必修二直线方程对称问题
人教版高数必修二第10讲：点、直线的距离和对称(教师版)
点、直线的距离和对称一、距离问题1. 设平面上两点()()111222,,,P x y P x y ，则12PP=为两点间距离2．点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)的距离d ＝.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0的距离d ＝.二、对称问题1. 关于点对称问题 （1）点关于点对称点()00,M x y 关于点(),P a b 的对称点是()002,2a x b y --．特别地，点()00,M x y 关于原点的对称点为()00,x y --．（2）线关于点对称已知l 的方程为：0Ax By C ++=()220A B +≠和点()00,P x y ，则l 关于P 点的对称直线方程．设'P ()'',x y 是对称直线'l 上任意一点，它关于()00,P x y 的对称点()''002,2x x y y --在直线l上，代入得()()''00220A x x B y y C -+-+=．此直线即为所求对称直线．2. 关于线对称问题 （1）点关于线对称已知点()00,M x y ，直线:l 0Ax By C ++=()0A B ≠，设点M 关于直线l 的对称点为()00,N x y ，则由1MN l k k =-得到一个关于,m n 的方程，又线段MN 的中点在直线l 得到另一个关于,m n 的方程，解方程组00001022n y A B m x x m y n A B C -⎧-⨯=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩ 即可求出点()00,N x y ．特别说明：①点()00,M x y 关于x 轴对称的点的坐标是()00,x y -，关于y 轴对称点的坐标是()00,x y - ②点()00,M x y 关于直线y x =的对称点坐标是()00,y x ，关于y x =-对称点为()00,y x -- （2）线关于线对称已知1111:0,:0l A x B y C l Ax By C ++=++=,求直线1l 关于直线l 对称直线2l如右图所示，在直线上任取不同于l 与1l 交点P 的任一点M ，先求出点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，再由,N P 在2l 上，用两点式求出直线2l 的方程．常见的对称结论有：设直线:0l Ax By C ++=．① l 关于x 轴的对称的直线是：()0Ax B y C +-+=； ②l 关于y 轴的对称的直线是：()0A x By C -++=； ③l 关于原点的对称的直线是：()()0A x B y C -+-+=； ④l 关于y x =的对称的直线是：0Ay Bx C ++=；⑤l 关于y x =-的对称的直线是：()()0A y B x C -+-+=；类型一 点到直线的距离例1：求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)3x －4y －1＝0；(2)y ＝6；(3)y 轴．解析：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，直接代入点到直线的距离公式即可． 答案：(1)由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－－－1|32＋－2＝165. (2)由直线y ＝6与x 轴平行，得d ＝|6－(－2)|＝8.或将y ＝6变形为0·x ＋y －6＝0，∴d ＝|0×3＋－－6|02＋12＝8. (3)d ＝|3|＝3.练习1：求点P (－1,2)到直线2x ＋y －5＝0的距离；答案：由点到直线距离公式d ＝ 5.练习2：点A (a,6)到直线3x －4y ＝2距离等于4，求a 的值；答案：由点到直线的距离公式|3a －4×6－2|32＋42＝4， ∴a ＝2或463.练习3：求过点A (－1,2)且与原点距离等于22的直线方程． 答案：设所求直线l ：y －2＝k (x ＋1)，原点O (0,0)到此直线距离为22，可求得k ＝－1或－7， ∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或7x ＋y ＋5＝0.例2：已知在△ABC 中，A (3,2)、B (－1,5)，C 点在直线3x －y ＋3＝0上．若△ABC 的面积为10，求C 点坐标．解析：本题易求|AB |＝5，C 点到AB 的距离即为△ABC 中AB 边上的高．设C (x 0，y 0)，则y 0＝3x 0＋3，从而可建立x 0的方程求解．答案：设点C (x 0，y 0)，∵点C 在直线3x －y ＋3＝0上，∴y 0＝3x 0＋3.∵A (3,2)、B (－1,5)， ∴|AB |＝－2＋－1－2＝5.设C 到AB 的距离为d ，则12d ·|AB |＝10，∴d ＝4.又直线AB 的方程为y －25－2＝x －3－1－3，即3x ＋4y －17＝0，∴d ＝|3x 0＋x 0＋－17|32＋42＝|15x 0－5|5＝|3x 0－1|＝4.∴3x 0－1＝±4，解得x 0＝－1或53.当x 0＝－1时，y 0＝0；当x 0＝53时，y 0＝8.∴C 点坐标为(－1,0)或(53，8)．练习1：求经过点P (1,2)的直线，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线方程．答案：解法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意，当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，即直线方程为y －2＝k (x －1)，由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.解法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过AB 中点． ∵k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， ∴所求直线方程为：x ＝1或4x －y －2＝0.练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（ ）A ． D ．答案：B类型二 两条平行线之间的距离例3：求两平行线l 1：3x ＋4y ＝10和l 2：3x ＋4y ＝15的距离． 解析：由题目可获取以下主要信息： ①直线l 1与l 2的方程已知； ②l 1与l 2平行．解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差，从而求解．答案：解法一：若在直线l 1上任取一点A (2,1)，则点A 到直线l 2的距离，即是所求的平行线间的距离．如图①所示，∴d ＝|3×2＋4×1－15|32＋42＝1. 解法二：设原点到直线l 1、l 2的距离分别为|OF |、|OE |，则由图②可知，|OE |－|OF |即为所求．∴|OE |－|OF |＝|－15|32＋42－|－10|32＋42＝1，即两平行线间的距离为1. 解法三：直线l 1、l 2的方程可化为3x ＋4y －10＝0,3x ＋4y －15＝0， 则两平行线间的距离为 d ＝|－10－－32＋42＝55＝1. 练习1：两平行直线x ＋3y －4＝0与2x ＋6y －9＝0的距离是________． 答案：1020练习2：已知平行线2330x y +-=与2390x y +-=，则与它们等距离的直线方程是（ ） A ．23120x y +-= B ．2360x y +-= C ．230x y += D ．2330x y ++= 答案：B类型三 对称问题例4：点P (－1,1)关于直线ax －y ＋b ＝0的对称点是Q (3，－1)，则a 、b 的值依次是( )A ．－2,2B ．2，－2 C.12， －12 D.12，12 解析：设PQ 的中点为M ，则由中点坐标公式得M (1,0)． ∵点M 在直线ax －y ＋b ＝0上，∴a ＋b ＝0. 又PQ 所在直线与直线ax －y ＋b ＝0垂直，∴－1－13－－·a ＝－1，∴a ＝2.故b ＝－2. 答案：B练习1已知直线l ：y ＝3x ＋3，求点P (4,5)关于直线l 的对称点坐标． 答案：设点A (x ，y )是点P 关于直线l 的对称点，∵A 、P 的中点在直线l 上， ∴y ＋52＝3×x ＋42＋3，即3x －y ＋13＝0又∵AP 与直线l 垂直， ∴y －5x －4×3＝－1，即x ＋3y －19＝0 ②解①、②组成的方程组可得x ＝－2，y ＝7， 即所求点的坐标为(－2,7)．练习2：已知(),P a b 和()1,1Q b a -+是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程为（ ） A ．0x y += B ．0x y -= C ．10x y ++= D ．10x y -+=答案：D例5：在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得：(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小． 解析：设点B 关于l 的对称点为B ′，AB ′与l 的交点P 满足(1)；点C 关于l 的对称点为C ′，AC ′与l 的交点P 满足(2)．事实上，对于(1)，若P ′是l 上异于P 的点，则||P ′A |－|P ′B ||＝||P ′A |－|P ′B ′||<|AB ′|＝||PA |－|PB ′||＝||PA |－|PB ||；对于(2)，若P ′是l 上异于P 的点，则|P ′A |＋|P ′C |＝|P ′A |＋|P ′C ′|>|AC ′|＝|PA |＋|PC |. 答案：(1)如图所示，设点B 关于直线l 的对称点B ′的坐标为(a ，b )，则k BB ′·k l ＝－1，即3·b －4a＝－1.∴a ＋3b －12＝0.又由于线段BB ′的中点坐标为A (a 2，b ＋42)，且在直线l 上，∴3×a 2－b ＋42－1＝0，即3a －b －6＝0.②解①②得a ＝3，b ＝3，∴B ′(3,3)．于是AB ′的方程为y －13－1＝x －43－4，即2x ＋y －9＝0.∴由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝02x ＋y －9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝5.即直线l 与AB ′的交点坐标为(2,5)． ∴点P (2,5)为所求．(2)如图所示，设点C 关于直线l 的对称点为C ′，求出点C ′的坐标为(35，245)．∴AC ′所在直线的方程为19x ＋17y －93＝0，AC ′和l 的交点坐标为(117，267)．故P 点坐标为(117，267)，为所求．练习1：已知()()3,5,2,15A B -,直线:3440l x y -+= （1）在l 上求一点P ，使PA PB +的值最小； （2）在l 上求一点Q ，使QA QB -的值最小． 答案：（1）设点A 关于直线l 的对称点()'00,A x y ，则0000543335344022y x x y -⎧=-⎪+⎪⎨-+⎛⎫⎛⎫⎪-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 解得0033x y =⎧⎨=-⎩ ∴()'3,3A -由两点式可得'A B 的方程为18510x y +-= 又∵点P 应是'A B 和l 的交点∴解方程组18503440x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 得833x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴所求点P8,33⎛⎫⎪⎝⎭（2）∵2AB k = ∴AB 的方程为211y x =+ 由于直线AB 与l 的交点Q 即为所求∴解方程组3440211x y y x -+=⎧⎨=+⎩ 得85x y =-⎧⎨=-⎩∴所求点()8,5Q --练习2：若动点()111,P x y ，()222,P x y 分别在直线12:50,:150l x y l x y --=--=上移动，则12PP 的中点P 到原点的距离的最小值是（ ） A．2．．2D．答案：B1．已知点()()1,3,2,6A B -，则AB 的长及中点坐标分别是（ ）A ．()1,9--B ．19,22⎫-⎪⎭C ．19,22⎫--⎪⎭D ．19,22⎫⎪⎭答案：B2．若点(),6A a 到直线342x y -=的距离等于4，则a 的值是（ ） A ．2 B ．463 C ．0或2 D ．2或463答案：D3．过点()1,2A -的直线方程是（ ） A ．10x y +-= B ．750x y ++=C ．10x y +-=或750x y ++=D ．10x y --=或750x y ++= 答案：C4．若点P 到点()()120,1,7,2P P 及x 轴的距离相等，则P 的坐标是（ ） A ．()3,5 B ．()17,145- C ．()3,5或()17,145- D ．以上全不对 答案：C5．两平行线4x ＋3y －1＝0与8x ＋6y ＋3＝0之间的距离是( )A.25B.110C.15D.12 答案：D6.若点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值是( )A.10B ．2 2C. 6 D ．2 答案： B7. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l 1：x －2y ＋1＝0和l 2：3x －y －2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2,3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )A ．2x －y ＋7＝0和x －3y －4＝0B ．x －2y ＋7＝0和3x －y －4＝0C ．x －2y ＋7＝0和x －3y －4＝0D ．2x －y ＋7＝0和3x －y －4＝0 答案：B8. 两平行直线x ＋3y －5＝0与x ＋3y －10＝0的距离是________．答案：1029.已知正方形中心G (－1,0)，一边所在直线方程为x ＋3y －5＝0，求其他三边所在直线方程．答案：正方形中心G (－1,0)到四边距离相等，均为|－1－5|12＋32＝610.设与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋c 1＝0， 由|－1＋c 1|10＝610，∴c 1＝－5(舍去)或c 1＝7.故与已知直线平行的一边所在直线方程为x ＋3y ＋7＝0.设另两边所在直线方程为3x －y ＋c 2＝0.由－＋c 2|10＝610，得c 2＝9或c 2＝－3.∴另两边所在直线方程为3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0.综上可知另三边所在直线方程分别为：x ＋3y ＋7＝0,3x －y ＋9＝0或3x －y －3＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．已知点A (a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( )A.2B ．2－ 2C.2－1D.2＋1 答案：C2．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )A ．x ＋2y －5＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x ＋3y －7＝0D ．3x ＋y －5＝0 答案：A3．P 、Q 分别为3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任一点，则|PQ |的最小值为( )A.95B.185C.2910D.295 答案：C4．过点A (－3,1)的直线中，与原点距离最远的直线方程为________________．答案：3x －y ＋10＝0能力提升5．直线7x ＋3y －21＝0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B6．两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)、Q (2，－1)，它们分别绕P 、Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．[0,5]C ．(0,5]D ．[0，17] 答案：C7. 已知a 、b 、c 为某一直角三角形的三边长，c 为斜边，若点P (m ，n )在直线ax ＋by ＋2c ＝0上，则m 2＋n 2的最小值为________．答案：48. 与三条直线l 1：x －y ＋2＝0，l 2：x －y －3＝0，l 3：x ＋y －5＝0，可围成正方形的直线方程为__________．答案：x ＋y －10＝0或x ＋y ＝09. △ABC 的三个顶点是A (－1,4)、B (－2，－1)、C (2,3)．(1)求BC 边的高所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积S .答案：(1)设BC 边的高所在直线为l ，由题意知k BC ＝3－－2－－＝1，则k l ＝－1k BC＝－1，又点A (－1,4)在直线l 上，所以直线l 的方程为y －4＝－1×(x ＋1)，即x ＋y －3＝0. (2)BC 所在直线方程为y ＋1＝1×(x ＋2)，即x －y ＋1＝0，点A (－1,4)到BC 的距离d ＝|－1－4＋1|12＋－2＝22， 又|BC |＝－2－2＋－1－2＝42，则S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×42×22＝8. 10. 已知直线l 经过点A (2,4)，且被平行直线l 1：x －y ＋1＝0与l 2：x －y －1＝0所截得的线段的中点M 在直线x ＋y －3＝0上．求直线l 的方程．答案：解法一：∵点M 在直线x ＋y －3＝0上，∴设点M 坐标为(t,3－t )，则点M 到l 1、l 2的距离相等， 即|t －－t ＋1|2＝|t －－t －1|2，解得t ＝32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 又l 过点A (2,4)，由两点式得y －324－32＝x －322－32，即5x －y －6＝0，故直线l 的方程为5x －y －6＝0.解法二：设与l 1、l 2平行且距离相等的直线l 3：x －y ＋c ＝0，由两平行直线间的距离公式得|c －1|2＝|c ＋1|2，解得c ＝0，即l 3：x －y ＝0.由题意得中点M 在l 3上，又点M 在x ＋y －3＝0上．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y ＝0x ＋y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32y ＝32.∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.又l 过点A (2,4)， 故由两点式得直线l 的方程为5x －y －6＝0. 解法三：由题意知直线l 的斜率必存在， 设l ：y －4＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝k x －x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k －5k －1y ＝k －4k －1.∴直线l 与l 1、l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫2k －3k －1，3k －4k －1，⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －5k －1，k －4k －1. ∵M 为中点，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －4k －1，2k －4k －1.又点M 在直线x ＋y －3＝0上， ∴2k －4k －1＋2k －4k －1－3＝0，解得k ＝5. 故所求直线l 的方程为y －4＝5(x －2)， 即5x －y －6＝0.。
人教高中数学必修二3.2直线的方程-直线方程中的对称问题
∴直线AB的方程为y-1=-
1 2
（x+7）
即x+2y+5=0
由
x2y 5 0 2x y 5 0
解得 x1 y3
即AB的中点为（1，-3） ，又A（-7，1）
由中点坐标公式得B的坐标为（9，-7）.
例.求点A(-7,1)关于直线l:2x-y-5=0的对称点B的坐标.
N (4x, 2y)在y 直 3x 线 4上y
2y3 (4x)4
O
x P(2,–1)
化 简 得 3xy100
y=3x–4
所 求 直 线 方 程 是 3 x y 1 0 0 .
直线关于点对称
主要方法： 法一：转化成求点关于点的对称
法二：利用点到直线的距离 l 1 // l 2且P到两直线 等距。
点关于直线的对称
A (a,b) l :A xB y c 0 A '
（二）直线关于直线的对称
C1 M＇(x1,y1)
l1 l2 l1'
l M(x,y)
C2
例. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线 l2:3x-y+3=0
对称的直线l 的方程。
解题要点：由线关于线对称转化为点关于点对称 思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
3.求点A（2，3）关于任意一点B(a,b)的对称 点的坐标（___2_a_-__2_,_2__b_-_3__)_。
点关于点的对称
A(x,y) O (m ,n) A' (2mx,2ny) 注： (x,y)( 0 ,0)(x,y)
解题要点：中点公式的运用
（二）直线关于点的对称
求直线y=3x–4关于点P(2,–1)的对称直线方程.
必修2第三章直线的对称问题
x y 1 a b
不垂直于x、y 轴，且不过原 点的直线
复习回顾
直线的一般式方程:
关于x,y的二元一次方程 Ax By C 0 (其中A、B不同时为0) 叫做直线的一般式 方程,简称一般式.
复习回顾
A x + B y + C=0
注意 :对于直线方程的一般式，规定：
1)x的系数为正;
2)x,y的系数及常数项一般不出现分数;
3)按含x项，含y项、常数项顺序排列.
直线 l : A x B y C 0，l : A x B y C 0 1 1 1 1 2 2 2 2
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 1.l1 // l2 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
解（ 1 ）设A/ ( x, y)
y 5 1 x 3 3 又 A与A/到直线l距离相等 即AA/中点在直线 l上
y3 x5 3 3 2 2
解得x 4, y 6
AA l
/
y
P
/
P
x
o
A/ (4,6)
练习 1、已知直线l : y 3x 3, 求 (1)点A(5,3)关于直线l的对称点的坐标； (2)求直线l1 : x y 2 0关于直线l对称的直线方程l2 .
2 .l1 l2 A1 A2 B1B2 0 3.l1, l2相交 A1B2 A2B1 0
A1 B2 A2 B1 0 A1 B2 A2 B1 0 4.l1 , l2重合 或 B1C2 B2C1 0 A1C2 A2C1 0
直线方程的对称问题及最值恒过定点问题
一、点关于点的对称问题例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.练习：1求点A（-3，6）关于点B（2，3）对称的点C的坐标.2已知点A(5,8),B(4,1),试求A点关于B点的对称点C的坐标.二、点关于直线的对称问题这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.练习：3求A（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是______.4:330,(4,5)l x y p l -+=已知直线求关于的对称点。
三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.练习：2若直线1l :3x-y-4=0关于点P （2，-1）对称的直线方程2l .求2l 的方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.练习：5求直线m: x-y-2=0关于直线l: 3x-y+3=0对称的直线n的方程五最值问题的面积最小时直线l 1.过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.求AOB的方程;2. 若直线l过点（1,1），且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线l有（）条A 1B 2C 3D 4（变式题：若面积为5呢，面积为1呢？）3. 已知点A（2,5），B（4，-7），试在y轴上求一点P，使得|PA|+|PB|的值最小。
解析几何：直线中的对称问题
一：直线关于直线对称【结论】直线0ax by c ++=关于直线=0Ax By C ++对称的直线方程为：222+2ax by c aA bB Ax By C A B ++=+++ 如此对称漂亮的等式相信对于各位的记忆并不困难吧！当然最后你别忘了将之化成直线方程的标准形式二：直线关于点对称这个要简单好多，首先直线关于某点对称的直线，其斜率保持一致（前提是该直线不过此点），再借助点到两直线的距离相等即可解决问题。
由于距离公式涉及到绝对值符号，很多同学在处理这一步的时候走了点弯路，还去讨论情况什么的，甚至还有人进行两边平方，实际上我们很容易知道，绝对值符号内的部分肯定是互为相反数——因为相等的情况就是该直线本身。
【例】求直线0ax by c ++=关于点00P(x ,y )对称的直线方程解：设所求直线方程0ax by d ++=，其中d 由方程0000()(ax by c)0ax by d +++++=来求三：点关于直线已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。
其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l 是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。
由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。
但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。
而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。
定理：已知点M(x 0,y 0)和直线 l ：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标(x ，y)，则 00022000222(x ,y )2(x ,y )Af x x A B Bf y y A B =-+=-+ 其中(x,y)Ax By f C =++证明：设点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标是(x ，y)，∵ l⊥MM′,∴ [(y -y 0)/(x-x 0)](-A/B)=-1,∴ y=y 0+B(x-x 0)/A , ①∵ 线段MM′的中点在直线l 上，∴ A(x+x 0)/2+B(y+y 0)/2+C=0,∴Ax+By+C+Ax 0+By 0+C=0,即 Ax+By+C+f(x 0,y 0)=0, ②将①代入②，得Ax+B[y 0+B(x-x 0)/A]+C+f(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+B[Ay 0+B(x-x 0)]+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ A 2x+ABy 0+B 2x-B 2x 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,∴ (A 2+B 2)x-A 2x 0-B 2x 0+A 2x 0+ABy 0+AC+Af(x 0,y 0)=0,即 (A 2+B 2)x-（A 2+B 2）x 0+2Af(x 0,y 0)=0,∴ x=x 0-2Af(x 0,y 0)/(A 2+B 2),把上式代入①，得y=y 0+B[-2Af(x 0,y 0)/A(A 2+B 2)]=y 0-2Bf(x 0,y 0)/(A 2+B 2).(证毕)例1 已知点M(3,4)和直线 l ： x-y=0,点M 关于直线l 对称的对称点M′的坐标。
直线方程专题一：直线对称问题
直线方程专题一：直线对称问题直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称 点关于坐标轴的对称一、点关于点的对称（运用中点坐标公式）例1 已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （00y ,x ）。
练习 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.二、直线关于点的对称求直线l ：0=++C By Ax 关于点()b a P ,对称的直线1l 。
方法一：设1l ：01=++C By Ax 。
点P 到1l 的距离等于到l 得距离 求出1C ；方法二：在l 上任取一点M 点M 关于点P 对称的点'M 必在1l 上，再将'M 代入1l 方程求出1C 。
☆转化为点关于点对称的问题例2 求直线04y x 3=--关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程练习 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.三，点关于直线的对称求点P 关于直线l 对称的点1P 的问题 必须抓住两个方面：1， 直线1PP 必定和l 垂直关系，有11-=⋅l PP k k （k 存在）； 2，1PP 的中点必在l 上例3 求点A （2，2）关于直线09y 4x 2=+-的对称点坐标。
练习：求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标四、直线关于直线的对称（分两种情况）1，关于平行直线的对称求 0:11=++C By Ax l 关于直线0:=++C By Ax l 对称的直线2l 的方程（1）设2l ：02=++C By Ax 再任取1l 上一点()b a P ,1（2）求点()b a P ,1关于0:=++C By Ax l 对称点2P（3）将点2P 代入2l 的方程求出2C例4 求直线042:1=--y x l 关于直线022:=+-y x l 对称的直线2l 的方程。
练习 求直线032:1=+-y x l 关于直线032:=--y x l 对称的直线2l 的方程。
必修2 第3章《直线与方程》对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线l ：2 x — y =0， 求：(3)直线l1 ：2 x — y =4 关于l 对称的直线l2 的方程。
解：依题意知l2 / /l / /l1, 故可设 l2 : 2x y c 0
l到l1的距离 l到l2的距离, | 4 0 | | c 0 | ,
22 (1)2 22 (1)l 2
a=4或-4. (a 4舍去)
故，直线l2的方程为2x y 4 0.
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变式、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(4)直线 l1 ： x — y =4 关于 l 对称的直线l2 的方程。
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则 a =__6___，此直线间的距离为_1_0___。
3、点 A(2，5)关于点 B(1，1)的对称点 C 的坐标为
(_0_,___3)。
关于x轴的对称点为 (2, 5) ; 关于y轴的对称点为 (2,5) ;
关于原点的对称(点2为, 5)
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二 对称问题
例 2、已知点 A(2，3)和直线 l ：2 x — y =0， 求：(1) A 关于 l 的对称点 B 的坐标；
P7 (2a x，y)，P8 x, 2b y．
注意：当k 1, 0时，不具有上述规律．
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【预习自测】
1、当 a =___0__时，直线 2 x + ay =2 和 ax +2 y =1 垂直。
2、若直线 3 x +4 y —12=0 和 ax +8 y —1311=0 平行，
3. 直线关于点的对称直线问题可转化为点关于点的对称 点问题。(轨迹转移法）
点关于两类特殊直线对称点的快速解法
■鼠 课程篇点关于两类特殊直线对称点的快速解法曹纪红(湖南省资兴市立中学，湖南资兴)高中数学必修二第三章“直线与圆”中有一个难点［后把4代入直线方程中的y,可得*1,快速得出N (l, 内容:对称问题(点关于点对称，点关于线对称，线关于［0)。
(可以口算)点对称，线关于线对称)，高中学生普遍感觉难。
经过多1 例2：求点M(-3,4)关于直线2x-2y+3=0的对称点年的教学，本人总结出两类特殊直线(即直线的斜率为［N 的坐标。
1或-1),已知点关于该直线对称的快速解法。
:快速解法:把-3代入直线方程中的％,可得尸-芥题型一:求已知点4/(x o ,yo)关于直线l ：x-y+c 的对称点(直线的斜率为1)。
:然后把4代入直线方程中的y,可得％=寻，快速得出常规解法:设已知点M(x 0,yo )关于直线l ：x-y+c=0 ::(可以口算)的对称点为N (a,b),则a+%o b+y° 2二02 2b=x 0-c例3：光线通过点A (2,3)在直线Z ：%+y+l=O 上反 :射，反射光线经过点试求入射光线和反射光线 :所在直线的方程。
即 N(y 0-c ,x 0-c)题型二:求已知点MG 。
』。
)关于直线l-.x+y+c^的:快速解法：因为直线I 的斜率为-1, 口算得岀点A 对称点(直线的斜率为-1)。
: (2,3)关于的对称点4/-4,-3),由物理知识可以知道常规解法:设已知点M(x o ,yo)关于直线l-.x+y+c=0 \反射光线经过久和B 由两点式求得反射光线的直线 的对称点为N(a,6),则［方程是:4x-5y+l=0o b_* * i )= i: 同理口算得出B( 1,1)关于关于直线的对称点5(-2,a ~X ° ^~y °~C ，即N(_y°_c,f_c) : -2),由物理知识可以知道入射光线经过4和艮由两b=~X °~C 丨点式求得入射光线的直线方程是：5%_4尸2=0。
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必修二直线对称问题
回顾：
（1）点到直线距离公式： ，注意：用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（2）两平行直线间的距离： ，注意: 运用此公式时直线方程要化成一般式, 并且X 、Y 项的系数要对应相等.
有关知识：
1、直线互相垂直的条件：斜率存在，k1k2=－1
2、P1( x1，y1)、P2 ( x 2，y2 ) 的中点坐标为⎪⎭
⎫ ⎝⎛++2,22121y y x x 3、点 ( x o ，yo ) 在直线 Ax + By + C = 0 上的条件是000=++C By Ax
对称问题：（中心对称、轴对称问题）
中心对称：点关于点的对称、线关于点的对称
轴对称问题：点关于线的对称、线关于线的对称
中心对称 轴对称
定 义 有一个对称中心：点 有一条对称轴：直线
绕中心旋转180° 沿轴翻转180°
旋转后重合 翻转后重合
性质 1、两个图形是全等形
2、对称点连线都经过对称中心，并且对称中心平分。
1、两个图形是全等形 2、对称轴是对应点连线的垂直平分线
3、对称线段或延长线相交，交点在对称轴上
知识运用与题型研究：
一、点关于点对称
例1、已知点A(5,8) ，B(-4 ，1) ，试求A 点关于B 点的对称点C 的坐标。
0022Ax By C d A B ++=+2
122C C d A B
-+。