最新鲁教版数学八年级上册各章易错题汇总
八年级上册期末数学常考点易错点总结
八年级上册期末数学常考点易错点总结1、两条重要的直线：垂直平分线、角平分线构造辅助线，借用它们的性质解决问题2、作图（1）最短路径问题：将军饮马，原理：两点之间线段最短（2）作对称三角形，看清关于谁对称，数准格子3、证明线段相等的思路（1）证全等；（2）等角对等边；（3）垂直平分线性质；（4）角平分线的性质4、证明角相等的思路（1）证全等；（2）等边对等角；（3）同（等）角的余角相等；（4）同（等）角的补角相等5、证全等的思路（常用隐含条件：公共边，公共角，对顶角等，必有一边相等）SSS ，SAS ，ASA ，AAS ，HL6、同形牵手（常考两个等边三角形牵手，两个等腰直角三角形牵手，常用“SAS ”证全等）7、含30°角的直角三角形，30°所对的直角边等于斜边的一半8、等腰三角形（1）性质：等边对等角，三线合一（2）判定：定义，等角对等边（3）分类讨论思想的应用：已知两边求周长、高与腰的夹角在内在外9、求角的度数常用方程思想，外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和10、对称A （x ，y ）关于x 轴对称B （x ，-y ），关于y 轴对称C （-x ，y ）关于原点对称D （-x ，-y ），关于某条直线对称要数形结合11、幂的运算n m n m a a a +=⋅)1(mn n m a a =))(2(n n n b a ab =))(3(n m n m a a a -)4(=÷n nn ba b a =)(5()0(1)6(0≠=a a )0(1)7(n -≠=a a a n 】如（的倒数次方即求的【4554,1-11-1==-a a a a 公式的逆用：例：已知a m =2，b =n 2.求n m 1032+12、因式分解（把一个多项式化成几个整式积．的形式）（1）提公因式法：ma+mb=m(a+b)（2）公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-完全平方式：222)(2b a b ab a ±=+±（3）十字相乘法：))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++13、分式（BA 的形式，A 、B 是整式，B ．中含有字母．．．．．）（1）分式有无意义的条件：有意义，分母不为0；无意义，分母为0（2）分式值为0的条件：分子为0，分母不为．．．．0．（3）分式的基本性质（4）分式的解为正（负）数求参数的取值范围：解大（小）于．．．．．．0．，分母不为．．．．0．（5）分式方程无解：去分母化为整式方程，解整式方程，让解使最简公分母为0（6）化简求值：选值代入的条件，分母不为．．．．0．，除式不为．．．．．0．（7）分式方程要检验，将整式方程的解代入最简公分母，若为0，原分式方程无解；反之有解（8）分式方程应用题：审设列解验答，（工程问题，行程问题）A 'A BP 将军饮马模型。
数学八年级上册全册全套试卷易错题(Word版含答案)
数学八年级上册全册全套试卷易错题（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1.如图，AB〃CD,点P为CD上一点，NEBA、NEPC的角平分线于点F,已知NF = 40。
, 则NE=度.【答案】80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知NFMA二! NCPE=NF+N1, 2ZANE=ZE+2Z1=ZCPE=2ZFMA, HPZE=2ZF=2x40o=80°.故答案为80.2.如图，已知四边形ABCD中，对角线BD平分NABC , /BAC=64° , NBCD+NDCA=180°, 那么NBDC为度.【答案】32【解析】【分析】过C点作NACE=NCBD,根据三角形内角和为180。
，以及等量关系可得NECD=/BDC,根据角平分线的定义可得NABD=NCBD,再根据三角形内角和为180。
，以及等量关系可得 ZBDC的度数.【详解】过 C 点作NACE=NCBD ,B CVZBCD+ZDCA=180° r ZBCD+ZCBD+ZBDC=180° zAZECD=ZBDC r对角线BD平分NABC ,AZABD=ZCBD ,AZABD=ZACE , AZBAC=ZCEB=64° .1AZBDC=-ZCEB=32° . 2 故答案为：32 .【点睛】此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°,三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和.3.如图，在△48C中，N8和NC的平分线交于点O,若N4=50。
，则N8OC=.【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出NA8C+NAC8=130。
，然后根据角平分线的概念得出NO8C+NOCB,再根据三角形的内角和定理即可得出N8OC的度数.【详解】解：V ZA = 50\：.NA8C+N4C8=180°- 50° = 130°,VZB和NC的平分线交于点O，A ZOBC= - ZABC. ZOCB=- ZACB.2 2•・.NO8C+/OCB=L X (ZABC+ZACB) =-X1300=65%2 2A ZBOC=180° - (NO8C+NOCB) =115%故答案为：115。
(完整)八年级上册数学易错题和典型题
1、如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕顶点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，求线段B′E的长度.2、如果直角三角形中有一条直角边长是11，另两边的长也是自然数，那么它的周长是多少？3、如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连接PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．（3）∠BQC=?4、如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点E，∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE =，BE=．求CD的长和四边形ABCD的面积．5、2(9)-的算术平方根是 。
6、已知3(222114,)1x y x x y x +-+-+=+= 。
7、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是两两不相等的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是 。
8、已知实数211,,a-b 20,24c a b c b c c c ab +++-+=满足则的算术平方根是 。
9、已知x 、y 是有理数，且x 、y 满足22322332x y y ++=-，则x+y= 。
10、设62,53,A B =+=+则A 、B 中数值较小的是 。
11、使式子252x x --有意义的x 的取值范围是 。
12、如果30,a a -那么等于（ ） A 、a B 、a - C 、a - D 、a a --13、已知30,0,2150,y xy x xy y x xy y +-=+-2x+xy 且14、已知x 、y 是实数，且222(1)533x y x y x y -+--+与互为相反数，求的值。
八年级上册数学易错题总结及答案
八年级上册易错题集及参考答案第十一章三角形1. 一个三角形的三个内角中（）A. 至少有一个等于90°B. 至少有一个大于90°C. 不可能有两个大于89°D. 不可能都小于60°2. 如图，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC•的三条高分别为．3、三角形的一个外角大于相邻的一个内角，则它的形状；三角形的一个外角小于于相邻的一个内角，则它的形状；三角形的一个外角等于相邻的一个内角，则它的形状。
4、三角形内角中锐角至少有个，钝角最多有个，直角最多有个，外角中锐角最多有个，钝角至少有个，直角最多有个。
一个多边形中的内角最多可以有个锐角。
5.已知一个三角形的三边长3、a+2、8，则a的取值范围是。
6.如图②，△ABC中，∠C=70°，若沿虚线截去∠C，则∠1+∠2= 。
7.如图③，一张△ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2= 。
8.△ABC中，∠A=80°，则∠B、∠C的内角平分线相交所形成的钝角为；∠B、∠C的外角平分线相交所形成的锐角为；∠B的内角平分线与∠C的外角平分线相交所形成的锐角为；高BD与高CE相交所形成的钝角为；若AB、AC边上的垂直平分线交于点O，则∠BOC为。
9.一个多边形除去一个内角外，其余各角之和为2 750°，则这个多边形的边数为，去掉的角的度数为．10.一个多边形多加了一个外角总和是1150°，这个多边形是边形，这个外角是度．11．如图，在△ABC中，画出AC边上的高和BC边上的中线。
第十二章全等三角形1.有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等；③两锐角对应相等；④斜边和一锐角对应相等；⑤两条直角边对应相等；⑥斜边和一条直角边对应相等。
其中能判断两直角三角形全等的是BAC2.已知△ABC与△A′B′C′中，AB=A′B′，BC=B′C′，下面五个条件：①AC=A′C′；②∠B=∠B′；③∠A=∠A′；④中线AD=A′D′；⑤高AH=A′H′，能使△ABC≌△A′B′C′的条件有。
2022-2023学年鲁教版八年级数学上册《第2章分式与分式方程》章末综合知识点分类练习题(附答案)
2022-2023学年鲁教版八年级数学上册《第2章分式与分式方程》章末综合知识点分类练习题（附答案）一．分式的定义1．下列各式（1﹣x），，，+x，，其中分式共有（）个A．2B．3C．4D．5二．分式有意义的条件2．同时使分式有意义，又使分式无意义的x的取值范围是（）A．x≠﹣4，且x≠﹣2B．x＝﹣4，或x＝2C．x＝﹣4D．x＝2三．分式的值为零的条件3．分式中，当x＝﹣a时，下列结论正确的是（）A．分式的值为零B．分式无意义C．若a≠﹣时，分式的值为零D．若a≠时，分式的值为零四．分式的值4．已知a2﹣3a+1＝0，则分式的值是（）A．3B．C．7D．5．若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．五．分式的基本性质6．分式﹣可变形为（）A．﹣B．C．﹣D．7．把分式中的分子、分母的x、y同时变为原来的2倍，那么分式的值（）A．变为原来的2倍B．变为原来的C．变为原来的D．不改变六．约分8．化简的结果是（）A．B．C．D．七．通分9．把，，通分过程中，不正确的是（）A．最简公分母是（x﹣2）（x+3）2B．＝C．＝D．＝八．最简分式10．下列分式中，最简分式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个九．最简公分母11．分式与的最简公分母是．12．化简：（xy﹣x2）÷÷．13．计算与化简：（1）•；（2）÷；（3）（x2﹣4y2）÷•．十一．分式的加减法14．已知，求A、B的值．十二．分式的混合运算15．化简下列各式：（1）2（a+1）2+（a+1）（1﹣2a）；（2）（﹣x+1）÷．十三．分式的化简求值16．先化简：，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．十四．列代数式（分式）17．林林家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟，准时到校．若某一天林林从家中出发迟了c分钟，则她每分钟应骑千米才能不迟到．十五．分式方程的定义18．在下列方程：①、②、③、④、⑤中，分式方程的个数有．十六．分式方程的解19．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是．20．分式与的和为4，则x的值为．十八．换元法解分式方程21．用换元法解方程，若设，则可得关于的整式方程．十九．分式方程的增根22．若关于x的分式方程﹣2＝有增根，则m的值为．23．已知关于x的分式方程+＝（1）若方程的增根为x＝1，求m的值（2）若方程有增根，求m的值（3）若方程无解，求m的值．二十．由实际问题抽象出分式方程24．某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是．25．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A 港出发到返回A港共用多少时间？（只需列式表示，不必化简）二十一．分式方程的应用26．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？参考答案一．分式的定义1．解：中的分母含有字母是分式．故选：A．二．分式有意义的条件2．解：由题意得：x2+6x+8≠0，且（x+1）2﹣9＝0，（x+2）（x+4）≠0，x+1＝3或﹣3，x≠﹣2且x≠﹣4，x＝2或x＝﹣4，∴x＝2，故选D．三．分式的值为零的条件3．解：由3x﹣1≠0，得x≠，故把x＝﹣a代入分式中，当x＝﹣a且﹣a≠时，即a≠﹣时，分式的值为零．故选：C．四．分式的值4．解：∵a2﹣3a+1＝0，∴a2+1＝3a，∴（a2+1）2＝9a2，∴a4+1＝（a2+1）2﹣2a2＝7a2，∴原式＝＝．故选：D．5．解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．五．分式的基本性质6．解：﹣＝﹣＝，故选：D．7．解：分子、分母的x、y同时变为原来的2倍，即，根据分式的基本性质，则分式的值不变．故选：D．六．约分8．解：＝＝．故选：A．七．通分9．解：A、最简公分母为最简公分母是（x﹣2）（x+3）2，正确；B、＝，通分正确；C、＝，通分正确；D、通分不正确，分子应为2×（x﹣2）＝2x﹣4；故选：D．八．最简分式10．解：，，，这四个是最简分式．而＝＝．最简分式有4个，故选：C．九．最简公分母11．解：∵x2﹣3x＝x（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）∴他们的最简公分母为：x（x+3）（x﹣3）．十．分式的乘除法12．解：原式＝﹣x（x﹣y）•＝﹣y．13．解：（1）原式＝；（2）原式＝•＝；（3）原式＝﹣（x+2y）（x﹣2y）••＝﹣y．十一．分式的加减法14．解：∵＝＝，∵，∴，解得：A＝1，B＝1．十二．分式的混合运算15．解：（1）原式＝2a2+4a+2+a﹣2a2+1﹣2a＝3a+3；（2）原式＝•＝•＝﹣x（x+1）＝﹣x2﹣x．十三．分式的化简求值16．解：＝×，＝×＝﹣，当a＝0时，原式＝1．十四．列代数式（分式）（17．解：所用时间为：b﹣c．∴林林的骑车速度为．十五．分式方程的定义18．解：分式方程有：③④⑤，故答案为3．十六．分式方程的解19．解：x﹣2＝0，解得：x＝2．方程去分母，得：ax＝4+x﹣2，即（a﹣1）x＝2当a﹣1≠0时，把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2，解得：a＝2．当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解．故答案是：2或1．十七．解分式方程20．解：∵分式与的和为4，∴+＝4，去分母，可得：7﹣x＝4x﹣8解得：x＝3经检验x＝3是原方程的解，∴x的值为3．故答案为：3．十八．换元法解分式方程21．解：设＝y，则可得＝，∴可得方程为2y+＝4，整理得2y2﹣4y+1＝0．十九．分式方程的增根22．解：方程两边都乘x﹣3，得x﹣2（x﹣3）＝m∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3＝0，解得x＝3，当x＝3时，m＝3故m的值是3．故答案为：3．23．解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣1），去分母并整理得：2（x+2）+mx＝x﹣1，移项合并得：（m+1）x＝﹣5，（1）∵x＝1是分式方程的增根，∴1+m＝﹣5，解得：m＝﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣2或x＝1，当x＝﹣2时，m＝1.5；当x＝1时，m＝﹣6；（3）当m+1＝0时，该方程无解，此时m＝﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m＝﹣6或m＝，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．二十．由实际问题抽象出分式方程24．解：小李每小时分拣x个物件，则小王每小时分拣（x+8）个物件．根据题意得：．故答案为：．25．解：船从A到B所需时间为，逆流而上从B返回A所需时间为，∴船从A港出发到返回A港共用时间为+1．二十一．分式方程的应用26．解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10＝，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．。
初中数学鲁教版(五四制)八年级上册第一章 因式分解1 因式分解-章节测试习题(6)
章节测试题1.【答题】（2020山东泰安高新区期中，2，★☆☆）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（）A.B.C.D.【答案】B【分析】【解答】根据因式分解的定义可知，A、D选项中，等式的右边都不是整式乘积的形式，故不是因式分解；C选项中，等号的左边不是多项式的形式，故不是因式分解，选B.2.【答题】（2020山东淄博临淄期中，12，★★☆）若多项式可因式分解为，则______．【答案】1【分析】【解答】，由题意可知，，∴a=-1，b=-2，．3.【题文】（2019吉林长春宽城月考，21，★★☆）给你若干个长方形和正方形的卡片，如图1-1-1所示，请你运用拼图的方法，选取相应种类和若干数量的卡片，拼成一个大长方形，使它的面积等于，并根据你拼成的图形分解因式．【答案】【分析】【解答】如图所示，矩形ABCD为拼成的大长方形，矩形ABCD的面积为．4.【答题】（2017辽宁盘锦中考，3，★☆☆）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】【解答】A中等式的左右两边不是相等关系，故不是因式分解；B中等号的左边是整式的乘积，右边是多项式，故B是整式的乘法，不符合题意；C项符合因式分解的概念；D中分解是不够彻底，故不是因式分解，选C.5.【答题】（2016山东滨州中考，3，★★☆）把多项式分解因式，得，则a，b的值分别是（）A. 2，3B. -2，-3C. -2，3D. 2，-3【答案】B【分析】【解答】，因此a=-2，b=-3，选B.6.【答题】已知是多项式的一个因式（a、b为整数），则a=______，b=______．【答案】-5 -11【分析】【解答】设另一个因式是，则，则，解得，∴a=-5，b=-11．7.【题文】（1）有若干块长方形和正方形硬纸片，它们的大小如图1-1-2甲所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的正方形，如图1-1-2乙．①用两种不同的方法计算图1-1-2乙中正方形的面积；②由①你可以得出的一个等式为______；（2）有若干块长方形和正方形硬纸片，它们的大小如图1-1-2丙所示．①请你用拼图的方法表达完全平方公式，画出你的拼图；②请你用拼图的方法推出因式分解的结果，画出你的拼图．【答案】【分析】【解答】（1）①答案不唯一．．．②．（2）①如图，．②如图，．8.【答题】下列因式分解中不正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】【解答】9.【答题】不能被（）整除．A. 2018B. 2019C. 2020D. 2021 【答案】A【分析】【解答】10.【答题】当，时，代数式的值是______．【答案】3【分析】【解答】11.【答题】已知是多项式的一个因式，则a的值为______．【答案】-90【分析】【解答】12.【题文】当，，时，求的值．【答案】3.14【分析】【解答】13.【题文】对于正整数n，能被5整除吗？为什么？【答案】解：∵，∴能被5整除．【分析】【解答】14.【答题】定义：把一个多项式化成几个______的形式，这种变形叫做因式分解，也可以叫做分解因式．注意：（1）因式分解是恒等变形，因式分解的对象是______（2）因式分解的结果要以积的形式表示，如不属于因式分解，因为结果不是积的形式；每个因式必须是整式，如也不属于因式分解，因为，一方面不是多项式，另一方面，上都不是整式．（3）因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止，即分解彻底，【答案】【分析】【解答】15.【题文】如果把整式乘法看做一个变形过程，那么多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程；如果把多项式的因式分解看做一个变形过程，那么整式乘法就是多项式的因式分解的逆过程．【答案】【分析】【解答】16.【答题】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】D【分析】【解答】17.【答题】把因式分解，结果正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】【解答】18.【答题】若，则______．【答案】-2【分析】【解答】19.【答题】如果把多项式因式分解得，那么______，______．【答案】-2 2【分析】【解答】20.【题文】连一连：【答案】略【分析】【解答】。
五四制(山东)初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结(1)
五四制（山东）初二数学上册第一章《三角形》重难点题型总结【考点1三角形中“三线”概念辨析】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【例1】下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点【变式1-1】下列说法中错误的是（）A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部B．三角形三条中线都在三角形的内部C．三角形三条角平分线都在三角形的内部D．三角形三条高都在三角形的内部【变式1-2】如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAFD．S △ABC ＝2S △ABF【变式1-3】如图，△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 中点，延长BG 交AC 于E，F 为AB 上一点，且CF⊥AD 于H，下列判断，其中正确的个数是（）①BG 是△ABD 中边AD 上的中线；鲁教版五四制初中数学辅导②AD 既是△ABC 中∠BAC 的角平分线，也是△ABE 中∠BAE 的角平分线；③CH 既是△ACD 中AD 边上的高线，也是△ACH 中AH边上的高线．A．0B．1C．2D．3【考点2三角形中线的应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【例2】如图，△ABC 中，点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．6B．4C．3D．2【变式2-1】如图，在△ABC 中，点D、E 分别为BC、AD 的中点，EF＝2FC，若△ABC 的面积为12cm 2，则△BEF 的面积为（）A．2cm 2B．3cm 2C．4cm 2D．5cm 2【变式2-2】如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD，BE，CF 交于一点G，BD＝2DC，S △BGD ＝16，S △AGE ＝6，则△ABC 的面积是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．42B．48C．54D．60【变式2-3】如图，△ABC 的三边的中线AD，BE，CF 的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S △ABC ＝12，则图中阴影部分的面积是（）A．3B．4C．5D．6【考点3三角形的三边关系】【方法点拨】掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.【例3】4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm 和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式3-1】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（）A．4B．5C．6D．7【变式3-2】已知a，b，c 是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝．【变式3-3】△ABC 三边的长a、b、c 均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有个．【考点4利用三角形的高和角平分线性质求角】【例4】如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．鲁教版五四制初中数学辅导（1）求∠DAE 的度数；（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F 在DA 的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．【变式4-1】如图，在△ABC 中，∠B＜∠ACB，AD 平分∠BAC，P 为线段AD 上的一个动点，PE⊥AD 交直线BC 于点E．（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E 的度数；（2）当点P 在线段AD 上运动时，求证：∠E =12(∠ACB −∠B)．【变式4-2】如图，AD、AE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F 在BC 的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG 与AB 相交于点G．（1）求∠AGF 的度数；（2）求∠DAE的度数．【变式4-3】△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE 的度数；（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C 的数量关系；（3）如图3，延长AC 到点F，∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，求∠G 的度数．鲁教版五四制初中数学辅导【考点5直角三角形的性质（一组垂直关系）】【方法点拨】解决此类问题的关键是掌握同角（等角）的余角相等.【例5】如图，CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，CB＞CA，图中相等的角共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【变式5-1】如图，AD⊥BC，垂足为D，点E 在AC 上，且∠A＝30°，∠B＝40°．求∠BFD 和∠AEF 的度数．【变式5-2】已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是高，AE 是△ABC 内部的一条线段，AE 交CD 于点F，交CB 于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．【变式5-3】在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°，P 是射线BC 上一动点（与B，C 点不重合），连接鲁教版五四制初中数学辅导AP．过点C 作CD⊥AP 于点D，交直线AB 于点E，设∠APC＝α．（1）若点P 在线段BC 上，且α＝60°，如图1，直接写出∠PAB 的大小；（2）若点P 在线段BC 上运动，如图2，求∠AED 的大小（用含α的式子表示）；（3）若点P 在BC 的延长线上运动，且a≠50°，直接写出∠AED 的大小（用含α的式子表示）．【考点6全等形的概念及应用】【方法点拨】解决此类问题根据能够完全重合的两个图形叫做全等形求解即可.【例6】下图所示的图形分割成两个全等的图形，正确的是（）A．B．C．D．【变式6-1】下列四个图形中，属于全等图形的是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．③和④B．②和③C．①和③D．①②【变式6-2】如图所示，请你在图中画两条直线，把这个“+”图案分成四个全等的图形（要求至少要画出两种方法）．【变式6-3】如图，是一个3×3的正方形网格，则∠1+∠2+∠3+∠4＝．【考点7全等三角形性质的应用】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，对应角相等，利用线段相等或角度之间的关系进行等量代换即可求解.【例7】如图，点B、E、A、D 在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD 的长是（）A．4B．5C．6D．7【变式7-1】如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC 的延长线交DE 于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB 为（）鲁教版五四制初中数学辅导A．40°B．50°C．55°D．60°【变式7-2】如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA 的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°【变式7-3】若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF 的周长为奇数，则EF 的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【考点8判断全等三角形的对数】【方法点拨】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，由易到难，仔细寻找．【例8】如图，AC、BD 相交于点E，AB＝DC，AC＝DB，则图中有全等三角形（）A．1对B．2对C．3对D．4对【变式8-1】如图，在AB、AC 上各取一点E、D，使AE＝AD，连接BD、CE 相交于点O，再连接AO、BC，若∠1＝∠2，则图中全等三角形共有（）鲁教版五四制初中数学辅导A．5对B．6对C．7对D．8对【变式8-2】如图，已知A、B、C、D 四点共线，AE∥DF，BE∥CF，AC＝BD，则图中全等三角形有（）A．4对B．6对C．8对D．10对【变式8-3】如图，AB∥CD，AD∥BC，AC 与BD 相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（）对全等三角形．A．5B．6C．7D．8【考点9网格中全等三角形个数问题】【方法点拨】认真观察图形，利用SSS 判断即可．【例9】如图，在4×4方形网格中，与△ABC 有一条公共边且全等（不与△ABC 重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个鲁教版五四制初中数学辅导【变式9-1】如图，△DEF 的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形，选取图中三个格点组成三角形，能与△DEF 全等（重合的除外）的三角形个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式9-2】如图，方格纸中△DEF 的三个顶点分别在小正方形的顶点上，像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形，则图中与△DEF 全等的格点三角形有（）个．A．9B．10C．11D．12【变式9-3】如图为正方形网格，顶点在格点上的三角形称为格点三角形，每个小正方形均为边长为1的正方形，图中与△ABC 全等的格点三角形（不含△ABC）共有（）个．A．4B．16C．23D．24【考点10全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例10】如图，点C、D 分别在BO、AO 上，AC、BD 相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD 的是（）鲁教版五四制初中数学辅导A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC【变式10-1】如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D 【变式10-2】如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【变式10-3】如图，已知：在△AFD 和△CEB，点A、E、F、C 在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE ＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB 的有（）组．A．4B．3C．2D．1鲁教版五四制初中数学辅导【考点11全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例11】如图，在∠AOB 的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N 作OA、OB 的垂线，交点为P，画射线OP，则OP 平分∠AOB 的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 【变式11-1】工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA，OB 上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【变式11-2】如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP 的依据不可能是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL 鲁教版五四制初中数学辅导【变式11-3】一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可【考点12全等三角形的判定与性质】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的4种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例12】如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D 作DE⊥AB 交AB 的延长线于点E、DF⊥AC 交AC 的延长线于点F，垂足分别为点E、F．（1）求证：∠DBE＝∠DCF．（2）求证：BE＝CF．【变式12-1】如图，三角形ABC 中，AD⊥BC 于D，若BD＝AD，FD＝CD．（1）求证：∠FBD＝∠CAD；（2）延长BF 交AC 于点E，求证：BE⊥AC．鲁教版五四制初中数学辅导【变式12-2】如图1，在△ABC 中，AB＝AC，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：∠ABE＝∠ACE；（2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F，CE 的延长线交AB 于点G．求证：EF＝EG．【变式12-3】已知：D，A，E 三点都在直线m 上，在直线m 的同一侧作△ABC，使AB＝AC，连接BD，CE．（1）如图①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求证：△ABD≌△ACE；（2）如图②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，请判断BD，CE，DE 三条线段之间的数量关系，并说明理由．【考点13全等三角形中的动点问题】【例13】如图，已知在△ABC 中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D 为AB 上一点且BD＝8厘米，点P 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，设运动时间为t，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）用含t 的式子表示PC 的长为；（2）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD 与三角形CQP 是否全等，请说明理由；（3）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，请求出点Q 的运动速度是多少时，能够使三角形BPD 与三角形CQP 全等？鲁教版五四制初中数学辅导【变式13-1】如图，在△ABC 中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P 从点A 出发，沿折线AC﹣﹣CB 以每秒1个单位长度的速度向终点B 运动，点Q 从点B 出发沿折线BC﹣CA 以每秒3个单位长度的速度向终点A 运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q 两点作PE⊥l 于E，QF⊥l 于F．设点P 的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q 两点相遇时，求t 的值；（2）在整个运动过程中，求CP 的长（用含t 的代数式表示）；（3）当△PEC 与△QFC 全等时，直接写出所有满足条件的CQ 的长．【变式13-2】如图①，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A 出发，沿着三角形的边AC→CB→BA 运动，回到点A 停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝112或192时，△APC 的面积等于△ABC 面积的一半；（2）如图（2），在△DEF 中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外鲁教版五四制初中数学辅导有一个动点Q，与点P 同时从点A 出发，沿着边AB→BC→CA 运动，回到点A 停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q 的运动速度．【变式13-3】如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB 垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在射线BD 上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P 运动结束时，点Q 运动随之结束）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t＝1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q 的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q 运动到何处时有△ACP 与△BPQ 全等，求出相应的x 的值．【考点14尺规作图】【例14】如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A 的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式14-1】已知∠α，线段a，b，求作：△ABC，使∠B＝∠α，AB＝2a，BC＝b．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法及证明）【变式14-2】如图，已知∠1与线段a，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：鲁教版五四制初中数学辅导（1）作∠A＝∠1；（2）在∠A 的两边分别作AM＝AN＝a；（3）连接MN．【变式14-3】已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝2∠α，AB＝2α．（保留作图痕迹，不写作法）鲁教版五四制初中数学辅导参考答案与解析【例1】【分析】根据三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．【解答】解：A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．故选：D．【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．【变式1-1】【分析】根据三角形的中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确；B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；C、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确．D、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．故选：D．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．【变式1-2】【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．【解答】解：∵AF 是△ABC 的中线，∴BF＝CF，A 说法正确，不符合题意；∵AD 是高，∴∠ADC＝90°，∴∠C+∠CAD＝90°，B 说法正确，不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C 说法错误，符合题意；∵BF＝CF，∴S △ABC ＝2S △ABF ，D 说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．【变式1-3】【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．鲁教版五四制初中数学辅导【解答】解：①G 为AD 中点，所以BG 是△ABD 边AD 上的中线，故正确；②因为∠1＝∠2，所以AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，AG 是△ABE 中∠BAE 的角平分线，故错误；③因为CF⊥AD 于H，所以CH 既是△ACD 中AD 边上的高线，也是△ACH 中AH 边上的高线，故正确．故选：C．【点评】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．【例2】【分析】根据S △ABC ＝12和点D 是AB 边上的中点，点E 是BC 边上的中点，即可得到△DEC 的面积，从而可以解答本题．【解答】解：∵S △ABC ＝12，点D 是AB 边上的中点，∴S △ACD ＝S △BCD ＝6，又∵点E 是BC 边上的中点，∴S △BDE ＝S △CDE ＝3，即阴影部分的面积是3，故选：C．【点评】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式2-1】【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC 的面积相等，从而计算△BEC 的面积，根据EF＝2FC，可得结论．【解答】解：∵D 是BC 的中点，∴S △ABD ＝S △ADC （等底等高的三角形面积相等），∵E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝S △BDE ，S △ACE ＝S △CDE （等底等高的三角形面积相等），∴S △ABE ＝S △DBE ＝S △DCE ＝S △AEC ，∴S △BEC =12S △ABC ＝6cm 2．∵EF＝2FC，∴S △BEF =23S △BCE ，∴S △BEF =23S △BEC ＝4cm 2．故选：C．【点评】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．【变式2-2】【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S △CGD ，S △CGE 的大小，进而求出S △BCE 的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S △BCE 的面积乘以2，求出△ABC 的面积即可．【解答】解：∵BD＝2DC，∴S △CGD =12S △BGD =12×16＝8；∵E 是AC 的中点，∴S △CGE ＝S △BGE ＝6，∴S △BCE ＝S △BGD +S △CGD +S △CGE 鲁教版五四制初中数学辅导＝16+8+6＝30∴△ABC 的面积是：30×2＝60．故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．【变式2-3】【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍．【解答】解：∵△ABC 的三条中线AD、BE，CF 交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，∴S △CGE ＝S △AGE =13S △ACF ，S △BGF ＝S △BGD =13S △BCF ，∵S △ACF ＝S △BCF =12S △ABC =12×12＝6，∴S △CGE =13S △ACF =13×6＝2，S △BGF =13S △BCF =13×6＝2，∴S 阴影＝S △CGE +S △BGF ＝4．故选：B．【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．【例3】【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．【解答】解：任取3根可以有一下几组：①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形，②2cm，3cm，5cm，∵2+3＝5，∴不能组成三角形；③2cm，4cm，5cm，能组成三角形，③3cm，4cm，5cm，能组成三角形，∴可以搭出不同的三角形3个．故选：C．【点评】本题考查了三角形的三边关系，按照一定的顺序进行分组才能做到不重不漏．【变式3-1】【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．【解答】解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；综上所述，得到三角形的最长边长为5．鲁教版五四制初中数学辅导故选：B．【点评】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．【变式3-2】【分析】根据三角形三边关系得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．【解答】解：∵a，b，c 是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，故答案为：a﹣3b+c．【点评】考查了三角形三边关系，绝对值的性质，整式的加减，关键是得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0．【变式3-3】【分析】结合三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．【解答】解：根据已知条件和三角形的三边关系，得当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；当a＝8，b＝5时，则c＝4．则满足条件的三角形共有9个．故答案为：9．【点评】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．【例4】【分析】（1）求出∠ADE 的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．（2）求出∠ADE 的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE 即可求出∠DAE 的度数．【解答】解：（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．（2）∵B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°−12（α+β），∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°−12（α+β），∵AE⊥BC，鲁教版五四制初中数学辅导∴∠AEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE =12（β﹣α）．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．【变式4-1】【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC 的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC 的度数，进一步求得∠E 的度数；（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．【解答】（1）解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．∵AD 平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD =12∠BAC＝90°−12（∠B+∠ACB）．∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°−12（∠ACB﹣∠B）．∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，即∠E =12（∠ACB﹣∠B）．【点评】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．【变式4-2】【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；（2）根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据三角形的内角定理即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，∵AE 是∠BAC 的角平分线，∴∠BAE =12∠BAC =25°，∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．鲁教版五四制初中数学辅导【变式4-3】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC 的度数，由AD 是∠BAC 的平分线，可得∠DAC 的度数；在直角△AEC 中，可求出∠EAC 的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC 的度数，由AD 是∠BAC 的平分线，可得∠DAC 的度数；在直角△AEC 中，可求出∠EAC 的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG =12∠EAC =12（90°﹣α）＝45°−12α，∠BCG =12∠BCF =12（180°﹣α）＝90°−12α，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC =12∠BAC＝39°，∵AE 是BC 边上的高，在直角△AEC 中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAC =12∠BAC＝90°−12（∠B+∠C），∵AE 是BC 边上的高，在直角△AEC 中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°−12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=12（∠C﹣∠B）；（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，∵∠CAE 和∠BCF 的角平分线交于点G，∴∠CAG =12∠EAC =12（90°﹣α）＝45°−12α，∠BCG =12∠BCF =12（180°﹣α）＝90°−12α，∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°−12α）﹣α﹣（90°−12α）＝45°．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．【例5】【分析】根据直角和高线可得三对相等的角，根据同角的余角相等可得其它两对角相等：∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD．【解答】解：∵CD 是直角△ABC 斜边AB 上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠A＝∠DCB，同理得：∠B＝∠ACD，鲁教版五四制初中数学辅导∴相等的角一共有5对，故选：D．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握同角的余角相等是解题的关键．【变式5-1】【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠C，根据三角形的外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∴∠C＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∠BFD＝90°﹣∠B＝50°，在△BCE 中，∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∴∠AEF＝180°﹣∠BEC＝100°．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．【变式5-2】【分析】在△ADF 中，利用三角形内角和定理结合对顶角相等可得出∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE，在△AEC 中，利用三角形内角和定理可得出∠CAE＝90°﹣∠CEF，再结合∠CFE＝∠CEF 可得出∠DAF＝∠CAE，即AE 平分∠CAB．【解答】证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF 中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC 中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．【点评】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用三角形内角和定理，找出∠DAF＝90°﹣∠CFE 及∠CAE＝90°﹣∠CEF 是解题的关键．【变式5-3】【分析】（1）根据三角形外角的的性质可得结论；（2）根据三角形外角的性质和直角三角形两锐角互余可得结论；（3）分情况讨论：α＞50°或α＜50°根据三角形内角和可得结论．【解答】解：（1）如图1，当α＝60°时，∠APC＝60°，△APB 中，∠PAB＝∠APC﹣∠B＝60°﹣40°＝20°，（2）如图2，同（1）得：∠PAB＝α﹣40°，鲁教版五四制初中数学辅导∵CE⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠PAB+∠AED＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠PAB＝90°﹣（α﹣40°）＝130°﹣α，（3）如图3，当α＞50°时，△APC 中，∠ACP＝90°，∠APC＝α，∴∠CAP＝90°﹣α，∵CD⊥AP，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°﹣∠DAE＝90°﹣（50°+90°﹣α）＝α﹣50°，②如图4，当α＜50°时，∴∠AED＝90°﹣∠PAE＝90°﹣（α+40°）＝50°﹣α，综上，∠AED 为α﹣50°或50°﹣α．【点评】本题考查了三角形外角的性质、直角三角形的两锐角互余、垂线的性质，熟练掌握这些性质是关键．【例6】鲁教版五四制初中数学辅导【分析】直接利用全等图形的性质进而得出答案．【答案】解：如图所示：图形分割成两个全等的图形，．故选：B．【点睛】此题主要考查了全等图形，正确把握全等图形的性质是解题关键．【变式6-1】【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【答案】解：①、②可以完全重合，因此全等的图形是①、②．故选：D．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式6-2】【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形画线即可．【答案】解：如图所示：．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等图形的概念．【变式6-3】【分析】仔细分析图中角度，可得出，∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，进而得出答案．【答案】解：∵∠1和∠4所在的三角形全等，∴∠1+∠4＝90°，∵∠2和∠3所在的三角形全等，∴∠2+∠3＝90°，∴∠1+∠2+∠3十∠4＝180°．故答案为：180°．【点睛】此题主要考查了全等图形，解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用．【例7】【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．【答案】解：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，鲁教版五四制初中数学辅导。
八年级上册数学常见易错题(内含答案解析)
八年级数学上册常见易错题1、下列图形中对称轴最少的是 ( )A 圆B 正方形C 等腰梯形D 线段【错解】D ．【错解剖解】不能误认为线段只有一条对称轴，它有两条对称轴，分别是它的垂直平分线和它所在的直线。
【正确答案】C ．2、如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有（ ）A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【错解】选D ．【错解剖析】错选D 的原因是对全等三角形的判定方法理解不透，当两个三角形有两边及一边的对角对应相等时，两个三角形不一定全等．【正确答案】选C ．3、在△ABC 和△A /B /C /中，AB ＝A /B /，AC ＝A /C /，高AD ＝A /D /，则∠C 和∠C /的关系是（ ） （A ）相等． （B ）互补． （C ）相等或互补． （D ）以上都不对．【错解】A ．【错解剖析】不能够正确画出图形理解题意，并分多种情况进行讨论．【正确答案】C ．4、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ）（A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ．（C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ．AB DE BC EF AC DF ===，，AB DE B E BC EF =∠=∠=，，B E BC EF C F ∠=∠=∠=∠，，AB DE AC DF B E ==∠=∠，，ABC DEF △≌△M F E D C B A【错解】A ．【错解剖析】不能正确审题，本题是选错误的选项．【正确答案】D5、如图，由4个小正方形组成的田字格中，ABC △的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与ABC △成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含ABC △本身）共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【错解】B ．【错解剖析】直接用图中已有的线为对称轴，只能找到两种，而把对角线作为对称轴的情况忽视了．【正确答案】D ．6、如图把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是（ ）【错解】A ．【错解剖析】操作时把剪下的位置弄错．【正确答案】C ．7、在正方形ABCD 中，满足ΔPAB ，ΔPBC ，ΔPCD ，ΔPAD 均为等腰三角形的点P 有（ ）个．A 、6个B 、7个C 、8个D 、9个ABC【错解】A ．【错解剖析】解：（1）、如图一，当AB ，BC ，CD ，DA 分别为等腰三角形ΔPAB ，ΔPBC ，ΔPCD ，ΔPAD 的底边时，P 点为正方形ABCD 对角线AC ，BD 的交点P 1 ．（2）、如图二，当AB ，CD 分别为ΔPAB 和ΔPCD 的腰且A 与D 为等腰三角形的顶角顶点而BC 和AD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的位置为以A 为圆心，以AB 为半径的圆弧与线段AD 的中垂线交点P 2和P 3 ．（3）、如图三，当AB ，CD 分别为ΔPAB 和ΔPCD 的腰且B 与C 为等腰三角形的顶角顶点而BC 和AD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的位置为以B 为圆心，以BA 为半径的圆弧与线段AD 的中垂线交点P 4和P 5 ．与（2）和（3）同理如图三、四、五得到以当AD ，BC 分别为ΔPAD 和ΔPBC 的腰而AB 和CD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的另外四个位置为P 6，P 7 ，P 8 和P 9 ．【正确答案】D ．8、计算()4323b a --的结果是( )A .12881b a B.7612b a C.7612b a - D.12881b a -【错解】： 选A 或B 或C ．【错解剖析】： 幂的乘方运算运算错误和符号错误．【正确答案】：选D ．9、下列运算结果正确的是（ ）.A ．6332x x x =⋅B ．623)(x x -=-C ．33125)5(x x =D ．55x x x =÷．【错解】：D【错解剖析】：本题考查整式乘除运算，其基础是幂的运算。
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最新鲁教版数学八年级上册各章易错题汇总1、代数式xx 21-是（ ）.（A ）单项式 （B ）多项式 （C ）分式 （D ）整式 2、若aa-33有意义，则a a -33( ).（A ）无意义 （B ）有意义 （C ）值为0 （D ）以上答案都不对 3、分式x--1111有意义的条件是 .4、要使分式9632+--x x x 的值为0，只须（ ）.（A ）3±=x （B ）3=x （C ）3-=x （D ）以上答案都不对 .5、若A 、B 表示不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）. （A ）M B M A B A ⋅⋅=（M 为整式） （B ）MB MA B A ++=（M 为整式） （C ）22B A B A = （D ）)1()1(22++=x B x A B A . 6、把分式2a ba +中的a 、b 都扩大2倍，则分式的值（ ）. （A ）扩大2倍 （B ）扩大4倍 （C ）缩小2倍 （D ）不变.1、分析：分式的定义中包含三个要点：（1）. 分子、分母都是整式，（2）. 分母中含有字母，（3.） 分母不为0. 实际上，分式的形式除了B A 外，由整式与BA这样的式子之间的运算所组成的式子，也属于分式的范围.此题中的第二项x x 2-分子、分母都是整式，含有分母x ，分母中的字母也是x ，隐藏的条件是x 0≠， 符合分式定义，是分式，所以代数式xx 21-也是分式.可能有的学生这样理解：x x 21-=x -1，因为x -1是多项式，所以xx 21-是多项式，这种理解的错误在于忽略了两式中字母的取值范围不同，x -1中x 可以为0，而x x 21-中x 0≠，所以两式不一样，x -1是多项式而xx 21-是分式.2、分析：分式有意义的条件是分母不为0，此题中两分式的分母不同，有意义的条件也不同.aa-33有意义的条件为03≠-a ， 3≠a . 同理a a -33有意义的条件为3±≠a . 所以aa-33有意义，a a -33不一定有意义，所以选项（A ）.（B ）错误，选项（C ）很显然错误，所以正确答案选（D ）.解：据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≠--≠-.0111,01x x 解得：⎩⎨⎧≠≠.0,1x x ∴原分式有意义的条件是1≠x 且0≠x .5、分析：分式的基本性质包含5个要点：（1） 分式的分子与分母； （2） 都乘以（或除以）； （3 ） 同一个； （4） 不等于零的整式； （5） 分式的值不变.选项（A ）不符要点4，当M 为0时，不成立.（B ）不符要点2，分子与分母应是都乘以（或除以）而不是都加上或减去. （C ）不符要点3，分子乘的是A ，而分母乘的是B.（D ）中，因为12+x >1，即12+x 不为0，所以（D ）符合分式的基本性质，正确答案应选（D ）.6、分析：题目中将a 、b 都扩大2倍，即a 变为2a ，b 变为2b ，所以可把分式中的a 、b 分别用2a ，2b 代替，得：224)(2)2(22a b a a b a +=+=221aba +⋅所以答案选（C ）.点评：注意此题的条件是a 、b 都扩大2倍，而不是分子、分母同时扩大2倍，因此不能利用分式的基本性质写成：2ab a +=.)2(222a ba +二、分式方程增根问题及应用题【例1】解方程 .解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0.化简，得x-4=0. 解得x=4.检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0，∴x=4是原方程的解.【例2】解方程解：原方程可化为，方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）.化简，得2x-3=-1.解得x=1.检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解.【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项.【例3】解方程 .解：原方程可变形为 .解得x=.检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0，所以x=是原方程的解.【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”.【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值.解：原方程可化为 .方程两边同乘x（x+1）（x-1）得x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）.化简，得3x=6-k.当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9.【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.1、小名和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多了一本，这种科普和文学书的价格各是多少？2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路.某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间.3、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件，求A、B每小时各做多少个零件.4、某工厂去年赢利25万元，按计划这笔赢利额应是去、今两年赢利总额的20%，今年的盈利额应该是多少？5、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷的旱田改为水田？6、我部队到某桥头阻击敌人，出发敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度.7、甲、乙两人同时从A 地出发，步行30千米到B 地甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到1小时，两人每小时各走多少千米？8、某公司投资某个工程项目，现在甲乙两工程队有能力承包.乙队单独完成整个工程时间是甲队的两倍；甲乙合作20天完成，甲每天工作费用1000元，乙每天工作费用550元，从节约资金角度，公司选哪个工程队？应付工程队费用多少元？ 9、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度.三、相似图形能力提高题一.填空题1.两条线段之比为2:3，之差为3cm.，则这两条线段的长分别为_______.2.若a:b=2:3， b:c=6:5，则a:b:c=______.3.正三角形的高与边长的比是_________.ABCD第3题4. 已知,32===f e d c b a 则fb e a ++=___________. 5.已知a=1， b=2，c=3.则a ， b ，c 的第四比例项是__________.6.两个相似三角形三边的高分别是3， 4， 5和6， 8， 10.则这小个三角形与大三角形的相似比为_______.7.△ABC 的三边长分别为.15,10,5 △```C B A 的两边长分别为1和2，如果△ABC ～△```C B A ，那么△```C B A 的第三边长为_______.二.解答题.1.在△ABC 中，AB=14，点E 在AC 上，点D 在AB 上，若AE=3，EC=4，且ECAEDB AD =. (1)求AD 的长; (2)试问,ACECAB DB =能成立吗?请说明理由.A B C14DE 342.在Rt △ABC 中，斜边AB=26，AC:BC=5:12，试求AC ，BC 的值.3.已知三条线段的长分别为1，2，3，请你再给了一条线段，使得它的长与前面三条的长能够组成一个比例式.4.已知x :y: z=43:32:21， 求(1)z y x x -+ (2) z y y x --5.如果线段AB=8cm ，点C 是AB 上的黄金分割点，则AC 的长是多少?请说明理由.6.如图，矩形ABCD 中，AB=15-，AD=2， 且四边形ABFE 是一个正方形，试问点F 是BCAB C26的黄金分割点吗? 请说明理由.7.已知线段MN=1，在MN 上有一点A ，如果AN=253 ，求证:A 是MN 的黄金分割点.8.如图，是一张矩形纸片，其中AB=1，BC=2，怎样折叠这张纸片，才能找到AB 边上的黄金分割.9.小芬的房间高为2.8米，她打算在四周墙面上涂料美化居室，从地面算起，高是多少米进，涂后才使人感到舒适?14.如图菱形ABCD 的边长为2，延长AB 到E ，EB=2AB ，连接EC 延长交AD 线于F ，如果△EBC ∽△EAF ，试求AF 的长.F ABCD E16.已知△ABC 的边长分别为3， 4， 5，与其相似的△A ’B ’C ’最长边长为15，求△A ’B ’C’ABC DEF的面积.17.如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，试问: (1)△ABD与△DCB相似吗?请说明理由.ABC D(2)如果AD=3， BC=5，你能求出BD的长吗?26、（10分）为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备. 现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表：（1）请你设计该企业有几种购买方案；（2）若企业每月产生的污水量为2040吨，为了节约资金，应选择哪种购买方案？（3）在第（2）问的条件下，若每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水费为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）四、数据的收集与处理及方差公式变形一、数据1、为了了解某校七年级400名学生的期中数学成绩的情况，从中抽取了50名学生的数学成绩进行分析，总体，个体，样本，样本容量分别是什么？2、在进行数据描述时，要显示每组中的具体数据，应采用什么图？要显示部分在总体中所占的百分比，应采用什么图？要显示数据的变化趋势，应采用图？要显示数据的分布情况，应采用图？3、进行数据的调查收集，一般可分为以下六个步骤，但它们的顺序弄乱了，正确的顺序是A、明确调查问题；B、记录结果；C、得出结论；D 、确定调查对象；E 、展开调查；F 、选择调查方法. 4、下列调查工作需采用普查方式的是（ ）(A)环保部门对长江某段水域的水污染情况的调查； (B)电视台对正在播出的某电视节目收视率的调查； (C)质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查； (D)企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查.5、为了了解某校1500名学生的体重情况，从中抽取了100名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是（ ）(A)1500名学生的体重是总体 (B)1500名学生是总体(C)每个学生是个体 (D)100名学生是所抽取的一个样本6、在一个样本中，50个数据分别落在5个小组内，第1，2，3，5，小组数据的个数分别是2，8，15，5，则第4小组的频率是（ ） (A)0.1 (B)0.2 (C)0.25 (D)0.47、下列抽样调查较科学的是（ ）① 小华为了知道烤箱中所烤的面包是否熟了，取出一小块品尝；② 小明为了了解初中三个年级学生的平均身高，在七年级抽取一个班的学生做调查；③ 小琪为了了解北京市2007年的平均气温，上网查询了2007年7月 份31天的气温情； ④ 小智为了了解初中三个年级学生的平均体重，在七年级、八年级、九年级各抽一个班的学生进行调查.(A) ①② (B) ①③ (C) ①④ (D) ③④8、一个容量为80的样本最大值是143，最小值是50，取组距为10，则可以分成（ ）(A) 10组 (B) 9组 (C) 8组 (D) 7组二、方差问题1、一组数据x 1、x2、x 3....x n 的方差为s ，则另一组新数据x 1-a 、x 2-a 、x 3-a....x n -a 的方差为多少？ax 1、ax 2、ax 3....ax n 的方差为多少？ ax 1-b 、ax 2-b 、ax 3-b....ax n -b 的方差为多少？总结：一组数据原来的方差为s①每个数据都加上或减去同一个数a ，方差s 不变②一组数据都乘上同一个数a ，方差变为a 2s 的五、二次根式易错题1.当x 取何值时，代数式34-+x x 在实数范围内有意义？2．若32-=x ，则xx x 1122++-＝ .3.当a ＜－7时，则2)7(+a =___ ____.4.当a ＞3时，则22)3()2(a a --=____ ___.5.若22)8()8(k k +=+，求k 的取值范围6.求代数式22)2()3(a a ---的值7.已知116=+-+x x ，求16+++x x 的值.8.已知等式0+=在实数范围内成立， 那么x的值为_________9.已知最简二次根式是同类二次根式， 那么x的值为_______. 10.若2)2(-x =2－x ，求x 的取值范围11.若代数式mnm 1+-有意义，那么直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限 B 、第二象限C 、第三象限 D 、第四象限 12.若82--y x +12++y x =0，求x y=13.求值：20031||11||113⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+-+-+a a a a a .14.已知0 ＜x ＜1，化简：4)1(2+-xx －4)1(2-+xx 15.计算：（7＋43）（2－3）2＋（2＋3）（2－3）－316.已知：实数37-的整数部分为a ，小数部分为b ，求代数式ab 的值.17.式子3ax --（a ＞0）化简的结果是A 、ax x -B 、axx -- C 、ax x D 、ax x-。