新人教版八年级数学上《提公因式法-因式分解》
数学人教版八年级上册因式分解---提公因式法
14.3.1 因式分解---提公因式法一、内容和内容解析1.内容因式分解的概念，提公因式法.2.内容解析因式分解是初中数学教学中最基本、最重要的内容之一.因式分解是对整式的一种变形，是把一个多项式转化成几个整式相乘的形式，它与整式乘法是互逆变形的关系.因式分解是由整式运算进入分式运算学习过程中必备的知识技能，又是后续学习二次根式、一元二次方程、二次函数等知识的基础，是解决整式恒等变形和简便运算问题的重要工具.此外，在数学学科其他方面和一般科学研究中，也不乏对因式分解的应用.本节课是因式分解这一单元的第一课时，因此教学内容确定为两部分：一是因式分解、公因式的概念，其中因式分解是核心概念；二是因式分解基本方法之一：提公因式法.通过逆向运用乘法分配律，将多项式中各项的公因式“提”到外边，从而把多项式分解为此公因式与多项式剩余部分所组成的因式的积.其中，公因式可以是单项式、也可以是数或多项式.提公因式法分解因式的关键是找准公因式.二、目标和目标解析1.目标(1) 理解因式分解的概念，能判断一个式子的变形是否为因式分解,知道因式分解和整式乘法的互逆变形关系；(2) 了解公因式的概念，能正确使用提公因式法分解因式；(3) 感受类比的数学思想，提高用数学语言概括、表达的能力；逐渐形成独立思考、主动探索的习惯；(4) 通过现实情境让学生认识到数学的应用价值，激发学习数学的浓厚兴趣.2.目标解析达成目标（1）的标志是：学生知道因式分解的概念，知道因式分解与整式乘法是互逆变形的关系，能识别某一式子变形是否为因式分解.达成目标（2）的标志是：学生知道公因式就是多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母及字母的最低次幂的积；知道公因式可以是单项式、也可以是数或多项式；知道提公因式法分解因式要经历“找出公因式”、“提取公因式”、“分解”三个步骤，提取公因式就是把公因式提到括号外面，括号内的因式即为多项式除以公因式所得的商式，并能按此步骤对多项式进行因式分解；达成目标（3）的标志是：学生能由“数”到“式”的理解因式分解及公因式概念的意义，在这个过程中自然感受到类比的数学思想，提供充分的机会用数学语言概括和表达；达成目标（4）的标志是：学生通过实际情境体会到数学来源于生活，同时又作用于生活，体会“用”数学的意识.对于因式分解的基本方法提公因式法，本课只要求基本掌握、灵活运用，对于较复杂的综合运用，将在接下来的教学活动中进一步达成.基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用提公因式法分解因式.三、教学问题诊断分析八年级学生虽顺利经历了数与式的承接，体会了用字母表示数的数学思想，但因式分解不同于数的计算，是对整式进行变形，学生第一次接触时，在理解上会有一定的困难，对突然冒出的因式分解不免心生疑惑：“难道仅仅是整式乘法的逆变形吗？”“这样的式子变形意义何在？”“到底为什么要学因式分解？”基于这样的困惑，在对整式乘法的认识还不够深入的情况下，就遇到与之有互逆关系的新情境，学生有时会出现因式分解后又反转回去做整式乘法的错误，解决此类问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系.学生在运用提公因式法分解因式的过程中经常遇到的困难是公因式选取不准确，表现在忽视了某些相同的字母或式子，导致提取公因式后的因式中仍然含有公因式.解决此类问题的关键是找出多项式各项系数的最大公约数和各项都含有的字母的最低次幂的积作为公因式.本节课的教学难点是：理解因式分解的核心概念，准确找出公因式.四、教学方法与教学手段教法：类比、探究式教学方法教学过程中渗透类比的数学思想方法，形成新的知识、结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识的形成和发展过程，从而达到对知识的深刻理解与灵活运用.学法：自主、合作探究的学习方式在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养合作交流、团结协作的精神，拓展学生探究问题的深度与广度，提供学生学习的空间.教学手段：本课利用多媒体演示和丰富的教学活动,激发学生学习的积极性，更好地达成教学目标，突出重点、突破难点.五、教学过程教学环节教学流程教学内容师生活动设计意图赶海之旅看谁算的快8×45+8×35+8×20=8×(45+35+20)=800编一道类似的问题，邀请你的同桌计算一下.生1：生2：用一个含有字母的式子把解题过程表示出来14.3.1 因式分解因式分解概念：因式分解对象：因式分解结果：学生通过观察、思考，口算即可，得出运算结果.师追问计算依据.同桌之间互相编题并快速计算.生独立完成.师生共同分享.引出课题师：观察这三个式子从左到右的变形，形式发生怎样的变化?教师提出问题学生以组为单位思考交流并得出概念.激发学生探索“化积”的妙趣，以“比比速算”的形式呈现，有较强的情境性和策略的暗示性.留给学生学习的空间，让学生举一反三、触类旁通.由数字到字母自然过度，让学生理解本质、抽象概括，这正是乘法分配律的逆向应用.让学生自主建构因式分解的概念并积累研究问题的方法和经验.比比速算运算感悟畅所欲言)(cbammcmbma++=++)(cbammcmbma++=++))((22bababa-+=-222)(2bababa-=+-类比建构因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）（factorization）.分解对象：多项式分解结果：整式积生尝试归纳概括，师及时订正、完善并板书 .给学生提供表达的学习平台.发掘之旅下列各式哪些是因式分解?哪些是整式乘法?(1)(a-3)(a+3)= a2-9(2) mb2+nb+b=b(mb+n+1)(3) 2π(R+r)=2πR+2πr(4) 3x2y+xy2=xy(3x+y)(5) ab+ac=a(b+c)(6) a2-9 =(a-3)(a+3)整式乘法因式分解观察下列每一个多项式各项特点（1）ab+ac（2）3x2y+xy2（3）mb2+nb+b公因式：多项式中每一项都含有的公共因式，叫多项式的公因式.（commom factor）说出下列多项式各项的公因式：8a + 12b-6x +12y-4z3ab2+ 6ac5a3b2-15ab2c2a(b+c)-3(b+c)学生独立思考、判断后分享经验,师订正完善.师追问从形式上看因式分解与整式乘法有什么区别？观察并判断题中的（2）（4）（5）（6）特征，得出结论，师点拨、屏展并板书.师提出问题生观察、思考、归纳、概括.得出公因式的概念.学生先独立思考然后组内交流.通过一组判断，强化因式分解概念的理解.引出因式分解与整式乘法形式上的区别.再次强化并甄别因式分解与整式乘法.通过多媒体直观感受,培养学生观察、归纳、概括的能力.让学生在活动中获取经验，尝试用自各抒己见恒等变形找朋友圈探公因式和差积因式分解整式乘法因式分解探索之旅确定公因式的方法：一看系数: 最大公约数二看字母: 相同字母三看指数: 最小指数公因式实质上就是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积.ma+mb+mc=m(a+b+c)提公因式法：把一个多项式写成两个因式积的形式，其中两个因式满足：（1）一个因式是多项式各项的公因式；（2）另一个因式是原多项式除以公因式所得的商；上述这种分解因式的方法，叫做提公因式法.追问：提公因式法的依据是什么？例题：把下列各式分解因式(1) 8a3b2 + 12ab3c=4ab2(2a2+3bc)追问1:如何检验因式分解是否确?追问2:整式乘法与因式分解的关系？(2)2a(b+c)-3(b+c)(3)8m2n＋4mn2+2mn师组织学生分组讨论，确定公因式的方法.学生以组为单位交流、分享.师参与其中点拨、帮扶、完善.师由ma+mb+mc=m(a+b+c)PPT演示,并描述提公因式法.学生用文字语言概括提公因式法.提公因式法的依据是：逆用乘法分配律.(1)题由一名同学尝试板演，并扮演小老师讲解解题思路，其他同学在学案上完成.师跟随小老师的讲解PPT演示并规范解题过程.师追问，生思考作答.（2）（3）（4）学生独立完成，师生共同反馈.己的语言概括确定公因式的方法.培养学生实践---感悟--总结的学习方法.让学生理解本质，抽象概括，这正是乘法分配律的逆向应用，其实是用“提公因式法分解因式”.通过例题强化提公因式法的应用，解题过程充满探究思维活动.明确整式乘法与因式分解互为逆变形的关系.让学生自主思考、尝试，提公因式yxxyyx222334-+-）（找公因式题例解析反馈分享题后小结：提公因式法三步骤：一找二提三分解提公因式法两注意：1.商式的项数与原多项式的项数一致；2.首项系数为负数时，一般要把负号提出. 总结提公因式法的步骤.师板书并提炼步骤.生解题过程中体会 :（3）某项整体作为公因式提出后，商式不能漏项；（4）首项系数是负数，需提负号.师点拨、解析.并用语言表达自己的行为，促进思想与行为的统一，从而领悟因式分解的本质.让学生明确提公因式法分解因式：当某项整体作为公因式提出后，商式不能漏项，首项是负系数时需提负号.探险之旅小蓝：我认为这两个都是因式分解小红：我认为（1）是因式分解（2）不是因式分解.闪电：你认为她俩谁说得对？把下列各式因式分解题后小结：1.商式通常写成整系数；2.相同因式积写成幂的形式；3.提公因式要提“全”提“净”.学生思考后作答并阐述理由.教师组织学生倾听，并给予帮扶和肯定.学生独立完成，然后反馈分享.师温馨提示、订正、规范书写格式.师生共同进行题后小结.(1)再一次强调三步两注意中的第一个注意；(2)强调因式分解是整体分解而不是局部分解.让学生明确：(1)商式系数通常为整系数；(2)因式互为相反数时要注意符号，相同因式相乘时写成幂的形式；（3）提公因式时要一次性提“全”提“净”.闪电站3)2(322)(12223-+=-+-=+-xxxxmmmmmm）（）（)2()32)(2()3()()()2(319795122baababaxyyyxxpqqppq++-+-+-++）（三步两注朱迪站作业利用因式分解解方程（x+7）(x+5）-(x+1)(x+5)=42方法一：利用因式分解解方程；方法二：利用整式乘法解方程.(a+b)2 张 a(a+b) 张 b(a+b) 张1.请用式子表示赠送纪念卡共张2.当a+b=2时，计算共赠送多少张纪念卡？请把你旅行的收获写在卡片上，邮寄给你的好朋友，与他共同分享！------------------------------------------------------------------------作业三级跳学生独立完成并比较两种解题方法，自己更喜欢哪一种？学生独立完成，师生共同反馈、评析.学生回顾并梳理本次数学之旅的知识脉络、解题方法、数学思想、活动经验，尝试写数学游记，与他人分享.师倾听并分享自己的收获 .学生独立完成.教师批阅反馈.让学生自主发现因式分解在解方程中的妙处.让学生运用提公因式法解决现实生活中的实际问题以及数学问题，从而让学生对数学学习产生浓厚的兴趣.引领学生完成愉快的数学之旅，并让学生体会成功的喜悦！对新知的巩固和验收，通过作业三级跳，让不同的人在数学上得到不同的发展.欢乐城分层作业本杰明站朱迪站与 反 思1.你做错的题目有你错误的原因有2.对此次完成作业情况是否 满意？满意 非常满意 不满意3.家长评价继续努力 值得表扬 非常好学生自我反思、评价.家长评价.学生反思知识上的空缺，正确自我评价.拉近家长与孩子间的距离，增进他们之间的有效沟通，缩短代沟.14.3.1 因式分解—————————提公因式法（分解因式）一个多项式化成几个整式积的形式的变形 各项都含有的公共因式 例题：…… 找公因式 提公因式 分解分解对象 分解结果 一看 二看 三看板书设计说明：设置完整的知识脉络树，知识点清晰、简明、美观、大方，便于学生存贮和输出.七、 教学设计说明教学过程不仅是知识传授的过程，更是掌握良好的学习方法、锻炼思维能力、培养创新能力、感受数学思想的过程.本课就教学过程作以下几点说明：1. 教材所选的地位和作用“因式分解（提公因式法）”是人教版八年数学（上）第十四章第三节内容，本课安排和差 积 因式分解 整式乘法学生计算栏反思 评价多项式多项式 = 公因式公因式在“整式乘法”后，明确了因式分解和整式乘法的联系，起到知识的链接与开拓作用，提公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础.2.知识结构安排本课以“问题情境——获取知识——应用与拓展”的模式展开，符合学生的认知规律.3.教学方法与设置教学过程中采用类比、探索式教学，辅以讲练结合、师生互动，引导学生获得自主、合作、探索的学习方式，符合新课标确立的学习方式的要求.本课以具体问题引入，以新旧知识的链接结束，让学生认识到数学源于生活，又作用于生活，生活中处处有数学.又通过数字与字母的转换引入因式分解，运用类比的数学思想厘清因式分解与整式乘法的关系，在寻找公因式过程中，引导学生主动探索，合作交流并动手实践，培养学生团结协作精神和创新意识，形成灵活开放与生成发展的课堂教学，营造出平等、轻松、活泼的教学氛围.4.教学策略本节课设置了三个教学策略：（1）类比联想，逐步形成相关概念；（2）问题驱动，深入理解核心概念；（3）注重规范，讲究数学语言表达.5．教学反馈与评价本课从学生回答问题、语言表达、合作交流、巩固练习等方面反馈学生对知识的理解、运用，故而根据反馈信息,适时点拨；同时抓住学生语言、思想、解题能力等方面的亮点给予表扬,不足的地方给予帮助、鼓励，形成发展性评价，提高学生学数学、用数学的信心.。
数学八年级上册第十四章第三节《因式分解》
说设计
四、导学交流，探究发现一（4分钟）
想一想： a2-b2=(a+b)(a-b) ， a2-2ab+b2 = (a-b)2 ， x2-x=x(x-1) 这三个等式从运算过程看有什么共同点？ 由此你能得出因式分解 的定义吗？
且学习了整式的乘法运算。因此，对于因式分解的引入，学生不会感到 陌生，它为今天学习因式分解打下了良好基础。
学生已有的学习方式和学习习惯：由整式乘法寻求因式分解的方
法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受 起来还有一定的困难，在教学当中尽量要让学生自己去探索如何去解决 问题。本班的个别学生观察、讨论、发现归纳能力较差，因此在教学过 程中教师要多加引导，并结合星级评价提高学生自主学习及合作学习的 热情。
设计意图：学生通过观察，交流，归纳总结，得出因式分解的概念， 提升学生的分析、归纳能力，渗透化归的数学思想方法。 遵循从具 体到抽象的原则 ，让学生经历从具体实例中抽象出概念的活动，从 而顺利地掌握重点。
1
b 说设计
五、应用训练，巩固新知一（3分钟）
1.下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)(m＋n)(a＋b)＋(m＋n)(x＋y)＝(m＋n)(a＋b＋x＋y)； (3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； (7) 据我们数学学科的特点，及数学新授课模式，确定本节课模式：
数学人教版八年级上册14.3因式分解----提公因式法、公式法的综合运用
3
课后巩固
m m 2 ( 1 )p p
3 2 2 x 6 x 9 x
2 ( 3 ) 4 x 3 y 25 y 2
2 ( 4 ) x 4 16 x 2
2
4 2 ( 5 ) x 2 x 1
( 6 ) 4 a b a b
22 2
2 2
归纳总结
先提取公因式再平方差公式
例1.因式分解
(1) 4 －16a2
变式： 4 －64a4
（2） m3 (m－2)－4m(m－2)
变式： m ² （a－b）+4n2（b－a）
先提取公因式再完全平方公式
例2.因式分解：
1 3 变式： 1 a a a 4
5 4
1 2x 2x 2
2
2 7 x 14 x 7 x
因式分解的方法
(三)完全平方公式法：
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2–2xy+y2=(x–y)2
一个多项式能用完全平方公式因式分解具备的特征： （1）有三项； （2）其中有两个平方项且符号相同 （3）有乘积的2倍；
下列多项式能否用完全平方公式因式分解?
（1） – x2 +2xy – y2 （2）x2+x+1 （3） – a2 –2a+1
（3）m(a – 2) –平方差公式法：
x2 – y2=(x+y)(x – y)
一个多项式能用平方差公式因式分解具备的特征： 有两个平方项，且符号相反。
下列多项式能否用平方差公式因式分解?
（1） – m2 – n2 （2） – m2n2 +1
最新人教版八年级数学上册《14.3.1 提公因式法》优质教学课件
② 24x2y=3x ·8xy 因式分解的对象是多项式
③ x2–1=(x+1)(x–1)
④ (2x+1)2=4x2+4x+1 是整式乘法
⑤
x2+x=x2(1+
1
)
x
每个因式必须是整式
⑥ 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
探究新知
知识点 2
用提公因式法分解因式
问题1： 观察下列多项式，它们有什么共同特点？
例2 计算：
(1)39×37–13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16–20.16×14.
解：(1)原式＝3×13×37–13×91
＝13×(3×37–91)
＝13×20＝260；
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13–14)
＝2016.
方法总结：在计算求
值时，若式子各项都
–2xy
探究新知
素养考点 1 利用提公因式法分解因式
例1
把下列各式分解因式.
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
公因式既可以是一个单
项式的形式，也可以是
一个多项式的形式.
(2) 2a(b+c) – 3(b+c).
分析：提公因式法步骤(分两步)
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
注意：首项有负常提负.
探究新知
归纳总结
提取公因式分解因式的技巧：
①当公因式是多项式时，把多项式看成一个整体提
取公因式；②分解因式分解到不能分解为止；③某一项
全部提取后，不要漏掉“1”；④首项有负号常提负号；
14.3.1因式分解(提公因式法)八年级数学上册课件(人教版)
拓展训练
人教版数学八年级上册
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请 判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并 说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab-c-2bc＝0，
(a-c)＋2b(a-c)＝0，(a-c)(1＋2b)＝0，
∴a-c＝0或1＋2b＝0，
解：原式=-（a2-ab+ac）=-2a（a-2b+3c） （6）-2x3+4x2-2x
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
人教版数学八年级上册
拓展训练
人教版数学八年级上册
1.已知m-4n=-2，mn=5，求-m3n+8m2n2-16mn3的值. 解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2 .
典例精析
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母
ab
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)
人教版数学八年级上册
典例精析
人教版数学八年级上册
复习引入
人教版数学八年级上册
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项,再把所得的积相加.
人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿
人教版数学八年级上册15.4.1《提公因式法因式分解》说课稿一. 教材分析《提公因式法因式分解》是人教版数学八年级上册第15章第4节的一个内容。
这一节主要介绍了提公因式法在因式分解中的应用。
在此之前，学生已经学习了平方差公式和完全平方公式的因式分解，提公因式法是这两种方法之外的一种重要因式分解方法。
本节内容的学习，不仅丰富学生的因式分解方法，也为后续学习分式分解、二次方程的解法等知识打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对因式分解的概念和方法有一定的了解。
但是，对于提公因式法这种方法的理解和应用还不够深入。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法的原理和应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解提公因式法的原理，能够运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生探索和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：提公因式法的原理和应用。
2.教学难点：如何引导学生从已知的知识出发，探索和理解提公因式法。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师引导的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行直观演示和讲解。
六. 说教学过程1.导入：回顾平方差公式和完全平方公式的因式分解，引出提公因式法。
2.自主学习：学生自主探索提公因式法的原理和应用。
3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的理解和发现。
4.教师讲解：针对学生的疑问和困难，进行讲解和引导。
5.练习巩固：学生进行相关的练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生总结本节课的学习内容。
七. 说板书设计板书设计如下：提公因式法因式分解1.原理：找出多项式的公因式，提取公因式后，得到因式分解的结果。
a.找出多项式的公因式b.提取公因式c.验证因式分解的结果八. 说教学评价教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。
人教版八年级数学上册14.3.1《提公因式法》教学设计
人教版八年级数学上册14.3.1《提公因式法》教学设计一. 教材分析《提公因式法》是人民教育出版社八年级数学上册第14章第3节的内容，本节课主要让学生掌握提公因式法分解因式的技巧，并能灵活运用解决实际问题。
教材通过引入实例，引导学生发现并总结提公因式法的原理，进而运用到因式分解中。
本节课的内容是学生学习因式分解的重要环节，对于提高学生的数学思维能力和解决实际问题能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、完全平方公式和平方差公式等基础知识。
但由于提公因式法的抽象性较强，学生可能难以理解其本质和应用。
此外，学生在学习过程中可能存在对公式死记硬背的现象，缺乏对公式的灵活运用能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生发现提公因式法的规律，培养学生的数学思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握提公因式法，能够运用提公因式法分解因式。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现提公因式法的原理，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的原理和运用。
2.难点：如何引导学生发现提公因式法的规律，以及如何灵活运用提公因式法解决实际问题。
五. 教学方法1.启发式教学：通过设置疑问，引导学生主动思考，发现提公因式法的规律。
2.案例教学：通过分析具体实例，使学生理解并掌握提公因式法的应用。
3.小组合作学习：引导学生分组讨论，培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示提公因式法的原理和应用。
2.实例：准备一些具有代表性的例子，用于讲解和练习。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对提公因式法的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入提公因式法，引导学生思考如何简化表达式。
例如，给出表达式 (x^2 - 4x + 4)，让学生尝试分解。
人教版初中数学八年级上册14.3.1提取公因式法(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了提取公因式法的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对提取公因式的理解和运用。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任Байду номын сангаас疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过提取公因式法的学习，使学生能够理解和掌握因式分解的基本思想，提高解决数学问题的逻辑思维水平；
2.培养学生数学抽象能力，让学生在识别和提取公因式的过程中，把握数学对象的本质属性，形成数学抽象的素养；
3.培养学生数学建模能力，使学生能够将提取公因式法应用于解决实际问题，建立数学模型，提高解决实际问题的能力；
在学生小组讨论环节，我注意到有些学生不太愿意发表自己的观点。为了鼓励他们积极参与，我打算在接下来的课程中，多设置一些简单易懂的问题，让学生们更容易开口表达自己的看法。
-在提取公因式时，学生可能会忽略常数项的公因式，或者对含有变量的公因式提取不准确；
-学生在运用提取公因式法进行因式分解时，可能会出现分解不彻底或者错误分解的情况。
举例：针对难点，举例\(4x^3 - 8x^2 + 4x\)的公因式提取，学生可能会只提取\(4x\)作为公因式，而忽略\(4\)也是每一项的公因数。通过此类例题，引导学生注意常数项和变量项的共同公因式。同时，讲解如何检查提取公因式后的结果是否正确，如通过展开验证或利用分配律检验。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解提取公因式法的基本概念。提取公因式法是一种因式分解的方法，它通过找出多项式中的公共因子，简化多项式的表达形式。这种方法在解决数学问题和简化计算中非常重要。
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北三家 中学
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
630能被哪些数整除？ 说说你是怎样想的。
630 2 3 5 7
2
请把下列多项式写成整式的乘积的形 式: (1)x2+x=___________; x(x+1) (x+1)(x-1) . (2)x2 – 1=__________ 上面我们把一个多项式化成了几个整式 的积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多 项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
把下列各式用提公因式法因式分解
①3mx-6my ②x2y+xy2 ③12a2b3－8a3b2－16ab4
练习:
1.把下列各式分解因式: (1)8m2n+2mn; (2)12xyz-9x2y2; (3)2a(y-z)-3b(z-y); (4)p(a2+b2)-q(a2+b2). 2.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3. 3.计算5×34+24×33+63×32.
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？
公因式 4 a b2 相同字母 最低指数
最大公约数 观察 方向
一看系数 二看字母 三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
因式分解
x2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方向的变 形
ma+mb+mc
它的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m 叫做这个多项式的 公因式 由m(a+b+c) = ma+mb+mc可得: ma+mb+mc =m(a+b+c)这样就把ma+mb+mc分解成 两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m, 另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以 m所得的商,像 这种分解因式的方法叫做 提公因式法 .
例2
把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析:( b+c)是这个式子的公因式,可以直接提出.
解:2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是 因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； 因式分解 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 整式乘法 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； m (2)4kx－ 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 (4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字母取 各项的相同的字母，而且各字母的指数取 次数最低的.
动手试一试你会了吗？
把下列各式分解因式： 1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x; 5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2; 7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y．
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