5傅里叶级数PPT课件
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数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
第4(5)章 傅里叶级数和变换
t0
2 2
f (t ) cos( n1t )dt
2 T1
2
E cos( n1t )dt
4 T1
0
E cos( n1t )dt
2
4E 1 sin n1t T1 n1
变
0
不 变
2E n an sin n T1
n sin 2E n T1 n n T1 T1 2 E n Sa ( ) T1 T1
§4.1 引言 信号与系统的时域分析→变换域分析（频域分析）
第四章 连续系统的频域分析P116
任一周期信号都可以用三角函数的线性组合来表示
1822年，法国数学家傅里叶提出；
Poisson、Gauss等将其应用到电学中；
20世纪后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等为傅立 叶分析的应用开辟了广阔的前景 周期信号——傅里叶级数 非周期信号——傅里叶变换
T 2 T 2 T 2 T 2
(3) 半波重迭信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
-T/2
T/2
t
半波重叠周期信号只含有正弦与余弦 的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。
(4) 半波镜像信号 fT(t)=f(t±T/2)
f (t )
T/2 0 T
t
半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇 次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。
④ t =±π，±2π，…±nπ；Sa(t)=0
正弦分量的幅度： bn
2 T1
t 0 T1
2 2
t0
f (t ) sin( n1t )dt
2 T1
傅里叶级数
在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点 ,并且
至多只有有限个极值点, 则 f ( x)的傅里叶级数收敛,
并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x);
(2)当 x是 f ( x)的间断点时,收敛于 f (x 0) f (x 0) ; 2
特别地，
当x为端点 x
±时
,收敛于 f ( 0) 2
叶级数，就是寻找一个三角级数
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx )
使得该级数以 f (x) 为和函数，即
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx )
需解决的问题是：
（1）若能展开, ai , bi 是什么?
（2）展开的条件是什么?
1 傅立叶系数
如果有
f
(x)
a0 2
(an
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
(n 1,2,3,) mn
, mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
以上都可以通过有关积分运算来验证。
二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数
设 f (x) 是以2π为周期的函数，所谓 f (x)的傅立
n1
cos nx
bn
sin
nx )
来求傅立叶系数 a0, an , bn , n 1, 2,3,
(1) 求a0
f ( x)dx
至多只有有限个极值点, 则 f ( x)的傅里叶级数收敛,
并且
(1) 当x是 f ( x)的连续点时,级数收敛于f ( x);
(2)当 x是 f ( x)的间断点时,收敛于 f (x 0) f (x 0) ; 2
特别地，
当x为端点 x
±时
,收敛于 f ( 0) 2
叶级数，就是寻找一个三角级数
a0
2
n1
(an
cos nx
bn
sin
nx )
使得该级数以 f (x) 为和函数，即
f
(x)
a0 2
(an
n1
cos nx
bn
sin
nx )
需解决的问题是：
（1）若能展开, ai , bi 是什么?
（2）展开的条件是什么?
1 傅立叶系数
如果有
f
(x)
a0 2
(an
sin
nxdx
0,
sin
mx
sin
nxdx
0, ,
(n 1,2,3,) mn
, mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
sin mx cosnxdx 0.
(其中m,n 1,2,)
以上都可以通过有关积分运算来验证。
二、周期为2π的周期函数的傅立叶级数
设 f (x) 是以2π为周期的函数，所谓 f (x)的傅立
n1
cos nx
bn
sin
nx )
来求傅立叶系数 a0, an , bn , n 1, 2,3,
(1) 求a0
f ( x)dx
第五章 傅里叶变换85页PPT
f (1) (0) 0 f (1) (l) 0
例1，要求在（- ，）上，f (x)=x2,
展开为Fourier 级数，在本题 展开所得中置 x=0，由此验证:
1212 312 412 122
解：f (x)=x2，为偶函数；bk 0
1
a0
02d313
0
2
3
kx
f(x)a 0 a kco s k 1
★得
bk
1 l
l l
f()sin kd
l
★称
a
、
k
bk
为周期函数的傅里叶系数！
4、狄里希利定理：
若f (x) 满足：
(1)处处连续，或在每个周期有 有限个第一类间断点；
(2)或在每个周期有有限个极值 点，则级数收敛，且
级数和
=
f (x)
1[f(x0)f(x0)] 2
(在连续点x ) (在间断点x )
l
sinx, sin2x, L, sinkx,L
l
l
l
★设f(x)为周期为 2l 的函数将 f (x) 展开
f(x)a 0k 1(akco kls xb ksikn lx)
3、再谈周期函数族的正交性
l 1coksxdx0
l
l
l
kx
1sin dx0
l
l
lcoksxconsxd x0 (k n)
l
lHale Waihona Puke llsiknxsin nxd x0
l
l
l
(k
n)
l kx nx
cos sin d x0
l
l
l
l cos
k
x
傅里叶级数
f ( x)
f (0 0) f (0 0) 1 ； 当 x 0 时，级数收敛于级数 2 2 x, x 0, f ( 0) f ( 0) 1 x 当 时，级数收敛于 。 1 , 0 x , 2 2
1 cos nx 0 1 cos nx [ ] [ ]0 n n
1 2 (1 cos n cos n 1) [1 (1) n ] n n
2 f ( x) (1 ( 1)n )sin nx n 1 n
x(,0) (0,)
2 n 2 [( 1) n 1]
2 2 [(1)n 1]cos nx 2 n 1 n
f ( x) x 1
2
x (0, )
1 当 x 0 时，级数收敛于 1; x 时,级数收敛于
y
y
o
x
o
x
F ( x)的图象.
2 f ( x) x 1 [1 ( 1)n ( 1)n ]sin nx n 1 n
x (0, )
当 x 0 和 x 时，级数收敛于 0.
y
y
y
o
x
o
x
o
x
f ( x )的图象.
F ( x )的图象.
S ( x )的图象.
（2）求余弦级数， 将 f ( x ) 作偶式延拓F ( x ) ，
bn 0 ( n 1, 2, 3, ) ，
2 a0 ( x 1)dx 2 ， 0
2 2 a n f ( x) cos nxdx ( x 1) cos nxdx 0 0 2 xsin nx cosnx sin nx 2 [ ]0 [cosn 1] 2 2 n n n n
第十五章傅里叶(Foueier)级数78页PPT
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier 级数 §2 以2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
bn )
收敛,则级数
a20n 1(anconsxbnsin)x
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 x R ,由 a n c于 n o b n x sn i n a x n b n ,
由M判别法即得定理结论.
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
anco2snxdxan,
可得 an 1 f(x)co nsxd(x n1,2,3, )
(3)求bn.
f(x)sin nx da0xsin nxdx
2
[a k co kss xinnx b d k s xikn sxinnx ]d bn,x
a 2 0d x k 1a kck odx s x k 1b ksikn xd
a0 2, 2
可得 a0 1f(x)dx
(2)求an.
f(x)co nsxda 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b k d sx k in cx n os x ] d n 1
把以上得到的系数代入三角级数
a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
该级数称为傅里叶级数 问题:
§1 Fourier 级数 §2 以2l为周期的函数的展开式
第十五章 傅里叶(Foueier)级数
§1 Fourier级数
一 问题的提出
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t) 11 ,,
当 t0 当 0t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
bn )
收敛,则级数
a20n 1(anconsxbnsin)x
在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.
证 x R ,由 a n c于 n o b n x sn i n a x n b n ,
由M判别法即得定理结论.
2.定理(收敛定理,狄利克雷(Dirichlet)充分条件)
anco2snxdxan,
可得 an 1 f(x)co nsxd(x n1,2,3, )
(3)求bn.
f(x)sin nx da0xsin nxdx
2
[a k co kss xinnx b d k s xikn sxinnx ]d bn,x
a 2 0d x k 1a kck odx s x k 1b ksikn xd
a0 2, 2
可得 a0 1f(x)dx
(2)求an.
f(x)co nsxda 2 0x co nsxdx
[a k ck ocx sn os x b k d sx k in cx n os x ] d n 1
把以上得到的系数代入三角级数
a 2 0n 1(anco ns xbnsin n)x
该级数称为傅里叶级数 问题:
傅里叶级数
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义
当题目给出的函数在周期内
为奇函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：正弦
级数，如下：
求解傅里叶级数时利用奇
偶性进行简化运算
当题目给出的函数在周期内
为偶函数时，相对应的傅里
叶级数为：
此时的傅里叶级数为：余弦
级数，如下：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
对于f(X)的傅
里叶级数在任
何点x都是收
敛的，并且在
前提区间的求
和函数为：
可以看到当f(X)在x上连续时，该函数的傅里叶级数式收敛于函数本身的
对f(X)在x上连续
Байду номын сангаас
对f(X)在x上不连续
X=±
4.傅里叶级数的收敛定理
从收敛定理中可知：
即使函数有傅里叶级数的形式，但是也是在一些点上面是不连续的，但
是即使不连续，通过这个定理级数也收敛于左右极限的算术平均值
上，才能任意展开成为正弦级
数或者余弦级数，并且此函数
的傅里叶级数的形式是不唯一
的
谢谢观看，同学们学习进步噢！
正弦级数和预先级数
（1）求正弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
相应的例子
题目：f(X)=x+1（0<=x<=π),请相应的求展开的
正弦级数和预先级数
（2）求余弦级数的展开式
由于函数为奇函数所以带入以上推导出来的傅里叶级数的
参数方程可求：
注意：这个函数只有在区间[0,π]
微积分
傅里叶级数
1.傅里叶级数的定义
第五章 傅里叶(Fourier)级数展开0408 0409 0413
c0 ck e
k 1
i
k x l
ck e
i
k x l
2 k 若2l T，则 w, kw wk l T l
k 1
k
ce
k
i
k x l
(5.1.13)
2 k 若2l T，则 w, kw wk l T l
类型四——实轴上有单极点函数的定积分：
f ( x)dx 2i
上半平面
Re sf ( z) i Re sf ( z)
实轴上
第五章 傅里叶(Fourier) 变换
掌握Fourier级数的展开方法 掌握Fourier积分与Fourier变换方法 了解δ函数的基本性质
在1759年拉格朗日(grange)表示不可能用三角级数来表 示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在 这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了 他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研 究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中 宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经 J.L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于 文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的 观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文 从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并 发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种 方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即 比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书 已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学 思想和数学成 就。
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22
傅里叶级数
23
傅里叶级数
24
傅里叶级数
f(x)的傅里叶积分！
25
傅里叶级数
26
傅里叶级数
27
傅里叶级数
28
傅里叶级数
29
傅里叶级数
30
事实上，我们本节就将引入半幅傅里叶级数 (half-range Fourier serise)处理此类问题
11
傅里叶级数 如果函数Φ(x)在[0,L]上是分段光滑的，则其 有正弦函数展开式：
下面我们尝试推导展开系数Cn,之前我们先计算下面几个积分：
12
傅里叶级数
13
傅里叶级数
14
傅里叶级数
下面计算各展开系数：
4
傅里叶级数
这里，我们给出了一个周期为2π的函数f(x)的
傅里叶级数展开形式！
5
傅里叶级数
6
傅里叶级数
7
傅里叶级数
n
8
1( x)
2
傅里叶级数
9
傅里叶级数
10
二 半幅傅里叶级数
傅里叶级数
我们实际会碰到很多定义在有限区间[0,L]上 的任意函数Φ(x开。
傅里叶级数
一 周期函数的傅里叶级数
泰勒级数的展开是基底函数取1, x, x2, x3, ..... 而一个函数按照傅里叶级数展开时，其基底函 数取为1, cosx, cos2x, cos3x, ...., sinx, sin2x, sin3x, .... 并且与泰勒级数展开不同的是，傅里叶级数中 任意两个不同的基底函数在[0,2π]上是正交的：
1
傅里叶级数 一般我们将傅里叶级数表示为： 其中的a0, an, bn 是展开系数。
2
傅里叶级数 现在我们将一个周期为2π的函数f(x)按照傅里叶级数 的形式展开，并求其中的展开系数a0, an, bn ： 我们首先将函数f(x)在[0,2π]范围内积分
马上我们得到：
3
傅里叶级数 为了计算an，我们将函数f(x)乘以cosmx并在[0,2π] 范围内积分，得到以下：
15
傅里叶级数
16
傅里叶级数
17
傅里叶级数
18
傅里叶级数
19
傅里叶级数
三 傅里叶积分
以上我们讨论了周期函数与有限区间的半幅傅里叶级数，
那么对于一个定义在 (,)区间的非周期函数，下面
我们讨论怎么对其进行傅里叶展开。 傅里叶级数扩展到连续变化的情况，即傅里叶积分。
20
傅里叶级数
21
傅里叶级数
傅里叶级数
23
傅里叶级数
24
傅里叶级数
f(x)的傅里叶积分！
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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事实上，我们本节就将引入半幅傅里叶级数 (half-range Fourier serise)处理此类问题
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傅里叶级数 如果函数Φ(x)在[0,L]上是分段光滑的，则其 有正弦函数展开式：
下面我们尝试推导展开系数Cn,之前我们先计算下面几个积分：
12
傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
下面计算各展开系数：
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傅里叶级数
这里，我们给出了一个周期为2π的函数f(x)的
傅里叶级数展开形式！
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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1( x)
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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二 半幅傅里叶级数
傅里叶级数
我们实际会碰到很多定义在有限区间[0,L]上 的任意函数Φ(x开。
傅里叶级数
一 周期函数的傅里叶级数
泰勒级数的展开是基底函数取1, x, x2, x3, ..... 而一个函数按照傅里叶级数展开时，其基底函 数取为1, cosx, cos2x, cos3x, ...., sinx, sin2x, sin3x, .... 并且与泰勒级数展开不同的是，傅里叶级数中 任意两个不同的基底函数在[0,2π]上是正交的：
1
傅里叶级数 一般我们将傅里叶级数表示为： 其中的a0, an, bn 是展开系数。
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傅里叶级数 现在我们将一个周期为2π的函数f(x)按照傅里叶级数 的形式展开，并求其中的展开系数a0, an, bn ： 我们首先将函数f(x)在[0,2π]范围内积分
马上我们得到：
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傅里叶级数 为了计算an，我们将函数f(x)乘以cosmx并在[0,2π] 范围内积分，得到以下：
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傅里叶级数
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傅里叶级数
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傅里叶级数
三 傅里叶积分
以上我们讨论了周期函数与有限区间的半幅傅里叶级数，
那么对于一个定义在 (,)区间的非周期函数，下面
我们讨论怎么对其进行傅里叶展开。 傅里叶级数扩展到连续变化的情况，即傅里叶积分。
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傅里叶级数
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傅里叶级数