湘教版高一数学必修第一册全册完整课件
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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2 函数的概念和性质 阅读与思考 数学实验 1.2.4 从解析式看函数的性质 1.2.6 分段函数 1.2.8 二次函数的图像和性质——对称性 小结与复习 问题探索 2.1 指数函数 阅读与思考 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.4 函数与方程 2.4.2 计算函数零点的二分法 2.5 函数模型及其应用 2.5.2 形形色色的函数模型
第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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三 知识引入
我们通常用大写拉丁字母A，B，C，······表示集合，用小写的拉丁 字母a，b，c······表示集合中的元素.
如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A记作
；如果a
不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A记作
.
常用数集的记法：
非负整数集(自然数集)：_____ N
集合的包含关系
[学习目标] 1．明确子集，真子集，两集合相等的概念； 2．会用符号表示两个集合之间的关系； 3．能根据两集合之间的关系求解参数的范围； 4．知道全集，补集的概念，会求集合的补集．
[知识链接] 1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，
则它们的大小关系是 a＝b 。
2．若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？ x≥1 时呢？ 3．方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？
I. 确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合 中是确定的.
II. 互异性：集合中的元素是不重复出现的. III. 无序性：集合中的元素排列是没有顺序的.
集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集
合是相等的.
练习一下
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
一 学习目标 二 知识铺垫 三 知识引入 四 知识创新 五 知识强化 六 知识总结
四 知识创新
通过上面的分析，我们可以知道：例1至例4、例7所列举的元素组 成的集合元素个数是有限的；而例5、例6、例8所列举的元素组成 的集合元素个数是无限的.
我们把含有有限个个数的集合叫做有限集，用card来表示有限集中 元素的个数.含有无限个个数的集合叫做无限集.
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第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2.1 对应、映射和函数 1.2.2 表示函数的方法 1.2.3 从图像看函数的性质 1.2.5 函数的定义域和值域 1.2.7 二次函数的图像和性质——增减性和最值 数学实验 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 阅读与思考 2.1.1 指数概念的推广 2.2.1 对数的概念和运算律 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.3.2 幂函数的图像和性质 2.4.1 方程的根与函数的零点 数学实验 2.5.1 几种函数增长快慢的比较
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1.2.2 表示函数的方法
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数学实验
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1.2 函数的概念和性质
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1.2.1 对应、完整版】
阅读与思考
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件2.2从函数观点看一元二次方程
来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
变式训练
已知函数y1=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数y2=bx2+ax的零点.
解 由已知得3a-b=0,即b=3a.
故y2=3ax2+ax=ax(3x+1).
令y2=0,即ax(3x+1)=0,
解得 x=0 或
1
x=- .所以函数 y2 的零点为
3
解析 由 m,n 是方程 2x -x-2=0 的两个实数根,得
2
1
所以
1ห้องสมุดไป่ตู้
+ =
+
=
1
2
1
=- .
-1
2
C )
1
m+n=2,mn=-1.
知识点二
二次函数的零点
一般地,我们把使得ax2+bx+c=0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数
y=ax2+bx+c的 零点
.
名师点睛
一元二次方程、二次函数、二次函数的图象之间的关系
即函数y=x2-x-2a的零点为-1和2.
(2)要使函数 y=x -x-2a 有零点,则 Δ=1+8a≥0,解得
2
所以 a
1
的取值范围是[- ,+∞).
8
1
a≥-8,
规律方法
二次函数零点的求法
(1)代数法:求方程y=0的实数根.
(2)几何法:对于不能用求根公式的方程y=0,可以将它与函数的图象联系起
课 标 要 求
1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的
个数.
2.理解二次函数的零点与一元二次方程的根的关系.
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.4 数学归纳法
C.假设当n=k(k∈N+)时正确,再推当n=k+1时正确
D.假设当n≤k(k∈N+)时正确,再推当n=k+2时正确
1 2 3 4 5
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程如下:
(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,那么,当n=k+1
提示n0只是满足命题的最小的正整数,但不一定是1.
3.与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法?
提示不能.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 用数学归纳法证明等式
【例 1】
1
用数学归纳法证明:1-2
1
+3
1
1
− 4+…+2-1
1
− 2
=
1
+1
1
1
+ +2+…+2
(n∈N+).
证明(1)当 n=1
分析 根据递推关系式,依次求出n=1,2,3,4时的Sn与项数n的关系,归纳、猜
想Sn与项数n的关系后利用数学归纳法证明.
解 ∵当 n≥2
∴Sn=-
则
1
-1
1
时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2,
(n≥2).
+2
2
1
3
1
4
1
5
+1
S1=a1=- ,S2==- ,S3==- ,S4==- ,由此猜想:Sn=- (n∈N+).
D.假设当n≤k(k∈N+)时正确,再推当n=k+2时正确
1 2 3 4 5
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)”的过程如下:
(1)当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.
(2)假设当n=k时,等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,那么,当n=k+1
提示n0只是满足命题的最小的正整数,但不一定是1.
3.与正整数n无关的数学命题能否应用数学归纳法?
提示不能.
重难探究·能力素养速提升
探究点一 用数学归纳法证明等式
【例 1】
1
用数学归纳法证明:1-2
1
+3
1
1
− 4+…+2-1
1
− 2
=
1
+1
1
1
+ +2+…+2
(n∈N+).
证明(1)当 n=1
分析 根据递推关系式,依次求出n=1,2,3,4时的Sn与项数n的关系,归纳、猜
想Sn与项数n的关系后利用数学归纳法证明.
解 ∵当 n≥2
∴Sn=-
则
1
-1
1
时,an=Sn-Sn-1=Sn+ +2,
(n≥2).
+2
2
1
3
1
4
1
5
+1
S1=a1=- ,S2==- ,S3==- ,S4==- ,由此猜想:Sn=- (n∈N+).
1.1.1 集合 课件(共24张PPT) (2024)高一数学湘教版必修第一册
1.1.1 集合
《三国志》记Βιβλιοθήκη ：“布有良马名曰赤兔。”据《三国演义》描述，这匹宝马
后来跟随关羽并大展神威。
思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么?
A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马
B.赤兔马是红马
C.红马是马
第一个“是”的含义相当于“＝”；
第二个和第三个“是”的含义是前者是后者中的一部分，表示“属于”。
{x|x具有性质p}。
二、表示集合的方法
a
b
思考一下：如何用集合表示上图数轴所示的范围呢？
数学中常用的一类集合叫区间；
如图所示，设a, b是两个实数，a < b，所有大于a并且小于b的实数组成的集合
叫作开区间，记作（a, b），实数a, b 分别叫作上述区间的左端点和右端点；
用符号表示就是（ a, b ）={x ∈ R|a < x < b}。
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作N；
全体整数组成的集合叫整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合叫实数集，记作R.
二、表示集合的方法
表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚。
在生活中，其实会遇到很多类似表示集合元素的方法，你能想到哪些呢？
可以把集合中的元素一一列举出来，比如菜单、花名册等；
（1）一元二次方程x 2 + 1 = 0的全体实根之集；
（2）所有素数之集；
（3）满足条件x + y = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集；
（4）满足条件x 2 + y 2 = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集。
答案：（1）和（4）是空集，（2）和（3）是无限集。
《三国志》记Βιβλιοθήκη ：“布有良马名曰赤兔。”据《三国演义》描述，这匹宝马
后来跟随关羽并大展神威。
思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么?
A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马
B.赤兔马是红马
C.红马是马
第一个“是”的含义相当于“＝”；
第二个和第三个“是”的含义是前者是后者中的一部分，表示“属于”。
{x|x具有性质p}。
二、表示集合的方法
a
b
思考一下：如何用集合表示上图数轴所示的范围呢？
数学中常用的一类集合叫区间；
如图所示，设a, b是两个实数，a < b，所有大于a并且小于b的实数组成的集合
叫作开区间，记作（a, b），实数a, b 分别叫作上述区间的左端点和右端点；
用符号表示就是（ a, b ）={x ∈ R|a < x < b}。
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作N；
全体整数组成的集合叫整数集，记作Z；
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作Q；
全体实数组成的集合叫实数集，记作R.
二、表示集合的方法
表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚。
在生活中，其实会遇到很多类似表示集合元素的方法，你能想到哪些呢？
可以把集合中的元素一一列举出来，比如菜单、花名册等；
（1）一元二次方程x 2 + 1 = 0的全体实根之集；
（2）所有素数之集；
（3）满足条件x + y = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集；
（4）满足条件x 2 + y 2 = 0和xy ≠ 0的所有实数组（x，y）之集。
答案：（1）和（4）是空集，（2）和（3）是无限集。
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式
=
3
= -6,
2 = + 2,
解析 由题意,得
所以
所以 =3.
4 = + 6,
= -2,
1 2 3 4 5 6
.
6.判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中an=3n+2;
(2)在数列{an}中an=n2+n.
解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,则这个数列是等差数列.
过程,我们通常称之为“知三求一”.
变式训练1
判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项.如果是,指明是第几项;如果不
是,试说明理由.
解 记该等差数列为{an},公差为d,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项
公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.
由题意,令-401=-4n-1,得n=100,
即-401是这个数列的第100项.
探究点二 等差中项及其应用
【例2】 若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 024项.
分析 先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入
n=2 024求解.
解由等差中项公式可得 2(2a-1)=a+(3-a),解得
差为 2 ×
5
-1
一个常数”,证明等差数列主要是证明an-an-1(n≥2)的值是一个常数.
学以致用·随堂检测促达标
1.设数列{an}是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 由a2=a1+d=4,a4=a1+3d=6,解得d=1.
3
= -6,
2 = + 2,
解析 由题意,得
所以
所以 =3.
4 = + 6,
= -2,
1 2 3 4 5 6
.
6.判断下列数列是否为等差数列.
(1)在数列{an}中an=3n+2;
(2)在数列{an}中an=n2+n.
解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,则这个数列是等差数列.
过程,我们通常称之为“知三求一”.
变式训练1
判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…中的项.如果是,指明是第几项;如果不
是,试说明理由.
解 记该等差数列为{an},公差为d,由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项
公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.
由题意,令-401=-4n-1,得n=100,
即-401是这个数列的第100项.
探究点二 等差中项及其应用
【例2】 若等差数列的前三项分别为a,2a-1,3-a,求其第2 024项.
分析 先根据条件由等差中项概念列方程求a,然后求出通项公式,再代入
n=2 024求解.
解由等差中项公式可得 2(2a-1)=a+(3-a),解得
差为 2 ×
5
-1
一个常数”,证明等差数列主要是证明an-an-1(n≥2)的值是一个常数.
学以致用·随堂检测促达标
1.设数列{an}是公差为d的等差数列,若a2=4,a4=6,则d等于( D )
A.4
B.3
C.2
D.1
解析 由a2=a1+d=4,a4=a1+3d=6,解得d=1.
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件1.1.1第2课时表示集合的方法
2-
(2)使 y=
有意义的实数 x 组成的集合;
2-
≥
0,
解 要使该式有意义,需有
解得 x≤2,且 x≠0.
≠ 0,
故此集合可表示为{x|x≤2,且 x≠0}.
(3)200以内的正奇数组成的集合;
解 {x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
解 {x|x2-5x-6=0}.
x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如
{x|x<-1或x>1}.
(6)“{
}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表
示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是
(3)一次函数 y=x-1 与
解 方程 y=x-1 与
2
4
y=- x+ 的图象的交点构成的集合.
3
3
2
4
y=-3x+3可分别化为
=
- = 1,
则方程组
的解是
2 + 3 = 4
=
x-y=1 与 2x+3y=4,
7
,
5
2 所求集合可表示为
,
5
7 2
,
5 5
.
规律方法
列举法应用的解题策略
(1)一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
(2)使 y=
有意义的实数 x 组成的集合;
2-
≥
0,
解 要使该式有意义,需有
解得 x≤2,且 x≠0.
≠ 0,
故此集合可表示为{x|x≤2,且 x≠0}.
(3)200以内的正奇数组成的集合;
解 {x|x=2k+1,x<200,k∈N}.
(4)方程x2-5x-6=0的解组成的集合.
解 {x|x2-5x-6=0}.
x∈R可省略不写,如集合D={x∈R|x<20}也可表示为D={x|x<20}.
(5)多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如
{x|x<-1或x>1}.
(6)“{
}”有“所有”“全体”的含义,如所有实数组成的集合可以用描述法表
示为{x|x是实数},但如果写成{x|x是所有实数}、{x|x是全体实数}、{x|x是
(3)一次函数 y=x-1 与
解 方程 y=x-1 与
2
4
y=- x+ 的图象的交点构成的集合.
3
3
2
4
y=-3x+3可分别化为
=
- = 1,
则方程组
的解是
2 + 3 = 4
=
x-y=1 与 2x+3y=4,
7
,
5
2 所求集合可表示为
,
5
7 2
,
5 5
.
规律方法
列举法应用的解题策略
(1)一般地,当集合中元素的个数较少时,可采用列举法;当集合中元素较多
(1)写清该集合中元素的代表符号,如{x|x>1}不能写成{x>1}.
湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 数列 1.3.1 等比数列及其通项公式
变式训练3
某工厂去年产值为a,计划十年内每年比上一年产值增长10%,若今年作为
第一年,则这个工厂的产值超过2a是( C )
A.从第6年起
B.从第7年起
C.从第8年起
D.从第9年起
解析 由题意知,第一年的产值为a(1+10%)=1.1a,且每年的产值构成以1.1a
为首项,公比为1.1的等比数列,则等比数列的通项公式an=1.1a×1.1n-1
1 2 3 4 5 6
3.已知等比数列{an}的公比q为正数,且2a3+a4=a5,则q的值为( B )
A.-1
B.2
C.-1或2
D.3
解析 由已知得2a3+a3q=a3q2,整理得2+q=q2,解得q=2或q=-1.又因为q>0,所
以q=2.
1 2 3 4 5 6
4.[2024甘肃酒泉高二期中]等比数列{an}中,a3a7a15=6,a8=3,则a9=( A )
面积为an+1,设2023年底沙漠面积为b1,经过n年后沙漠面积为bn+1,则
a1+b1=1,an+bn=1.
依题意,an+1由两部分组成:一部分是原有绿洲面积an减去被侵蚀的部分
8%·an的剩余面积92%·an,另一部分是新绿化的12%·bn.所以
4
3
an+1=92%·an+12%(1-an)=5an+25 ,即
1
(方法 1)由已知,得
解得
2
5
= 2,
1 + 1 = 9,
故 a7=a1q =32×
6
1 6
2
=
1
.
1.1.1 第1课时集合与元素 课件 (共44张PPT)高中数学湘教版(2019)必修第一册.ppt
A．1
B．2
C．3
D．4
C [由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“b”“o”“k” 三个元素．]
1234 5
Hale Waihona Puke 3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14
B．－5
C．37
D． 7
D [由题意可知，a∈R且a∉Q，所以a是无理数，故选D．]
1234 5
4．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或 “∉”)．
类型 1 集合的基本概念 【例 1】 2021 年 9 月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己 的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由． (1)你所在班级中的全体同学； (2)班级中比较高的同学； (3)班级中比较胖的同学； (4)班级中体重超过 75 kg 的同学； (5)学习成绩比较好的同学．
(1)某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？ (2)某班身高高于 175 厘米的男生能否构成一个集合？ [提示] (1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没 有明确的标准． (2)某班身高高于 175 厘米的男生能构成一个集合，因为标准确 定．
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过 来，一组对象若不具备这三个基本属性，则这组对象也就不能构成集 合．
4.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于 10 000 的正整数构成的集合是无限集．
()
(2)不等式组x3＋－3x≥ ≥00 的解集是有限集．
()
(3)方程 x2＋1＝0 的解构成的集合是空集．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√
NO.2
合作探究·释疑难
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件1.2.3第2课时含量词命题的否定
奇数,所以¬r是真命题.
④¬s:存在两个等边三角形,它们不相似.由s是真命题可知¬s是假命题.
规律方法
1.全称量词命题的否定的两个关注点
(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结
论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定.
(2)有些全称量词命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定写成“是”
解析 命题的否定为“∀x∈R,x2+2 022x+2 023≥0”.
1 2 3 4 5
3.命题“∀x,y<0,x+y≤-2 ”的否定为
∃x,y<0,x+y>-2
.
1 2 3 4 5
4.命题“∃x∈R,x2+2x+1=0”的否定是 假
命题.(填“真”“假”之一)
解析 ∵由x2+2x+1=0得(x+1)2=0,∴x=-1,
存在量词命题的否定是全称量词命题,其真假性与存在量词命题相反;要说
明一个存在量词命题是真命题,只需要找到一个实例即可.
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1.命题“∀x>0,x2>0”的否定是( B )
A.∀x>0,x2≤0
B.∃x>0,x2≤0
C.∀x≤0,x2≤0
D.∃x≤0,x2≤0
(2)p:所有的正方形都是菱形;
解 ¬p:至少存在一个正方形不是菱形,假命题.因为所有的正方形都是菱形.
(3)p:至少有一个实数x,使x3+1=0.
解 ¬p:∀x∈R,x3+1≠0,假命题.因为当x=-1时,x3+1=0.
规律方法