7、近五年全国卷分类总汇编——概率统计教师版.doc
2019年-2015年五年全国高考解答题专题概率统计-教师用卷
2019年-2015年年年年年年年年年年年年概率统计知识点总结：考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率． §11. 概率 知识要点1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率.3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：. ②对立事件：两个事件必有一个发生．．．．．．．．．．的互斥事件．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K ”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或方块老K ”有，因此有. 推广：若事件相互独立，则. 注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与与B ，与也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：.4. 对任何两个事件都有考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样．n1n m P(A)=)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ 1)A P(A )A P(P(A)=+=+261P(B)P(A),215226P(B),131524P(A)=⋅====261522B)P(A ==⋅)B P(A P(B)P(A)⋅=⋅n 21,A ,,A A )P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅A B ,A B kn k k n n P)(1P C (k)P --=)()()()(B A P B P A P B A P ⋅-+=+互斥对立（2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差． 一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：[其中] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B （n ·p ），其中n ，p 为参数，并记.⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为，事A 不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：于是得到随机变量ξ的概率分布列.我们称ξ服从几何分布，并记，其中5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N -M 件正品中取n -k 件的取法数，如果规定＜时，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为.b a +=ξη)(x f )(ξf ,,,,21i x x x ),2,1( =i x p x P ==)(ξ121i ]5,0[∈ξξkn k k n qp C k)P(ξ-==p q n k -==1,,,1,0 ξp)n b(k;q p C kn k k n ⋅=-k =ξk A q )P(A ,A k k =)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== ))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1==-k p q k p q p)g(k,1k -= 3,2,1.1=-=k p q )N n n(1≤≤)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--m r 0C rm =n.,0,1,k C C C k)P(ξn ba kn bk a =⋅==+-⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把个产品编号，则抽取n 次共有个可能结果，等可能：含个结果，故，即～.[我们先为k 个次品选定位置，共种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量的数学期望： ①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：其分布列为：. ⑶两点分布：，其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： 其分布列为～.（P 为发生的概率）⑸几何分布： 其分布列为～.（P 为发生的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差. 显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量的方差.（a 、b 均为常数）⑵单点分布： 其分布列为 ⑶两点分布： 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布： ⑸几何分布：5. 期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化： ⑷（因为为一常数）. 三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x 轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为ηb a +n b a )(+k)(η=kn k k n b a C -n ,0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--η)(b a a n B +⋅k n C k)P(ηk)P(ξ=≈=n n 2211b a +=ξηb aE b a E E +=+=ξξη)(0=a b b E =)(1=a b E b E +=+ξξ)(0=b ξξaE a E =)(c c E =⨯=1ξc P ==)1(ξp p q E =⨯+⨯=10ξ∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξξ),(p n B ξpE 1=ξξ),(p k q ξ),2,1()( ===k p x P k k ξ +-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ0≥ξD σξξσξ.D =ξD b a +=ξηξξηD a b a D D 2)()(=+=0=ξD p P ==)1(ξpq D =ξnpq D =ξ2p q D =ξξE ηE ηξηξE E E ±=±)(ηηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(22)(ξξξE E D -=)()()(ξξξξE E E E E -=-ξE 0=-=ξξE E ),[b a a x =b x =图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：. （为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若～，则ξ的期望与方差分别为：.⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线对称.③当时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当＜时，曲线上升；当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布. 即～有，求出，而P （a ＜≤b ）的计算则是.注意：当标准正态分布的的X 取0时，有当的X 取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～则ξ的分布函数通常用表示，且有.4.⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：如果，接受统计假设. 如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布则 ξ落在内的概率为99.7％ 亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.)(x f ),(+∞-∞∈x 222)(21)(σμσπ--=x ex f σμ,,R x ∈0 σσμ,ξ),(2σμN )(x f ),(2σμN ξ),(2σμN 2,σξμξ==D E μ=x μ=x x μx μμσσσ)(21)(22+∞-∞=-x ex x πϕξ)1,0(N )()(x P x ≤=ξϕ)(1)(x x --=ϕϕξ)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ )(x Φ5.0)(=Φx )(x Φ5.0)( x Φ5.00793.0)5.0(=-Φσμσμ-5.0ξ),(2σμN )(x F )σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕσ),(2σμN a )3,3(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-∈a )3,3(σμσμ+-∉a σ),(2σμN )3,3(σμσμ+-)3,3(σμσμ+-S 阴=0.5S a =0.5+S历年真题：1.（2019年全国I卷第21题）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i−1+bp i+cp i+1(i=1,2，…，7)，其中a= P(X=−1)，b=P(X=0)，c=P(X=1).假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．【答案】(1)解：X的所有可能取值为−1，0，1．P(X=−1)=(1−α)β，P(X=0)=αβ+(1−α)(1−β)，P(X=1)=α(1−β)，(2)(i)证明：∵α=0.5，β=0.8，∴由(1)得，a=0.4，b=0.5，c=0.1．因此p i=0.4p i−1+0.5p i+0.1p i+1(i=1,2，…，7)，故0.1(p i+1−p i)=0.4(p i−p i−1)，即(p i+1−p i)=4(p i−p i−1)，又∵p1−p0=p1≠0，∴{p i+1−p i}(i=0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p1的等比数列；(ii)解：由(i)可得，p8=(p8−p7)+(p7−p6)+⋯+(p1−p0)+p0=p1(1−48)1−4=48−13P1，∵p8=1，∴p1=348−1，∴P4=(p4−p3)+(p3−p2)+(p2−p1)+(p1−p0)+p0=44−13p1=1257．P4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．【解析】本题主要考查数列和函数的应用，考查离散型随机变量的分布列，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．(1)由题意可得X的所有可能取值为−1，0，1，再由相互独立试验的概率求P(X=−1)，P(X=0)，P(X=1)的值，则X 的分布列可求；(2)(i)由α=0.5，β=0.8结合(1)求得a ，b ，c 的值，代入p i =ap i−1+bp i +cp i+1，得到(p i+1−p i )=4(p i −p i−1)，由p 1−p 0=p 1≠0，可得{p i+1−p i }(i =0,1，2，…，7)为公比为4，首项为p 1的等比数列； (ii)由(i)可得，p 8=(p 8−p 7)+(p 7−p 6)+⋯+(p 1−p 0)+p 0，利用等比数列的前n 项和与p 8=1，得p 1=348−1，进一步求得p 4=1257.P 4表示最终认为甲药更有效的概率，结合α=0.5，β=0.8，可得在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为P 4=1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．2. （2019年全国II 卷第18题）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． (1)求P(X =2)；(2)求事件“X =4且甲获胜”的概率．【答案】解：(1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2，3，…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4)=(0.5×0.4+0.5×0.6)×0.5×0.4=0.1．【解析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)设双方10：10平后的第k 个球甲获胜为事件A k (k =1,2，3，…)，则P(X =2)=P(A 1A 2)+P(A 1−A 2−)=P(A 1)P(A 2)+P(A 1−)P(A 2−)，由此能求出结果；(2)P(X =4且甲获胜)=P(A 1−A 2A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=P(A 1−)P(A 2)P(A 3)P(A 4)+P(A 1)P(A 2−)P(A 3)P(A 4)，由此能求出事件“X =4且甲获胜”的概率．3. （2019年全国III 卷第17题）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A 、B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70． (1)求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)． 【答案】解：(1)C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P(C)的估计值为0.70．则由频率分布直方图得：{a +0.20+0.15=0.70.05+b +0.15=1−0.7, 解得乙离子残留百分比直方图中a =0.35，b =0.10． (2)估计甲离子残留百分比的平均值为：x 甲−=2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值为：x 乙−=3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15=6．【解析】本题主要考查频率、平均值的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．(1)由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a ，b ．(2)利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均值．4. （2018年全国I 卷第20题）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p 0．(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． (i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ； (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】解：(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，则f(p)=C 202p 2(1−p)18，∴f ′(p)=C 202[2p(1−p)18−18p 2(1−p)17]=2C 202p(1−p)17(1−10p)，令f ′(p)=0，得p =0.1，当p ∈(0,0.1)时，f ′(p)>0，f(p)单调递增，当p ∈(0.1,1)时，f ′(p)<0，f(p)单调递减， ∴当p =0.1时，f(p)取得极大值，也为最大值，则f(p)的最大值点p 0=0.1． (2)(i)由(1)知p =0.1，令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y ～B(180,0.1)， X =20×2+25Y ，即X =40+25Y ，∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490．(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，∵E(X)=490>400，∴应该对余下的产品进行检验．【解析】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C202p2(1−p)18，则f′(p)=C202[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C202p(1−p)17(1−10p)，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0=0.1．(2)(i)由p=0.1，令Y表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知Y～B(180,0.1)，再由X=20×2+ 25Y，即X=40+25Y，能求出E(X)．(ii)如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为400元，E(X)=490>400，从而应该对余下的产品进行检验．5.（2018年全国II卷第18题）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，17)建立模型①：ŷ=−30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，…，7)建立模型②：ŷ=99+17.5t．(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．【答案】解：(1)根据模型①：ŷ=−30.4+13.5t，计算t=19时，ŷ=−30.4+13.5×19=226.1；利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；根据模型②：ŷ=99+17.5t，计算t=9时，ŷ=99+17.5×9=256.5；．利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；(2)模型②得到的预测值更可靠；因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠些．【解析】(1)根据模型①计算t=19时y^的值，根据模型②计算t=9时y^的值即可；(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较，即可得出模型②的预测值更可靠些．本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．6.（2018年全国III卷第18题）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P(K2≥k)0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】解：(1)根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m=79+812=80；由此填写列联表如下：超过m不超过m总计第一种生产方式15520第二种生产方式51520总计202040(3)根据(2)中的列联表，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(15×15−5×5)220×20×20×20=10>6.635，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．【解析】本题考查了茎叶图、中位数、2×2列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．(1)根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；(2)根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表；(3)列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论．7.（2017年全国I卷第19题）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ−3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ−3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅱ)试说明上述监控生产过程方法的合理性；9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x=116∑x i16i=1=9.97，s=√116∑(16i=1x i−x)2=√116(∑x i216i=1−16x2)≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数x作为μ的估计值û，用样本标准差s作为σ的估计值σ̂，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974，0.997416≈0.9592，√0.008≈0.09．【答案】解：(1)由题可知尺寸落在(μ−3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974，则落在(μ−3σ,μ+3σ)之外的概率为1−0.9974=0.0026，因为P(X=0)=C160×(1−0.9974)0×0.997416≈0.9592，所以P(X≥1)=1−P(X=0)=0.0408，又因为X～B(16,0.0026)，所以E(X)=16×0.0026=0.0416；（2）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由x=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为û=9.97，σ的估计值为σ̂=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在(û−3σ̂,û+3σ̂)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为：1 15(16×9.97−9.22)=10.02，因此μ的估计值为10.02．∑x i216i=1=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为：115(1591.134−9.222−15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为√0.008≈0.09．【解析】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1−P(X=0)=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；(2)(ⅱ)由(1)及知落在(μ−3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；(ⅱ)通过样本平均数x、样本标准差s估计û、σ̂可知(û−3σ̂,û+3σ̂)=(9.334,10.606)，进而需剔除(û−3σ̂,û+3σ̂)之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．8.（2017年全国II卷第18题）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【答案】解：(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg”，由P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，则旧养殖法的箱产量低于50kg：(0.012+0.014+0.024+0.034+ 0.040)×5=0.62，故P(B)的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50kg：(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66，故P(C)的估计值为，则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62×0.66=0.4092；∴A发生的概率为0.4092；≈15.705，由15.705>6.635，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；则K2=200(62×66−38×34)2100×100×96×104(3)由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：(0.004+0.020+0.044)×5=0.34，箱产量低于55kg的直方图面积为：(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，≈52.35(kg)，故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+0.5−0.340.068新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)．【解析】(1)由题意可知：P(A)=P(BC)=P(B)P(C)，分布求得发生的频率，即可求得其概率；(2)完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：(3)根据频率分布直方图即可求得其中位数．本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，属于中档题．9.（2017年全国III卷第18题）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；。
2007-2019年新课标全国卷理——概率统计.doc
2007－ 2019 年全国课标卷概率统计试题（ 2007 宁夏卷）11．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20 次，三人的测试成绩如下表甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数5 5 55频数6 4 46频数 46 64s 1， s 2， s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）Ａ． s 3 s 1 s 2Ｂ． s 2 s 1 s 3Ｃ． s 1 s 2 s 3Ｄ． s 2 s 3 s 120．（本小题满分 12 分）如图，面积为S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ，可 DC按下面方法估计 M 的面积：在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点，若 n个点中有 m 个点落入 M 中，则 M 的面积的估计值为mS ，假设正方Mn 形 ABCD 的边长为 2， M 的面积为 1，并向正方形 ABCD 中随机投掷 10000个点，以 X 表示落入 M 中的点的数目．AB（ I ）求 X 的均值 EX ；（ II ）求用以上方法估计 M 的面积 时， M 的面积的估计值与 实际值之差在区间( 0.03，内)的概率．k附表： P(k )C 10000t 0.25t 0.7510000 ttk2424 2425 2574 2575 P(k)0.04030.04230.95700.9590（ 2008 年宁夏卷）9、甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五的5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人， 并要求甲安排在另外两位前面。
不同的安排方法共有 （）A. 20 种B. 30 种C. 40 种D. 60 种 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位： mm ），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① __________________________________________________________________________甲品 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 种：308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品284292295304306307312313315315316318 318种：320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356②__________________________________________________________________________甲乙3 1 277 5 5 0 28 45 4 2 29 2 58 7 3 3 1 30 4 6 79 4 0 31 2 3 5 5 6 8 88 5 5 3 32 0 2 2 4 7 97 4 1 33 1 3 6 734 32 35 619、（本小分 12 分） A、B 两个投目的利率分随机量X1和 X2。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编10 概率与统计
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十、概率与统计一、单选题1．（2021·全国（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间2．（2021·全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．13B．25C．23D．453．（2021·全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.84．（2021·全国（理））在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A．79B．2332C．932D．295．（2021·全国（文））在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A．34B．23C．13D．166．（2021·全国）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立7．（2020·天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10 B．18 C．20 D．36 8．（2020·全国（文））设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 9．（2020·全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，则称a i，a j，a k为原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，则称a i，a j，a k为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（）A．5 B．8 C．10 D．1510．（2020·全国（理））在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====11．（2020·全国（文））设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A ．15B ．25 C ．12D ．4512．（2020·全国（理））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+13．（2019·浙江）设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时 A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大14．（2019·全国（文））某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生15．（2019·全国（理））演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差16．（2019·全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．111617．（2018·浙江）设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，A ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小18．（2018·全国（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.319．（2018·全国（理））如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则A．p1=p2B．p1=p3C．p2=p3D．p1=p2+p320．（2018·全国（文））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半21．（2017·全国（理））某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳22．（2017·山东（文））下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为A ．5，5B ．3，5C ．3，7D ．5，723．（2017·全国（文））如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 24．（2017·山东（理））为了研究某班学生的脚长x （单位厘米）和身高y （单位厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160B ．163C ．166D ．17025．（2017·全国（理））如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 26．（2017·天津（文））有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．1527．（2017·浙江）已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ28．（2011·湖北（理））如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.576二、多选题29．（2021·全国）有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样数据的样本极差相同30．（2020·海南）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C ．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D ．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;31．（2020·海南）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.（ ）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )三、解答题32．（2021·全国）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列； （2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.33．（2021·全国（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++34．（2021·全国（理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x 和y ，样本方差分别记为21S 和22S ．（1）求x ，y ，21S ，22S ；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果y x -≥否则不认为有显著提高）．35．（2020·海南）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO浓度有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，36．（2020·北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p ，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p ，试比较0p 与1p 的大小．（结论不要求证明）37．（2020·海南）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM 2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM 2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，38．（2020·江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n，恰有2个黑球的概率为p n，恰有1个黑球的概率为q n．（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2p n+q n与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n的数学期望E(X n)(用n表示) ．39．（2020·全国（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，40．（2020·全国（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?41．（2020·全国（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.42．（2020·全国（理））某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800ii ix y x y =--=∑（（. （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.43．（2019·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，设点集{(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)}n A n =⋯，{(0,1),(,1)},{(0,2),(1,2),(2,2),,(,2)},.n n B n C n n N *==∈令n nn n M A B C =.从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离. （1）当n =1时，求X 的概率分布；（2）对给定的正整数n （n ≥3），求概率P （X ≤n ）（用n 表示）.44．（2019·北京（文））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．45．（2019·北京（理））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．46．（2019·全国（理））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.47．（2019·天津（文））2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A B C D E F .享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中,,,,,随机抽取2人接受采访.（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.48．（2019·天津（理））设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为2 3 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.49．（2019·全国（文））某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.（）分别估计这类企业中产值增长率不低于的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602≈.50．（2019·全国（文））某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．51．（2019·全国（理））11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.52．（2019·全国（理））为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．53．（2018·北京（理））电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢，“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系． 54．（2018·北京（文））电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；（Ⅲ）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）55．（2018·全国（理））某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，56．（2018·全国（文））某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于30.35m 的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）57．（2018·全国（文））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,17）建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为1,2,,7）建立模型②：ˆ9917.5yt =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．58．（2018·天津（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.（I ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（II ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i ）用X 表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望； （ii ）设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率.59．（2018·全国（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产。
(做)全国卷历年高考概率与统计及解排列组合真题
(做)全国卷历年高考概率与统计及解排列组合真题在全国卷历年高考中，概率与统计以及排列组合是常见的考试题型。
掌握这些知识点对于高考非常重要。
本文将为您提供一些关于概率与统计以及排列组合真题的解题方法与技巧。
概率与统计概率概率是描述事件发生可能性的一种数值表示方法。
在高考中，常见的概率问题有：- 确定事件发生的可能性；- 计算事件的概率；- 利用概率性质解决问题。
解题方法：1. 确定样本空间：在概率问题中，首先要确定所有可能的结果组成的集合，即样本空间。
2. 确定事件：确定要求解概率的事件。
3. 计算概率：通过计算事件发生的可能性与总事件数之比，得到事件的概率。
统计统计是通过收集、整理和分析数据以得出结论的方法。
在高考中，常见的统计问题有：- 数据的整理与呈现；- 描述性统计；- 探索性数据分析；- 统计推断。
解题方法：1. 理解题目要求：确保正确理解题目中的统计问题要求。
2. 整理数据：对给定的数据进行整理和分类。
3. 进行计算：根据题目要求使用适当的统计方法进行计算和分析。
4. 得出结论：根据计算结果进行结论推断，并确保符合统计学原则。
排列组合排列组合是指在给定条件下，对元素的排列或组合的不同情况进行计数。
在高考中，常见的排列组合问题有：- 计算排列数；- 计算组合数；- 利用排列组合解决问题。
解题方法：1. 确定问题类型：确定是排列问题还是组合问题。
2. 确定条件：根据题目所给条件，确定元素的范围和约束条件。
3. 应用公式：根据排列和组合的定义和公式进行计算。
4. 解决问题：根据计算结果回答题目要求或解决相关问题。
在备考高考时，熟练掌握概率与统计以及排列组合的知识点，并熟练运用解题方法，可以提高解答概率与统计和排列组合题目的准确性和效率。
以上是关于全国卷历年高考概率与统计以及解排列组合真题的简要介绍。
希望对您备考高考有所帮助！。
全国各地高考数学试题分类汇编11概率与统计文
全国各地高考文科数学试题分类汇编11：概率与统计一、选择题 1 ．（ 高考安徽（文））若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人,这五人被录用的机会均等,则甲或乙被 录用的概率为 （ ）A ．23B ．25C ．35D ．910【答案】D 2 ．（ 高考重庆卷（文））下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:台)的茎叶图,则数据落在区间[20,30)内的概率为（ ）A ．B ．0.4C ．D ． 【答案】B 3 ．（ 高考湖南（文））已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P,使△APB 的最大边是AB”发生的概率为.21,则ADAB=____ （ ）A ．12B ．14C ．32D ．74【答案】D 4 ．（ 高考江西卷（文））集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数,则这两数之和等于4的概率是（ ）A ．23B ．13C ．12D ．16【答案】C 5 ．（ 高考湖南（文））某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___ D ．____ （ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【答案】D 6 ．（ 高考山东卷（文））将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示:则7个剩余分数的方差为 （ ）A ．1169B ．367 C ．36D 677【答案】B 7 ．（ 高考四川卷（文））某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是0.04组距频率0.05组距频率0.04组距频率0.04组距频率0.010.020.030.010.020.030.040.010.020.030.010.020.03(B)(A)(C)(D)【答案】A8 ．（ 高考课标Ⅰ卷（文））从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（ ）8 7 79 4 0 1 0 9 1xA．B．Error! Cannot insert return character.C．1 4D．1 6【答案】B9 ．（高考陕西卷（文））对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测, 下图喂检测结果的频率分布直方图.根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品. 用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 则其为二等品的概率为（）A．B．0.20 C．D．【答案】D10．（高考江西卷（文））总体编号为01,02,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【答案】D11．（高考辽宁卷（文））某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组一次为[)[)20,40,40,60,[)[)60,80,820,100,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是（）A．45B．50C．55D．60【答案】B12．四名同学根据各自的样本数据研究变量,x y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:① y与x负相关且 2.347 6.423y x=-; ② y与x负相关且 3.476 5.648y x=-+;③ y与x正相关且 5.4378.493y x=+; ④ y与x正相关且 4.326 4.578y x=--.其中一定不正确．．．的结论的序号是 A.①② B.②③ C.③④D. ①④【答案】D13．已知x 与y 之间的几组数据如下表:假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=.若某同学根据上表中前两组数据)0,1(和)2,2(求得的直线方程为a x b y '+'=,则以下结论正确的是( )A.a a b b'>'>ˆ,ˆ B.a a b b '<'>ˆ,ˆ C.a a b b '>'<ˆ,ˆ D.a a b b '<'<ˆ,ˆ 【答案】C二、填空题 14．（ 高考浙江卷（文））从三男三女6名学生中任选2名(每名同学被选中的机会相等),则2名都是女同学的概率等于_________.【答案】1515．（ 高考湖北卷（文））在区间[2,4]-上随机地取一个数x ,若x 满足||x m ≤的概率为56,则m =__________. 【答案】316．（ 高考福建卷（文））利用计算机产生1~0之间的均匀随机数a ,则事件“013<-a ”发生的概率为_______【答案】3117．（ 高考重庆卷（文））若甲、乙、丙三人随机地站成一排,则甲、乙两人相邻而站的概率为____________.【答案】2318．（ 高考辽宁卷（文））为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的最大值为____________. 【答案】10 19．（ 上海高考数学试题（文科））某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别为75、80,则这次考试该年级学生平均分数为________. 【答案】78 20．（ 高考湖北卷（文））某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:7,8,7,9,5,4,9,10,7,4 则(Ⅰ)平均命中环数为__________; (Ⅱ)命中环数的标准差为__________.【答案】(Ⅰ)7 (Ⅱ)2 21．（ 高考课标Ⅱ卷（文））从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,其和为5的概率是________.【答案】1522．（ 上海高考数学试题（文科））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是_______(结果用最简分数表示). x 1 2 3 4 5 6 y21334【答案】57三、解答题 23．（ 高考江西卷（文））小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为以O 为起点,再从A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记住这两个向量的数量积为X,若X>0就去打球,若X=0就去唱歌,若X<0就去下棋.(1) 写出数量积X 的所有可能取值 (2) 分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率 【答案】解:(1) x 的所有可能取值为-2 ,-1 ,0, 1． (2)数量积为-2的只有25OA OA •一种数量积为-1的有15OA OA •,1624263435,,,,OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA •••••六种 数量积为0的有13143646,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ••••四种 数量积为1的有12234556,,,OA OA OA OA OA OA OA OA ••••四种 故所有可能的情况共有15种. 所以小波去下棋的概率为1715p = 因为去唱歌的概率为2415p =,所以小波不去唱歌的概率2411111515p p =-=-= 24．（ 高考陕西卷（文））有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 组别 ABCDE人数5010015015050干评委, 其中从组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.组别 ABCDE人数 50 100 150 150 50 抽取人数61号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数.从B 组100人中抽取6人,即从50人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人. (Ⅱ) A 组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为32· B 组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为62· 现从抽样评委A 组3人,B 组6人中各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率926232=⋅=P .所以,从A,B 两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为92.25．（ 高考四川卷（文））某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生. (Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =;(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.当2100n =时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.【答案】解:(Ⅰ)变量x 是在24,,3,2,1 这24个整数中等可能随机产生的一个数,共有24种可能. 当x 从23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1这12个数中产生时,输出y 的值为1,故211=P ; 当x 从22,20,16,14,10,8,4,2这8个数中产生时,输出y 的值为2,故312=P ; 当x 从24,18,12,6这4个数中产生时,输出y 的值为3,故613=P . 所以输出y 的值为1的概率为21,输出y 的值为2的概率为31,输出y 的值为3的概率为61. (Ⅱ)当2100n =时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率如下,比较频率趋势与概率,可得乙同学所编写程序符合算法要求的可能性较大.26．（ 高考辽宁卷（文））现有6道题,其中4道甲类题,2道乙类题,张同学从中任取3道题解答.试求:(I)所取的2道题都是甲类题的概率; (II)所取的2道题不是同一类题的概率.【答案】27．（ 高考天津卷（文））某产品的三个质量指标分别为x , y , z , 用综合指标S = x + y + z 评价该产品的等级. 若S ≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列产品编号A 1 A 2 A 3 A 4 A 5输出y 的值为1的频率 输出y 的值为2的频率 输出y 的值为3的频率甲 21001027 2100376 2100697乙 21001051 2100696 2100353质量指标(x, y, z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x, y, z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;(⒉) 设事件B为“在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.【答案】28．（高考湖南（文））某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收货量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米. (Ⅰ)完成下表,并求所种作物的平均年收获量;(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg 的概率. 【答案】解: (Ⅰ) 由图知,三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个,坐标分别为(1,0), (2,0), (3,0),(0,1,) ,(0,2),(0,3,).与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1).如下表所示:Y 51 48 45 42 频数2463平均年收获量4615==u .(Ⅱ)在15株中,年收获量至少为48kg 的作物共有2+4=6个. 所以,15株中任选一个,它的年收获量至少为48k 的概率P=4.0156=. 29．（ 高考安徽（文）） 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下： 甲 乙 7 4 55 3 3 2 5 3 3 85 5 4 3 3 3 1 0 06 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 07 0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 28 1 1 5 5 8 2 09 0（Ⅰ）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（Ⅱ）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x ，估计12x x -的值.【答案】解:(1)30300.056000.05n n =⇒== 255306p == (2)174013504246092670922805290230x +++⨯++⨯++⨯++⨯++⨯==208430254014503176010337010208059030x +++⨯++⨯++⨯++⨯+==2069302120842069150.5303030x x ===--30．（ 高考课标Ⅱ卷（文））经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直图,如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X(单位:t≤100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率.【答案】31．（ 高考广东卷（文））从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下:分组(重量) [80,85)[85,90)[90,95)[95,100)频数(个)5102015(1) 根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; /频率组距0.0100.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取4个,其中重量在[80,85)的有几个?(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[80,85)和[95,100)中各有1个的概率. 【答案】(1)重量在[)90,95的频率200.450==; (2)若采用分层抽样的方法从重量在[)80,85和[)95,100的苹果中共抽取4个,则重量在[)80,85的个数541515=⨯=+; (3)设在[)80,85中抽取的一个苹果为x ,在[)95,100中抽取的三个苹果分别为,,a b c ,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(,),(,),(,),(,),(,),(,)x a x b x c a b a c b c 6种情况,其中符合“重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”的情况共有(,),(,),(,)x a x b x c 种;设“抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在[)80,85和[)95,100中各有一个”为事件A ,则事件A 的概率31()62P A ==;32．（ 高考山东卷（文））某小组共有A B C D E 、、、、五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2) 如下表所示:A B C D E 身高 体重指标(Ⅰ)从该小组身高低于的同学中任选2人,求选到的2人身高都在以下的概率(Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在以上且体重指标都在[,中的概率 【答案】33．（高考北京卷（文））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率;(Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率;(Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)【答案】解:(I)在3月1日至3月13日这13天中,1日.2日.3日.7日.12日.13日共6天的空气质量优良,所以此人到达当日空气质量优良的概率是613.(II)根据题意,事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日,或5日,或7日,或8日”.所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为413.(III)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.34．（高考福建卷（文））某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关.现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,在将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人,求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率.(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成22的列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附表:【答案】解:(Ⅰ)由已知得,样本中有25周岁以上组工人60名,25周岁以下组工人40名 所以,样本中日平均生产件数不足60件的工人中,25周岁以上组工人有600.053⨯=(人), 记为1A ,2A ,3A ;25周岁以下组工人有400.052⨯=(人),记为1B ,2B 从中随机抽取2名工人,所有可能的结果共有10种,他们是:12(,)A A ,13(,)A A ,23(,)A A ,11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B 其中,至少有名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种,它们是:11(,)A B ,12(,)A B ,21(,)A B ,22(,)A B ,31(,)A B ,32(,)A B ,12(,)B B .故所求的概率:710P =(Ⅱ)由频率分布直方图可知,在抽取的100名工人中,“25周岁以上组”中的生产能手:生产能手 非生产能手 合计25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组 15 25 40合计30 70 100 所以得:222()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯因为1.79 2.706<,所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”35．（ 高考大纲卷（文））甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(I)求第4局甲当裁判的概率;(II)求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【答案】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”,2A 表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12=A A A •.12121()=P()()()4P A A A P A P A •==. (Ⅱ)记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”,2B 表示事件“第2局乙参加比赛时,结果为乙胜”,3B 表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙胜”,B 表示事件“前4局中恰好当1次裁判”. 则1312312B B B B B B B B =•+••+•.1312312()()P B P B B B B B B B =•+••+• 1312312()()()P B B P B B B P B B =•+••+•1312312()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B =•+••+•111484=++ 58=. 36．（ 高考课标Ⅰ卷（文））(本小题满分共12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效,随机地选取20位患者服用A 药,20位患者服用B 药,这40位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h ),试验的观测结果如下:服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0．6 2．5服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3．2 1．6(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?【答案】(本小题满分共12分)(1) 设A 药观测数据的平均数为 ,B 药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得120x=++++++++++++++++++=, 1(0.50.50.60.80.9 1.1 1.2 1.2 1.3 1.4 1.6 1.7 1.8 1.9 2.1202.4 2.5 2.6 2.73.2 1.6y =+++++++++++++++++++= 由以上计算结果可得x >y,因此可看出A 药的疗效更好(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: A 药 B 药 6 0. 5 5 6 8 9 8 5 5 2 21. 1 2 2 3 4 6 7 8 9 9 8 7 7 6 5 4 3 3 22. 1 4 5 6 7 5 2 1 03.2从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有的叶集中在茎上,而B 药疗效的试验结果有10的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.37．(本小题满分13分,(Ⅰ)小问9分,(Ⅱ)、(Ⅲ)小问各2分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得10180ii x==∑,10120i i y ==∑,101184i i i x y ==∑,1021720i i x ==∑.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y bx a =+中,1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑,a y bx =-,其中x ,y 为样本平均值,线性回归方程也可写为y bx a =+.。
近五年全国卷计数原理、概率统计考点与真题明细
内容 考纲要求
12年 13年 13年 14年 14年2 15年 15年 1卷 2卷 1卷 1卷 2卷 卷
计数 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利 原理 用两个原理解决一些简单的实际问题 排列 选修 组合 理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题 理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题 2 2 9 5 5 13 13 13 10 10 15
理科）
16年1 16年2 16年3 17年1 17年 17年 2卷 3卷 卷 卷 卷 卷
5 5 14 6 6
6 6 4 4
4
10
2
19
18
4
18
3
18
19
19
19 19 18 19
13
18
18
5
随机 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率 数与 几何 概型 了解几何概型的意义 随机 抽样 理解随机抽样的必要性和重要性 会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法 了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶 图，体会它们的特点 用样 必修 本估 统计式定 会利用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 理 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及概率与频率的 事件 区别 与概 率 了解两个互斥事件的概率加法公式 必修 古典 概率 概型 理解古典概型及其概率计算公式 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率
14
理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差 用样 必修 本估 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理解释 统计 计总 体 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，理 解用样本估计总体的思想 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题 变量 会做两个有关联变量的数据散点图，并利用散点图认识变量间的相关关 的相 关性 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数建立线性回归方程（线性 回归方程系数公式不要求记忆） 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机变量现 象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列 了解超几何分布，并能进行简单应用 选修概率 了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解n次独立重复试验模型 及二项分布，并能解决一些简单问题 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量 的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些实际问题 借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 选修统计 了解回归分析的思想、方法及其简单应用 了解独立性检验的思想、方法及其初步应用 15 18 15 19 19 19 18 18 19 5 4 19 19 19
历年(2020-2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编(附答案)
历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(概率统计)汇编【2023年真题】1.（2023·新课标II 卷 第3题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则不同的抽样结果共有 A. 4515400200C C ⋅种B. 2040400200C C ⋅种C. 3030400200C C ⋅种D. 4020400200C C ⋅种2. （2023·新课标I 卷 第9题）（多选）一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则( ) A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差3.（2023·新课标II 卷 第12题）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1;α-发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1.β-考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次;三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码;三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).A. 采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B. 采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C. 采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D. 当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率4. （2023·新课标I 卷 第21题）甲乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8，由抽签确定第1次投篮的人选，第一次投篮的人是甲，乙的概率各为0.5.(1)求第2次投篮的人是乙的概率. (2)求第i 次投篮的人是甲的概率.(3)已知：若随机变量i X 服从两点分布，且111(1)1(0)P X P X q ==-==，1i =，2， ，n ，则11().nni i i i E X q ===∑∑记前n 次(即从第1次到第n 次投篮)中甲投篮的次数为Y ，求().E Y5.（2023·新课标II 卷 第19题）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为().q c 假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()().f c p c q c =+当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.【2022年真题】6.（2022·新高考I 卷 第5题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为( )A.16B.13C.12D.237.（2022·新高考II 卷 第13题）随机变量X 服从正态分布2(2,)N σ，若(2 2.5)0.36P x <=…，则( 2.5)P X >=__________.8.（2022·新高考I 卷 第20题）一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：不够良好良好 病例组 40 60 对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为.R()i 证明：(|)(|.;(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =()ii 利用该调查数据，给出(|)P A B ，(|)P A B 的估计值，并利用()i 的结果给出R 的估计值.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，2()P K k …0.050 0.010 0.001 k 3.8416.63510.8289.（2022·新高考II 卷 第19题）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图.(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组数据用该区间的中点值作代表) (2)估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出1人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率(精确到0.0001).【2021年真题】10.（2021·新高考I 卷 第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球、甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则( ) A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立11.（2021·新高考II 卷 第6题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是( )A. σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B. σ越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C. σ越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D. σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等12.（2021·新高考I 卷 第9题）（多选）有一组样本数据12,,,n x x x ，由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中(1,2,,)i i y x c i n =+= ，c 为非零常数，则A. 两组样本数据的样本平均数相同B. 两组样本数据的样本中位数相同C. 两组样本数据的样本标准差相同D. 两组样本数据的样本极差相同13.（2021·新高考II 卷 第9题）（多选）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是( ) A. 样本12,,,n x x x 的标准差 B. 样本12,,,n x x x 的中位数 C. 样本12,,,n x x x 的极差D. 样本12,,,n x x x 的平均数14.（2021·新高考I 卷 第18题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
统计、概率-全国各地文科数学高考试题汇总 知识点总结(近5年)
全国各地文科数学（统计、概率）高考试题汇总（近5年）知识点归纳1 事件的定义：随机事件；必然事件；不可能事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3、等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n，这种事件叫等可能性事件，其事件A 的概率()mP A n=4、互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件 A 、B 互斥，即事件A 、B 不可能同时发生，这时P(A •B)=０）P(A+B)=P （A ）+ P(B)。
若事件A 与B 不是互斥，运用P （A+B ）=1-P （A B •）进行计算5、对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件 A 、B 对立，即事件A 、B 不可能同时发生，但A 、B 中必然有一个发生，()()A P A p -=1 6、事件的和的意义:事件A 、B 的和记作A +B ，表示事件A 、B 至少有一个发生 当A 、B 为互斥事件时，事件A +B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的， 因此当A 和B 互斥时，事件A +B 的概率满足加法公式：P （A +B ）=P （A ）+P （B ）（A 、B 互斥），且有P （A +A ）=P （A ）+P （A ）=17、相互独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅8、独立重复试验的定义：在同样条件下进行的各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n 次独立重复试验中这个事恰好发生K 次的概率n k k n n P P C k P --=)1()( 表示事件A在n 次独立重复试验中恰好发生了．．．．．k ．次．的概率 9、解答概率问题的三个步骤：（1）确定事件的性质：事件是等可能，互斥，独立还是重复独立事件； （2）判断事件的运算：所求事件是由哪些基本事件通过怎样运算而得；（3）运用公式计算其事件的概率：等可能事件：()mP A n=，独立事件：()()()P A B P A P B ⋅=⋅互斥事件： P （A +B ）=P （A ）+P （B ），对立事件：P （A ）=1－P （A ）2011山东18.甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女。
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实用标准7 、近五年全国卷分类汇编——概率统计(教师版）一、概率与排列组合1 、（2013 全国 1 卷.理 3 ）为了解某地区的中小考生视力情况，拟从该地区的中小考生中抽取部分考生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段考生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A 、简单随机抽样B、按性别分层抽样错误!未找到引用源。
C、按学段分层抽样 D 、系统抽样解析：不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.故选 C2 ．（2014全国1卷.理5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）1 3C、5 7A 、B、8 D 、8 8 8解析： 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有24 16 种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有C41 A21 8 种；②每天2 人有C42 6种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为8 6 7位同学都在周六或周日参加16；或间接解法： 4816 2 7公益活动有 2 种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为16故选 D 83 、（ 2015 全国 1 卷.理4 ）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6 ，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A 、 0.648 B、 0.432 C、 0.36 D 、 0.312解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为C32 0.62 0.4 0.63 =0.648 故选 A4. （2016 全国 1 卷 .理 4 ）某公司的班车在7:00 ， 8:00 ， 8:30 发车，小明在7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）1 1C、2 3A 、B、3 D 、3 2 4解析：如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30A C D B小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟，根据几何概型，所求概率10 10 1P ．故选 B．40 25 ．（ 2017 全国 1 卷 .理 2 ）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．1B ．π481πC ．D ．24解析：设正方形边长为 a ，则圆的半径为a，则正方形的面积为 a 2 ，圆的面积为a 2 .由图形的对称性可24知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半 .由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分1 a 2的概率是248 ，选 B.a 2二、二项式定理1 、（2013全国 1 卷 .理 9）设 m 为正整数， ( xy)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ， ( x y)2 m 1 展开式的二项式系数的最大值为 b ，若 13 a =7 b ，则 m ＝ ()A 、 5B 、 6C 、 7D 、 8m m 1mm 113 (2 m)! 7 (2 m 1)!解析：由题知 a = C 2m ， b = C 2m 1 ，∴13C 2 m =7 C 2m 1 ，即=(m 1)! m! ，m!m!解得 m =6 ，故选 B.2 、（ 2014 全国 1 卷 .理 13 ） xy x y 8的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ________（.用数字填写答案）解析： ( x y)8展开式的通项为 T r 1C 8 x y(r 0,1, ,8)，∴r8r rLT 8C 87 xy 7 8xy 7 T 7 C 86 x 2 y 6 28x 2 y 6∴(xy)( x y)8 的展开式中 x 2 y 7 的项为 xg8xy 7 yg28 x 2 y 6 20x 2 y 7 ，故系数为 20 。
3 、（2015全国 1 卷 .理 10 ） ( x 2 x y)5 的展开式中， x 5 y 2的系数为 ()A 、 10B 、 20C 、 30D 、 60解析：在 ( x 2 xy)5 的 5 个因式中， 2 个取因式中 x 2 剩余的 3个因式中 1 个取 x ，其余因式取 y,故 x 5 y2的系数为 C 52 C 31C 22 =30 ，故选 C4 、（ 2016 全国 1 卷 理14 ） (2x x )5 的展开式中，x 3的系数是．（用数字填写答案）.5 kkk解析：设展开式的第 k 1 项为 T k 1 ， k0,1,2,3,4,5∴T k 1 C 5kx52xC 5k25 kx 2 ．，k4当 53 时， k 4510x3故答案为 10 ．，即 T 5 C 5425 4x22，5 ．（2017 全国 1 卷 .理6 ） (11)(1 x)6 展开式中 x 2 的系数为（）x 2A 、 15B 、 20C 、 30D 、 35解析：因为 (112 )(1 x)61 (1 x)612 (1 x) 6 ，则 (1 x)6 展开式中含 x 2 的项为 1 C 62 x 2 15 x 2 ，x1x62的项为4 x 42215 30 。
故选 C12 (1 x) 展开式中含 xx 2 C615 x ，故 x 前系数为 15x三、解答题1 、（ 2013 全国 1 卷.理 19 ）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为n 。
如果 n=3 ，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4 ，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50% ，即取出的产品是优 质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（ 1 ）求这批产品通过检验的概率；（ 2 ）已知每件产品检验费用为 100 元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望。
解：（ 1）设第一次取出的4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A 1 。
第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A 2 ,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B 1 ，第一次取出的 1 件产品为事件 B 2 ，这批产品通过检验为事件 A ，由题意有 A= ( A 1 B 1 )与 A 2 B 2 ,且 A 1B 1 与 A 2B 2 互斥，所以 P( A) P A 1B 1 P A 2 B 2P( A 1 )P( B 1 A 1 ) P( B 2 A 2 ) 4 1111616 16 2364（ 2 ）X 的可能取值为 400 、500 、 800 ；41 111 1 P( X 400) 116 16， P( X 500)， P( X 800)16 164，则 X 的分布列为X 400500 800P11 1 11616 4EX400 11 500 1 800 1506.2516 16 42 、（2014全国1卷.理18）从某企业生产的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（ I）求这 500 件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差 s2（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（ II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布 N , 2 ，其中近似为样本平均数x ，2近似为样本方差 s2 .（ i）利用该正态分布，求P 187.8 Z 212.2 ；（ ii ）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X 表示这100 件产品中质量指标值位于区间187.8,212.2 的产品件数 .利用（ i ）的结果，求EX .附： 150 12.2若 Z ~ N , 2 则 P Z 0.6826， P 2 Z 20.9544。
解：（ I）抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2分别为x 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33210 0.24 220 0.08 230 0.02=200s2 ( 30)2 0.02 ( 20)2 0.09 ( 10) 2 0.220 0.33 102 0.24 202 0.08 302 0.02150.（II ）（ i）由（ I）知，Z ~ N (200,150)，从而P(187.8 Z 212.2）=P(200 12.2 Z 200 12.2) 0.6826.（ ii ）由（ i）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2 ）的概率为0.682 6 ，依题意知 X-B(100 ， 0.682 6) ，所以EX 100 0.6826 68.26.3 、（ 2015 全国 1 卷 .理 19 ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量 y （单位： t ）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（ i =1,2，，·8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.ur ur 888 8r yw( x ix)2(w i w)2( x i x)( y i y)(w i w)( y i y)xi 1i 1i1i 146. 56. 6.289.81.6 1469108.8638表中 w ix iur 1， w =88 w ii 1（Ⅰ）根据散点 判断， y=a + bx 与 y = c + d x 哪一个适宜作 年 售量 y 关于年宣 x 的回 方程 型？（ 出判断即可，不必 明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断 果及表中数据，建立y 关于 x 的回 方程；（Ⅲ）已知 种 品的年利率z 与 x, y 的关系 z0.2 y x .根据（Ⅱ）的 果回答下列 ：( ⅰ)年宣x =49 ，年 售量及年利 的 是多少？ ( ⅱ)年宣 x 何 ，年利率的 最大？附： 于一 数据(u 1, v 1 ) , (u 2 , v 2 ) ，⋯⋯， (u n , v n ) ,其回 vu 的斜率和截距的最小二乘估 分n^i(u i u)( v i v)1,v u 。
n(u i u) 2i 1解：（ I ）由散点 可以判断， y c d x 适宜作 年 售量y 关于年宣x 的回 方程 型。