折叠问题解题探究
中考数学中折叠问题
中考数学中的折叠问题探究中考数学中，经常通过折叠操作类问题考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。
几何图形的折叠问题，实质上是轴对称问题。
解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形。
确定其中对应角相等、对应线段相等。
折痕平分线段、平分角等条件。
下面分几个类型来探索这类问题的解答思路。
一、折叠求角度类此类问题往往利用折叠中的对应角相等，再通过邻补角、平行线性质等得到各角度的数量关系。
此类问题通常难度较低。
例1.将五边形abcde纸片按如图1的方式折叠，折痕为af，点e，d分别落在e′，d′。
已知∠afc=76°，则∠cfd′等于（）a.31°b.28°c.24°d.22°分析：根据题意，由邻补角的关系求得∠afd=∠afd′=180°-76°=104°，则∠cfd′=104°-76°=28°，故选b。
例2.如图2，把一个长方形纸片沿ef折叠后，点d、c分别落在d′、c′的位置，若∠efb=65°，则∠aed′等于（）a.50°b.55°c.60°d.65°二、折叠求线段类此类问题多通过折叠中的全等图形，确定对应线段的等量关系，再运用勾股定理或相似比寻求线段间数量关系，构建方程，从而求解。
方程建模思想的应用是解决此类问题的主要思路。
三、折叠求坐标类此类题目中勾股定理与三角函数的综合运用较多。
求坐标一般要通过求线段长来解决。
但有些题目中适当运用三角函数比运用相似图形解答会更便捷。
四、折叠求面积类此类问题的解答一般要借助线段长的求解，但问题的关键是确定所求图形的形状，再求面积；若图形是非规则图形，则要通过其他规则图形的面积关系转化求解。
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
折叠问题初探的教学设计
折叠问题初探的教学设计教学目标：1．知识与技能：在折纸的情境中，建立现实生活问题与几何的联系，培养联想、类比由特殊到一般等数学的思考方式，渗透转化与划归的数学思想，能综合运用角平分线、平行线及与三角形、多边形相关角的一些知识。
2．过程与方法：经历“做”数学（实践）、思考、再合情推理的数学知识形成过程；通过观察——探索——猜想——验证的学习过程，体会科学发现的一般规律。
3．情感、态度、价值观：建立一些活动(折纸)与几何世界的多种联系，激发学习几何的兴趣。
感受到运动中蕴涵着静止、变与不变的辩证关系。
在折纸中加强学生的发现探究能力和创造力。
教学重点：折叠图形的中几何问题的发现和解决，让学生提问与质疑、尝试与探究、讨论与交流、归纳与总结。
促使学生思维开放，在积极探索中形成创新性的思考与看待问题的方式，并藉此获得知识。
教学难点：折叠运动变化中存在的等量关系的发现和如何利用折叠中的不变量解决具体问题。
教学方式：探索式，启发式教学手段：计算机辅助，几何画版课件，flash课件一、创设问题情境，激发学生兴趣，引出本节课要研究的内容:折纸与几何解题活动1：如图1，将一张长方形纸片如图1折叠，其中EF, FH为折痕，试判断∠EFH的度数？说明理由。
图1学生活动设计：学生将手中的长方形纸片折叠后，直角的结论明显，并积极思考理由。
教师活动设计：此题结论明显，易操作。
主要目的是使学生感受折叠过程中表现出重合（全等）的特性，从而造成的折痕为角平分线；从此题中得出本题实质是临补角的角平分线互相垂直，从而体会思想方法：化复杂图形为基本图形；运动中有静止。
（板书）解答：∠EFH＝90°理由：由折叠过程可知: ∠1=∠2, ∠3=∠4又∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°所以∠1＋∠3＝90°即∠EFH＝90°小结：折叠过程所呈现出的几何等量是由于重合。
活动2：如果将一张长方形纸片，沿着对角线折起一个角，使C点落在E处，BE 与AD相交与点O（如图2）这时我们能观察到什么呢？请说明理由。
数学折叠问题初一
数学折叠问题初一数学折叠问题是一种典型的几何问题，它涉及到图形在空间中的变换和计算。
在初中阶段，数学折叠问题不仅能帮助学生巩固几何知识，还能提高他们的空间想象力和逻辑思维能力。
本文将从数学折叠问题的概念、应用场景、解决方法以及在初中的教学意义等方面进行详细阐述。
一、数学折叠问题的概念与基本原理数学折叠问题是指在平面或空间几何中，通过对一个图形进行折叠，使其变为另一个图形的问题。
在这个过程中，图形的形状、大小和位置可能会发生变化。
解决数学折叠问题需要掌握图形的折叠原理，了解图形的各个部分之间的关系。
二、数学折叠问题的应用场景数学折叠问题在日常生活和学术研究中具有广泛的应用。
例如，在建筑、设计和制造领域，数学折叠问题可以帮助我们更好地理解和分析空间结构；在数学和物理研究中，数学折叠问题有助于探究图形的变换和性质。
三、解决数学折叠问题的方法与技巧解决数学折叠问题有以下几种方法：1.观察法：通过观察图形的特征，找到图形之间的联系和规律。
2.折叠法：将图形按照折叠线进行折叠，分析折叠前后的图形关系。
3.方程法：建立数学模型，利用方程求解图形折叠问题。
4.几何变换法：利用平移、旋转等几何变换，将问题转化为已知图形的性质。
四、数学折叠问题在初中的教学意义数学折叠问题在初中阶段的教学具有重要意义。
通过解决数学折叠问题，学生可以：1.加深对几何图形的理解和掌握；2.提高空间想象力和逻辑思维能力；3.培养观察、分析和解决问题的能力；4.巩固和拓展数学知识，为高中阶段的学习打下基础。
五、提高初中生数学折叠问题能力的建议1.多做练习：通过大量练习，熟练掌握数学折叠问题的解题技巧；2.培养空间想象力：通过观察和折叠实物，提高空间想象力；3.学会分类和归纳：将数学折叠问题进行分类，总结规律；4.及时请教老师：在遇到难题时，及时向老师请教，确保掌握数学折叠问题的解题方法。
初二数学：一个折叠问题的辅助线作法探究
初二数学：一个折叠问题的辅助线作法探究下面一道和直角三角形折叠有关的几何证明题，需要作辅助线构造相似三角形，才能顺利解决。
但辅助线的作法比较灵活，通过探究此例辅助线的作法，能够训练思维的灵活性、深刻性，从而提高数学能力。
下面从构造相似三角形的角度出发，探究四种辅助线的作法。
例如图1，Rt△ABC中,AB=AC,点M在AC上，点N 在BC上，沿MN翻折使点C恰好落在斜边AB上的点P.(2) 当P不是AB中点时，是否仍然成立?若成立，请给出证明。
析解：(1)如图1, P为AB的中点，则PA=PB，要证，所以应证CM=CN.连结CP，由PA=PB，CA=CB，得CPperp;AB.可知△CMN与△PMN完全重合, 得CM=PM,CN=PN.there4;MNperp;CP.(MN是PC的垂直平分线) there4;MN∥AB.如何证明关键是怎么作辅助线，将成比例线段的四条线段集中在一块，利用全等三角形和相似三角形的知识来研究。
辅助线一由，考虑从线段AB 的内分点P作AC的平行线，构造出相似三角形，再从已知分析寻找证明思路。
证：如图(2)，作PQAC，则PQperp;BC，连结PC.于是从思考△PQC∽△NCM是否成立。
)由已知可得PCperp;MN，MCperp;CN，there4;ang;CMN=ang;PCQ，there4;Rt△PCQ∽Rt△NMC.辅助线二仍然考虑从P出发构造相似三角形和全等三角形。
证：如图3. 作PHperp;AB于P交AC于H，作AQ∥BC，于PN的延长线交于Q，可得∵PHperp;AB于P，ang;PAH=45deg;，there4;PA=PH,ang;PHM=ang;PAQ=45deg;,∵△CMN≌△PMN,ang;MPN=Rtang;.ang;1+ang;3=ang;2+ang ;3=Rtang;there4;ang;1=ang;2, there4;△PHM≌△PAQ(ASA) ，there4;PQ=PM.辅助线三由可知，PA、PM在△PAM中，而PB、PN在△PBN中，显然不易证这两三角形相似，于是想办法作辅助线构造一个与△PAM相似的三角形。
关于折叠问题突破策略的举例探究——以2019年中考折叠问题为例
***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯>2020年9月（中旬）作者简介:季慧（1979—），本科学历，中学一级教师，从事中学数学教学与研究，曾获扬州市中青年教学骨干，苏州高铁新城环秀湖人才奖等荣誉.图形折叠是初中数学的重点内容,以其为背景的折叠问题是中考的常见题型,该类问题常借助图形折叠来考查轴对称变换、几何特性、三角形全等、解直三角形等知识,问题综合性较强,解析时可以采用多种方法策略.下面探究其解析策略,探讨问题教学.解析策略举例探究折叠问题的核心内容是轴对称,其中的折叠特性也是基于该内容所构建的,而在探究解析时可以采用多种策略,如把握其中的变量与不变量、轴对称的垂直平分关系、图形折叠中的特殊关系与特殊位置等,充分挖掘问题中的隐含信息,构建相应的解题思路.策略一:把握折叠中的变量与不变量折叠是图形动态变化的过程,在该过程中“变”的是位置,而“不变”的是图形本身所具有的特性,因此在实际解析时可以把握其中的变量与不变量,根据不变量来提取恒定关系,打开解题突破口.例1（2019年江苏省常州市中考卷）如图1,把平行四边形纸片ABCD 沿BD 折叠,点C 落在点C′处,BC′与AD 相交于点E.图1BDCEA C′(1)连接AC′,则AC′与BD 的位置关系是____________;(2)EB 与ED 相等吗?证明你的结论.分析(1)题干给出了图形折叠的过程,根据几何性质和折叠特性可知AE=C′E ,由三角形内角和定理可得等角关系,进而可推AC′与BD 的平行关系;(2)初步分析EB 与ED 相等,对于该结论可以由等腰三角形的“等角对等边”来获得,因此可从几何角来切入.解(1)连接AC′,由于AD =C′B ,ED=EB ,则AE=C′E ,由三角形内角和定理可知∠EAC′=∠EC′A =∠EBD =∠EDB ,所以AC′∥BD.(2)根据折叠特性可知∠CBD =∠C′BD ,由于AD ∥BC ,所以∠ADB=∠CBD ,进而可推知∠EDB=∠EBD ,则△BED 为等腰三角形,有EB=ED.策略二:活用轴对称中的垂直平分折叠前后的图形关于折痕对称,即折叠所形成的图形为轴对称图形,由轴对称特性“对称轴垂直平分对应点的连线”可提取等长和垂直线段,由该特性可构建相等、垂直关系,有利于确定后续解析的方向.例2（2019年江苏省淮安市中考卷）如图2所示,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=2,H 是AB 的中点,将△CBH 沿CH 折叠,点B 落在矩形内点P 处,连接AP ,则tan ∠HAP 的值为______.图2BDCE APH关于折叠问题突破策略的举例探究———以2019年中考折叠问题为例季慧江苏省苏州市南京师范大学苏州实验学校215100［摘要］图形折叠是中考数学的难点问题，其中涉及众多几何特性和数学规律，在解析时需要采用合理的方法策略来构建思路.文章以2019年中考的折叠问题为例，探讨折叠问题常用的四种突破策略，并提出相应的教学建议，与读者交流.［关键词］几何折叠；折叠问题；全等；轴对称76***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯2020年9月（中旬）<分析连接PB ,交CH 于E ,根据轴对称特性和三角形内角和定理可得CH 垂直平分PB ,同时可证PA ∥CH ,可得出∠BAP=∠BHE ,可在Rt △BCH 中构建∠HAP 的正切关系,从而代入线段长求值.解连接PB ,与CH 的交点设为点E ,折叠前后的图形关于折痕轴对称,根据轴对称特性可知点E 为线段PB 的中点,而线段PB ⊥CH.根据条件可推得AH=BH=PH ,所以∠HAP=∠HPA ,∠HBP=∠HPB ,进而可知∠APB=90°.由PB ⊥CH 可证PA ∥CH ,所以∠HAP=∠BHE.在Rt △BCH 中,已知BC=2,BH=32,则tan ∠HAP=BC BH =43,即tan ∠HAP 的值为43.策略三:提取折叠图形中的特殊关系图形折叠过程中必然涉及一些特殊的图形和特殊关系,例如全等三角形、相似三角形、直角三角形等,根据其对应特性即可提取特殊关系,合理利用其中的特殊关系可以构建解析思路,简化解题过程.例3（2019年广东省深圳市中考卷）如图3所示,在正方形ABCD 中,BE=1,将BC 沿CE 翻折,使B 点对应点刚好落在对角线AC 上,将AD 沿AF 翻折,使D 点对应点刚好落在对角线AC 上,则EF 的线段长为______.图3D B CYAXF E分析过点F 作AB 的垂线,垂足为点M ,根据折叠和等腰直角三角形的性质可知EX =EB =AX =1,∠EXC =∠B =90°,AM=DF=YF=1.而由勾股定理可知AE=AX 2+EX 2√,进而可推知正方形边长AB 的长,以及EM 的长,后续利用勾股定理可求出EF 的长.解作FM ⊥AB 于点M ,如图4所示,已知四边形ABCD 为正方形,则有∠BAC=∠CAD=45°.分析图形折叠的过程,可知EX=EB=AX=1,∠EXC=∠B=90°.在Rt △AEX 中使用勾股定理可得AE=AX 2+EX 2√=2√.点D 的翻折落点是点Y ,则AM=DF=YF=1,可推知正方形的边长AB=FM=2√+1,则EM=2√-1.在Rt △EMF 中使用勾股定理可得EF=FM 2+EM 2√=6√,即EF 的线段长为6√.图4DBCY AXF E12√-1M 2√+1策略四:讨论折叠中的落点位置在图形折叠过程中落点是其较为重要的内容,折叠的落点不同所形成的复合图形也具有较大差异,对于落点不明确的问题则可以对其加以讨论,形成对应几何模型,据此构建相应的解析思路.例4（2019年河南省中考卷）如图5所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,点E 在边BC 上,且BE=35a.连接AE ,将△ABE 沿AE 折叠,若点B 的对应点B′落在矩形ABCD 的边上,则a 的值为______.图5C ADEBB′分析本题目没有明确点B 的对应点B′的落点,需要分两种情况加以讨论:①点B′落在AD 边上,②点B′落在CD 边上.针对不同的情形需要根据折叠特性及相关几何特性来探究突破.解①当点B′落在AD 边上时,如图6所示,根据矩形性质和折叠特性可知∠BAE=∠B′AE=12∠BAD=45°,则AB=BE ,所以35a=1,从而解得a=53.②当点B′落在CD 边上时,如图7所示,根据矩形性质可得∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a.根据折叠过程可得∠B=∠AB′E=90°,AB=AB′=1,EB=EB′=35a ,可推知DB′=1-a 2√,EC =BC -BE =25a.进一步分析可证△ADB′∽△B′CE ,由相似性质可得1-a 2√25a =135a ,从而可解得a1=5√3,a 2=0(舍去).综上可知,a 的值为53或5√3.图7CADEBB′折叠问题教学思考上述对折叠问题突破的四种方法策略进行了实例探究,其解析思路和方法技巧具有一定的参考价值,而在实际教学折叠问题时需考虑学情和考情,针对问题特点和学生的学习能力进行教学,下面提出几点教学建议.1.立足数学关系,奠定解题基础几何的定理定义是解决折叠问题的基本工具,上述所探讨的四大解题策略涉及几何的轴对称关系、全等关系、垂直平分、几何特性等内容,在教学中需要对这些关系进行梳理.例如引导学生理解几何折叠过程中隐含的轴对称现象,折叠前后的图形关于折痕对称.对于其中的折叠特性则需要从线段长、几何角大小和图形形状等方面进行总结阐释.教师要引导学生关注其中的特殊关系,如直角三角形的三边关系,相似三角形对应边的比的关系等,让学生图6CADEBB′77***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯>2020年9月（中旬）哪些图形是轴对称图形呢?这一系列的问题直接给学生明确了学习目标,让学生带着问题进行思考,随后笔者再告诉学生有关反思的技巧,促使学生学会反思,提高学生的反思能力.学生在思考以上问题的过程中,不仅可以帮助他们复习之前学习过的内容,还能够增强他们对数学知识的记忆和理解.笔者再给予学生充足的时间将自己的观点进行阐述,等学生阐述完之后,再给学生发放一定数量的正方形、三角形、圆形和不规则图形的卡片,让学生找出卡片中的轴对称图形.学生在探索中就会不断地进行反思,对所学知识进行回顾,进而培养学生的反思习惯.合作探究，拓展反思在初中数学教学中,若让学生单一进行独立反思,并不适用于所有的学习情境,极易导致学生出现思维僵化,导致遇到问题无法解决、自身论点无法得到验证等现象的出现,不利于学生数学能力的提高.合作谈及是一种互动式的学习方式,通过学生与学生、学生与教师之间的交流、讨论、合作、探究和实践等内容,让学生在此过程中了解更多的解题思路和反思方法,进而促使学生对自身和他人的论点进行“双重反思”,不仅能够提高学生的反思能力,还能拓展学生的知识面.例如,在教学初中数学人教版教材八年级上册“一次函数”一课时,笔者就会先给学生讲解有关一次函数的理论知识和函数图像,并指导学生利用一次函数的理论知识解决实际的数学问题.由于学生在之前的学习中并未接触过函数图像这一概念,难以对理论知识进行理解和内化,笔者就利用幻灯片播放了一部分函数图像,让学生观察不同类型的图像,并从中找出一次函数的图像.等学生对一次函数的理论知识和图像建立起初步了解之后,再设置一道有关一次函数的习题,让学生进行反思训练:老师每天开车来学校上课,在出门时发现车子油箱内还有40升油,如果每开1公里路程就要耗费2升油,请画出行驶时间(t )与油量(y )之间关系的函数图像.学生只对理论知识和函数图像进行了解,让其利用知识和图像完成实际问题的解答,难度较大,笔者就组织学生进行分组,让学生以小组为单位,共同完成图像的制作,这样学生就能够通过交流去了解他人的解题思路,发现自身和他人的错误,并加以反思,促使学生形成反思习惯.总结归纳，善于反思在初中数学教学中,不仅要引导学生反思,还要丰富学生的反思材料,促使学生学会反思和善于反思.初中数学知识中存在着千丝万缕的联系,将这些知识进行总结和归纳,能够让数学知识变得更为系统化和概念化,方便学生在日后进行复习和反思.例如,在教学初中数学人教版教材八年级下册“不等式与不等式组”一课时,由于不等式与等式知识之间存在着密切联系,笔者就会将等式引入到本章节的教学中,让学生进行对比反思.笔者先带领学生学习教材中的理论知识和解题过程,再将等式知识进行板书,让学生将两者进行对比,等学生明确了两者之间的联系和区别后,再出几道试题让学生进行解答.笔者发现学生在解答数学问题时,常出现标错不等式方向的问题,不能够快速理解不等式的区间和方向,于是笔者就让学生将所有的错题都摘录下来,制作成一个错题集,并让学生将等式的错题也记录在其中,这样就方便了学生进行对比和反思,从而让学生在反思中不断理解和内化有关不等式的知识,进一步提高学生的数学能力.综上所述,在初中数学教学中培养学生的反思习惯是一个长期的过程,要求教师不断探索教学中培养学生反思意识和习惯的有效途径,丰富教学内容,转变教学方式,引导学生在反思中感知和理解数学知识,促进学生数学思想的形成,最终提高学生的数学能力.掌握图形折叠的内在规律,充分联合其中的数学关系来构建思路.2.渗透数学思想,提升折叠价值图形折叠问题突破过程中渗透着众多的数学思想,开展折叠问题的数学思想教学可以提升考题的价值.折叠问题建立在空间平面上,其中涉及线段长的数量关系,同时隐含着数学的函数思想、方程思想等.对于以折叠为背景的几何问题,在实际教学中不应局限于基本的几何定理,而应以折叠为基础渗透数学思想方法.例如上述例4的探究中以勾股定理和相似性质为基础,融合方程思想来构建关于参数的解析方程.数学解题应重视其中的思想方法,灵活运用数学思想来指导思路构建,可快速打开解题突破口,这对学生的思维发展是十分有利的.3.关注折叠构造,发展核心素养图形折叠是初中数学的重难点内容,其动态过程中隐含着众多“变”与“不变”的关系,教学中若仅通过图形探究很难使学生充分掌握问题的突破方法,也不容易形成折叠问题的突破策略.本文建议教学中应结合具体的折叠实例,从添加辅助线入手来帮助学生掌握折叠问题的构造方法.例如连接对应点,利用连线与折痕的垂直关系来构建直角三角形;完善折叠图形,利用折叠前后的全等关系来提取等量关系.构造图形是初中阶段需要学生重点掌握的方法技巧,对于几何问题的突破至关重要,教师在教学中应重视图形构造,以几何构造为基础来发展学生的构造思想,逐步提升学生的核心素养.结束语折叠问题的突破策略众多,上述所呈现的只是其中较为常用的几种,而在实际解析时需要根据问题特点、图形结构灵活变通.另外图形折叠中隐含的定理是图形折叠的本质体现,教师在教学中需引导学生深入挖掘,重点体会,融合数学的思想方法来提升学生的数学思维.（上接第62页）78。
折叠问题涉及6种题型梳理
折叠问题涉及6种题型梳理一、问题导读折叠型问题是近年中考的热点问题，通常是把某个图形按照给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题。
折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
这类问题的解法思路，常常会困扰同学们，同样是翻折类题目，条件不一样，问题不一样，用到的知识和方法也不尽相同，今天我们就一起来探究一下，遇到这类题目，如何找到突破口，如何用我们已经掌握的知识和方法来解答，继而发现这类问题特有的解题思维模式。
二、典例精析类型1 直角三角形的翻折或翻折后产生直角三角形的问题例1．（2018秋昌平区期末）如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC 折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）【分析】设BN＝x，则由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，根据中点的定义可得BD＝3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．【解答】设BN＝x，由折叠的性质可得DN＝AN＝9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD＝3，在Rt△NBD中，x +3 ＝（9﹣x），解得x＝4．即BN＝4．故选：A．例1变式1．（2018秋平度市期中）如图，在Rt△ABC中，直角边AC＝6，BC＝8，将△ABC按如图方式折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为（）A．25/4 B．22/3 C．7/4 D．5/3【解析】由题意得DB＝AD；设CD＝x，则AD＝DB＝（8﹣x），∵∠C＝90°，∴AD﹣CD＝AC ,（8﹣x）﹣x＝36，解得x＝7/4；即CD＝7/4．故选：C．例1变式2．（2018秋瑞安市期末）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E为BC 上一点，将△ABE沿AE折叠得到△AEF，点H为CD上一点，将△CEH沿EH折叠得到△EH G，且F落在线段E G上，当G F＝G H时，则BE的长为_____．【解析】由折叠可得∠AEH＝1/2∠BEC＝90°，进而得出Rt△AEH中，AE+EH2 ＝AH，设BE＝x，则EF＝x，CE＝6﹣x＝E G，再根据勾股定理，即可得到方程x+4 +（6﹣x）+（6﹣2x）＝（2x﹣2）+6 ，解该一元二次方程，即可得到BE的长．BE的长为2．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程的综合运用，解决问题的关键是连接AH构造直角三角形AEH，这种折叠问题常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．方法策略模式：在折叠后产生的直角三角形中，把某条边设成未知数根据勾股定理列方程求解。
初中数学中的折叠问题
初中数学中的折叠问题对于折叠问题,我们要明白：1、折叠问题翻折变换实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换,它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠,在画图时,画出折叠前后的图形,这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形纸片折叠问题中,重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角,设要求的线段长为x,然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠,其中BC,BD 为折痕,折叠后BG 和BH 在同一条直线上,∠CBD=度．BC 、BD 是折痕,所以有∠ABC=∠GBC,∠EBD=∠HBD 则∠CBD=90°折叠前后的对应角相等2．如图所示,一张矩形纸片沿BC 折叠,顶点A 落在点A ′处,再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC,若AB=4,AC=3,则△ADE 的面积是．沿BC 折叠,顶点落在点A ’处,根据对称的性质得到BC 垂直平分AA ’,即AF=AA ’,又DE ∥BC,得到△ABC ∽△ADE,再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE 的面积=24 对称轴垂直平分对应点的连线3．如图,矩形纸片ABCD 中,AB=4,AD=3,折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG,求AG 的长． 由勾股定理可得BD=5,由对称的性质得△ADG ≌△A ’DG,由A ’D=AD=3,AG ’=AG,则A ’B=5–3=2,在Rt △A ’BG 中根据勾股定理,列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角,再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠,使得BA 边与BC 重合,然后再沿着BF 折叠,使得折痕BE 也与BC 边重合,展开后如图所示,则∠DFB 等于根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE,∠EBF=∠CBF,据此即可求出∠FBC 的度数,又知道∠C=90°,根据三角形外角的定义即可求出∠DFB=°注意折叠前后角的对应关系5．如图,沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠,点C 落在点E 的位置,已知BC=8cm,AB=6cm,求折叠后重合部分的面积．∵点C 与点E 关于直线BD 对称,∴∠1=∠2 ∵AD ∥BC,∴∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴FB=FD设FD=x,则FB=x,FA=8–xGA'CABD在Rt△BAF中,BA2+AF2=BF2∴62+8-x2=x2解得x=所以,阴影部分的面积S△FBD=FD×AB=××6=cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°,则∠1=度；△EFG的形状三角形．∵四边形CDFE与四边形C’D’FE关于直线EF对称∴∠2=∠3=64°∴∠4=180°-2×64°=52°∵AD∥BC∴∠1=∠4=52°∠2=∠5又∵∠2=∠3∴∠3=∠5∴GE=GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化,但形状、大小不变,注意一般情况下要画出对折前后的图形,便于寻找对折前后图形之间的关系,注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图,将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折,展平,得折痕EF如图①；延CG折叠,使点B落在EF上的点B′处,如图②；展平,得折痕GC如图③；沿GH折叠,使点C落在DH上的点C′处,如图④；沿GC′折叠如图⑤；展平,得折痕GC′,GH如图⑥．1求图②中∠BCB′的大小；2图⑥中的△GCC′是正三角形吗请说明理由．1由对称的性质可知：B’C=BC,然后在Rt△B′FC中,求得cos∠B’CF=,利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’=60°；2首先根据题意得：GC平分∠BCB’,即可求得∠GCC’=60°,然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴,可得GC’=GC,即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图,正方形纸片ABCD的边长为8,将其沿EF折叠,则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称,则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图,将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠,使点B落在边AD的中点G处,求四边形BCFE的面积设AE=x,则BE=GE=4-x,在Rt△AEG中,根据勾股定理有：AE2+AG2=GE2即：x2+4=4-x2解得x=,BE=EG=4–=∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°∴∠1=∠3又∵∠A=∠D=90°∴△AEG∽△DGP∴=,则=,解得GP=二、纸片中的折叠11．如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于∵∠α=∠1,∠2=∠1∴∠α=∠2∴2∠α+∠ABE=180°,即2∠α+30°=180°,解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质,同位角相等,及对称的性质,折叠的角与其对应角相等,和平角为180度的性质,注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图,将一宽为2cm的纸条,沿BC,使∠CAB=45°,则后重合部分的面积为作CD⊥AB,∵CE∥AB,∴∠1=∠2,根据翻折不变性,∠1=∠BCA,故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°,∴在Rt△ADC中,AC=,AB=S△ＡＢＣ＝AB×CD=在折叠问题中,一般要注意折叠前后图形之间的联系,将图形补充完整,对于矩形纸片折叠,折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构,即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状,那么折痕PQ的长是如图,作QH⊥PA,垂足为H,则QH=2cm,由平行线的性质,得∠DPA=∠PAQ=60°由折叠的性质,得∠DPA=∠PAQ,∴∠APQ=60°,又∵∠PAQ=∠APQ=60°,∴△APQ为等边三角形,在Rt△PQH中,sin∠HPQ=∴=,则PQ=注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形纸片折叠问题中,会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形,即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a是长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中的∠CFE 的度数是∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=20°,在图b中,GE=GF,∠GFC=180°-2∠EFG=140°,在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°,本题考查图形的翻折变换,解题过程中应注意折叠是一种对称变换,它属于轴对称,根据轴对称的性质,折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°,图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70cm的长方形纸片ABCD,沿对称轴EF折叠成如图的形状,若折叠后,AB与CD间的距离为60cm,则原纸片的宽AB是设AB=xcm．右图中,AF=CE=35,EF=x根据轴对称图形的性质,得AE=CF=35-xcm．则有235-x+x=60,x=10．16．一根30cm、宽3cm的长方形纸条,将其按照图示的过程折叠阴影部分表示纸条的反面,为了美观,希望折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等,则最初折叠时,求MA的长将折叠这条展开如图,根据折叠的性质可知,两个梯形的上底等于纸条宽,即3cm,下底等于纸条宽的2倍,即6cm,两个三角形都为等腰直角三角形,斜边为纸条宽的2倍,即6cm,故超出点P的长度为30-15÷2=,AM=+6=三、三角形中的折叠BD∴△AEF是等腰三角形1由折叠可知∠AEB=∠FEB,∠DEG=∠BEG而∠BEG=45°+∠α因为∠AEB+∠BEG+∠DEG=180°所以45°+245°+∠α=180°∠α=°由于角平分线所在的直线是角的对称轴,所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关;要抓住折叠前后图形之间的对应关系2将矩形纸片ABCD按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF,折痕与AD边交于点E,与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠,使点A、点D都与点F重合,展开纸片,此时恰好有MP=MN=PQ如图④,求∠MNF的大小．由题意得出：∠NMF=∠AMN=∠MNF,∴MF=NF,由对称性可知,MF=PF,∴NF=PF,而由题意得出：MP=MN,又MF=MF,∴△MNF≌△MPF,∴∠PMF=∠NMF,而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°,即3∠MNF=180°,∴∠MNF=60°,在矩形中的折叠问题,通常会出现“角平分线+平行线”的基本结构,即以折痕为底边的等腰三角形21．直角三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如图,将纸片沿某条直线折叠,使点A落在直角边BC上,记落点为D,设折痕与AB、AC边分别交于点E、点F．探究：如果折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形,那么纸片中∠B的度数是多少写出你的计算过程,并画出符合条件的后的图形．∵△CDF中,∠C=90°,且△CDF是等腰三角形,∴CF=CD,∴∠CFD=∠CDF=45°,设∠DAE=x°,由对称性可知,AF=FD,AE=DE,∴∠FDA=∠CFD=°,∠DEB=2x°,分类如下：①当DE=DB时,∠B=∠DEB=2x°,由∠CDE=∠DEB+∠B,得45°+°+x=4x,解得：x=°．此时∠B=2x=45°；见图形1,说明：图中AD应平分∠CAB．②当BD=BE时,则∠B=180°-4x°,由∠CDE=∠DEB+∠B得：45++x=2x+180-4x,解得x=°,此时∠B=180-4x°=30°．图形2说明：∠CAB=60°,∠CAD=°．③DE=BE时,则∠B=由∠CDE=∠DEB+∠B的,45++x=2x+此方程无解．∴DE=BE不成立．综上所述∠B=45°或30°先确定△CDF是等腰三角形,得出∠CFD=∠CDF=45°,因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形,故需讨论,①DE=DB,②BD=BE,③DE=BE,然后分别利用角的关系得出答案即可22．下列图案给出了折叠一个直角边长为2的等腰直角三角形纸片图1的全过程：首先对折,如图2,折痕CD交AB于点D；打开后,过点D任意折叠,使折痕DE交BC于点E,如图3；打开后,如图4；再沿AE折叠,如图5；打开后,折痕如图6．则折痕DE和AE长度的和的最小值是过D点作DF∥BC,交AC于F,作A点关于BC的对称点A′,连接DA′,则DA′就是DE和AE的最小值．∵D点是AB的中点,∴DF=1,FC=1,∴FA′=3∴DA′==∴折痕DE和AE长度的和的最小值是本题经过了三次折叠,注意理清折叠过程中的对称关系,求两条线段的和的最小值问题可以参见文章23．小华将一条1如图1,沿它对称轴折叠1次后得到如图,再将图沿它对称轴折叠后得到如图3,则图3中一条腰长；同上操作,若小华连续将图1折叠n次后所得到如图n+1一条腰长为多少．解：每次折叠后,腰长为原来的故第2次折叠后得到的等腰直角三角形的一条腰长为2-则小华连续将图1的等腰直角三角形折叠n次后所得到的等腰直角三角形的一条腰长为n本题是一道找规律的题目,这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的．24．如图,矩形纸片ABCD中,AB=,BC=．第一次将纸片折叠,使点B与点D重合,折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1,第二次将纸片折叠使点B与点D1重合,折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2,第三次将纸片折叠使点B与点D2重合,折痕与BD交于点O3,…．按上述方法,第n次折叠后的折痕与BD 交于点O n,则BO1=,BO n=第一次折叠时,点O1是BD的中点,则BO1=DO1第二次折叠时,点O2是BD1的中点,则BO2=D1O2第三次折叠时,点O3是BD2的中点,则BO3=D2O3因为AB=,BC=,所以BD=4第一次折叠后,有BO1=DO1∴BO1=2第二次折叠后,有BO2=D1O2∴BO2===第三次折叠后,有BO3=D2O3∴BO3===即当n=1时,BO1=2==当n=2时,BO2===当n=3时,BO3===则第n次折叠后,BO n=问题中涉及到的折叠从有限到无限,要明白每一次折叠中的变与不变,充分展示运算的详细过程;在找规律时要把最终的结果写成一样的形式,观察其中的变与不变,特别是变化的数据与折叠次数之间的关系25．如图,直角三角形纸片ABC中,AB=3,AC=4,D为斜边BC中点,第1次将纸片折叠,使点A与点D重合,折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1,第2次将纸片折叠,使点A与点D1重合,折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2,第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3；…；设P n-1D n-2的中点为D n-1,第n次纸片折叠,使A与点D n-1重合,折痕与AD交于点P n n＞2,则AP6长AD=第一次折叠后,AP1=P1D,P1D1=D1D∴AP1==第二次折叠后,AP2=P2D1,P2D2=D2D1∴AP2====第三次折叠后,AP3=P3D2∴AP3=====即当n=1时,AP1==当n=2时,AP2==当n=3时,AP3==则第n次折叠后,AP n=故AP6=此题考查了翻折变换的知识,解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,从而得出一般规律,注意培养自己的归纳总结能力26．阅读理解如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠,点B n与点C重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合；情形二：如图3,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合．探究发现1△ABC中,∠B=2∠C,经过两次,∠BAC是不是△ABC的好角填“是”或“不是”．2小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C不妨设∠B＞∠C之间的等量关系为．∠B=n∠C应用提升3小丽找到一个三角形,三个角分别为15°、60°、105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．∴BC ×4=×,BC= ∴OC=OB –BC=4-=,则C0, 2如右图,BC=B'C B'C=BC=OB –OC=4–y 在Rt △OB'C 中根据勾股定理有：y 2+x 2=4-y 2所以y=-+2∵当0≤x ≤2时,抛物线的值随x 的增大而减小 当x=0时,y=2 当x=2时,y= ∴≤y ≤2 3如右图由DB''∥OB 得,∠2=∠3 由对称性质得,∠1=∠2 ∴∠2=∠3,则CB''∥BA ∴△OB''C ∽△OAB ∴OC=2OB'' 设OB''=m,则OC=2m 所以2m=-+2解得m=-8±,∵m ＞0,∴m=-8+ 则点C 的坐标为0,-16折痕是对应点连线的垂直平分线四、圆中的折叠30．如图,正方形ABCD 的边长为2,⊙O 的直径为AD,将正方形的BC 边沿EC 折叠,点B 落在圆上的F 点,求BE 的长连接OC 、OF,则△OCF ≌△OCDSSS,∴∠OFC=∠ODC=90°, 所以∠OFE=180°,即点O 、F 、E 在一条直线上 设BE=x,则EF=x,AE=2–x,OE=1+x 在Rt △AEO 中,AE 2+AO 2=OE 2所以2-x 2+1=1+x 2 解得：x=用对称关系构造勾股定理,再用勾股定理列方程求解是在折叠问题中求线段长度的常用方法31．如图,将半径为8的⊙O 沿AB 折叠,弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D,则折痕AB 长为解：延长CO 交AB 于E 点,连接OB, ∵CE ⊥AB, ∴E 为AB 的中点,由题意可得CD=4,OD=4,OB=8, DE=8×2-4=6 OE=6-4=2,在Rt △OEB 中,根据勾股定理可得：AB=注意折叠过程中形成的对应边,利用勾股定理求解32．如图,将弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D,若AD=5,DB=7,则BC 的长是多少连接CA、CD；根据对称的性质,得：弧CB=弧BDC∴∠CAB=∠CBD+∠BCD；∵∠CDA=∠CBD+∠BCD,∴∠CAD=∠CDA,即△CAD是等腰三角形；过C作CE⊥AB于E,则AE=DE=；∴BE=BD+DE=；在Rt△ACB中,CE⊥AB,△ABC∽△CBE,得：BC2=BEAB=×12=114；故BC=此题考查的是对称的性质、圆周角定理、以及相似三角形的判定和性质；能够根据圆周角定理来判断出△CAD是等腰三角形,是解答此题的关键33．已知如图：⊙O的半径为8cm,把弧AmB沿AB折叠使弧AmB经过圆心O,再把弧AOB沿CD折叠,使弧COD经过AB的中点E,则折线CD的长为作CD关于C’D’的对称线段C’D’,连接OE并延长交CD于点F,交C′D′于点F′,交弧AmB于点G,根据对称的性质得出OF′=6,再由勾股定理得出C’F’=．。
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折叠问题解题探究
问题的提出：折叠即产生对称，是初中数学重要知识之一。
也是近几年中考的命题热点，是高频问题。
而学生往往对折叠中隐含的不变量“不识庐山真面目”而忽视隐含的已知，致使解题陷入绝境，导致失分；或者问题复杂化，舍近取远，浪费时间。
问题1：如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 落在边BC 上的F 点处，你能得到什么结论？
（学生口答）
此图中，若AB=8cm ，AD=10cm ，求EC 的长。
师：解决此问题依据是轴对称中确定不变量，采用方程思
想，运用勾股定理、相似基本策略解决问题。
比较简单的折叠问题，不变量及隐含条件还比较直观，
易寻找判断。
问题2：如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片展平，求AFE 的度数.
师：不变量的确定，寻求隐含条件可以降低问题难度，找到解决问题的突破口。
解决问题的依据：轴对称
解决问题的策略：寻求不变量、勾股定理、相似、中垂线、平行线性质
例： 在一张长方形ABCD 纸片中， AB ＝20cm ． 现将这张纸片按如下列图示方式折叠，分别求折痕的长．
(1) 如图1, 折痕为AE;
(2) 如图2, P ，Q 分别为AB ，CD 的中点，折痕为AE;
(3) 如图3, 若AD ＝25cm, 折痕为EF ．
A D A D
D F 图①
图②
图③
(分析时一题多解，不同角度不同方法解题)
练习：
1． 如图①，将一组对边平行的纸条沿EF 折叠，点A 、B 分别落在A ’、B ’处，线段FB ’与AD 交于点M ．
(1)试判断△MEF 的形状，并证明你的结论；
(2)如图②，将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在C ’、D ’处，且使MD ’经过点F ，试判断四边形MNFE 的形状，并证明你的结论；
(3)当∠BFE ＝_________度时，四边形MNFE 是菱形．
2.如图，矩形纸片ABCD 中，8cm AB =，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若25cm 4AF =
，则AD 的长为（ ） A ．4cm B ．5cm C ．6cm D ．7cm
3.把边长为4的正方形ABCD 的顶点C 折到AB 的中点M ，折痕EF 的长为 .
课后问题再探索：折折叠叠中找巧门 1.将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（ ）
2.如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形
ADA E '是菱形，则下列说法正确的是 （ ）
A ． DE 是△ABC 的中位线
B ． AA '是B
C 边上的中线
C ． AA '是BC 边上的高
D ． AA '是△ABC 的角平分线
A ．
B ．
C ．
D ．
A B C E
F
D 第2题图 A (第1题图②)
B C E F D A ’ B ’ A
B C E F D A ’ B ’ D ’ C ’ M M N (第1题图①
) F D C
A M A C
D E A '
3.将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则CPD
∠的大小是（）
A．120o B．90o C．60o D．45o
4.将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）。
动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）。
（1）用含t的代数式表示OP，OQ；
（2）当t=1时，如图1，将△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；
（3）连结AC，将OPQ
△沿PQ翻折，得到EPQ
△，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE 与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．
图1
O P A x
B
D
C
Q
y
（第4题图）
O P A x
B
C
Q
y
E。