平面的基本性质教材
《平面的基本性质》(第一课时)
《平面的基本性质》（第一课时）教案
江苏省东台中学杨晓翔
一、教案背景
1. 学科：数学
2. 课时：1
3.面向学生：高一学生通过初中平面几何的学习，已掌握了点、线的概念、表示方法和画法。
但对初中学习过的点和直线的特征及基本性质印象不深。
二、教学课题
《平面的基本性质》（第一课时）
教学目标：
1.初步了解平面的概念，掌握平面的基本画法。
理解平面的基本性质，掌握它的应用；
2.会用图形、文字和符号描述点、直线、平面及其相互位置关系；
三、教材分析
本节课是苏教版必修2第一章《立体几何初步》的第二部分《点、线、面之间的位置关系》的第一课时。
教学重点：理解平面概念及基本性质。
教学难点：文字语言、图形语言和符号语言的转换与使用。
教学准备：多媒体课件和网络教室。
四、教学方法
多媒体教学和实验教学等。
五、教学过程
通过这一节课的研究，我们掌握了哪些知识，还有哪些感
本节课，我们类比了一参照物——直线，运用三种语言——文
七、教学反思
本节课从实例出发，引导学生从具体的实物中抽象出平面，并逐步探索其本质属性，为公理化研究问题打下伏笔，完成了一次从感悟到理性思维的飞跃；采用类比推理的模
式，让立体几何的建模与学习成为教师与学生合作下的“再创造”，实现了从二维平面到三维空间质的飞跃；集合语言的使用，加快了数学建模的进程，体现了数学符号语言的抽象美和简洁美，渗透了借形引数、以数证形、数形相辅的数学思想。
整节课内容较多，课时稍紧，可根据不同基础的学生作适当调整。
高中数学_【课堂实录】《平面》教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、学习目标1、知识与技能：了解平面的概念，会其直观图的画法与表示法，掌握平面的基本性质与推论。
2、过程与方法：以学生熟悉的例子为载体，引入平面，介绍三个公理，并引导学生用图形语言、文字语言、符号语言加以准确描述。
3、情感、态度与价值观：使学生认识到我们所处的世界是三维的，在学习中提高学生的空间想象能力；通过图形、符号、文字之间的转换，体现数学的现实意义，进而增强学生的学习兴趣。
4、教学重点：平面的基本性质与推论及其应用。
教学难点：图形语言、文字语言、符号语言的转化。
5、教学方式：实物教学、类比教学、引导探究式教学用具：纸板两个、三角板一个、四条直线（自制）、三角架、投影仪二、教学过程（一）以一副对联的形式展现本节课的学习要求：“立足课本，夯实基础，学好点线面的位置关系”“利用实物，研究平面，知图形文字符号的转化”横批是本节课的标题“2.1.1平面”设计意图：以新颖的形式展现学习要求，可以增加本节课的趣味性。
（二）学生自己阅读“三维目标，教学方式，教学用具”，教师给出“教学重点和教学难点”设计意图：使学生对整节课的框架简单了解，并强调重难点。
（三）探究发现一：观察生活实例（类比直线）引入平面1、观察教室里的桌面、黑板面，给我们怎样的直观感觉？生活中还有那些物体呈现这样的形象？(给出教室、大海、操场的图片，并引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
)2、几何中的平面就是从这些物体中抽象出来的，是平的、光滑的、无大小、无厚度，是无限延展的。
（类比直线总结平面的特征）设计意图：通过观察实物，使学生感受平面的形象；通过类比给出平面的特征。
（四）平面的画法及表示1.平面的画法（类比直线的画法）通常用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常化成450，且横边长是邻边长的2倍（有时也用其它图形表示平面，比如三角形）。
水平放置与竖直放置直观图的画法。
2.平面表示（三种）（1）可以用希腊字母表示为“γβα平面平面平面,,”（2）可以用平行四边形的顶点表示为“平面ABCD ”（3）可以用平行四边形的对角线表示为“平面AC 或平面BD ”设计意图：学生观看教师展示实物，并用课件动态展示实物的画法与表示，可以给学生深刻的印象。
平面的基本性质
2.1.1平面的概念和性质一、学习目标：（1）准确理解平面的几何概念，掌握平面的性质。
（2）熟练掌握三种语言的转换，会用三个公理证明共点共线共面的问题。
二、学习重点难点：（1）准确理解平面的概念，会用数学符号语言表述性质，（2）掌握熟记三个公理平面的性质四、学习过程：一）自主学习（认真阅读课本P40～43）1.几何里的平面是_______________的，我们通常把水平的平面画成一个______________， 平面通常记作___________________或____________________或__________________。
2.常用符号的记法：（1）点A 在平面α内，记作______________；点A 在平面α外，记作______________。
（2）点A 在直线l 上，记作_______________；点A 在直线l 外，记作________________。
（3）直线l 在平面α内，记作_____________；直线l 不在平面α内，记作_____________。
3.公理1:假如____________________________，那么这条直线在此平面内。
用符号表示 为____________________，图形为________________,其作用是____________________。
4.公理2:假如______________________的三点，___________________一个平面。
图形为 _________________________，其作用是__________________________________。
5.公理3:假如两个不重合的平面 ，那么它们_______________________的公共直线。
用符号表示为_________________________，图形为___________________，其作用是____________________________________。
新教材高中数学第八章立体几何初步章末整合课件新人教A版必修第二册
解:(1)∵A'C'∥AC,
∴AO与A'C'所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC',OC⊂平面BC',
∴OC⊥AB,又OC⊥BO,AB∩BO=B,
∴OC⊥平面ABO.又OA⊂平面ABO,∴OC⊥OA.
2
在 Rt△AOC 中,OC= 2 ,AC= 2,
sin∠OAC=
1
= ,
2
∴∠OAC=30°.即AO与A'C'所成角为30°.
(3)如图③,过直角梯形ABCD的顶点A作AO⊥CD于点O,将直角梯形
分为一个直角三角形AOD和一个矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一
个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.
专题一
专题二
专题三
专题四
名师点析 与空间几何体结构特征有关问题的解题技能
(1)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,根据
②底面为正多边形,且相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;
③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的旋转体都是
圆锥;
④棱台的上、下底面可以不类似,但侧棱长一定相等.
其中正确的个数是(
)
A.0
B.1
C.2 D.3
解析:①上、下底面的圆周上两点的连线要与轴平行才是母线;③
直角三角形绕着直角边所在直线旋转一周才能形成圆锥;④棱台的
体的表面积与体积.
专题一
专题二
专题三
专题四
解:所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,
∵S 锥表=π·DC2+π·DC·AC=4π+8π=12π,
S 柱侧=2π·DG·FG=2 3π,∴所求几何体的表面积 S=S 锥表+S 柱侧
数学必修二三大公理
【模块标题】三大公理【教材内容１】理解记忆三大公理（2星)<引入>说到立体几何，会忍不住拿来和平面几何对比，但其实他们有个共同的名字，叫：欧式几何 ．名字由来于欧几里得，他最出名的一本著作——几何原本．在当时，受环境限制，阅读几何原本全凭相互借阅誊写，特别难得．当然，我们现在不用誊写，我们一起来看一下我们教材里面给我们要求的都有哪些公理. 1.平面的基本性质 2.公理2的推论： 语言形式 推论1推论2推论3文字语言经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面经过两条相交直线有且只有一个平面经过两条平行直线有且只有一个平面文字语言 图形语言 符号语言作用公理一如果一条直线上的___两点___在一个平面内，那么这条直线此平面内,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（1）证明点在平面内；（2）证明直线在平面内公理二 经过___不在__同一条直线上的___三个点___，有且只有____1_____个平面,,A B C 三点不共线推出有且只有一个平面α，使得,,A B C ααα∈∈∈，即,,A B C 三点不共线,,A B C ⇒确定一个平面.（1）确定平面； （2）证明点共面公理三 如果两个不重合的平面有__1__个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共__直线__P P l P l αβαβ∈∈⇒=∈ 且且（1）判断平面相交并找到交线； （2）证明点共线； （3）证明线共点图形语言符号语言A a α∉⇒有且只有一个平面，,A a a α∈⊂使得 a b P α=⇒ 有且只有一个平面，,a b αα⊂⊂使得 //a b α⇒有且只有一个平面，,a b αα⊂⊂使得<承接>通过例题的演练，加深理解公理2及其推论． 例1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）空间三点可以确定一个平面 （ ）（2）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（ ） （3）两条直线可以确定一个平面（ ）（4）若四点不共面，那么每三个点一定不共线（ ） （5）两条相交直线可以确定一个平面（ ） （6）三条平行直线可以确定三个平面（ ） （7）一条直线和一个点可以确定一个平面（ ） （8）两两相交的三条直线确定一个平面（ ） （1）× 公理2 （2）× 公理2 （3）× 公理2推论2 （4）√ 公理2推论1 （5）√公理2推论2（6）× 公理2推论3，这里可以是空间上三条平行直线 （7）× 公理2推论1（8）× 公理2推论2，这里可以是空间上三条直线，比如长方体的一个“角”的三条直线<承接>例题重在考察如何确定一个平面，练习考察知共面不共线的条件. 练１．空间四点A B C D 、、、共面而不共线，那么四点中（ ）A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少三点共线D.不可能有三点共线A .反例：平面四边形ABCD ；C ．至少三点共线，就可以四点共线，与题设矛盾；D 是B 的反面，B 对D 错，因为必有三点不共线才能确定一个平面； 答案：B<要点提炼>注：可以尝试用逆否命题去判断，也能比较轻松得到答案.<承接>下面是公理间的结合考察.例2．如图，点E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱1DD 的中点，则过点E 与直线AB 和11B C 都相交的直线的条数是 条．由公理2得：ABE 确定平面ABE ，11B C E 确定平面11B C E ;由公理3得：11,ABE B C E l E l =∈ 平面平面这样的直线有且只有一条. 答案：1练2.在空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上分别取,,,E F G H 四点，如果EF 与HG 交于点M ，那么( )A ．M 一定在直线AC 上B ．M 一定在直线BD 上C ．M 可能在直线AC 上，也可能在直线BD 上 D ．M 既不在直线AC 上，也不在直线BD 上答案：.A 点M 一定在平面ABC 和平面CDA 的交线AC 上．<承接>前面都在讲概念，例3是画图加深理解.例3．如图,P 是正方体1111ABCD A B C D -棱1CC 中点．画出平面11B D P 与平面ABCD 的交线.考点：公理1 答案：直线EF 为所求练3．在正方体1111ABCD A B C D 中，画出平面1ACD 与平面1BDC 的交线，并且说明理由．如图，EF 为所求．<承接>在概念理解的基础上，研究三大公理的功能作用.P D 1C 1B 1A 1DCBAM ABCD B 1C 1D 1A 1【教材内容2】会用三大公理证明“点共线”（3星)要证“点共线”：可将线看作两个平面的交线，只需要证明这些点都在这两个平面内，根据公理3得这些点都在交线上，故共线.例4．如图，点E F G H 、、、分别是空间四边形的棱,AB,BC CD,DA 上的点，且EH 与FG 相交于点O . 求证：点B D O 、、三点共线．<板书演示>ABD BDC BD = 平面平面点E F G H 、、、分别是空间四边形的棱AB,CD,DA 上的点 EH FG O = ,O EH O FG ∴∈∈ABD EH O ABD ⊂∈∴ 平面平面 BDCO B C FG D ⊂∴∈ 平面平面O BD ∴∈点B D O 、、三点共线.<要点提炼>点拨：证明点共线，可将线看作两个平面的交线，只需要证明这些点都在这两个平面内，根据公理3得这些点都在交线上，即点共线.练4．已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 各边,,,AB AD BC CD 上的点，且直线EF 和GH 交于点P ． 求证：,,B D P 在同一条直线上．ABFCGDHEO<板书演示>因为EF G P = ，所以P EF ∈， 而EF ABD ⊂平面，所以P ABD ∈平面， 同理P BCD ∈平面．因为ABD BCD BD = 平面平面，所以P BD ∈， 故,,B D P 三点在一条直线上．【教材内容3】会用三大公理证明“点共面”（3星)“点共面”问题，通常分两类： 1.四点共面：一般在证明四点共面的时候，我们通常利用平面的公理二的推论直接证明，即证明它们所在的直线平行或相交，从而得证这四点共面． 2.点个数多余四个：可用纳入法证明，即由部分点确定一个平面，再证其余点在平面内（公理1、公理2）. 也可将点分成两部分，先由每部分分别确定一个平面，再证明两平面重合.例5．如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==．求证：1E B F D 、、、四点共面.<板书演示>A 1D 1C 1B 1D CB A FE在1DD 上取点N ，使得1DN =，连接CN EN ，，显然，1CFD N 四边形是平行四边形1//D F CN ∴同理，DNEA 四边形为平行四边形//,EN AD EN AD ∴=且 //,BC AD BC AD = 且 //,EN BC EN BC ∴=CNEB ∴四边形为平行四边形，CN //BE ，1D F //BE故1E B F D 、、、四点共面<要点提炼>点拨：证明四点共面，即证线线相交或者平行（公理2）.<承接>点个数多余四个.练5．如图，设,,,,,P Q R S M N 分别为正方体1111ABCD A B C D -的棱111111,,,,,AB BC CC C D A D A A 的中点，求证：,,,,,P Q R S M N 共面．第一步，证明SR 与MQ 确定一个平面α． 第二步，证明MQ 与NP 确定一个平面β第三步，证明α与β是同一个平面<承接>下面“线共点 ”问题，考察公理2，公理3.【教材内容4】会用三大定理证明“线共点（3星)要证“线共点”：即证三条或者三条以上直线交于一点，需先证两条线交于一点，再证交点在第三条直线上. 例6．已知长方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是1AA 与AB 的中点，求证：1,,D M DA CN 三线共点．<板书演示>在长方体1111ABCD A B C D -中可证1MN CD ‖, 则根据公理二的推论可知1,,,M N C D 四点共面， 又1D M 和CN 不平行，所以它们相交，设交点为K ．由于1,K CN K D M ∈∈，所以11,K ABCD K ADD A ∈∈面且面. 于是K 为面ABCD 和面1111A B C D 的公共点．根据平面的基本性质中的公理三，K 在它们的交线AD 上． 于是1,,D M CN AD 三线共点．<要点提炼>点拨：证明线共点，即证三条（或3>）直线交于一点，需先证两条线交于一点，再证交点在第三条直线上练6．如图，在空间四边形ABCD 中，E F 、分别为AB CB 、上的点，H G 、 分别为DA DC 、上的点.且1,2AE CF AH CGEB FB HD GD====. 求证：EH BD FG 、、三线交于一点．<板书演示>连接,EF GH//,//,EF AC HG AC EH FG ∴且不平行 不妨设//EH FG =P,P EH EH ABD ∴∈⊂面 P ABD ∴∈面同理，P BCD ∈面 =ABD BCD BD 面面P BD ∴∈所以，EH BD FG 、、三线交于一点【教材内容5】会用三大公理证明“线共面”（3星)要证“线共面”：可用纳入法证明，可由部分线确定一个平面，再证其余线在平面内（公理1、公理2）. 也可将线分成两部分，先由每部分分别确定一个平面，再证明两平面重合.例7．已知一直线d 与三条平行线,,a b c 都相交，求证：这四条直线在同一个平面内．<板书演示>设,,d a A d b B d c C ⋂=⋂=⋂=． 由a b ‖，知直线,a b 确定平面α， ,A B αα∴∈∈．d α∴⊂．即直线,,a b d 同在平面α内．同理，直线,,b c d 同在由直线,b c 确定的平面β内． 由d b B ⋂=，知平面α与平面β重合． 故,,,a b c d 同在一个平面内．<承接>下面纳入法证明.练7．已知,,,a b c d 两两相交且任何三条直线都不过同一点，证明这四条直线共面．如图，,,,a b c d 四条直线两两相交，且任三条直线都不过同一点，则一共有六个交点，记为,,,,,A B C D E F ．根据平面的基本性质中的公理二的推论，,a b 确定一个平面，记为α． 因为,B b F α∈∈，而,a b αα⊂⊂，所以,B F αα∈∈.而,B c F c ∈∈，所以根据平面的基本性质中的公理一，得c α⊂. 同理可得d α⊂.于是,,,a b c d 四条直线共面．dcb a【模块小结】1.回顾空间中的三大公理2.回顾证明“点共面”、“线共面”、“点共线”、“线共点”的方法11。
08平面的基本性质
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【拓展1】用符号语言表示下列语句 1.点A 在直线l 上，点B 不在直线l 上 2.平面α与平面β相交于过点A 的直线l
3.直线l 在平面α内，直线m 与平面α有且只有一个公共点M
【拓展2】.已知直线a ,b ,c ,且a b A = ，a c B = ，b 和c 异面，试画出图形表示他们之间的关系
【小结】
探究点二：平面的基本性质及推论应用
【例2】已知平面ABD 与平面CBD 相交于直线BD ，直线EF 与直线GH 分别在已知的两个平面内且相交于点M ，则点M 在直线 （ ）
A. AB
B. AC
C. BC
D. BD
【拓展】（BC 层选作）如图，已知△ABC 的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB 、BC 、AC 延长后分别交平面α于
点P ，O ，R.求证：点P,O,R 在同一直线上
【我的收获】 1.知识方面
． 2.数学思想方法
． 3.我的感悟：。
．
R A C B
P O A
M
G
E
D
B
C
H
F。
平面的基本性质定
平静的湖面 广阔的草原
平面的基本性质
光滑的桌面
学习目标展示
1.了解平面的基本性质（公理1~3及推论）； 2.能正确使用集合符号表示有关点、线、面 的位置关系，并能画出空间图形； 3.能运用平面的基本性质解决一些简单的问 题。 4.自主学习、合作交流，探究利用判定定理 证明线面平行的规律和方法。
目标要求：先独立思考1分钟，然后在组长的组织下 小组合作探究，达成共识，准备展示！时间2分钟
观察下列问题，你有什么 样的结论：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
直尺放在桌面上
B
α
A
C
矩形硬纸板的一顶点 放在讲台面上，硬纸 板与讲台面不重合
平面的基本性质
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 两点说明： 1.直线在平面内，或平面经过直线。 l 2.作用：用于检验直线是否在平面内。 基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有 一个平面 两点说明： 1.简单说成“不共线的三点确定一个平面” 2.作用：确定平面。 B 你还能列举出应用性 C α A 质2的实例吗？
√
√
× ×
例题展示
合作探究二：
1.为什么说三角形是平面图形？ 2（1）把一扇门的锁给锁上，门便固定了，为什么？ （2）怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一个 平面内？ （3）平行四边形和梯形都是平面图形吗？ 目标要求：先独立思考1分钟，然后在组长的组织下 小组合作探究，达成共识，准备展示！时间2分钟。
M
l
O
试一试： 请同学们准备好两支圆珠笔，把它们
抽象成两条直线，在空间中它们有怎样的 位置关系？ 异面 平行 相交
“平面的基本性质”教学设计、教学感悟与点评
通常可画成 图 ５ 所示 的图形 ２ ．符号语 言的提炼
Ｐ∈ １ ｆ 卢＝ｆ ｎ
｝ ＝ ｛
２ 符号语言 的提炼 ．
Ａ ， ｌ ｃ 或者 成 曰 ｚ （ 写
Ａ∈ ． ∈ Ｊ Ｂ
Ｐ∈８ Ｊ
【 Ｐ∈Ｚ
图３
图５
ＡＥ ，ＢＥ ｊ 直 线 Ａ ） Ｂｃ
引入环 节的设 计 、三个公理 的教 学序列 、学生分组探 究活动 的 本要素外 ，还增加 了一个新 的要素——平面．
组 织 以及 课 后 作 业 的 布 置 设计 等五 个 方 面进 行 了总结 与 反 思 ．
关键词 ：观摩课 ；教学设 计；教 学实践 ；教学反 思
课型 ：立体几何新授课 教学 内容 ：学 习公理 １ 、公理 ２ 、公理 ３ ，引 申出公理 的三
、
复 习巩 固 ，引 入 新 课
要 对平面这一新要素 进行必要 的研究 与总结 ，这就 是本节课 的
板 （ 一）在上一节课 ，我们初步认识 了空间中的各类位置关系 主要任务——认识平面的基本性质．（ 书课 题）
收稿 日期 ：２ １— ２ ０ ０ １１—２
作者简介 ：陈杰 （ ７一 ，男，四川 宜宾人 ，中学一级教 师，主要从事 中学数学教 育与教 学研究 １ ５） ９
个 推 论． 面 的 基 本 性 质 （ 个公 理 ） 三 ；
法 ，请 同学们 完成 以下 的练习题 ：
课堂练 习
１ 说一说一—数学 中的 “ ． 平面”概念具有哪些 基本特征 ？
２ ．画一 画— —
（） １ 我们通常怎样画一个水平放置 的平面图形 ？用怎样 的数 （ ）如果 一个 平 面被 另 一个 平 ２
四、 本 课 小结 与作 业 布 置
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平面的基本性质1．平面的基本性质及推论：初中平面几何中点、线的基本性质：两点之间的连线中，直线段最短；经过两点有且只有一条直线。
高中立体几何中线、面的基本性质：（1）公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
若，，，，则。
作用：证明直线在平面内。
（2）公理2：经过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
作用：如何确定一个平面。
（3）公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。
作用：证明点在直线上。
注意：学生应尽快建立空间的概念，逐步培养空间想象能力。
学习中，对于概念、公理、定理等应运用文字叙述、图形表示、符号体现的多种形式加以说明（如公理1）。
2．空间中线、面的位置关系（1）空间中两条直线的位置关系：①共面直线②异面直线：既不相交也不平行的直线，没有公共点。
异面直线的判定：平面外一点与平面内一点的连线与平面内不经过该点的直线是异面直线。
(共面)(共面) (异面)（2）空间中直线与平面的位置关系：①直线在平面内②直线在平面外（3）空间中两个平面的位置关系：①两个平面平行（没有公共点）②两个平面相交（有一条公共直线）(面面平行)(面面相交)例题选讲：1．若一条直线与两条平行直线都相交，则这三条直线共面。
分析：对于此种类型的文字题目，首先要把其转化为数学语言的叙述，同时画出图形也是必要的。
而对于共面的问题需要运用公理2或其推论。
已知：直线//直线，且直线，，求证：直线、、共面。
证明：∵直线//直线，∴直线、确定一个平面设为，即：，，∵，∴，∴，同理，∴直线，即：，∴直线、、共面于。
评述：本题中运用公理2、公理1解决问题。
本题需要注意符号语言在题目中的应用；对于多个元素（三线共面、三线共点、三点共线等等）的问题，我们都先从两个入手，再解决第三个、第四个……，例如本题中，先证两线共面，再证第三条在面内。
2．已知：的三条边的延长线与平面交于、、三点，求证：、、三点共线。
分析：根据上题中的原则，我们先证两点共线，再证第三个点也在直线上。
证明∵直线的延长线与平面交于点∴点且面，∴点是平面与平面的公共点，同理点、也是平面与平面的公共点，∵、确定直线，∴平面平面∵也是平面与平面的公共点，∴，即、、三点共线于平面与平面的公共直线。
评述：公理、定理的作用十分重要，明确了它们的作用，才能加以应用。
本题中需要证明点在线上，显然公理3的应用就显得比较自然了。
3．空间三个平面把空间分成几部分？并用图形表示出来。
分析：此种题目可从好想的情况入手，平面间的位置关系只有两种——平行、相交，平行比较好想，先考虑三个平面都平行，再考虑两个平面平行与第三个平面相交，最后再考虑三个平面都不平行。
解答：把空间分成四部分把空间分成六部分把空间分成七部分把空间分成八部分(此为八分之一)评述：本题考察空间想象能力，图示出来也是难点。
本题中把空间分成七个部分的图就有问题，你能改正过来吗。
本题也可先考虑平面中三条直线可以把平面分成几部分，再联想到空间中。
4．经过正方体三条棱上的点作正方体的界面。
分析：本题需要找面与面的交线，则需要从面与面的公共点找起，两个公共点的连线就是公共直线。
（1）（2）评述：（2）中应用了平面平行的性质，不用这个性质能画出截面吗。
大家不妨自己在棱找三个点，作一下截面。
课后练习：1．下列各个条件中，可以确定一个平面的为（）（A）三个点（B）三条直线（C）相交于一点的三条直线（D）一条直线与直线外一点2．空间三个平面两两相交，它们交线的条数为（）（A）一条（B）两条（C）三条（D）一条或三条3．正方体中，与直线成异面直线的棱有（）（A）条（B）条（C）条（D）条4．若三条直线两两相交，有三个交点，则这三条直线共面。
练习答案：1.D 2.D 3.A4.已知：直线、、，且，，，求证：直线、、共面。
证明：如图，∵∴直线确定一个平面（公理2的推论），∵，∴，∴，同理，∴直线（公理1），即：，∴直线共面于平面。
空间中的平行关系1．空间平行直线初中平面几何：两条平行直线：同一平面内不相交的两条直线。
经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。
高中立体几何：公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（平行线的传递性）大家由此设想一下：与同一条直线都相交的直线的位置关系是什么？垂直于同一条直线的两条直线的位置关系如何？与同一条直线都异面的两条直线的位置关系是什么？等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
证明：如图，在两个角的两边上截取，，∵，∴四边形是平行四边形，∴平行且等于，同理：四边形是平行四边形，平行且等于，∴平行且等于，∴四边形是平行四边形，∴，与中，，，，则≌，∴。
评述：证明中可看出，立体几何的问题经常是要转化到平面几何的知识上，而利用平行是转化的重要手段。
2．直线与平面平行定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，那么我们说这条直线和这个平面平行。
表示方法：直线与平面平行，记作：直线平面上述的三种表示方法：文字表示、符号表示、图形表示，都需要大家掌握。
应该说定义是判断事物最有效的手段，但平行的定义是用有无公共点来描述的，操作起来很不方便，因此引入判定定理就十分必要了，初中平面几何如此，后面所学的线面、面面平行都是如此。
判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
证明：如图，假设直线与平面不平行，且已知有直线在平面外，根据线面的位置关系，则有直线与平面相交，设在平面内过点A作，则∵，∴，这与矛盾，∴假设错误，∴直线与平面平行。
评述：定理中注意“平面外”这一条件，利用反证法证明判定定理应该是基本的思路。
定理的作用：证明线面平行。
由此定理大家考虑下列问题：平行于同一个平面的两条直线的位置关系——平行、相交、异面。
平行于同一条直线的两个平面的位置关系——平行、相交。
性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两个平面的交线平行。
证明从略，可考虑应用线面平行以及线线平行的定义。
定理的作用：证明线线平行。
3．平面与平面的平行定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行。
判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行与另一个平面，那么这两个平面平行。
符号表示图形表示证明从略，可考虑应用反证法。
定理的作用：判定两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
性质定理1：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面。
定理的作用：判定线面平行。
性质定理2：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
证明：如图，∵，∴与没有公共点，∵，∴，，∵，∴，，∵，，∴直线、没有公共点，∵，，∴。
评述：这是应用平行的定义解决问题，也可利用线面平行的性质定理：，，，大家可试试。
定理的作用：判定线线平行。
注意：转化思想的运用。
在这里我们是用线线平行导出线面平行，又由线面平行导出面面平行。
同样，由线面平行可以导出线线平行，由面面平行也可以导出线面平行、线线平行。
例题选讲：1．已知：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：E、F、G、H四点共面。
分析：有关共面问题一定要找出平行或相交的直线。
证明：连接，∵E、H为边AB、DA的中点，∴，同理，∴∴与确定一个平面，即：E、F、G、H四点共面。
评述：本题还是应用平面几何中三角形的中位线定理得到线线平行，从而达到共面的要求，今后看到中点的条件时，应考虑中位线定理。
本题还可以进一步考察四边形是什么样的四边形，可能是平行四边形吗，可能是菱形、矩形、正方形吗？2．已知：三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线平行或共点。
分析：遇到三条直线的问题，我们还是从两条直线的关系入手。
证明：如图，∵，，∴直线共面于平面，∴直线的位置关系为平行或相交，（1）当时，∵，，∴，∵，，∴，∴这三条交线平行；（2）当时，∵，，∴，∵，，∴∴点O是平面的公共点，∵∴点O在直线上∴这三条交线共点。
评述：这种由少到多的方法希望大家能够掌握，两条直线的位置关系是平面几何中研究的问题，又是从平面到立体的转化。
3．已知：直线、，平面、，且，，，求证：。
分析：条件是线面平行，求证是线线平行，可利用线面平行的性质定理证明：过直线做平面与平面相交于直线，∵，∴，同理，过直线做平面与平面相交于直线，∴，∴，∵，，∴，∵，∴。
评述：线、面平行之间的转化关系希望大家要熟练掌握。
4．已知：正方体中，、分别为、上的点，且，求证：平面。
分析：利用判定定理来解决本题是比较现实的，关键是找到面内的直线与面外的直线平行，应该还要用到平面几何的知识。
证明：连接并延长交于，∵，∴∽,∴∵，∴∴中,∴平面，∴平面。
评述：对于由成比例的线段推到平行的问题，显然需要用到平面几何中平行线分线段成比例的定理，关键就是如何找到同一个平面内的线段。
空间中的垂直关系1．线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂。
推理模式：。
注意：（1）三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a。
其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理。
（2）要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
2．线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直。
其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，直线与平面的交点叫做垂足。
直线与平面垂直记作：⊥。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
重难点归纳：垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：1．平行转化：线线平行线面平行面面平行。
2．垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直。
每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的。
典例解析1．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AD⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HD⊥△AEF所在平面答案：A2．如图（1）所示，E、F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是图（2）的________（要求：把可能的图的序号都填上）。