离散时间信号的表示及运算
离散信号 知识点总结
离散信号知识点总结一、离散信号的定义离散信号是指在离散时间点上的取样值的集合。
在数学上，它可以用一个序列来表示，即{..., x[-2], x[-1], x[0], x[1], x[2], ...}。
其中，x[n]表示在时刻n处的取样值，n为整数。
离散信号与连续信号相对，连续信号是在连续的时间上取值的，而离散信号是在离散的时间上取值的。
二、离散信号的性质1. 有界性：离散信号通常是有界的，即存在一个有限的范围，超出这个范围时信号值为零。
2. 周期性：某些离散信号是周期的，即满足x[n+N]=x[n]的性质，其中N为周期。
3. 非周期性：另一些离散信号是非周期的，即没有周期性结构。
4. 平稳性：离散信号的平稳性是指信号的统计特性在时间平移后保持不变，即x[n]=x[n-k]。
若满足这个条件，则称该信号是平稳的。
5. 因果性：对于实际系统的输入信号来说，它通常是因果的，即在某一时刻的取值只取决于之前时刻的取值。
三、离散信号的表示离散信号可以通过多种方式来表示，包括序列表示法、块状表示法、方块表示法等。
其中，序列表示法是最常见的一种表示方法。
在序列表示法中，离散信号可以通过一列有序的数值来描述，例如{x[0], x[1], x[2], ...}。
这种表示方法简单直观，便于分析和处理。
四、离散信号的处理方法离散信号的处理方法包括离散信号的运算、变换和滤波等。
其中，离散信号的运算主要是指对离散信号进行加法、乘法、卷积等运算。
这些运算可以通过离散信号的表示法来实现。
另外，离散信号的变换主要是指离散信号的傅里叶变换、离散余弦变换等。
这些变换可以用于信号的频域分析和压缩。
最后，离散信号的滤波是指通过滤波器来对信号进行频率选择和抑制。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
总之，离散信号是一种在离散时间点上取样的信号，在信号处理中具有重要的作用。
通过对离散信号的定义、性质、表示和处理方法的总结，可以更好地理解离散信号的特点和应用。
信号分析第五章第一节：离散时间信号——序列
x1(k ) x2(k)
例如： x 例如： 1(k) = {1 - 1 1 - 1} x2(k)={2 2 2 2 2 2 }
y(k )
则：y(k) = x1(k) + x2(k)={3 1 3 1 2 2}
X
第 24 页
2.标量乘法：
y(k) = ax(k) = ∑ax(i)δ (k − i)
X
第 6 页
7.序列的三种形式 7.序列的三种形式
单边序列： n 单边序列： ≥ 0；
O
x(n) L n x(n)
L
O
双边序列： − 双边序列：∞ ≤ n ≤ ∞；
L
n
x(n)
有限长序列： n 有限长序列： 1 ≤ n ≤ n2；
O
n1
n2
n
X
第 7 页
二.基本离散时间序列
• • • • • • • 单位序列 单位阶跃序列 矩形序列 斜变序列 正弦序列 复指数序列 指数序列
, 注意: 离散信号进行尺度变换 , 只有ak为整数时才有值 时 息 变换 因此尺度变换会丢失信 .一般离散信号不做尺度 .
例题 已知x(k)序列 求x(−2k − 1) ,
方法一: 右移x(k − 1) ⇒ 压缩x(2k − 1) ⇒ 反转x(−2k − 1) 方法二: 反转x(−k) ⇒ 左移x[−(k + 1)] ⇒ 压缩x(−2k − 1)
2.波形： 波形： 波形
L
x(k ) 2 1
O
4
L
−2
−1
1
2
k
X
第
6. 周期离散信号
5 页
x(k) = x(k ± mN) 其中N为周期 正整数 m为任意整数 , ,
离散时间信号
单位阶跃序列
定义为1，非奇异信号。
单位阶跃序列和单位序列的关系：
3.单位矩形序列（门序列）
定义：
门序列和单位阶跃序列的关系：
4．斜变序列
5．单边实指数序列
定义：
实数a的取值情况： 发散序列
收敛序列
6．正弦序列
定义：
数字角频率 振幅 初相位
数字角频率与模拟信号角频率的关系：
的单位： rad/s
信号与系统
离散时间信号
1.1 离散信号的时域描述
离散信号：只在某些互相分离的时间上才有定义 的信号，这种信号是离散的时间 tk 的函数，可 表示成 f (tk ) 。
离散信号常由连续时间信号进行抽样得到的。
连续信号的抽样
抽样时间： 抽样序号： 抽样值： 离散时间信号：一组序列值的集合
表示为 简记为
常用离散信号
1.单位序列
定义：
抽样性：
信号时域分解公式：
单位序列和单位冲击信号的区别：
单位冲击信号
宽度无穷小、幅度无穷大、面积为1 的窄脉冲，工程实际中不存在。
单位序列
取有限值1，工程实际中存在。
2.单位阶跃序列
定义：
截取特性:
单位阶跃序列和单位阶跃函数的区别：
单位阶跃函数
跃变，为奇异信号
信号与系统
的单位： 周期信号：
重复周期 重复角频率
正弦序列的周期： 为整数
为有理数 为无理数
且 为使 为最小整数的自然数 正弦序列为非周期序列
1.3 离散信号的基本运算
1．序列的相加
2．序列的相乘
例5.2.1 两离散时间信号
3．序列的移位
4．序列的折叠 5．序列的差分
离散时间信号的基本运算
信号绝对值的积分
总结词
信号绝对值的积分是指将离散时间信号中每个值的绝对值与其对应的权系数相乘，并求和得到的结果 。
详细描述
信号绝对值的积分在处理一些具有正负性质的问题时非常有用，例如计算信号的能量或幅度。对于离散时 间信号 $x(n)$，其绝对值的积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} |x(n)| cdot Delta t$。
符号相加主要用于处理具有正负符号 的信号，使得正负符号能够相互抵消， 从而得到一个新的符号较少的信号。
02
离散时间信号的乘法
离散时间信号的乘法 信号相乘
信号相乘
离散时间信号的乘法是指将两个信号对应时刻的数值相乘。当两个信号相乘时，其输出信号的幅度将等于两个输入信 号幅度相乘的结果。
信号的绝对值相乘
04
离散时间信号的微分
信号的微分
信号的微分是指将信号中的每个值都 减去前一个值，得到的结果就是微分 后的信号。在离散时间信号中，微分 运算可以用于分析信号的变化趋势。
例如，如果一个离散时间信号为 [1, 3, 5, 7, 9]，其微分为 [0, 2, 2, 2, 2]，表 示信号在每个时刻的变化量。
信号符号的积分
总结词
信号符号的积分是指将离散时间信号中 每个值的符号与其对应的权系数相乘， 并求和得到的结果。
VS
详细描述
信号符号的积分可以用于处理一些具有正 负性质的问题，例如计算信号的极性或方 向。对于离散时间信号 $x(n)$，其符号的 积分可以表示为 $sum_{n=0}^{N-1} text{sgn}(x(n)) cdot Delta t$，其中 $text{sgn}(x(n))$ 表示 $x(n)$ 的符号函数。
03
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散时间系统的时域分析
称为混叠。 常称作折叠频率。 2
信号频率
fa nfs fm
fa fs / 2
假频
Fδ(jω)
抽样频率
ω Ω-ωm ωm Ω
例如：当抽样率为5kHz对3kHz的余弦信号 抽样，然后用截止频率为2.5kHz的低通滤波 器进行滤波，输出的频谱只包含2kHz的频率， 这是原信号中所没有的。
对一个低通滤波器的冲激响应进行抽样，抽 样后低频通带将在整个频率轴上周期的重复出现， 这种现象称为“伪门”。在设计数字滤波器时要 适当选择抽样率，使得伪门在干扰频率之外。
H(jω)
ω 0 数字滤波器的伪门
例1：对于频率为150Hz的正弦时间序列，分别以4ms 和8ms采样结果会如何？
100HZ 25HZ
在实际工作中应用抽样定理时，还应考虑下 面两个实际问题：
1、在理论上讲，按照奈奎斯特抽样率抽样， 通过理想低通滤波器以后，就可以恢复原信 号。但理想低通滤波器在物理上是不可实现 的，实际滤波器都存在一个过渡带，为了保 证在滤波器过渡带的频率范围内信号的频谱 为零，必须选择高于2fm的抽样率。
u (n) 0, n 0
...
n -1 0 1 2 3
(n) u(n) u(n) u(n 1)
u(n) (n m) (n) (n 1) (n 2) m0
3.矩形序列 R N (n )
1, R N (n) 0,
0 n N 1 其他n
RN (n) u(n) u(n N )
第五章 离散时间系统 的时域分析
§5.1 离散信号与抽样定理
一、离散信号及其表示
1、离散时间信号是指只在一系列离散的时刻 tk (k = 0,1,2,…)时，信号才有确定值，在其它时 刻，未定义; 2、离散时间信号是离散时间变量 tk 的函数; 3、抽样间隔可以是均匀的，也可以非均匀。
离散时间信号的表示及运算
第2章离散时间信号的表示及运算2.1实验目的学会运用MATLAB表示的常用离散时间信号；学会运用MATLAB实现离散时间信号的基本运算。
2.2实验原理及实例分析221 离散时间信号在 MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用x(n)来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB中一般用Stem函数。
stem函数的基本用法和Plot函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill、"‘filled ,或者参数：”。
由于MATLAB中矩阵元素的个数有限，所以MATLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列J.(n),也称为单位冲激序列，定义为(n =0)(12-1)(n = 0)要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n=0处是取确定的值1。
在MATLAB中，冲激序列可以通过编写以下的impDT.m文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n必须为整数或整数向量。
【实例2-1】禾U用MATLAB的impDT函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB源程序为>>n=-3:3;>>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on>>title('单位冲激序列’)>>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)定义为u(n)(n —O) (n 0)(12-2)在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即function y=uDT(n) y=n>=0;%当参数为非负时输出 1调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
离散时间信号的基本运算
x1[k] 1
0 1 x2[k ]
0
k
1 k
x1[k] x2[k] 0
2 k
5. 序列相乘
y[k] x1[k] x2[k] xn[k]
若干离散序列对应点信号值相乘
x1[k ]
1
k
x1[k] x2[k]
2
x2[k ] 0 2
1 k
k 0
0
6. 差分
一阶后向差分 x[k] x[k] x[k 1]
3
3
2
2
1
k 01234
x[2k] 3 2
1 k
012
在原序列中每隔M-1点抽取一点
3. 尺度变换
原信号x
[x,Fs,bits] = wavread(‘我的祖国'); % Fs=22,050 Hz
x1=x(1:4:end);
4倍抽取后信号x1 % Fs=22,050/4 Hz
x2=x(1:8:end);
8倍抽取后信号x2 % Fs=22,050/8 Hz
3. 尺度变换
内插(Interpolation) L
x [k] I
x[k
0
/
L]
k 是 L的 整 数 倍 其它
x[k] 3 2
1
3 xI[k]
2
1
k 012
k 01234
在原序列各点之间插入L-1个点
4. 序列相加
y[k] x1[k] x2[k] xn[k]
n
k
x1[n] 3
x1[k ]
n
2
1 k
1
k
0
0
单位阶跃序列可用单位脉冲序列的求和表示
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第2章 离散时间信号的表示及运算2.1 实验目的● 学会运用MATLAB 表示的常用离散时间信号； ● 学会运用MATLAB 实现离散时间信号的基本运算。
2.2 实验原理及实例分析2.2.1 离散时间信号在MATLAB 中的表示离散时间信号是指在离散时刻才有定义的信号，简称离散信号，或者序列。
离散序列通常用)(n x 来表示，自变量必须是整数。
离散时间信号的波形绘制在MATLAB 中一般用stem 函数。
stem 函数的基本用法和plot 函数一样，它绘制的波形图的每个样本点上有一个小圆圈，默认是空心的。
如果要实心，需使用参数“fill”、“filled”，或者参数“.”。
由于MA TLAB 中矩阵元素的个数有限，所以MA TLAB 只能表示一定时间范围内有限长度的序列；而对于无限序列，也只能在一定时间范围内表示出来。
类似于连续时间信号，离散时间信号也有一些典型的离散时间信号。
1. 单位取样序列单位取样序列)(n δ，也称为单位冲激序列，定义为)0()0(01)(≠=⎩⎨⎧=n n n δ （12-1）要注意，单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样，它在n =0处是取确定的值1。
在MATLAB 中，冲激序列可以通过编写以下的impDT .m 文件来实现，即function y=impDT(n)y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0调用该函数时n 必须为整数或整数向量。
【实例2-1】 利用MATLAB 的impDT 函数绘出单位冲激序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:3; >>x=impDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位冲激序列') >>axis([-3 3 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-1所示。
2. 单位阶跃序列单位阶跃序列)(n u 定义为)0()0(01)(<≥⎩⎨⎧=n n n u （12-2）在MA TLAB 中，冲激序列可以通过编写uDT .m 文件来实现，即function y=uDT(n)y=n>=0; %当参数为非负时输出1调用该函数时n 也同样必须为整数或整数向量。
【实例2-2】 利用MATLAB 的uDT 函数绘出单位阶跃序列的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:5; >>x=uDT(n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('单位阶跃序列') >>axis([-3 5 -0.1 1.1])程序运行结果如图12-2所示。
图2-1 单位冲激序列3. 矩形序列矩形序列)(n R N 定义为),0()10(01)(N n n N n n R N ≥<-≤≤⎩⎨⎧= （12-3）矩形序列有一个重要的参数，就是序列宽度N 。
)(n R N 与)(n u 之间的关系为)()()(N n u n u n R N --=因此，用MATLAB 表示矩形序列可利用上面所讲的uDT 函数。
【实例2-3】 利用MATLAB 命令绘出矩形序列)(5n R 的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=-3:8;>>x=uDT(n)-uDT(n-5);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('矩形序列') >>axis([-3 8 -0.1 1.1])程序运行结果如图2-3所示。
4. 单边指数序列单边指数序列定义为)()(n u a n x n = （12-4）【实例2-4】 试用MA TLAB 命令分别绘制单边指数序列)(2.1)(1n u n x n=、)()2.1()(2n u n x n -=、)()8.0()(3n u n x n =、)()8.0()(4n u n x n -=的波形图。
解：MATLAB 源程序为图2-3 矩形序列>>n=0:10;>>a1=1.2;a2=-1.2;a3=0.8;a4=-0.8; >>x1=a1.^n;x2=a2.^n;x3=a3.^n;x4=a4.^n; >>subplot(221)>>stem(n,x1,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)=1.2^{n}') >>subplot(222)>>stem(n,x2,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('x(n)=(-1.2)^{n}') >>subplot(223)>>stem(n,x3,'fill'),grid on >>xlabel('n'),title('x(n)=0.8^{n}') >>subplot(224)>>stem(n,x4,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('x(n)=(-0.8)^{n}')单边指数序列n 的取值范围为0≥n 。
程序运行结果如图12-4所示。
从图可知，当1||>a 时，单边指数序列发散；当1||<a 时，该序列收敛。
当0>a 时，该序列均取正值；当0<a 时，序列在正负摆动。
5. 正弦序列正弦序列定义为)sin()(0ϕω+=n n x （12-5）图2-4 单边指数序列其中，0ω是正弦序列的数字域频率；ϕ为初相。
与连续的正弦信号不同，正弦序列的自变量n 必须为整数。
可以证明，只有当2ωπ为有理数时，正弦序列具有周期性。
【实例2-5】 试用MATLAB 命令绘制正弦序列)6sin()(πn n x =的波形图。
解：MATLAB 源程序为>>n=0:39; >>x=sin(pi/6*n);>>stem(n,x,'fill'),xlabel('n'),grid on >>title('正弦序列') >>axis([0,40,-1.5,1.5]);程序运行结果如图2-5所示。
6. 复指数序列复指数序列定义为n j a e n x )(0)(ω+= （2-6）当0=a 时，得到虚指数序列nj e n x 0)(ω=，式中0ω是正弦序列的数字域频率。
由欧拉公式知，复指数序列可进一步表示为)]sin()[cos()(00)(00ωωωωn j n e e e e n x an n j an n j a +===+ （2-7）与连续复指数信号一样，我们将复指数序列实部和虚部的波形分开讨论，得出如下结论：（1）当0>a 时，复指数序列)(n x 的实部和虚部分别是按指数规律增长的正弦振荡序列；（2）当0<a 时，复指数序列)(n x 的实部和虚部分别是按指数规律衰减的正弦振荡序图2-5 正弦序列列；（3）当0=a 时，复指数序列)(n x 即为虚指数序列，其实部和虚部分别是等幅的正弦振荡序列。
【实例2-6】 用MA TLAB 命令画出复指数序列n j e n x )6101(2)(π+-=的实部、虚部、模及相角随时间变化的曲线，并观察其时域特性。
解：MATLAB 源程序为>>n=0:30;>>A=2;a=-1/10;b=pi/6; >>x=A*exp((a+i*b)*n); >>subplot(2,2,1)>>stem(n,real(x),'fill'),grid on>>title('实部'),axis([0,30,-2,2]),xlabel('n') >>subplot(2,2,2)>>stem(n,imag(x),'fill'),grid on>>title('虚部'),axis([0,30,-2,2]) ,xlabel('n') >>subplot(2,2,3)>>stem(n,abs(x),'fill'),grid on >>title('模'),axis([0,30,0,2]) ,xlabel('n') >>subplot(2,2,4)>>stem(n,angle(x),'fill'),grid on>>title('相角'),axis([0,30,-4,4]) ,xlabel('n')程序运行后，产生如图2-6所示的波形。
图2-6 复指数序列2.2.2 离散时间信号的基本运算对离散时间序列实行基本运算可得到新的序列，这些基本运算主要包括加、减、乘、除、移位、反折等。
两个序列的加减乘除是对应离散样点值的加减乘除，因此，可通过MA TLAB 的点乘和点除、序列移位和反折来实现，与连续时间信号处理方法基本一样。
【实例2-7】 用MA TLAB 命令画出下列离散时间信号的波形图。
（1）()()()[]N n u n u a n x n--=1；（2）()()312+=n x n x （3）()()213-=n x n x ；（4）()()n x n x -=14解：设8.0=a ，8=N ，MATLAB 源程序为>>a=0.8;N=8;n=-12:12; >>x=a.^n.*(uDT(n)-uDT(n-N)); >>n1=n;n2=n1-3;n3=n1+2;n4=-n1; >>subplot(411)>>stem(n1,x,'fill'),grid on >>title('x1(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(412)>>stem(n2,x,'fill'),grid on >>title('x2(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(413)>>stem(n3,x,'fill'),grid on >>title('x3(n)'),axis([-15 15 0 1]) >>subplot(414)>>stem(n4,x,'fill'),grid on >>title('x4(n)'),axis([-15 15 0 1])其波形如图2-7所示。