直线方程中的对称问题

直线对称问题

直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称 一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）

例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。

练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.

二、直线关于点的对称

求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l ，即设1l ：01=++C By Ax 。点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C

或者在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上 再将'M 代入1l 方程求出1C 。 ☆转化为点关于点对称的问题

例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程

练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.

求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面： 1，直线1PP 必定和l 垂直关系，有11

-=⋅l PP k k （k 存在） 2，1PP 的中点必在l 上

例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。

练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标

四、直线关于直线的对称

分两种：1，关于平行直线的对称

求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1 （2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P （3）将点2P 代入2l 的方程求出2C

例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。

求0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程 （1）求出l l 与1的交点P 在2l 上

（2）设1l 上一个异于点P 的点M （a,b ）求出点M 关于直线l 对称的点'M 必在2l 上

(3)求出直线'PM 的方程即为2l 的方程

例5.求直线02y x :l 1=--关于直线033:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。

练习： 1l ：0223=+-y x ，l ：02=-y x ，求1l 关于l 的对称直线2l

或者运用到角公式

按逆时针方向1l 到2l 的角θ则()

ο901tan 1

21

2≠+-=

θθk k k k ()οο180,0∈θ （2）设2l 的斜率为2k ☆所以有k

k k

k kk k k 221111+-=+-求出2k （3）由点P 及2k 求出2l 的方程 例五 练习

提高训练：

1．已知直线,32:1+=x y l 2l 与1l 关于直线x y -=对称，直线3l ⊥2l ，则3l 的斜率是______. 2.已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________;

若4l 1l 与关于x y =对称，则4l 的方程为___________;

3．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）

A ．360x y +-=

B ．320x y -+=

C ．320x y +-=

D ．320x y -+=

4.求点A （4,1-）关于直线l ：02

7

32=-

+y x 的对称点。

5.求直线l 1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l 2的方程.

6.求点P （2,3）关于 x 轴对称的点 关于 y 轴对称的点 原点对称的点

7.求直线0632:=-+y x l 关于点P （1,3）对称的直线1l

8.求直线0632:1=-+y x l 关于0332:=++y x l 对称的直线2l 的方程

,例1.解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （00y ,x ），

则由中点坐标公式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-,

12

y 3,12

x 200

解得⎩⎨⎧-==1y ,4x 00所以点

A 关于点P （1，1）

的对称点为B （4，－1）。练习：C （4，6）.

例2.解：由直线l 与04y x 3=--平行，故设直线l 方程为0b y x 3=+-。

由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得

.1

3|b 16|1

3|416|2

2

+++=

+-+

解得10b -=，或4b -=（舍）。则直线l 的方程为.010y x 3=-- 练习：2x+11y-38=0.

例3，设点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点为A ′（00y ,x ），则直线AA ′与已知直线垂直，故可设直线AA ′方程为0c y 2x 4=++，把A （2，2）坐标代入，可求得12c -=。

∴直线AA ′方程为06y x 2=-+。

由方程组⎩⎨

⎧=-+=+-0

6y x 2,

09y 4x 2解得

AA ′中点M ⎪⎭

⎫

⎝⎛3,23。

由中点坐标公式得

32

2y ,2322x 00=+=+，解得.4y ,1x 00== ∴所求的对称点坐标为（1，4）。

练习：A ′的坐标为.

51,53⎪⎭⎫ ⎝

⎛--

例5 022y x 7=++ 练习 010617=--y x