课件 公式法(1)
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
(4).3y2 +1 = 2
3y.
小结
拓展ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系 数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:
2
b2 − 4ac = (− 9) − 4× 2×8 =17 > 0.
−b ± b − 4ac ∴x = 2a − (−9) ± 17 = 2×2 9 ± 17 = . 4
2
9 + 17 9 − 17 ∴x1 = ; x2 = . 4 4
学习是件很愉快的事
− b ± b − 4αc x= 2α
2
例 1 解方程：x2-7x-18=0 解：这里 a=1, b= -7, c= -18. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×1×(-18)=121﹥0,
回顾与复习 2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
你能用配方法解方程
9 解: x − x + 4 = 0. 2 9 2 x − x = −4. 2 2 2 9 9 9 2 x − x + = − 4. 2 2 4 4 9 17 x− = . 4 16 9 17 x− =± . 4 4 9 17 ∴x = ± . 4 4 9 + 17 9 − 17 ∴x1 = ; x2 = . 4 4
当b2 − 4ac ≥ 0时 它的根是: ,
−b ± b2 − 4ac 2 ∴x = . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular). 老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.
心动
不如行动
公式法是这样生产的
1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.代入:把有关数值代入公 式计算; 5.定根:写出原方程的根.
你能用公式法解方程 2x2-9x+8=0 吗?
解: a = 2, b = −9, c = 8. ∵
心动
2
不如行动
公式法是这样生产的
ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
你能用配方法解方程
b c 解: x + x + = 0. 1.化1:把二次项系数化为1; a a b c 2 x + x=− . 2.移项:把常数项移到方程的右边; a a 2 2 b b b c 3.配方:方程两边都加上一次项 2 x + x + = − . 系数绝对值一半的平方; a 2a 2a a 2 b b2 − 4ac 4.变形:方程左分解因式, . x+ = 2 4a 2a 右边合并同类; 当b2 − 4ac ≥ 0时 ,
我最棒
,用公式法解下列方程
参考答案： 参考答案： (1).x1 = −2; x2 = 4.
1). 2x2＋x－6＝0； (2).x1 = −2 + 6; x2 = −2 − 6. 2). x2＋4x＝2； 6 (3).x1 = 2; x2 = − . 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ; 35 (4).x1 = x2 = − . 4). 4x2+4x+10 =1-8x ； 2 2－6x＋1＝0 ； (5).x1 = 3+ 2 2; x2 = 3− 2 2. 5). x 3 2－x＝6 ； 6). 2x (6).x1 = 2; x2 = − . 12 2- 3x - 1=x - 2； (7).x1 = x2 = − . 7). 4x 29 − 73 9 + 73 8). 3x(x-3)=2(x-1)(x+1); (8).x1 = ; x2 = . 2 1 2 9). 9x2+6x+1 =0 ； (9).x1 = x2 = − . 3 3 1 10). 16x2+8x=3 ； (10).x1 = ; x2 = − .
心动
2
不如行动
公式法将从这里诞生
2x2-9x+8=0 吗?
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
九年级数学
3.公式法(1) 一元二次方程解法
一元二次方程
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
助手:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= ± a . 完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
x2 ＝-2.8(不合题意,舍去). 答:门的高是9.6尺,宽是2.8尺.
独立 作业
2. 用公式法解下列方程 用公式法解下列方程.
知识的升华
参考答案:
2+ 6 2− 6 (1).x1 = . ; x2 = 2 2 1 (2).x1 = 2; x2 = − . 3 11+ 13 11− 13 (3).x1 = ; x2 = . 6 6
b b − 4ac x+ = ± . 2a 2a 2 −b ± b − 4ac 2 ∴x = . b − 4ac ≥ 0 . 2a
2
(
)
5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
心动
不如行动
公式法
ax2+bx+c=0(a≠0)
一般地,对于一元二次方程
2 3± 0 2 3 ∴x = = = 3, 2×1 2
即：x1= x2=
3
想一想
− b ± b2 − 4αc x= 2α
例 3 解方程：（x-2)(1-3x)=6 （ 解：去括号：x-2-3x2+6x=6 化简为一般式：-3x2+7x-8=0 3x2-7x+8=0 这里 a=3, b= -7, c= 8. ∵b2 - 4ac=(-7)2 - 4×3×8=49 - 96= - 47< 0, ∴原方程没有实数根.
7 ± 121 7 ± 11 ∴x = = , 2×1 2
即：x1=9, x2= -2.
动脑筋
− b ± b2 − 4αc x= 2α
例 2 解方程：
x +3 = 2 3x 3
2
解：化简为一般式：x2
− 2 3x + 3 = 0
这里 a=1, b= − 2 3 , c= 3. ∵b2 - 4ac=(− 2 3)2 - 4×1×3=0,
−b ± b2 − 4ac 2 ∴x = . b − 4ac ≥ 0 . 2a
(
)
独立 作业
知识的升华
1、P59习题2.6 1,2题;
祝你成功！
独立 作业
知识的升华
根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸, 两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得 2 10 x x2 + (x − 6.8) =102. 2x2+13.6x-9953.76＝0. 即 解这个方程,得 x1 ＝9.6; ∴x-6.8=2.8. x-6.8
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
下课了!
结束寄语
•
•
配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
∴x − 2 = 6, x + 2 =10.
答: 三 形 三 边 分 为 ,8,10. 角 的 条 长 别 6
A C
我最棒
解下列方程:
,解题大师——规范正确!
参考答案:
(1). x2-2x－8＝0； (2). 9x2＋6x＝8；
(1).x1 = −2; x2 = 4.
2 4 (2).x1 = ; x2 = − . 3 3 3 (3).x1 =1; x2 = . 2 3 (4).y1 = y2 = . 3
4 4
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角 形的三边长. 解: 设 三 连 偶 中 的 个 x, 根 题 得 这 个 续 数 间 一 为 据 意
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公式法第一课时参考课件
(a+ b)(a - b )
(3a+2b)(3a-2b)
y(x+2)(x-2)
(4+a2)(2+a)(2-a)
思维延伸 1. 观察下列各式: 32-12=8=8×1; 52-32=16=8×2; 72-52=24=8×3; …… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗? 为什么?
（2）（x+p)2-(x+q)2
=(2x+p+q)(p-q).
05
这里可用到了整体思想喽！
03
解：（2）(x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
01
把（x+p)和(x+q)看着了 一个整体，分别相当于 公式中的a和b。
04
把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体,设x+p=m，x+p=n，则原式化为m2-n2.
01
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
02
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
四、应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）： ① x2-4=________ ②9-t2=_________
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？ ①x2+y2 ②x2-y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2
(2n+1)2-(2n-1)2=8n
五、小结
式，再看能否用公式法进行因式分解。 例如：①x2+y2 ②x2-y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2 比如：①a3b – ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
(3a+2b)(3a-2b)
y(x+2)(x-2)
(4+a2)(2+a)(2-a)
思维延伸 1. 观察下列各式: 32-12=8=8×1; 52-32=16=8×2; 72-52=24=8×3; …… 把你发现的规律用含n的等式表示出来. 2. 对于任意的自然数n,(n+7)2-(n-5)2能被24整除吗? 为什么?
（2）（x+p)2-(x+q)2
=(2x+p+q)(p-q).
05
这里可用到了整体思想喽！
03
解：（2）(x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
01
把（x+p)和(x+q)看着了 一个整体，分别相当于 公式中的a和b。
04
把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体,设x+p=m，x+p=n，则原式化为m2-n2.
01
a2-b2 =(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b) = a2-b2
02
a2-b2 =(a+b)(a-b)
这就是用平方差公式进行因式分解。
四、应用新知，尝试练习
例1、因式分解（口答）： ① x2-4=________ ②9-t2=_________
例2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？ ①x2+y2 ②x2-y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2
(2n+1)2-(2n-1)2=8n
五、小结
式，再看能否用公式法进行因式分解。 例如：①x2+y2 ②x2-y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2 比如：①a3b – ab=ab(a2-1)=ab(a+1)(a-1) x(x-y)2-x=x[(x-y)2-1]=x(x-y+1)(x-y-1)
一元二次方程的解法--公式法--微课件1
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 强调：用公式法解一元二次方程的前提是 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不等实数根 当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等实数根 当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根
4.定根:写出原方程 的根.
用公式法解方程
（1）x2-7x-18=0 （2）x2+3=4x
2 （3）3x -7x+8=0
限时练习答案： 1.x1=9,x2=-2 2.x1=-1,x2=-2 3.方程没有实数解
欢迎批评指正！
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枣庄四十二中
徐利华
2014-3-11 8
b b 2 4ac x . 2a 2a
5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方;
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 6.写解:写出原方程的解. 2a
公式法
一般地,对于一元二次方程
2
ax2+bx+c=0(a≠0)
当b 4ac 0时, 它的根是 :
一元二次方程的解法
• 单击此处编辑母版副标题样式 单击此处编辑母版副标题样式 制作人：徐利华
2014-3-11 1
一元二次方程的解法（三）
2+bx+c=0(a≠0)吗? 你能用配方法解方程 ax 公式就是这样生产的
b c 解 : x x 0. a a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 强调：用公式法解一元二次方程的前提是 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.当b2-4ac＞0时，一元二次方程有两个不等实数根 当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等实数根 当b2-4ac＜0时，一元二次方程没有实数根
4.定根:写出原方程 的根.
用公式法解方程
（1）x2-7x-18=0 （2）x2+3=4x
2 （3）3x -7x+8=0
限时练习答案： 1.x1=9,x2=-2 2.x1=-1,x2=-2 3.方程没有实数解
欢迎批评指正！
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枣庄四十二中
徐利华
2014-3-11 8
b b 2 4ac x . 2a 2a
5.开方:根据平方根意义,方程两 边开平方;
b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 6.写解:写出原方程的解. 2a
公式法
一般地,对于一元二次方程
2
ax2+bx+c=0(a≠0)
当b 4ac 0时, 它的根是 :
一元二次方程的解法
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2014-3-11 1
一元二次方程的解法（三）
2+bx+c=0(a≠0)吗? 你能用配方法解方程 ax 公式就是这样生产的
b c 解 : x x 0. a a
公式法课件
x2-25=x2-52=(x+5)(x-5)； 9x2-y2 =(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就 得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方 差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又
可以是多项式；
平方差公式中字母a、b不仅可以表示数，而且也 可以表示单项式、多项式或单项式与单项式的乘 积。 注意：每个因式要分解到不能再分解为止.
解：（2）2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2)
注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提 出这个公因式，然后再进一步因式分解.
=[3(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)]
=(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b)
把多项式x4-16因式分解.
解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
把下列各式因式分解:
(1) a4–b4=(a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)
事实上，把乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2反过来，就 得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
你对平方差公式认识有多深？
a2-b2=(a+b)(a-b)
△2- 2=（△+ ）（△- ）
3、已知3a+b=10000，3a-b=0.0001， 求 b2-9a2 的值.
小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式； （2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方 差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又
可以是多项式；
平方差公式中字母a、b不仅可以表示数，而且也 可以表示单项式、多项式或单项式与单项式的乘 积。 注意：每个因式要分解到不能再分解为止.
解：（2）2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2)
注意：当多项式的各项含有公因式时，通常先提 出这个公因式，然后再进一步因式分解.
=[3(a+b)+2(a-b)] [3(a+b)-2(a-b)]
=(3a+3b+2a-2b) (3a+3b-2a+2b)
=(5a+b)(a+5b)
把多项式x4-16因式分解.
解：x4-16 =(x2)2-42 =(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2)
把下列各式因式分解:
(1) a4–b4=(a2)2-(b2)2= (a2+b2)(a2-b2)
初中数学人教版九年级上册《公式法》课件(1)
k的值为（ A ）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
随堂练习
3.已知关于x的一元二次方程2x2-kx+3=0有两个相等的
实数根，则k的值为（ A ）
A.±2 6 B.± 6
C.2或3
D. 2 或 3
4.关于x的一元二次方程（k+1）x2-2x+1=0有两个实数
根，则k的取值范围是（ D ）
A.k≥0
B.k≤0
方程无实数根
练一练
方程2x2+5x-3=0的解是( C )
A.x=3
B.x=-3
C.x1=-3,x2=
1 2
D.x= 1
2
随堂练习
1.一元二次方程2x2-x+1=0根的情况是（ C ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则
C.k＜0且k≠-1
D.k≤0且k≠-1
5.若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=
（m+1）x+m-1的图象不经过(D )
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
6.解方程：
（1）x2 +7x – 18 = 0； 解 a＝1，b＝7，c＝－18. ∵ b 2 - 4ac =7 2 – 4 × 1× (-18 ) =121>0, 方程有两个不等的实数根.
（3）5x2-3x=x+1；
解 方程化为5x2-4x-1=0 a＝1，b＝－4，c＝－7.
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0. 方程有两个不等的实数根.
八年级数学下公式法(一)课件
公式法（一）
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
分解因式：
① ax+ay ②Biblioteka 2 ax -4a③
2 2xy -50x
乘法公式： 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
因式分解公式：
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
判断：下列多项式能否用平方差 公式分解因式？
①
x2 +
y2
y2
( 否)
(否 )
② - x2 + y 2 ( 是 )
③-
x2 -
④4
2 x –
9 (是 )
⑤ (x+p)2 - (x+q)2 ( 是 )
谁最快？ ① (x+2)(x-2)是下列哪个多项 ②下列式子中能用平方差公 CD 式分解因式的结果 式分解因式的是 （（ ） ）
2 2 2 A -–xx +–4 y 2 2 Bx m+ +(4 2 n)
测题。 要求：1.题量4—6道 2.满分100分 3.写清出题人
战胜困难 勇做强者
再见
C 169a -
2 x - 24
2 2 2 2 –x- – 4(x+y) -81b D x
套用公式填空：
① 4 - 9m2=( 2 )2- ( 3m )2=(2+3m ) ( 2-3m) 4a+9b)( 4a-9b) ② 16a2 - 81b2 =( 4a)2-( 9b)2=( ③ 36x2 - 49 y2 =(6x )2-( 7y)2 = ( 6x +7y)( 6x -7y) ④ 25m4 - 0.81n2 = ( 5m2 )2 - ( 0.9n)2 = ( 5m2+0.9n)( 5m2-0.9n ) ⑤ 2x2 – 50 = 2( X2-25 ) = 2( X+5)( X-5 )
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
分解因式：
① ax+ay ②Biblioteka 2 ax -4a③
2 2xy -50x
乘法公式： 2 2 (a+b)(a-b)=a -b
因式分解公式：
2 2 a -b =(a+b)(a-b)
判断：下列多项式能否用平方差 公式分解因式？
①
x2 +
y2
y2
( 否)
(否 )
② - x2 + y 2 ( 是 )
③-
x2 -
④4
2 x –
9 (是 )
⑤ (x+p)2 - (x+q)2 ( 是 )
谁最快？ ① (x+2)(x-2)是下列哪个多项 ②下列式子中能用平方差公 CD 式分解因式的结果 式分解因式的是 （（ ） ）
2 2 2 A -–xx +–4 y 2 2 Bx m+ +(4 2 n)
测题。 要求：1.题量4—6道 2.满分100分 3.写清出题人
战胜困难 勇做强者
再见
C 169a -
2 x - 24
2 2 2 2 –x- – 4(x+y) -81b D x
套用公式填空：
① 4 - 9m2=( 2 )2- ( 3m )2=(2+3m ) ( 2-3m) 4a+9b)( 4a-9b) ② 16a2 - 81b2 =( 4a)2-( 9b)2=( ③ 36x2 - 49 y2 =(6x )2-( 7y)2 = ( 6x +7y)( 6x -7y) ④ 25m4 - 0.81n2 = ( 5m2 )2 - ( 0.9n)2 = ( 5m2+0.9n)( 5m2-0.9n ) ⑤ 2x2 – 50 = 2( X2-25 ) = 2( X+5)( X-5 )
《公式法》PPT教学课件1人教版
21.2.2 公式法
10．用公式法解下列方程：
(1)x2＋x－2＝0；
(2)x2－4x＋2＝0；
(3)4x2－3x－5＝x－2.
解：(1)∵a＝1，b＝1，c＝－2，
∴b2－4ac＝1－4×1×(－2)＝9>0，
－b± b2－4ac －1± 9 －1±3
∴x＝
2a
＝ 2 ＝2，
∴x1＝1，x2＝－2.
第二十一章 一元二次方程
知识点 1 一元二次方程根的判别式
第二十一章 一元二次方程
第二十一章 第二十一章
解：(1)当 一元二次方程
一元二次方程
m＝3
时，原方程变为
x2＋2x＋3＝0，
第二十一章 一元二次方程
第二十一章 第二十一章
∴一一元元b二二2次次－方方程程4ac＝22－4×3＝－8＜0，∴该方程无实数根．
【解析】∵点 一元二次方程
一元二次方程
P(a，c)在第二象限，∴a＜0，c＞0，
∴ac＜0，∴－4ac＞0.
又∵b2≥0，∴Δ＝b2－4ac＞0，
∴关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根．故选 B.
21.2.2 公式法
12．2017·宁夏 关于 x 的一元二次方程(a－1)x2＋3x－2＝0 有实数根，则 a 的取值范围是( D )
∴b2－4ac＝(－9)2－4×1×2＝73>0，
9± 73
9＋ 73
9－ 73
∴x＝ 2 ，∴x1＝ 2 ，x2＝ 2 .
21.2.2 公式法
15．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋m＝0.
(1)当 m＝3 时，判断该方程的根的情况；
知识点 1 一元二次方程根的判别式
2014新湘教版七年级下3.3公式法(1)课件(共11张ppt)
提公因式后不 要漏掉“1”或 “-1”这一项。
（4）答案要写成最简形式。
作业：P66
A
1
25
a2-b2 = (a+b)(a-b) . 像上述例子那样，把乘法公式从右到 左地使用，就可以用来把某些多项式分解 因式.这种分解因式的方法叫做 公式法
结论
2 2 4 x y 例1 把 因式分解 .
分析
可以用平方差公式吗？ 解
4 x2 - y2 2 2 = ( 2 x) - y
= ( 2 x + y)( 2 x - y)
又如：把-4ax2+16ay2因式分解
行因式分解.
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2) =-4a(x+2y)(x-2y)
1、分解因式： . 2) 2 x 2 - 8 = 2(x+2)(x2、把下列各式因式分解 ( 1 )- 9 x 2 + y 2
( y + 3 x)( y - 3 x)
因为4x2 可以 写成(2x)2 ,所以能用 平方差公式分解。
9 2 例2 把 25 x - y 因式分解 4 解 25 x 2 - 9 y 2
2
怎么化成平方差公
式的形式？
4 3 2 2 = ( 5 x ) -( y) 2 3 3 = ( 5 x + y)( 5 x - y ) 2 2
例3 把 ( x + y)2 -( x - y + 1)2 解 ( x + y)2 -( x - y + 1)2
湘教版
SHU XUE
因式分解之
七年级下
本节内容
3.3
公式法（一）
运用平方差公式
主讲：黄亭市镇中学
（4）答案要写成最简形式。
作业：P66
A
1
25
a2-b2 = (a+b)(a-b) . 像上述例子那样，把乘法公式从右到 左地使用，就可以用来把某些多项式分解 因式.这种分解因式的方法叫做 公式法
结论
2 2 4 x y 例1 把 因式分解 .
分析
可以用平方差公式吗？ 解
4 x2 - y2 2 2 = ( 2 x) - y
= ( 2 x + y)( 2 x - y)
又如：把-4ax2+16ay2因式分解
行因式分解.
解：-4ax2+16ay2
= -4a(x2-4y2) =-4a(x+2y)(x-2y)
1、分解因式： . 2) 2 x 2 - 8 = 2(x+2)(x2、把下列各式因式分解 ( 1 )- 9 x 2 + y 2
( y + 3 x)( y - 3 x)
因为4x2 可以 写成(2x)2 ,所以能用 平方差公式分解。
9 2 例2 把 25 x - y 因式分解 4 解 25 x 2 - 9 y 2
2
怎么化成平方差公
式的形式？
4 3 2 2 = ( 5 x ) -( y) 2 3 3 = ( 5 x + y)( 5 x - y ) 2 2
例3 把 ( x + y)2 -( x - y + 1)2 解 ( x + y)2 -( x - y + 1)2
湘教版
SHU XUE
因式分解之
七年级下
本节内容
3.3
公式法（一）
运用平方差公式
主讲：黄亭市镇中学
八年级数学上册教学课件《公式法(第1课时)》
=4×(1+2)=12．
课堂检测
基础巩固题
14.3 因式分解
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
( a + b )( a – b ) = a2 – b2 a 2 – b 2 = ( a + b )( a – b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
探究新知
14.3 因式分解
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后 的结果中有公因式，一定要 再用提公因式法继续分解.
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 2 多次因式分解
例2 分解因式： (1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
课堂检测
基础巩固题
14.3 因式分解
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( D )
A．a2＋(–b)2
B．5m2–20mn
C．–x2–y2
D．–x2＋9
2. 将多项式x–x3因式分解正确的是( D )
A．x(x2–1)
B．x(1–x2)
C．x(x+1)(x–1)
D．x(1+x)(1–x)
( a + b )( a – b ) = a2 – b2 a 2 – b 2 = ( a + b )( a – b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个 数的差的乘积.
探究新知
14.3 因式分解
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
(2)原式＝(3m＋3n–m＋n)(3m＋3n＋m–n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n) ＝4(m＋2n)(2m＋n)．
若用平方差公式分解后 的结果中有公因式，一定要 再用提公因式法继续分解.
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 2 多次因式分解
例2 分解因式： (1) x4 y4 ;
(2) a3 b ab.
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
探究新知
14.3 因式分解
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
公式法PPT课件(1)
解 -4x2+12xy-9y2 = -(4x2-12xy+9y2) = -[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2] = -(2x-3y)2
例7 把a4+2a2b+b2因式分解.
解 a4+2a2b+b2 = (a2)2 + 2 ·a2 ·b + b2 = (a2+ 因式分解.
本课节内容 3.3
公式法
动脑筋
如何把 x2-25 因式分解？ 我们学过平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2， 把这个乘法公式从右到左地使用， 得 a2-b2=(a+b)(a-b) . 因此 x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5) .
a2-b2= (a+b)(a-b) .
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用， 就可以把某些情势的多项式进行因式分解，这 种因式分解的方法叫做公式法.
结束
(2)m2 1 n2 mn 4
m2 2 • m • 1 n (1 n)2 (m 1 n)2.
22
2
小结与复习
1. 什么叫多项式的因式分解？因式分解与 多项式的乘法有什么关系？ 2. 什么叫公因式？怎样确定公因式？ 3. 因式分解有哪些方法？写出公式法分解 因式时所用的公式.
本章知识结构
动脑筋
你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2 进行因式分解吗？
我们学过完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 . 将完全平方公式从右到左地使用，就可以 把形如这样的多项式进行因式分解. 例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
例7 把a4+2a2b+b2因式分解.
解 a4+2a2b+b2 = (a2)2 + 2 ·a2 ·b + b2 = (a2+ 因式分解.
本课节内容 3.3
公式法
动脑筋
如何把 x2-25 因式分解？ 我们学过平方差公式(a+b)(a-b)= a2-b2， 把这个乘法公式从右到左地使用， 得 a2-b2=(a+b)(a-b) . 因此 x2-25 = x2-52 = (x+5)(x-5) .
a2-b2= (a+b)(a-b) .
像上面那样，把乘法公式从右到左地使用， 就可以把某些情势的多项式进行因式分解，这 种因式分解的方法叫做公式法.
结束
(2)m2 1 n2 mn 4
m2 2 • m • 1 n (1 n)2 (m 1 n)2.
22
2
小结与复习
1. 什么叫多项式的因式分解？因式分解与 多项式的乘法有什么关系？ 2. 什么叫公因式？怎样确定公因式？ 3. 因式分解有哪些方法？写出公式法分解 因式时所用的公式.
本章知识结构
动脑筋
你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2 进行因式分解吗？
我们学过完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 . 将完全平方公式从右到左地使用，就可以 把形如这样的多项式进行因式分解. 例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 .
1.因式分解(公式法)PPT课件(华师大版)
(2) ( a2 y2 ) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
例4.分解因式
(1) x2＋14x＋49
(3)9a 2 6ab b2
（2）25x2＋10x＋1
(4) -x2-4y2＋4xy
解：原式 x2 2 x 7 72 原式=（5x)2+2×5x×1+12
【点拨】a2－4ab＋4b2－1 ＝(a－2b)2－1 ＝(a－2b＋1)(a－2b－1)。
例5.分解因式
(1)3ax2 6axy 3ay 2 (2)x4 18 x2 81
(3（) 2x y)2 （6 2x y) 9
解：(1)原式 3a(x2 2xy y 2 )
3a(x y)2
中的一个公式。
运用公式法
乘法公式 反过来 因式分解
(a+b)(a-b)=a2-b2 a2-b2=(a+b)(a-b)
(a+b)2=a2+2ab+b2 a2+2ab+b2=(a+b)2 (a-b)2=a2-2ab+b2 a2-2ab+b2=(a-b)2 逆用乘法公式把某些多项式进行因式分解。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(3)112 392 6613
例7.若n是整数,试说明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。
解：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)] =(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1) =4n.2 =8n
∴ (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数。