22.3实际问题与二次函数
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
(2)当 x=0 时,y=-0.2(0-1)2+0.7=0.5, ∴小明此跳在起跳时重心离地面有 0.5 m 高. (3)当 y=0.3 时,0.3=-0.2(x-1)2+0.7, 解得 x1=1- 2(舍去),x2=1+ 2, 小明的成绩为(1+ 2)m. ∵1+ 2>2.4,∴小明这一跳能得满分.
22.3
实际问题与二次函数
知识点
知识点利用二次函数解决实际问题 由于抛物线的顶点总是抛物线的最高点或最低点,故在顶点处函数 取最大值或最小值,因此对于某些与二次函数有关的牵涉到最大 (小)值的实际问题,我们可将实际问题抽象为二次函数的数学模型, 求出二次函数的解析式,借助最值求法解决实际问题. 求解此类问题的一般步骤如下: (1)列出二次函数解析式; (2)结合实际意义,确定自变量的取值范围; (3)求二次函数的最大值或最小值; (4)解决实际问题.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解决求最大利润问题,先根据已知条件把利润表示成价格的 二次函数,然后根据二次函数的最值求解,注意自变量的取 值范围如果不包含顶点的横坐标时,要使实际问题有意义.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
拓展点四利用二次函数解答运动路线或运动距离问题 例4 立定跳远时,以小明起跳时重心所在竖直方向为y轴(假设起 跳时重心与起跳点在同一竖直方向上),地平线为x轴,建立平面直角 坐标系(如图),则小明此跳重心所走过的路径是一条形如y=-0.2(x1)2+0.7的抛物线,在最后落地时重心离地面0.3 m(假如落地时重心 与脚后跟在同一竖直方向上).
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
拓展点二利用二次函数求图形面积的最值问题 例2
新时代中学为了搞好校园环境,准备在围墙边设计一个长方形的自 行车棚,一边利用围墙,并且已有总长32 m的铁围栏,为了方便出入, 在平行于墙的一边留有一个2 m宽的门. (1)如果要使这个车棚的面积为144 m2,请你设计长和宽; (2)要使车棚的面积最大,请你设计长和宽.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解:(1)∵销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间 存在正比例函数关系y=kx, 当投资5万元时,可获得利润2万元, ∴yA=0.4x. ∵销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间存在 二次函数关系y=ax2+bx, 当投资4万元时,可获得利润3.2万元, 当投资2万元时,可获得利润2.4万元, 3.2 = 16������ + 4������, ������ = -0.2, ∴ 解得 2.4 = 4������ + 2������, ������ = 1.6, ∴yB=-0.2x2+1.6x.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解:(1)设每件商品涨价x元, 则每件利润为(10+x-8)=(x+2)元, 每天销售量为(200-20x)件, 依题意,得(x+2)(200-20x)=700. 整理得x2-8x+15=0,解得x1=3,x2=5. ∴把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元. 答:把售价定为每件13元或15元能使每天利润达到700元. (2)设应将售价定为x元时,才能使每天获得的利润最大为y元, ������-10 根据题意得y=(x-8) 200× 10 =-20x2+560x-3 200=-20(x20.5 2 28x)-3 200=-20(x -28x+196)-3 200+20×196=-20(x-14)2+720, ∴x=14时,y最大,最大值为720. 答:应将售价定为14元时,才能使每天获得的利润最大,最大利润 为720元.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
(2)设投资B种商品x万元,则投资A种商品(12-x)万元. 由(1)可知所获得的利润W=-0.2x2+1.6x+0.4(12-x)=-0.2(x-3)2+6.6. ∴当x=3时,W取最大值. ∴投资A,B两种商品的金额分别为9万元,3万元,可获得最大利润 6.6万元.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解答生活中的实际问题,关键是把实际问题转化成数 学问题,对于路线是抛物线的问题,关键是看问题的要 求符合抛物线的哪一方面的性质(或关键点),然后利用 二次函数的相关性质进行解答.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
拓展点五利用二次函数解决方案选择问题 例5 某超市计划上两个新项目: 项目一:销售A种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间 存在正比例函数关系y=kx.当投资5万元时,可获得利润2万元; 项目二:销售B种商品,所获得利润y(万元)与投资金额x(万元)之间 存在二次函数关系y=ax2+bx.当投资4万元时,可获得利润3.2万元; 当投资2万元时,可获得利润2.4万元. (1)请分别求出上述的正比例函数解析式和二次函数解析式; (2)如果超市同时对A,B两种商品共投资12万元,请你设计一个能 获得最大利润的投资方案,并求出按此方案获得的最大利润是多少.
知识点
解答这类应用题,先把实际问题转化成数学问题,建立二 次函数模型,用待定系数法确定二次函数解析式,然后求 出二次函数的最大值或最小值解决问题.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
拓展点一求自变量的取值有一定范围的二次函数的最值 例1 已知二次函数的图象y=ax2+bx+c(0≤x≤3)如图所示.关于该 函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是( )
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
求图形最大(小)面积问题时,先把图形的面积表示成 其中一个变量的二次函数,通过二次函数的最值进行 求解.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
拓展点三利用二次函数确定最大利润问题 例3 某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出,每天可销 售200件,现在采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种 商品每涨价0.5元,其销量就减少10件. (1)要使每天获得利润700元,请你帮忙确定售价; (2)问售价定在多少时能使每天获得的利润最多?并求出最大利 润.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
(1)小明在这一跳中,重心离地面最高时距离地面多少米?此时他 离起跳点的水平距离有多少米? (2)小明此跳在起跳时重心离地面有多高? (3)小明这一跳能得满分吗?(2.40 m为满分) 解:(1)∵y=-0.2(x-1)2+0.7, ∴抛物线的顶点坐标为(1,0.7), ∴重心离地面最高时距离地面0.7 m,此时他离起跳点的水平距离 有1 m.
A.有最小值0,有最大值3 B.有最小值-1,有最大值0 C.有最小值-1,有最大值3 D.有最小值-1,无最大值
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
解析:由图可知,该二次函数在x=1时,有最小值-1,x=3时,有最大值 3.
答案:C
拓展点一
拓展点二
对于求自变量的取值有一定的范围的二次函数的最 值的问题,首先要看顶点是否在其范围内,如果在,若 a>0,则有最小值,若a<0,则有最大值;如果不在,则根据 二次函数的增减性进行解答,但是对于自变量是像 m≤x≤n(m<n)的形式的问题,函数图象是抛物线的一 段,则有可能既有最小值,也有最大值,具体根据图象解 答.
知识点
名师解读:对于实际问题中的最大(小)值,要注意有时并不是抛物 线顶点的纵坐标.原因是顶点的横坐标可能不在自变量的取值范围 之内,此时应根据二次函数图象(抛物线的一段或一部分有意义的 点)的增减性进行解答.
知识点
例题 为了落实国务院的指示精神,某地方政府出台了一系列 “三农”优惠政策,使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产 品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每 天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这 种产品每天的销售利润为w元. (1)求w与x之间的函数解析式. (2)该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大?最 大利润是多少元?
知识点
分析:(1)根据销量乘以每千克利润等于总利润进而得出答案; ������ (2)利用二次函数最值求法得出x=时,w取到最值,进而得出 2������ 答案. 解:(1)由题意得w=(x-20)y=(x-20)· (-2x+80)=-2x2+120x-1 600, 故w与x的函数解析式为w=-2x2+120x-1 600. (2)w=-2x2+120x-1 600=-2(x-30)2+200, ∵-2<0,∴当x=30时,w有最大值,最大值为200.即该产品销售价定 为每千克30元时,每天销售利润最大,最大利润为200元.
拓展点一
拓展点二
拓展点三
拓展点四
拓展点五
分析:(1)设垂直于墙的铁围栏为x m,则平行于墙的一边长为(322x+2)m,根据长方形的面积公式即可列方程求解; (2)设这个车棚的面积为y m2,由(1)的数量关系得出二次函数,利 用配方法求得最大值即可. 解:(1)设宽为x m,则长为32-2x+2=(34-2x)m, 依题意可列方程x(34-2x)=144,即-2x2+34x-144=0,解得x1=8,x2=9. 当x1=8时,32-2x+2=18,当x2=9时,32-2x+2=16. 所以这个车棚的长为18 m,宽为8 m或长为16 m,宽为9 m. (2)设这个车棚的面积为y m2, 由题意得y=x(34-2x)=-2x2+34x=-2(x-8.5)2+144.5. 要使车棚面积最大,长应为17 m,宽应为8.5 m.
22.3实际问题与二次函数(一)
22.3实际问题与二次函数（一）一、课前导学1．二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标是（ _, ）2．一般地：(1)如果抛物线c bx ax y ++=2中a>0，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________；(2)如果抛物线c bx ax y ++=2中a<0，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________。
3．分别用配方法和公式法，求当x 取何值时，y 有最值。
（1）223y x x =+- （2）21252y x x =-+-二、自主探究，合作交流问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系为2305(06)h t t t =-≤≤.小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？探究：借助函数图象解决这个问题，画出2305(06)h t t t =-≤≤函数图象如图 可以看出这个函数图象是一条抛物线的 一部分，这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点，也就是说，当t 取顶点横坐标时这个函数之最大. 因此，当2b t a =-=时，h 有最大值244ac b a -=.也就是说小球运动 秒时，小球运动最大高度 米.三、自主探究，交流展示☆探究1：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形的面积S 随一边长l 的变化而变化，当l 是多少米时，场地面积S 最大？☆应用举例：1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．（1）若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）绿化带的最大面积是多少？2.如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？H G F E DC BA☆练检巩固：1. 用长为20cm 的铁丝作两个正方形，两个正方形的边长分别为多少时，面积和最大？是多少？2. 已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？3. 如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4.一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？D C BAF E DC BA☆能力提升：1. 如图，点E,F,G,H 分别在菱形ABCD 的四条边上，BE=BF=DG=DH ，连接EF 、FG 、GH 、HE ，得到四边形EFGH.(1)求证：四边形EFGH 是矩形；(1)设AB=a ，∠A=60°，当BE 为何值时，矩形EFGH 面积最大？BAC2.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．（1）若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）绿化带的最大面积是多少？。
人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》
人教版数学九年级上册说课稿22.3《实际问题与二次函数》一. 教材分析《实际问题与二次函数》这一节是人教版数学九年级上册第22.3节的内容。
这部分教材主要让学生理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生将能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
教材中给出了几个实际问题，让学生通过解决这些问题来理解和掌握二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经学过二次函数的基本知识，他们对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题可能是他们比较陌生的。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将所学的二次函数知识与实际问题联系起来，帮助他们理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用，并能够运用二次函数解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够认识到数学在实际生活中的重要性，增强他们对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：学生能够将所学的二次函数知识应用于解决实际问题，并能够灵活运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：我将以问题为导向，引导学生通过解决实际问题来理解和掌握二次函数的应用。
我会鼓励学生进行合作学习和讨论，培养他们的数学思维能力和解决问题的能力。
2.教学手段：我将使用多媒体教学手段，如PPT和教学软件，来展示二次函数的图像和实际问题的情境，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：我会通过一个简单的实际问题引入本节课的主题，激发学生的兴趣和好奇心。
2.教学新课：我会引导学生回顾二次函数的基本知识，然后向他们介绍二次函数在实际问题中的应用。
我会通过示例和讲解，让学生理解和掌握二次函数的应用方法。
3.学生练习：我会给出几个实际问题，让学生独立解决。
22.3 实际问题与二次函数[4页][001]
![22.3 实际问题与二次函数[4页][001]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/0f0166b0be1e650e52ea99f6.webp)
22.3 实际问题与二次函数一．填空题（共1小题）1．当﹣1≤x≤2时，二次函数y=x2+2kx+1的最小值是﹣1，则k的值可能是．二．解答题（共9小题）2．某农场要建一个饲养场（长方形ABCD），饲养场的一面靠墙（墙最大可用长度为27米），另三边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏），建成后木栏总长57米，设饲养场（长方形ABCD）的宽为a米．（1）饲养场的长为米（用含a的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为288m2，求a的值．（3）当a为何值时，饲养场的面积最大，此时饲养场达到的最大面积为多少平方米？3．某商店进行促销活动，如果将进价为8元/件的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品的单价每涨1元，其销售量就要减少10件，问将售价定为多少元/件时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．4．某种商品的成本价为30元/千克，规定每千克的售价不低于成本，且不高于80元．该商品每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，函数图象如图所示：（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；（2）求商品的售价为多少时，销售该商品每天获得的利润为1200元？（3）设商品每天的总利润为W元．①写出W与x之间的函数表达式；②试说明总利润W随售价x的变化而变化的情况．5．近年来随着人们生活方式的改变，租车出行成为一种新选择，本溪某租车公司根据去年运营经验得出：每天租车的车辆数y（辆）与每辆车每天的租金x （元）满足关系式y=﹣x+36（500≤x≤1800，且x为50的整数倍），公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元，设租车公司每天的利润为w元．（1）求w与x的函数关系式．（利润=租金﹣支出）（2）公司在“十一黄金周”的前3天每天都获得了最大利润，但是后4天执行了物价局的新规定：每辆车每天的租金不超过800元．请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元？6．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）7．共享单车是绿色出行的重要发展方向，某区将在2017年投放共享单车1650辆，规划到2019年将投放到共享单车达到3234辆．（1）若该区2017年底到2019年底共享单车投放量的年平均增长率都相同，2018年该区投放的共享单车将达到多少辆？（2）区政府为支持共享单车的发展，每个月每个停靠点补贴给共享单车公司500元，共享单车公司每个月需支付每个停靠点管理费260元，每辆单车维修费12元，若每个月每辆单车的出租收入p（元）与每个停靠点单车投放量n（辆）满足关系式p=132﹣2n，每个停靠点至少投放20辆单车，试求每个停靠点应投放多少辆，单车公司获利最大，并求出每个停靠点实际收入的最大值．8．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克，为了促销，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，另外，每天的房租等固定成本共24元，设每千克降价x元每天销量为y千克．（1）求y与x的函数关系式；（2）如何定价，才能使每天获得的利润为200元，且使每天的销量较大？9．某公司主要生产和销售A产品，每件产品的成本为200元，销售单价为260元，顾客一次购买A产品不超过10件，每件销售为260元；若一次购买A型产品多于10件，则每多一件，所购买的全部产品的销售单价均降低2元，但销售单价均不低于224元．（1）顾客一次购买A产品多少件时，销售单价恰好为224元？（2）某次交易中，小张一次性购买A产品x件，公司盈利792元，求本次交易中小张购买产品的件数．（3）进入冬季，公司举行“情系山区，你我共同送温暖”的公益促销活动，活动规定：在原定价格的基础上每件均优惠5元，若一次购买A型产品不超过10件，则每销售一件产品公司捐款5元；若一次购买A型产品超过10件，则每售出一件产品公司捐款a元，此外再一次性捐款100元，受活动影响，每位顾客购买件数x均满足10＜x≤17，为使顾客一次购买的数量越多，公司在该次交易中所获得的利润越大，求a的取值范围．10．如图，在△AOB中，∠O=90°，AO=18cm，BO=30cm，动点M从点A开始沿边AO以1cm/s的速度向终点O移动，动点N从点O开始沿边OB以2cm\s 的速度向终点B移动，一个点到达终点时，另一个点也停止运动．如果M、N 两点分别从A、O两点同时出发，设运动时间为ts时四边形ABNM的面积为Scm2．（1）求S关于t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（2）判断S有最大值还是有最小值，用配方法求出这个值．。
22.3实际问题与二次函数第一课时教案
22.3 实际问题与二次函数第1课时 实际问题与二次函数（1）※教学目标※【知识与技能】1.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系.2.会运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值.【过程与方法】通过对“矩形面积”、“销售利润”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想.【情感态度】体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识.【教学重点】通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题.【教学难点】分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的. ※教学过程※一、复习导入从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是2305h t t =-（0≤t ≤6）．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是少？提问 （1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这条抛物线的顶点是否是小球预定的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？二、探索新知探究1 用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？分析：先写出S 与l 的函数关系式，再求出使S 最大的l 值.矩形场地的周长是60m ，一边长为l m ，则另一边长为 ,场地的面积S= .化简得S= .当l= 时，S 有最大值 .探究2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）设每件涨价x 元，则每星期售出商品的利润y 随之变化.我们先来确定y 随x 变化的函数解析式.涨价x 元时，每星期少卖10x 件，实际卖出()30010x -件，销售额为()60x +· ()30010x -元，买进商品需付()4030010x -元.因此，所得利润()()()60300104030010y x x x =+---，即2101006000y x x =-++，其中，0≤x ≤30.根据上面的函数，填空：当x= 时,y 最大，也就是说，在涨价的情况下，涨价 元，即定价 元时，利润最大，最大利润是 .（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的讨论，自己得出答案. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道如何定价能使利润最大了吗？三、巩固练习1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. （1）求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；（2）当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 2.鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x =60时 ，y =80；当x =50时，y =100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利W (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？答案：1.(1) ∵ AB 为x 米，篱笆长为24米,∴ 花圃宽为()244x －米.∴ ()()2244424?06?S x x x x x =+<<－=-.（2）当32b x a =-=时，有最大值24364ac b y a -==（平方米）.2.（1）设y kx b =+ .根据题意，得8060,10050.k b k b +⎧⎨=+⎩＝解得2,200.k b ∴2200y x =-+（30 ≤x ≤60）.（2）23022004()()5022606450W x x x x =+=+-----.（3）()2? 2652000W x =+－－.∵30 ≤x ≤60，∴当x =60时,W 有最大值为1950元.∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元.四、归纳小结通过这节课的学习，你有哪些收获和体会？有哪些地方需要特别注意？※布置作业※从教材习题22.3中选取．※教学反思※二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要模型，也是某些单变量最优化的数学模 型，如最大利润、最大面积等实际问题，因此本课时主要结合这两类问题进行了一些探讨.生活中的最优化问题通过数学模型可抽象为二次函数的最值问题，由于学生对于这一转化过程较难理解，因此教学时教师可通过分步设问的方式让学生逐层深入、稳步推出，让学生自主建立数学模型，在这个过程中，教师可通过让学生画图探讨最值.总之，在本课时的教学过程中，要让学生经历数学建模的基本过程，体验探究知识的乐趣.。
人教版九年级上册数学22.3实际问题与二次函数(教案)
1.教学重点
-二次函数在实际问题中的应用：本节课的核心是让学生掌握如何将实际问题转化为二次函数模型，从而利用数学工具解决具体问题。例如，通过分析物体的抛物线运动，建立速度与时间的关系，进而求解物体的最大高度或最远距离。
-二次函数的性质及其图像：重点讲解二次函数的开口方向、顶点、对称轴等性质，并通过图像加深理解，使学生能够熟练运用这些性质解决实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，它能够描述许多抛物线形状的现象。它在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个物体以抛物线轨迹运动，我们要计算它的最大高度和飞行距离。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了实际问题与二次函数的关联，尝试将抽象的数学概念应用到具体的生活实例中。我注意到，在理论介绍环节，学生对二次函数的基本概念掌握得还算扎实，但在案例分析时，一些学生在构建数学模型上遇到了困难。这让我意识到，将实际问题转化为数学语言，对他们来说是一个不小的挑战。
在实践活动和小组讨论中，学生们的参与度很高，大家积极讨论、动手实践，课堂氛围相当活跃。我特别高兴看到他们在讨论中互相启发，共同解决问题。然而，我也发现有些小组在分析问题时，还是局限于表面的理解，未能深入挖掘问题背后的数学原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
22.3实际问题与二次函数(实物抛物线)
A、5米 B、6米；C、8米；D、9米
y
x
0
h
A
B
练习2一个涵洞成抛物线形，它的截面如图, 现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与 水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处， 涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
加入QQ群：259315766，可获得无法上传的免费文档《二次曲线压轴100题真人讲解WORD精排打印版》100页
y 0.5 x 2 2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x2 2 x 6 这时水面宽度为2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 ( 2 6 4 )m
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中
的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所 示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到 水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系 内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什
么？
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点 O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0.8，-2.4）， 又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
∴汽车长方形构成，长方
形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用 y 1 x2 4 4
表示.（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧 道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡 车是否可以通过？
（1）卡车可以通过.
3
提示：当x=±1时，y =3.75, 3.75＋2>4.
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 ( 2 6 4 )m
22.3 实际问题与二次函数正式稿3
y O
C A
h 20 m
D B
x
y 1 92 3.24 25
（2）由题意可得D点的横坐标为9 上升的高度 4 3.24 0.76m
∴此时水深= 2+0.76= 2.76m
答：水深超过2.76 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行
例3 如图，一名运动员在距篮圈下4m跳起投篮，篮球运行的路 线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，达到最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心距离地面3.05m，若 该运动员身高1.8m，球在头顶上方0.25m出手，问球出手时， 他跳离地面的高度是多少米？
∴3.05= a×1.52 +3.5
C
出手处
D
篮A圈
？E 3.05
解得a 1
P
5
抛物线的解析式为y 1 x2 3.5
2.5 O 1.5
Q
5
n 1 (2.5)2 3.5 2.25 5
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2
（2， 2）
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
解：设函数解析式为 y ax2 k
（0，2） （2，0）
①
③
②
④
对比一下，哪种建系方式最为简单？
（1）求宽度增加多 少需要什么数据？ （2）表示水面宽的 线段的端点在哪条 曲线上？
2．探究“拱桥”问题
图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m时，水面 宽 4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
问题3 如何建立直角坐标系？
22.3--实际问题与二次函数-几何问题
D(1,4)
MC+MB最小.若有，求出点M的 坐标，若没有，说明理由.
(-1,0) A
M 0
B(3,0) x
典例分析
例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 2x 3
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
. (5)若M为抛物线对称轴上任 意一点，是否存在一点M使得
y (0,3) C
课堂小结
一 定 会 感 激 现 在 拼 命 的 自 己
将 来 的 你
变式2现要用60米长的篱笆围成一个矩形 场地（一边靠墙且墙长28米）。应怎样围才 能使矩形的面积s最大？最大是多少？
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围；
（2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的 最大值或最小值。
尝试应用：
1.某农场要盖三间长方形的羊圈，如图所示，一面 利用长为16m的旧墙，其余各面用木材围成栅栏 ，计划用木材为24m，设每间羊圈与墙垂直的一 边长x(m)，三间羊圈的总面积为s(m²),则s与x的 函数关系式是S=24X-4X² x的取值范围是 2≤X<6，当x= 时3，面积s最 大，最大面积为 m36²
. (3)在x轴上是否存在一点Q， 使得|QD-QC|最大.若有，求
y (0,3) C
D(1,4)
出点Q的坐标，若没有，说明 理由.
(-1,0) A 0
B(3,0)
Q
x
典例分析
例 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y x2 2x 3
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
. (3)在x轴上是否存在一点Q， 使得|QD-QC|最大.若有，求
九年级数学上册22.3实际问题与二次函数
第2页
2．探究二次函数利润问题 1．利润问题计算公式
总利润=总售价-总进价. 总利润=每件利润×销售数量.
第3页
2．探究二次函数利润问题
请大家带着以下几个问题读题！！！
某商品现在售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查 反应：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可 多卖出20件，已知商品进价为每件40元，怎样定价才能使利润 最大？
第9页
4．课后反思，布置作业
教科书习题 22.3 第 2，8 题．
第10页
问题4 在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述讨 论，自己得出答案．
第7页
在降价情况下，最大利润是多少？
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20x件，实际卖出 （300+20x)件，每件利润为（60-40-X）元，所以，得利润
y=（300+20x)(60-40-x)
即y= -20x²+100X+6000 （0≤x≤20）．
九年级 上册
22.3 实际问题与二次函数
第1页
1．复习二次函数处理实际问题方法
归纳： 1．因为抛物线 y = ax2 + bx + c 顶点是最低（高）点 ，当
x b 2a
时，二次函数 y = ax2 + bx + c 有最小（大） 值 y 4ac b2 ． 4a
2．列出二次函数解析式，并依据自变量实际 意义，确定自变量取值范围；
（1） 题目中有几个调整价格方法？ （2） 题目包括哪些变量？哪一个量是自变量？哪 些量随之发生了改变？哪个量是函数？ （3） 当每件涨 1 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润呢？ （4） 最多能涨多少钱呢？ （5） 当每件涨 x 元时，售价是多少？每星期销量 是多少？成本是多少？销售额是多少？利润 y 呢？
22.3 实际问题与二次函数(第1课时)-公开课-优质课(人教版教学设计精品)
22.3 实际问题与二次函数(第1课时)一、内容和内容解析1．内容二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值及其应用．2．内容解析二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，运用二次函数可以解决许多实际问题，例如生活中涉及的求最大利润，最大面积等实际问题都与二次函数的最小(大)值有关．本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，借助于二次函数的图象研究二次函数的最小(大)值，并运用这个结论解决相关的实际问题．通过探究矩形面积与矩形一边长两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，体会运用函数观点解决实际问题的作用，初步体验建立函数模型的过程和方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数关系并运用二次函数的最小(大)值解决实际问题．二、目标和目标解析1．目标(1)会求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小(大)值．(2)能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小(大)值等实际问题．2．目标解析达成目标(1)的标志是：学生会借助于二次函数的图象得到二次函数的最小(大)值的结论，掌握当x ＝－2b a 时，函数有最小(大)值244ac b a－． 达成目标(2)的标志是：学生通过经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，进一步体验如何从实际问题中抽象出二次函数模型，结合实际问题研究二次函数，将二次函数的最小(大)值的结论和已有知识综合运用来解决实际问题．三、教学问题诊断分析学生已经学习了二次函数的定义、图象和性质，学习了列方程、不等式和函数解实际问题，这为本节课的学习奠定了基础．但运用二次函数的知识解决实际问题要求学生能选取适当的用来描述变量之间关系的函数分析问题和解决问题，对学生来说，要完成这一过程难度较大．基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数问题．四、教学过程设计1．创设情境，引出问题问题1 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：m )与小球的运动时间t (单位：s )之间的关系式是h ＝30t －5t 2？(0≤t ≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？师生活动：教师提出问题，学生尝试用已有知识解决此问题．教师追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？师生活动：学生回答：小球运动的高度h 和小球运动的时间t 两个变量之间的关系． 教师追问2：当t ＝1时，h 的值为多少？当t ＝2时，h 的值为多少？当t ＝3时，h 的值为多少？这说明小球的运动时间与小球的高度有什么样的关系？师生活动：学生独立思考后，结合题目回答，小球运动的高度随小球的运动时间的变化而变化．教师追问3：如何判断出“小球的运动时间是多少时，小球最高呢？”师生活动：学生根据前面对二次函数的认识回答：可以画出函数图象，利用图象观察出小球的运动时间是多少时，小球最高．学生自己动手画出二次函数图象．教师追问4：观察图象，小球的最高点对应函数图象中的哪个点？师生活动：学生结合图象回答：小球的最高点对应函数图象的顶点．教师追问5：小球运动中的最大高度对应函数中的哪个值？师生活动：学生结合图象回答：小球运动中的最大高度对应自变量取顶点横坐标时的函数值．教师追问6：如何求出小球的最大高度呢？师生活动：学生通过求二次函数的顶点坐标，解决此问题：当t ＝－2b a ＝－3025×(－)＝3时，h 有最大值为244ac b a－＝23045－×(－)＝45．也就是说，小球运动的时间是3 s 时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m ．设计意图：通过追问为学生提供解决此类问题思路，让学生在问题的解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题中的最大高度．2．结合问题，拓展一般问题2 对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如何求出它的最小(大)值呢？师生活动：学生根据前面问题的解决方法，总结出求一般二次函数的最小(大)值的方法．由于抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是最低(高)点，可得当x ＝－2b a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最小(大)值244ac b a －． 设计意图：让学生得出求二次函数的最小(大)值的结论，体会由特殊到一般的思想方法．3．类比引入，探究问题问题3 用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化．当l 是多少米时，场地的面积S 最大？师生活动：学生借助引例中解决问题的经验解决此问题得出答案．S ＝602l l ⎛⎫ ⎪⎝⎭－，整理后得S ＝－l 2＋30l (0＜l ＜30)因此，当l ＝－2b a ＝－302×(－1)＝15时，S 有最大值为244ac b a －＝23041－×(－)＝225．也就是说，当l 是15 m 时，场地的面积S 最大． 若学生在解决问题中遇到困难，教师通过以下追问进行引导．教师追问1：这个问题研究的是哪两个变量之间的关系？教师追问2：你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系吗？ 教师追问3：如何利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出“当l 是多少米时，场地的面积S 最大”？设计意图：借助追问，指导学生解决此类问题的基本过程和方法，使不同水平的学生会有不同层次的发现，加深对本题数量关系的理解,这样会使学生对函数有一个更深层次的理解和认识，同时便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题．问题4 利用二次函数解决实际问题的过程是什么？如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？师生活动：教师引导学生整理以上解决问题的步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法．学生思考后回答，师生共同归纳：(1)列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(2)在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值．设计意图：引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，通过同学之间的合作与交流，让学生积累和总结经验，培养学生归纳概括能力，养成良好的教学思维习惯．4．运用新知，拓展训练为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25 m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住(如图1)．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．图1(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？师生活动：巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决此问题．设计意图：巩固本节课所学的内容，再次体会将二次函数的最大(小)值的结论与已有知识综合运用来解决实际问题，加深对二次函数的认识，体会数学与实际的联系．5．小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：(1)如何求二次函数的最小(大)值？如何利用二次函数的最小(大)值解决实际问题？(2)在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法？设计意图：通过小结，归纳提升，加强学习反思，帮助学生养成系统整理知识的习惯．6．布置作业教科书习题22.3第1，4，5题．五、目标检测设计1．教科书习题22.3第7题．2．如图，有长为24 m篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．(1)求S与x的函数关系式．(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能请说明理由．(第2题)设计意图：考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握的程度．。