直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
直线或曲线恒过定点问题
直线或曲线恒过定点问题凰在人生的道路上灵活多变,另辟蹊径,岂不快哉!尾声:人们追求理想的道路就如同这三只蚂蚁,既要勇往直前,矢志不移;又要独辟蹊径,灵活变通.不管怎样,奋斗的人生总是美好的.请记住高尔基的名言吧:在停止努力之前,你永远不会是个失败者!简评这篇习作由材料整体人手,从三个不同的角度,生动地阐释了生活哲理.作者采用三幕剧的形式,新颖别致,条理清晰,令人耳目一年糠j新.每一幕(一个画面)之后再配以"画外音",简短的议论起到了画龙点睛的作用.文末以"尾声"作结,总述全文,高度概括,文章主旨显得更加深刻,集中.作者简介韩延明,高级教师,执教于陕西省商南高级中学,陕西省学科带头人,陕西省商洛市骨干教师,发表论文多篇.责任编辑刘静直线或曲线僵过定点问题口童其林例已知函数—log(一2)+1(a>0,a≠1)的图像恒过定点A,若点A在直线mx4- 1"+l一0上,其中>0,则旦+的最大IfL}L值为——.分析我们知道对数函数===log图像恒过点(1,O),由此可知—log(z一2)+1(以>0,.≠1)恒过定点(3,1),到此问题便不难求解.解析容易求得定点A的坐标是(3,1),代入直线方程得3+"+1—0,所以3.1—3(--3m—--n)——J—一一10—3(n+)≤一lO一6√旦一mmm7"/一\/,/ 一16,当且仅当m一.时等号成立.故+的最大值为一16.定点问题近年来频频出现在各地的高考试题中,定点问题理论依据是什么?究竞有哪些类型呢?举例说明如下.～,直线或曲线恒过定点的证明或应用例1求证:直线(2m4-1)z+(+1)一7m+4(m∈R)恒过某一定点P,并求该定点的坐标.解法一特殊引路法分析因直线(2+1)+(Ⅲ+1)一7m+4随取不同的值而变化,但是由题意分析可知应该是嗣绕某一定点在旋转,而这一定点l....高考_ll斌～题设…计版0凰我们只需两条相交直线即可求得,但是需要我们将点代入原直线方程来证明该点永远在直线上,这样就使得解法更为完备.证明直线(2m+1)x+(+1)一7m+4,取2+1一O===一÷.此时直线方程为=7X(一丢)+4一1①取m+1—0一一1,此时z一3②由①②得点P(3,1).将点P(3,1)代入直线方程得(2m+1)-z+(+1)y===(2m+1)×3+(+1)一7优+4,即方程对任意TnER恒成立.故直线(2m+1)x+(m+1)一7+4恒过定点P(3,1).解法二换元法分析众所周知,直线方程中的点斜式—k(x--xo)可以表明直线过点P(xo,yo),因此我们可以将直线(2m-~1)x+(+1)一7m+4的一般式通过换元法转化为直线方程的点斜式,从而证明该直线恒过定点,并且可直接求得该定点. 证明m--F-1=/=0~",===～2m+1z+.令一一km一高垒.由此可得—7m+T4一一3k~1.即原直线方程可化为—kx一3k+1一1一是(一3).由直线的点斜式方程可知该直线过点P(3,1).当m+1—0即m一一1时,原直线可化为一一7×(一1)+4一3,此时点P(3,1)仍然在直线上.综上,直线(2m+1)x+(仇+1)一7m4-4恒过定点P(3,1).解法三参数分离法分析对于直线方程(2m+1)z+(m+1)一7m+4来说,如果我们将其中的m看作参数,并将其分离得(2z+一7)+z+一4一O,此时我们令2z+一7===0,z+一4=0,则这两条直线的交点P(x.,Y.)一定满足直线方程(2+一7)+'z+一4—0,即P(0,y.)在直线(2+1)lz+(+1)一7m+4上,这样就将直线恒过定点转化为两条直线的交点了.证明(2m+1)z+(+1)一7m+4(2x+～7)+z+一4一O.令2z+一7—0,z+一4一O,解方程组f2+一7=0,lz+一4一o,得x=3,一1,因点P(3,1)满足2z+一7一O,z+一4一o.所以也满足(2z+一7)十Lz+一4—0.进一步得点P(3,1)满足(2m+1)z+(m+1)一7m4-4.故直线(2m+1)z+(m+1)一7m+4恒过定点P(3,1).解法四利用方程船一b有无穷多解的充要条件"关于z的方程ax—b有无穷多解的充要条件是:a—b:0".其实我们高中所学的含参数的多项式函数,含参数的分式函数,以及含参数的二次曲线图像过定点问题均可仿照该种方法求定点坐标.把方程化为(2x+一7)一一—+4.令2z+一7一O且一—+4—0,得x=3,Y一1,因此定点坐标为(3,1).例2函数Y一+2kx一3k+1图像过定点,则定点坐标为——.厨锻分析可将二次函数变形为以k为未知数的一次函数ak—b的形式,或利用方程理论求解.解将函数Y—kx.+2kx一3k+1化为fr+2z3—0(+2z3一Y一,令{v一.1一ofx一]fz一一3解此方程组得或,所以函数lVl【V=lY—+2kx一3k+1图像过定点(1,1)和(一3,1).例3函数Y—ax~2ax+2图像过定点,则定点坐标为——.分析这是含参数的指数函数图像过定点的问题,可利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质来解决.解设函数Y—aXz-2图像过定点(1z.,Y.),则Y.~--axO一"o一,利用指数函数Y一图像恒过点(0,1)这一性质知:方程组z.一2axoq-2a--1=0(1)关于口恒成立,将<lll十r日h,,,(Y o—l(1)化为2z.口一【Y.一1f2z.一2一O再令z..一1=0(2),l一1llzn===l解(2)得.,所以函数—axZ2ax+2(yo—l图像过定点(1,1)如有含参数的对数函数图像过定点的问题,可利用对数函数Y—log.z图像恒过点(1, O)这一性质来解决.例4已知抛物线C:Y一去z与直线z:一走z一1没有公共点,设点P为直线上的案期动点,过P作抛物线C的两条切线,A,B为切点.(1)证明:直线AB恒过定点Q;(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线c于M,N两点,证明:一.证明(1)设A(x1,Y1),则Y一去z.由一1z.得Y一z,所以Y『===z1.于是抛物线C在A点处的切线方程为—l—z1(z—z1),即—z1z—1.设P(z0,尼z0—1),贝Ⅱ有忌o～1一z.z ——Yl?设B(x2,2),同理有kxo一1一-z0Iz2--y2.所以AB的方程为kx.1一.z—Y,即lzo(z一是)(一1)一O,所以直线AB恒过定点Q(尼,1).(2)略.二,利用直线或曲线恒过定点解题有些问题并没有明确告诉你要求定点,但问题本身隐含着直线或曲线过定点,如果能够挖掘出这个隐蔽因素,问题便可迎刃而解或能够开辟解题的新天地.例5设点A和B为抛物线一4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA_LOB, (=lM上AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.t).一?._⑧_高～"试黟设许凰锻分析本题有很多解法,其中利用直线恒过定点求解是最快的一种.设OA的方程为一z,代入Y=4px得A(,),则oB的方程为一一1z,代入Y.=4px得B(4pk.,--4pk).'AB的方程为y—(一4户),过定点N(4P,0).由0M上AB,得M在以ON为直径的圆上(0点除外)故动点M的轨迹方程为.27.+一4z—O(1z≠O),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点.例6对任意实数志,直线—b.x+3k一2(k∈R)与椭圆+一1(以>oKn≠4)恒有公共点,则倪的取值范围是分析直线方程中含参数k,则该直线过定点,求出定点以后,再利用定点在椭圆内或在椭圆上即可解决.解将直线Y一/ca:q-3k一2(k∈R)整理得(z+3)k=Y+2,f+3—0令2—0f.z一一3解之得IY一一2故一如+3k一2(k∈R)过定点(--3,一2),欲使对任意实数k,直线Y—+3志一2(k∈R)与椭圆+一l(a>oft口≠4).专避媾Il_恒有公共点,必须定点在椭圆内或在椭圆上, 所以有+≤1(n>o且n≠4)解之得a≥2且口≠4.作者简介童其林,高级教师,福建省永定县城关中学教务处主任,发表文章多篇,主要从事教学管理研究与教育教学研究.责任编辑李婷婷上海世博会之吉祥物。
直线与圆经典题型
直线与圆经典题型题型一：对称性求最值例题：已知点M （3，5），在直线l ：x ﹣2y +2=0和y 轴上各找一点P 和Q ，使△MPQ 的周长最小．解：由点M （3，5）及直线l ，可求得点M 关于l 的对称点M 1（5，1）．同样容易求得点M 关于y 轴的对称点M 2（﹣3，5）．据M 1及M 2两点可得到直线M 1M 2的方程为x +2y ﹣7=0．得交点P （，）．令x=0，得到M 1M 2与y 轴的交点Q （0，）．解方程组x +2y ﹣7=0，x ﹣2y +2=0，故点P （，）、Q （0，）即为所求．1221M M PQ Q M P M PQ MQ MP C MPQ ≥++=++=∆题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线l1：3x﹣y+7=0和l2：2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N（1，0）后被x轴反射．（1）求点M关于x轴的对称点P的坐标；（2）求反射光线所在的直线l3的方程．（3）求与l3距离为的直线方程．【分析】（1）联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；（2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；（3）设出与l3平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．【解答】解：（1）由得，∴M（﹣2，1）．所以点M关于x轴的对称点P的坐标（﹣2，﹣1）．…（4分）（2）因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．直线MN的倾斜角为α，则直线l3的斜斜角为180°﹣α.，所以直线l3的斜率．故反射光线所在的直线l3的方程为：．即．…（9分）解法二：因为入射角等于反射角，所以∠1=∠2．根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．所以反射光线所在的直线l3的方程就是直线PN的方程．直线PN的方程为：，整理得：．故反射光线所在的直线l3的方程为．…（9分）（3）设与l3平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3，或，所以与l3为：，或．…（13分）题型三：直线恒过点问题已知直线方程为（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（Ⅰ）证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．【分析】（Ⅰ）直线方程按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；（Ⅱ）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，说明直线的斜率小于0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．【解答】（Ⅰ）证明：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0化为（x﹣2y﹣3）m=﹣2x ﹣y﹣4．（3分）得∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6分）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k（k＜0），则其方程为y+2=k（x+1），∴OA=|﹣1|，OB=|k﹣2|，（8分）S△AOB=•OA•OB=|（﹣1）（k﹣2）|=|﹣|..（10分）∵k＜0，∴﹣k＞0，∴S=[﹣]=[4+（﹣）+（﹣k）]≥4．△AOB当且仅当﹣=﹣k，即k=﹣2时取等号．（13分）∴△AOB的面积最小值是4，（14分）直线的方程为y+2=﹣2（x+1），即y+2x+4=0．（15分）2.已知直线l的方程为2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）求点P到直线l的距离的最大值．【分析】（1）把直线方程变形得，2x+y+m（y+2）=0，联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点．（2）设点P在直线l上的射影为点M，由题意可得|PM|≤|PQ|，再由两点间的距离公式求得点P到直线l的距离的最大值【解答】（1）证明：由2x+（1+m）y+2m=0，得2x+y+m（y+2）=0，∴直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q，解方程组，得Q（1，﹣2），∴直线l恒过定点，且定点为Q（1，﹣2）．（2）解：设点P在直线l上的射影为点M，则|PM|≤|PQ|，当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，∴点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2．题型四：动直线问题已知点A（1，2）、B（5，﹣1），（1）若A，B两点到直线l的距离都为2，求直线l的方程；（2）若A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），试根据m的取值讨论直线l 存在的条数，不需写出直线方程．【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1，2）和点B（5，﹣1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1，2）和点B（5，﹣1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A，B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线．【解答】解：∵|AB|==5，|AB|＞2，∴A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，①当直线l平行直线AB时：k AB=，可设直线l的方程为y=﹣x+b依题意得：=2，解得：b=或b=，故直线l的方程为：3x+4y﹣1=0或3+4y﹣21=0；②当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3，），可设直线l的方程为y﹣=k （x﹣3）依题意得：=2，解得：k=，故直线l的方程为：x﹣2y﹣=0；（2）A，B两点到直线l的距离都为m（m＞0），AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m＜|AB|，则有2条；若2m=|AB|，则有1条；若2m＞|AB|，则有0条，题型五：斜率取值范围已知点A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1）且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：如图，∵A（1，1），B（﹣2，2），直线l过点P（﹣1，﹣1），又，∴直线l的斜率k的取值范围为k≤﹣3，或k≥1．故答案为：k≤﹣3，或k≥1．题型六：对称问题已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4，5）关于l的对称点坐标；（2）直线y=x﹣2关于l对称的直线的方程．【分析】（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），得到关于m，n的方程组，求得m、n的值，可得P′的坐标；（2）求出交点坐标，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点坐标，求出直线方程即可．【解答】解：（1）设点P（4，5）关于直线y=3x+3对称点P′的坐标为（m，n），则由，求得m=﹣2，n=7，故P′（﹣2，7）．（2）由，解得：交点为，在直线y=x﹣2上任取点（2，0），得到对称点为，所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七：截线段长问题已知直线l经过点P（3，1），且被两平行直线l1；x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段之长为5，求直线l的方程．【分析】法一如图，若直线l的斜率不存在，直线l的斜率存在，利用点斜式方程，分别与l1、l2联立，求得两交点A、B的坐标（用k表示），再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得l的方程．法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5，设直线l与直线l1的夹角为θ，求出直线l的倾斜角为0°或90°，然后得到直线方程．就是用l1、l2之间的距离及l 与l1夹角的关系求解．法三：设直线l1、l2与l分别相交于A（x1，y1），B（x2，y2），则通过求出y1﹣y2，x1﹣x2的值确定直线l的斜率（或倾斜角），从而求得直线l 的方程．【解答】解：解法一：若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=3，此时与l1、l2的交点分别为A′（3，﹣4）或B′（3，﹣9），截得的线段AB的长|AB|=|﹣4+9|=5，符合题意．若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x﹣3）+1．解方程组得A（，﹣）．解方程组得B（，﹣）．由|AB|=5．得（﹣）2+（﹣+）2=52．解之，得k=0，直线方程为y=1．综上可知，所求l的方程为x=3或y=1．题型八：直线夹角问题已知直线l：5x+2y+3=0，直线l′经过点P（2，1）且与l的夹角等于45，求直线l'的一般方程．【分析】设出直线l′的斜率为k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求出直线的方程．【解答】解：设直线l′的斜率为k′，则，…（7分），…（10分）直线l′：7x﹣3y﹣11=0和3x+7y﹣13=0；…（13分）本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式与到角公式的区别，考查计算能力．。
第06讲 定点问题(解析几何)(原卷版)
第06讲 定点问题知识与方法定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定．直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点．求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．1．对直线过定点的理解如：①直线2(1)y k x -=-恒过定点(1,2)；②对于直线:l y kx m =+，若2m k =-，则直线方程为(2)y k x =-，显然l 过定点(2,0)； ③无论k 取任何实数，直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=可化为(24)(31)0k x y x y +-+--=，令24013102x y x x y y ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨--==⎪⎩⎩，故定点坐标为(1,2)． 2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为y kx m =+(或x ny t =+)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到k b 、或m t 、的关系，或者解出b t 、的值；③将②的结果代入y kx m =+(或x ny t =+)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点,A B 的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点P (有时可考虑对称性)；③证明,,A B P 三点共线，从而直线AB 过定点P ．(其中一个方法是证明PA PB )3．定点问题的常见类型①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点．典型例题类型1：由斜率关系求定点相关结论如下：定理1：()00,P x y 为椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>上一定点，过点P 作斜率为12,k k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．(1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20000222,y b x x y a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点2222002222,a b a b x y a b a b λλλλ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭． 定理2：设()00,P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线,AB CD 交椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>于A B C D 、、、，直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，弦,AB CD 的中点记为,M N ． (1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20002,y b x x a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点220002222,a x b y x a b a b λλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭． 定理3：过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,P x y 引两条弦,PA PB ，直线,PA PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍．斜率之和为定值，第三边过定点【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点123(1,1),(0,1),P P P ⎛- ⎝⎭， 4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明： l 过定点．斜率之积为定值，第三边过定点【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为(0,2)P -，离心率为e =，过点P 作斜率为1k ， 2k 的直线,PA PB ，分别交椭圆于点,A B ．(1)求椭圆的方程；(2)若122k k ⋅=，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【例3】过椭圆22:143x y C +=上一定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线,PA PB 与C 分别交于点,A B ，求证：直线AB 过定点．【例4】已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆22143x y +=的左右焦点．过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l (均不与x 轴重合)分别与椭圆交于A B C D 、、、四点．线段,AB CD 的中点分别是,M N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．斜率之比为定值，第三边过定点【例5】如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过F 的两条直线分别与抛物线C 交于点1,A A 与1,B B (点1,B A 在x 轴的上方)．①若2AF FA =，求直线1AA 的斜率；②设直线11A B 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，若122k k =，求证：直线AB 过定点．类型2：由倾斜角关系求定点【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12,F F ，点P 为坐标平面内的一点，且1233||,,24OF PF PF O =⋅=-为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，,A B 是椭圆C 上两个不同的点，直线,MA MB 的倾斜角分别为,αβ， 且2παβ+=，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．类型3：切点弦过定点【例7】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线,,,PA PB A B 为切点，求证：直线AB 经过定点．【例8】已知抛物线2:2C x py =的焦点与椭圆22143y x +=的上焦点重合，点A 是直线280x y --=上任意一点，过A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,M N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．类型4：相交弦过定点【例9】已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8,AG GB P ⋅=为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．类型 5：圆过定点【10】 设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2()2()f x x x b x R =++∈ 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 C .(1) 求实数 b 的取值范围;(2) 求圆 C 的方程;(3) 问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）? 请证明你的结论.。
直线恒过定点问题解题原理是什么
直线恒过定点问题解题原理是什么直线恒过定点问题是一类在几何学中常见的问题，该问题要求找出一个直线，使得这条直线上的任意一点都满足某种特定的条件。
解决该问题的原理通常基于数学推理和几何性质的分析，下面将介绍解决直线恒过定点问题的一般原理。
1. 确定直线方程首先，我们需要确定直线的方程。
在直线方程的求解中，我们可以利用直线的特征点来进行求解。
假设已知直线过一点A(x₁, y₁)，并且直线的斜率为k，则直线方程可以表示为y - y₁ = k(x - x₁)。
我们可以根据特定的条件来求解直线方程中的未知参数。
2. 确定条件接下来，我们需要确定直线上的条件。
直线恒过定点问题通常给定了特定点的坐标或者特定点与直线之间的关系，我们需要利用这些条件来求解出直线方程中的参数。
例如，如果问题给定了直线上的某个点B(x₂, y₂)，我们可以将点B代入直线方程，然后解方程组来求解直线方程中的参数。
3. 解方程组通过将给定的点代入直线方程，可以得到一个方程组。
例如，假设我们已知点A(1, 2)和点B(3, 4)，并且需要找到一条过点A和点B的直线。
将点A代入直线方程得到：y - 2 = k(x - 1) —— (1) 将点B代入直线方程得到：y - 4 = k(x - 3) —— (2)解方程组(1)和(2)，可以得到直线方程中的参数k。
因此，直线恒过点A和点B的方程为：y - 2 = 1/2(x - 1)。
4. 求解定点问题一旦我们得到了直线方程，我们就可以使用这个方程来判断任意一点是否在直线上。
对于直线恒过定点问题，我们可以通过判断给定的点是否满足直线方程，来确定该点是否在直线上。
在上述的例子中，我们可以将给定的点代入直线方程进行验证。
例如，假设我们需要验证点C(2, 3)是否在直线上。
将点C代入直线方程得到：3 - 2 = 1/2(2 - 1)，等式成立，说明点C在直线上。
5. 解题总结综上所述，解决直线恒过定点问题的原理可以总结为以下几个步骤：•确定直线方程，利用直线的特征点求解未知参数；•根据题目给定的条件确定直线上的条件；•将给定的点代入直线方程并解方程组，求解出直线方程中的参数；•利用得到的直线方程判断任意一点是否在直线上。
一道求直线过定点问题的四种解决策略
一道求直线过定点问题的四种解决策略王弟成(江苏省苏州实验中学ꎬ江苏苏州２２２００６)摘㊀要:解决直线过定点问题的策略１是用参数ｋ先求出对应的直线方程ꎬ再从直线方程中挖出定点ꎻ策略２先利用特殊情况ꎬ猜想出直线所过的定点ꎬ再证明三点共线ꎻ策略３是先设出对应直线的方程ꎬ再寻求方程中参数之间的关系ꎻ对于特殊题还有策略４ꎬ先利用椭圆性质ꎬ换点表示斜率ꎬ寻求韦达定理的对称性.关键词:定点ꎻ设且求ꎻ设而不求ꎻ对称点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－００３４－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:王弟成(１９７２.８－)ꎬ江苏省新沂人ꎬ本科ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀求直线过定点问题是解析几何中的常见题型之一ꎬ也是高考重点考查的内容ꎬ因此解决它需要综合运用解析几何知识ꎬ同时还要注意解题策略的运用.题目㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左㊁右顶点分别为ＡꎬＢꎬ且｜ＡＢ｜＝４ꎬ椭圆Ｃ过点(１ꎬ３２).(１)求椭圆Ｃ的标准方程ꎻ(２)斜率不为０的直线ｌ与Ｃ交于ＭꎬＮ两点ꎬ若直线ＢＭ的斜率是直线ＡＮ斜率的两倍ꎬ证明:直线ｌ经过定点ꎬ并求出其定点坐标.分析㊀(１)易求椭圆Ｃ的标准方程为ｘ２４＋ｙ２３＝１.对于(２)证明直线经过定点ꎬ一般方法是求出相应直线方程ꎬ再从直线方程中挖出定点.１设且求ꎬ选择斜率ｋ表示出相应直线方程策略１㊀从已知条件出发ꎬ选择直线ＡＮ的斜率ｋ表示点ＭꎬＮ的坐标ꎬ进而表示出直线ｌ的方程ꎬ从直线方程中挖掘出定点.解法１㊀设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＮ的斜率为ｋꎬ由题意ＢＭ的斜率为２ｋ.因为Ａ(－２ꎬ０)ꎬＢ(２ꎬ０)ꎬ所以直线ＡＮ的方程为ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬ直线ＢＭ的方程为ｙ＝２ｋ(ｘ－２).联立ｙ＝ｋ(ｘ＋２)ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï得(３＋４ｋ２)ｘ２＋１６ｋ２ｘ＋１６ｋ２－１２＝０.由于方程有一根是－２ꎬ故由根与系数关系ꎬ得ｘ２＝６－８ｋ２３＋４ｋ２.所以ｙ２＝ｋ(ｘ２＋２)＝１２ｋ３＋４ｋ２.所以点Ｎ(６－８ｋ２３＋４ｋ２ꎬ１２ｋ３＋４ｋ２).联立ｙ＝２ｋ(ｘ－２)ꎬｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬìîíïïï得(３＋１６ｋ２)ｘ２－６４ｋ２ｘ＋６４ｋ２－１２＝０.由根与系数关系得２ｘ１＝６４ｋ２－１２３＋１６ｋ２ꎬ即ｘ１＝４３３２ｋ２－６３＋１６ｋ２ꎬ所以ｙ１＝２ｋ(ｘ１－２)＝－２４ｋ３＋１６ｋ２.所以Ｍ(３２ｋ２－６３＋１６ｋ２ꎬ－２４ｋ３＋１６ｋ２).所以直线ｌ的方程为ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２).把方程看成关于斜率ｋ恒成立的式子ꎬ即ｙ(３＋４ｋ２)(８ｋ２－３)－１２ｋ(８ｋ２－３)＝－９ｋ(３＋４ｋ２)ｘ＋９ｋ(６－８ｋ２)ꎬ再通过方程两边常数项与ｋ３项系数相等ꎬ得－９ｙ＝０ꎬ－９６ｋ３＝－３６ｋ３ｘ－７２ｋ３ꎬ所以ｙ＝０ꎬｘ＝２３ꎬ所以直线过定点(２３ꎬ０).解法１中有处运算较难ꎬ一是对直线ＭＮ斜率的化简ꎬ化简时要注意分子分母约分ꎻ另一个是由方程ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２)寻求定点ꎬ由于结构复杂观察不到定点ꎬ所以采取转化为等式恒成立求解.当然也可以对ｋ特殊化ꎬ先找到定点ꎬ再证明[１].２先猜后证ꎬ减少运算策略２㊀先利用特殊情况猜想出直线所过的定点ꎬ再利用斜率或向量证明三点共线ꎬ从而得到直线恒过定点.解法２㊀先考虑特殊情况ꎬ当直线ｌ与ｘ轴垂直时ꎬ设Ｎ(ｔꎬｙ１)ꎬ则Ｍ(ｔꎬ－ｙ１).又由２ｙ１ｔ＋２＝－ｙ１ｔ－２ꎬ解得ｔ＝２３ꎬ再考虑直线ｌ与ｘ轴重合时也满足ꎬ所以猜想直线过定点(２３ꎬ０).要证明直线ｌ恒过定点(２３ꎬ０)ꎬ只需证点(２３ꎬ０)与ＭꎬＮ两点共线即可.即证明１２ｋ/(３＋４ｋ２)(６－８ｋ２)/(３＋４ｋ２)－２/３＝－２４ｋ/(３＋１６ｋ２)(３２ｋ２－６)/(３＋１６ｋ２)－２/３恒成立.解法３㊀当然若能猜想其定点在ｘ轴上ꎬ也可以在解法１的基础上得到直线方程后ꎬ将直线方程ｙ－１２ｋ３＋４ｋ２＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２)变形为ｙ＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－６－８ｋ２３＋４ｋ２－１２ｋ３＋４ｋ２８ｋ２－３９ｋ).又由于６－８ｋ２３＋４ｋ２＋１２ｋ３＋４ｋ２８ｋ２－３９ｋ＝５４ｋ－７２ｋ３－３６ｋ＋９６ｋ３９ｋ(３＋４ｋ２)＝２３ꎬ所以有ｙ＝－９ｋ８ｋ２－３(ｘ－２３)ꎬ即可得直线过定点(２３ꎬ０).３设而不求ꎬ整体处理策略３㊀上面解法的主要困难在于得到的直线ｌ方程复杂ꎬ不易观察定点.此时还可以考虑直接设出直线ｌ方程ꎬ根据条件找到方程中相关参数的关系ꎬ此时再确定定点就很容易.设Ｍ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＮ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ考虑直线ｌ可能与ｘ轴垂直ꎬ设直线ｌ的方程为ｘ＝ｍｙ＋ｔꎬ联立ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬｘ＝ｍｙ＋ｔꎬìîíïïï消去ｘ整理得(３ｍ２＋４)ｙ２＋６ｍｔｙ＋３ｔ２－１２＝０ꎬΔ＝３６ｍ２ｔ２－４(３ｍ２＋４) (３ｔ２－１２)>０ꎬ则ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２.又ｋＡＮ＝ｙ２ｘ２＋２ꎬｋＢＭ＝ｙ１ｘ１－２ꎬ所以ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ化简得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.这是一种特殊情况ꎬ有ｙ１ｙ２ꎬ但没有ｙ１＋ｙ２ꎬ针对本题有如下处理方法.解法４㊀先将含ｙ１ꎬｙ２的项配凑成ｙ１＋ｙ２ꎬ即ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＋(３ｔ－２)ｙ２＝０ꎬ再将ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２代入方程得(３ｔ－２)[３ｍ(ｔ＋２)３ｍ２＋４＋ｙ２]＝０.由于３ｍ(ｔ＋２)３ｍ２＋４＋ｙ２不恒为０ꎬ所以３ｔ－２＝０ꎬ即５３ｔ＝２３.故直线ｌ:ｘ＝ｍｙ＋ｔ过定点(２３ꎬ０).解法５㊀可以把１ｙ１ꎬ１ｙ２作为未知数对待.由斜率关系ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.即有ｔ＋２ｙ２＝ｍ＋２(ｔ－２)ｙ１.又由ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ可以得１ｙ１＋１ｙ２＝－６ｍｔ３ｔ２－１２ꎬ所以可求得３ｔ－２ｙ２＝－ｍ(３ｔ－２)ｔ＋２.当３ｔ－２＝０时ꎬ即ｔ＝２３ꎬｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＝ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２)(ｙ１＋ｙ２)＝ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２＝０ꎬ所以ｔ＝２３满足等式.当ｔʂ２３时ꎬ将ｙ２＝－ｔ＋２ｍꎬ代入ｍｙ１ｙ２－(ｔ＋２) (ｙ１＋ｙ２)＋(３ｔ－２)ｙ２＝０ꎬ得ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２－(ｔ＋２)(３ｔ－２)ｍ＝０ꎬ解得ｔ＝－２ꎬｔ＝－２３ꎬ两个值都要舍掉.所以ｔ＝２３.解法６㊀当得到ｙ２＝－ｔ＋２ｍ时ꎬ也可以代入方程(３ｍ２＋４)ｙ２＋６ｍｔｙ＋３ｔ２－１２＝０ꎬ得(ｔ＋２)(ｔ＋２)[(３ｍ２＋４)ｍ２－３]＝０ꎬ解得ｔ＝－２(舍)ꎬｔ＝２３.㊀解法７㊀由ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ得ｍｙ１ｙ２＝－ｔ２－４２ｔ(ｙ１＋ｙ２).由ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ得(ｔ＋２)ｙ１＝ｍｙ１ｙ２＋２(ｔ－２)ｙ２.所以(ｔ＋２)ｙ１＝－ｔ２－４２ｔ(ｙ１＋ｙ２)＋２(ｔ－２)ｙ２.即(３ｔ－２)(ｔ＋２)ｙ１＝(ｔ－２)(３ｔ－２)ｙ２.所以ｔ＝２３.４用性质换点ꎬ寻求对称性策略４㊀本例题出现韦达定理不对称问题ꎬ为什么会出现韦达定理不能用的问题呢?分析斜率式子ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２结构ꎬ其主要原因是在求ＡＮ与ＭＢ的斜率时ꎬ用椭圆两个顶点ꎬ出现ｘ１－２ꎬｘ２－２造成的.我们可以用椭圆的性质把两个顶点转化到同一个顶点上.解法８㊀设Ｎ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ因为ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ则ｙ２ｘ２＋２ ｙ２ｘ２－２＝ｙ２２ｘ２２－４＝－３４.因为ｙ１ｘ１－２＝２ｙ２ｘ２＋２ꎬ所以－３４ ２(ｘ２－２)ｙ２＝ｙ１ｘ１－２.即－３２[ｍ２ｙ１ｙ２＋ｍ(ｔ－２)(ｙ１＋ｙ２)＋(ｔ－２)２]＝ｙ１ｙ２.代入ｙ１＋ｙ２＝－６ｍｔ４＋３ｍ２ꎬｙ１ｙ２＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ得－３２ˑ[ｍ(３ｔ２－１２)４＋３ｍ２＋ｍ(ｔ－２)(－６ｍｔ)４＋３ｍ２＋(ｔ－２)２]＝３ｔ２－１２４＋３ｍ２ꎬ当ｔʂ２ꎬｔʂ－２时ꎬ解得ｔ＝２３.上面的每一种解决方法都有其优点ꎬ解决问题时需要根据具体情境ꎬ明确方向ꎬ识别模型ꎬ选择模型ꎬ确定方法.高三解题理应策略优先ꎬ只有对各种情况分析透彻ꎬ把握本质ꎬ才能在考试中选择合适的方法解决问题.参考文献:[１]王弟成.一类根与系数关系不对称解析几何题解法探究与原因探析[Ｊ].数学通报ꎬ２０２１ꎬ６０(１２):４７－４９.[责任编辑:李㊀璟]６３。
直线方程的对称问题及最值,恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n 的方程五最值问题的面积最小时直线l的1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
直线方程恒过定点问题怎么求
直线方程恒过定点问题怎么求问题描述在平面几何中，给定一个定点和一条直线，我们需要找到一个直线方程，使得这条直线在任意位置上都经过给定的定点。
这个问题被称为直线方程恒过定点问题。
本文将介绍如何求解这个问题。
解法一：点斜式直线方程首先我们需要知道点斜式直线方程的一般形式：y=kx+b。
其中k为斜率，b为直线在y轴上的截距。
假设我们需要找到一个直线，使得它始终经过点P(x0,y0)。
根据点斜式直线方程，我们需要求解符合该条件的k和b。
由于直线过点P(x0,y0)，代入直线方程可得：y0=kx0+b然后将这个方程稍作调整：$$ b = y_0 - kx_0 \\quad (1) $$将式(1)代入点斜式直线方程，我们就得到了直线方程的表达式：y=kx+(y0−kx0)这条直线方程恒过定点P(x0,y0)。
因此，我们可以得出结论：对于给定的点P(x0,y0)，直线方程恒过该点的一般形式为y=kx+(y0−kx0)。
解法二：一般式直线方程除了点斜式直线方程，我们还可以使用一般式直线方程来解决直线方程恒过定点问题。
一般式直线方程的一般形式为：Ax+By+C=0。
假设直线经过点P(x0,y0)，我们需要找到符合该条件的A、B和C。
设直线方程为Ax+By+C=0，将点P(x0,y0)代入方程可得：$$ Ax_0 + By_0 + C = 0 \\quad (2) $$假设直线方程的一般法向量为$\\mathbf{n} = (A, B)$，则直线方程可以写成：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p} + C = 0 \\quad (3) $$其中，$\\mathbf{p} = (x, y)$。
将点P(x0,y0)代入方程(3)，可得：$$ \\mathbf{n} \\cdot \\mathbf{p_0} + C = 0 \\quad (4) $$由于直线过点P(x0,y0)，则向量$\\mathbf{n}$与向量$\\mathbf{p_0}$垂直。
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一、点关于点的对称问题
例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.
练习：1求点A （-3，6）关于点B （2，3）对称的点C 的坐标.
2已知点A(5,8),B(4,1),试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标.
二、点关于直线的对称问题
这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.
例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.
练习：3求A （4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.
4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题
直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.
例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.
练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程
四、直线关于直线的对称问题
直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.
例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.
例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.
练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程
五最值问题
的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB
的方程;
2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条
A 1
B 2
C 3
D 4
（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）
3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
4.过点P(2,1) 作直线l分别交x轴、y轴于点A、B，求|PA|·|PB|取最小值时直线l的方程.
5.位于第一象限的点A在直线y=3x上，直线AB交x轴的正半轴于点C，已知点B（3,2），求△OAC面积的最小值，并求此时A点坐标
6．已知点M(1,3),N(5,-2),在x 轴上取一点P ，使得||PM|-|PN||最大，则P 点坐标是（ ）
A （5,0）
B （13,0）
C （0,13）
D （,0）
变式：若使||PM|+|PN||最小呢？
7．函数y=x 2＋9 ＋x 2
－8x ＋41 的最小值是
六 过定点
6．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )
A ．(1，－2)
B ．(1,2)
C ．(－1,2)
D ．(－1，－2)
7．当0＜k ＜12
时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4．直线kx －y ＋1＝3k ，当k 变动时，所有直线都通过定点( )
A ．(0,0)
B ．(0,1)
C ．(3,1)
D ．(2,1)
9．已知直线(3k －1)x ＋(k ＋2)y －k ＝0，则当k 变化时，所有直线都通过定点( )
A ．(0,0)
B ．(17，27)
C ．(27，17)
D ．(17，114
) 课后作业：
1. 已知点A （2,5），B （4，-7），试在y 轴上求一点P ，使得|PA|+|PB|的值最小。
2 光线由点P (2,3)射到直线x ＋y ＋1＝0上，反射后经过点Q (1,1)，求反射光线所在的直线
方程．
3．已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称，则直线l的方程为______________．
4．试求直线
1:l
20
x y
--=关于直线
2
l:330
x y
-+=对称的直线l的方程.
5．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点( ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2)
6．直线l过点P(1,3)，且与x、y轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l的方程是( ) A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0
C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0。