a b (0,7), a b ( 4,1) （a b ） （ ab ） 0 4 7 ( 1) 7. 法二：（a b ） （ ab ） a a
2 2 2
b
b
2
13 20 7