静电能
第三章 带电系统的静电能与电场的能量
1 1 2 q1U 21 q2U 12 qi 2 2 i 1
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三、n个点电荷
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2. 静电能
W W0 W极
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r 以平行板电容器为例 S2 U 未充电时两极板电荷0 充电后电荷Q，充电过程中电源作功： q dA Udq dq C Q q 1 Q2 1 A dA dq Q U U 0 C 2 C 2 1 1 QU Q U 2 2 University of Science and Technology of China
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a 0 U 0 U r U 1 r 体电荷分布时静电能： 1 W r U r dV 2 V 其 中U r ： 总 电 势
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总电势： U r U1 r U r U r ： r dV在自身处的电势
静电能文档
静电能1. 引言静电能是一种重要的能量形式，指的是物体由于静电充电而具有的能量。
当两个物体之间存在电荷差异时，就会产生静电能。
不同于动能或势能，静电能是由物体所带电荷的分布所决定的。
本文将介绍静电能的相关知识，包括静电能的产生和应用等方面。
2. 静电能的产生静电能的产生源于物体的电荷分布。
当物体上存在多种电荷时，它们之间会相互吸引或排斥，从而形成电场。
这个电场可以存储能量，即静电能。
根据库仑定律，电荷与电场的关系可以表示为：$$ F=\\frac{k \\cdot q_1 \\cdot q_2}{r^2} $$其中，F表示电荷之间的力，k表示库仑常数，q1和q2是两者之间的电荷，r是它们之间的距离。
当两个电荷相互靠近时，它们之间的作用力增大，静电能也相应增加。
当电荷被移动时，静电能也会发生变化。
3. 静电能的应用3.1 静电力的应用由于静电力的特性，静电能在生活中有许多应用。
例如，静电力可以用于物体的吸附。
静电粘附：静电粘附是指利用静电力将物体粘附在一起。
在工业生产中，静电粘附可以用于粉尘、废弃物的收集，也可以用于纸张或塑料片的传输过程中，以增加运输效率。
此外，静电粘附还可以用于制造贴纸、贴画等产品。
静电喷涂：静电喷涂是一种常见的表面涂层技术。
通过静电喷涂，涂料可以通过静电力附着在物体表面上，形成均匀且具有良好附着力的涂层。
这种喷涂方式可以节约涂料，减少污染，并获得优秀的涂装效果。
3.2 静电能的储存和利用静电能不仅可以直接应用于物体间的力和吸附过程中，还可以被储存和利用。
静电能储存：静电能可以通过一些装置储存起来，例如静电容器和电容器。
静电容器是一种能够存储静电能的装置，由两个导体板之间的绝缘材料分离而成。
当电荷流经静电容器时，静电能可以在其中储存，直到需要释放为止。
静电能利用：静电能可以转化为其他形式的能量，如电能。
一种常见的利用方式是通过静电发电机将静电能转化为电能。
静电发电机是一种能够将机械能转化为电能的装置，其中静电能的转化过程使用了电场和电荷的相互作用原理。
静电能
产品介绍
产品介绍
对于一个带电体系的静电能，应包括每个带电体的自能和带电体间相互作用能。所谓“自能”就是将一个带 电体看成无穷个带电微元，将这些无穷多个带电体微元从无限分散状态聚集成该带电体，外力所做功的大小。所 谓“互能”则是将带电体系统中，各带电体从位置彼此分开至无穷远时，它们之间的静电力所做的功。
静电能包括自能和互能.点电荷的自能是无穷大，一般在静电学问题中都不考虑点电荷的自能。
点电荷系点ຫໍສະໝຸດ 荷系由一电场和一个被搬运电荷构成的体系的静电能 电场力搬运电荷做功提升或消耗了体系的势能。在电场中搬运一个正电荷的过程中，无论电场力做 正功还是负功，都表明了电场具有能的属性。电场力做正功则降低了体系的势能，做负功则提升了体系 的势能，若用W表示电场力做功，则电场力对电荷的做功可由下式计量 若 A点取在无限远处，即，若，则，负号表示“电场力做负功，也就是外力克服电场力做正功”。这一份功 对于电荷与电场这个体系的能量是建设性的，具有提升其势能的作用，就如同我们将一个重物提升高度而提升了 重力势能一样。 由上所述不难理解，电场力做功与体系的电势能完全遵守“功能原理”而互相转化，若用外W表示外力做功， 其转换关系就是即外力做功积累或提升了体系的电势能。上述讨论的目的是要搞清楚“外力做功”、“电场力做 功”及“电势能”三者之间的关系，明白了三者之间的关系自然就能理解“外力对搬运电荷做功提升或消耗了带 电体系的静电能”这个道理。 两个相距为r的点电荷q1、q2构成的系统的静电能 一个真空中的电荷系统可以看作是由若干彼此相距无限远的点电荷汇聚到一起形成的。
带电体系
带电体系
设空间某一区域，有一电荷任意分布的带电体系（由有限个带电体组成），其稳定的最终状态的电荷体密度 为ρ（x,y,z），电荷面密度为σ（x,y,z），电势为U(x,y,z)。因为静电场是保守力场，所以系统的总能量取 决于系统的最终状态，而与系统形成的过程无关。故设想：每一个带电体的电量都同时从零开始，按同一比例k缓 慢地增加到最终值，设初值为0，终值为1，根据场的叠加原理，空间各点的电势亦按同一比值k增加，即 kU(x,y,z)
静电能
§ 1.8 静电能 ELECTROSTATIC ENERGE （教材 P101）1.静电互作用能电荷之间的相互作用必然伴随着能量转移，由于电荷的相互作用通过电场传递，因此，能量转移必然通过电场对电荷作功来实现.我们在1.5节已经指出，静电场的保守性质，决定了它是有势场。
任何两点之间的电势差，等于电场力（或克服电场力）将单位正电荷从一点移至另一点所作的功，这功将转化为单位正电荷静电势能的改变量.因此，电势零点一经确定，任何一点的电势U ，就相当于单位正电荷在该点具有的静电势能.电势函数 U （x,y,z）在空间的分布构成标量场。
让我们设想，在其它电荷产生的外电场E 中，某点P的电势为U（x,y,z）= U（x），我们以黑体字母x 表示该点的位置矢量.当电场力（或克服电场力）将点电荷q从电势零点移至P点，电荷q就具有了势能：(1.8-1)这能量显然反映着外电场与电荷q 的相互作用，因此，这是电场与电荷q 的相互作用能。
如果我们对上式求负梯度，我们马上会得到(1.8-2)这正是外电场E 作用于电荷q的库仑力.如果一个体积为V 的电荷体系处于其它电荷的外电场E 中，设这体系的电荷密度函数为r (x) ,某个电荷元dq = r (x) d V 所在处外电场的电势为U（x）,则这电荷元与外场的静电互作用能为显然，这电荷体系与外电场的静电互作用能，就是V 内所有电荷元与外电场的静电互作用能之和，它由下述积分给出：(1.8-3)现在，我们考虑两个点电荷之间的静电互作用能.设P1和P2两点分别存在着点电荷q1和q2，两者的距离r12= r21.对于q2，q1的电场就是外电场，它在q2所在点的电势为于是， q1对q2的静电互作用能是同理，对于q1，q2的电场就是外电场，同样可得到q1对q2的静电互作用能我们看到：两个理想点电荷的静电相互作用能与它们的相互距离成反比；而且,W12= W21，即它们的相互作用能存在空间平移对称性——两者互换位置，相互作用能量不变.这从能量守恒定律可以得到解释.根据上面两式，我们现在将两个点电荷的静电互作用能写成：(1.8-4)这里，Ui是一个点电荷在另一个点电荷所在处产生的电势.这结果显然可以推广至 n个点电荷的相互作用能：(1.8-5)其中(1.8-6)是其它点电荷在第 i 个电荷所在处产生的电势之代数和2.外电场对电偶极子的作用（教材 P39 和 P109）当电矩为p = ql 的电偶极子处于外电场E中,它将与外电场发生相互作用而具有一定的势能.由（1.8-1），两个电荷的势能分别是W += qU+W-= -qU-故电偶极子的总势能为（1.8-7）即（1.8-8）其中，q 是电矩矢量p 的方向与外电场E 的方向之间的夹角.显然，q = 0 即当电矩矢量p 的方向与外场E一致的状态，是电偶极子的能量最低状态，因而也是最稳定的状态.而q = p 即p 与外场方向相反的状态，则是电偶极子的能量最高状态，即最不稳定的状态.据（1.8-2）和（1.8-7），电偶极子受到外电场的作用力为(1.8-9)可见，若外电场是均匀场，即当E与坐标无关时，则▽E = 0，于是电偶极子受到的净作用力F =0 .从组成电偶极子的两个电荷+q和-q受到的力来看，分别是 F+ = +qE 和 F-= - qE ,因此，当外电场是均匀的，电偶极子受到的合力F= F++ F-= 0.这告诉我们，处于均匀电场中的电偶极子不会出现平移运动.但是，如果外电场是非均匀场，则▽E ≠0， F ≠0，外场力将把电偶极子拉向场强较高的方向.处于非均匀电场中的电介质(dielectric)小颗粒或轻微物体，将被极化而成为电偶极子，并被吸向场强较高的地方.例如，静电吸尘及静电选矿，就是利用这个原理.从（1.8-8）式我们看到，q≠0的状态，并非电偶极子的稳定状态.事实上，由于F+和F-两者不共线，故必定会对电偶极子形成一个净力矩，并使电偶极子朝着q = 0 即外电场的方向转动.我们记电场作用于电偶极子的力矩矢量为L，L的方向亦即转轴的方向必定垂直于p 和E 线构成的平面.我们设想在这力矩作用下，q 有微小改变δ q ，从而使电偶极子的势能W 减小，即（1.8-10）（“虚功原理”，见教材P110）两边除以δ q ，并取δ q →0的极限，有（1.8-11）将代入并求导数，我们得到(1.8-12 )实际上，转动是朝着q 减小的方向、也就是(1.8-10)式中δq < 0的方向进行的，因此力矩矢量L的绝对值应为(1.8-13)考虑及此，力矩矢量应当为(1.8-14)读者也可以从上图中，通过计算两个电荷相对于中点0 所受的力矩之和，来检验（1.8-14）.——动手算一算两个电荷相对于中点0 所受的力矩矢量之和为[例1-18] 两个电偶极子的相互作用能[解] 设两电偶极子的距离为r，电矩为p1的电偶极子处于坐标原点o并沿z轴，电矩为p2的电偶极子与p1的夹角为a ，如图所示. 由（1.7-19）我们知道 p1在p2所在处产生的场强为：(1.8-15)而矢量p1可分解成球坐标下的两个分量（两个黄色箭头）：(1.8-16)即p1在p2所在处产生的场强E 可写成(1.8-17)据（1.8-7）,两者的相互作用能为(1.8-18)大家看到,两个电偶极子的相互作用能量的数值不仅与它们距离r 的3次方成反比，还与两者的相互取向有关.如果我们对上式求负梯度（在球坐标下进行），将给出两者之间的相互作用力，显然，这力与r4成反比.------ 你能否动手计算一下？现在，让我们考察如下比较特殊的几种情形：(1) 当两者共线，例如 p2也处于 z 轴，并且相同的取向，即q = 0 ,a = 0 ，此情形下两者将互相吸引，（1.8-18）给出相互作用能为负值；如果两者共线但取向相反，即q = 0 ,a = p 时, （1.8-18）给出W 将是一个正值，表示两者互相排斥.(2) 当q = p/ 2 ,a = 0 ,即两者平行且方向相同，将互相排斥，此时为正值；如果q = p/ 2 ,a = p ,两者平行但方向相反上式将变为负值,此时两者将互相吸引.上述结果对于我们今后讨论电介质（dielectric）问题显得很重要.由于组成介质的分子一般都是电中性的（总电量为零），而其电荷分布大都偏离球对称性，因此必定会出现分子电多极矩——主要是分子电偶极矩和四极矩,因此,如果从电学的角度看,电介质内部分子之间的相互作用,主要是电偶极矩以及四极矩之间的相互作用.从例1-16和例1-17读者已经看到:电偶极子的电势与 r 的2次方成反比,它们之间的相互作用势能与距离 r 的3次方成反比，电四极子的电势则与 r 的3次方成反比，它们之间的相互作用势能应当与距离 r 的4次方成反比，因此,一般情况下分子之间的电相互作用，主要地是电偶极作用.自习内容教材 P41[例5] P105 [例1] P106 [例2]3.电荷体系的静电能量（自能量） (教材P107)电荷之间存在着相互作用能，意味着带电体自身必然具有一定能量.现在,我们就来考虑任意一个电荷体系的静电能量，亦即它的自能量.我们在前面的(1.8-5)式，已经表示出n 个点电荷的静电互作用能：其中是其它点电荷在第i个电荷qi所在处产生的电势之代数和.应当主意，上式没有包括每一个电荷自身的能量.现在，我们设体积V内连续分布着电荷，电荷密度为r(x)，一个很小的体积元dV内的电荷就是dq =r (x) dV .根据电势叠加原理，每一个很小的体积元dV内的电势U (x)，应当是dV内部的电荷自己产生的电势Us （x）与dV外部的其它电荷产生的电势Ue（x）之和：U(x) = Us （x）+Ue（x）因此，dV内的电荷所具有的静电能，包含着它内部电荷的互作用能以及它与外部其它电荷的互作用能之和：于是，这带电体的总静电能量就是(1.8-19)积分体积V遍及整个电荷分布区域.4.静电场的能量和能量密度（可参阅教材P207，但讲法不同）大家知道，电荷分布稳定的带电体产生静电场，这电场与带电体不可分割地联系在一起.因此，我们把带电体的静电场叫做它的自有场.现在我们设想，通过某种方法使一个半径为a的薄球壳带上电荷q，例如，利用电源的一个电极与导体球壳接触使之带电，这过程电源作了功，然后将电极拿开，达到稳定平衡状态后，电荷均匀地分布在球壳表面上，电荷密度为如你们所知，这带电球壳的场强分布为( r≥a)E = 0 (r < a)即这球壳的电场连续地分布于整个球外区域.而球壳表面的电势则是一个常数（r = a）由于电荷只是分布于球面上，因此根据（1.8-19），将被积函数对整个球面积分，便给出这球壳的总静电能（1.8-20）一个非常重要的问题是：这个带电体的静电能究竟以什么形式存在？大家已经知道，电荷之间的相互作用是通过电场传递的.如果我们在这带电球壳外部某点放进一个试验电荷q0，它必将受到电场力的作用而改变运动状态，这意味着q从电场中获得了一定的能量！因此电场必定具有能量.让我们假设,电场的能量密度——单位体积内电场的能量为(焦耳/米3 ) （1.8-21）对于这个带电球壳而言，电场是分布在球外区域的。
静电能公式
静电能公式
电场能量为电场所具有的能量，相当于其等效电容中的电能，公式：
w=1/2*u^2*c=1/2*q^2/c。
电场能量就是电场所具有的能量，电场能量等于电场能量密度对电场所处空间的积分，点电荷产生的静电场的能量正比于点电荷的带电量的平方。
电场能量为电场所具有的能量，相当于其等效电容中的电能，公式：
w=1/2*u^2*c=1/2*q^2/c。
电场能量就是电场所具备的能量，电场能量等同于电场能量密度对电场所处空间的分数，点电荷产生的静电场的能量正比于点电荷的磁铁量的平方。
对每个元电容不许考虑边缘效应，因为每个局部元电容中的场被周围元电容中的场加以保护。
这样任意一个自由空间是由无数个元电容组构成的一个电容结构，而每个元电容都相当于一个无限大平行板电容器。
所以用理想平行板电容器的均匀场研究空间电场能量分布具有普遍意义。
电容器在电路中的促进作用：
1、当电容器两端电压增加时，电容器从电源吸收能量并储存起来；
2、当电容器两端电压减少时，电容器便把它原来所储存的能量转化成。
3、即电容器本身只与电源进行能量交换，而并不损耗能量，因此电容器是一种储能元件。
九年级物理知识点电能
九年级物理知识点电能九年级物理知识点-电能电能是物体具有的由于带电粒子存在而具备的一种能量形态。
在九年级物理学中，电能是一个重要的知识点。
本文将介绍电能的含义、种类以及应用。
一、电能的含义电能是指由于电荷的存在而具备的一种能量形态。
当电荷受到外界作用力使其运动时，就能够产生电能。
电能是一种供电设备、电器、电灯等工作所需的能量来源。
二、电能的种类根据物体具有的电能形式的不同，电能可以分为静电能和动电能。
1. 静电能静电能是指电荷在静止或静态平衡状态下所具有的能量。
当两个带电物体之间存在电势差时，它们具备了静电互相吸引或排斥的能力。
常见的静电能的应用包括静电机、静电吸尘器等。
2. 动电能动电能是指电荷在运动过程中所具有的能量。
当电荷受到外力作用而产生了电流，即电荷在导体中的移动，就能够产生动电能。
常见的动电能的应用包括电动机、发电机、电磁铁等。
三、电能的转换电能的转换是指将一种形式的电能转变为另一种形式的能量。
常见的电能转换形式包括电动能转化为光能、热能、机械能等。
1. 电能转化为光能当电流通过电阻丝时，会产生热量并发出光线，这是电能转化为光能的过程。
例如，电灯泡就是通过电能转化为光能来实现照明。
2. 电能转化为热能当电流通过电热器等电阻性载体时，由于电阻的存在，电能会被转化为热能。
例如，电暖器就是通过电能转化为热能来实现供暖的。
3. 电能转化为机械能电能也可以转化为机械能，例如电动机的工作原理就是将电能转化为机械能。
当电流通过线圈时，产生的磁场与外部磁场相互作用，从而驱动电动机转动。
四、电能的应用电能在生活、工业和科学研究中有着广泛的应用。
1. 生活中的应用电能在生活中的应用非常普遍。
我们的家庭和日常生活中常见的电器，如电视、电冰箱、电脑、手机等，都是通过电能来工作的。
此外，电能还用于烹饪、加热水以及照明等方面。
2. 工业中的应用电能在工业中的应用非常广泛。
电动机、电炉、电焊机等都是利用电能来驱动和加热的设备。
静电能计算公式
静电能计算公式嘿，咱来聊聊静电能的计算公式。
先说说静电能是啥。
想象一下，冬天的时候，你脱毛衣，“噼里啪啦”一阵响，还可能会看到小火花，这就是静电。
而静电能呢，就是和这些静电现象相关的能量。
那静电能的计算公式是啥呢？一般来说，对于一个带电荷量为 Q 的导体球，它的静电能计算公式是：$W = \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R}$，这里面的$\epsilon_0$是真空介电常数，R 是导体球的半径。
为了让大家更好地理解这个公式，我给大家讲个我自己的经历。
有一次，我在教室里给学生们讲这个知识点，有个小家伙特别调皮，一直说：“老师，这有啥用啊？”我就笑了笑，跟他们说：“同学们，咱们来做个小实验。
”我拿出一个气球，在头发上摩擦了几下，然后把气球靠近一堆小纸屑，纸屑一下子就被吸起来了。
我就问他们：“看，这是不是静电？那你们想想，这里面有没有静电能呢？”大家都开始七嘴八舌地讨论起来。
然后我接着说：“那咱们就用刚刚学的公式来算算这个气球产生的静电能大概是多少。
”大家就开始埋头计算，那个调皮的小家伙也认真起来了。
等大家算完，我再给他们解释，其实生活中有很多地方都用到了静电能的知识。
比如说复印机，它就是利用静电把墨粉吸附到纸上的。
咱们再回到这个公式。
要注意哦，这个公式只是在一些特定的情况下适用，如果是复杂的带电体系，计算静电能就不能这么简单啦，可能需要用到电场的能量密度等等更复杂的知识。
学习静电能计算公式，可不仅仅是为了考试能得分，更是为了让我们能更好地理解这个神奇的世界。
比如说，有些工厂里要防止静电产生危害，就得先算清楚静电能有多大，才能采取合适的措施。
所以啊，同学们，别小看这个公式，它可是能帮我们解决很多实际问题的好帮手呢！只要咱们认真学，就能发现物理世界里更多有趣的秘密。
希望大家以后看到静电现象的时候，能想起咱们学过的静电能计算公式，能试着去分析分析其中的道理。
这样，咱们的知识才算是真正学到手啦！。
静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，在力学中，利 用能量守恒及各能量间的转换建立关系式，来求未知 物理量。电场是物质，能量是物质的一种属性，要掌 握电场，不能不研究形成电场的带电体系的静电能。
任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动 过程，在这个过程中，外力必须克服电荷间的相互作 用而作功。外界作功所消耗的能量将转换为带电系统 的能量，该能量定义为带电系统的静电能。
i1
q iU i
2
Ui 为除qi 以外其他点电荷在qi 处产生的电势的代数和
C 二、三个点电荷系统的相互作用能q r23 3 现在引入第三个点电荷 q3 ， r13 A r12 那么整个体系的相互作用能就应 该在原有的基础上加上 q3 与 q1、 q 1 q2 之间的相互作用能，即
W互 q1q 2 4 o r12 q1q 3 4 o r13 q2q3 4 o r23
U (r )
e
6 0
(3 R
2
r )
2
于是，积分得： 2 5 e 1 4 e R 2 2 2 W e e (3 R r ) r sin drd d . 2 rR 6 0 1 5 0 当 e 固定时，We将随 R 0 而趋于零。
☆ 说明当帶电体为连续电荷分布时，将该体电荷无
N
V i
e r U r dV
N
i 1
1 2
U Vi e r U i r dV Vi e r
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i
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W互 W自
☆靜電能 = 裝組系統的電荷配置所需做的功。
点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是，不能 计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）。 线电荷间互能的计算公式
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2
i 1 Si
N
e
U dS
1
U 2
i i 1 Si
N
e
dS
1
qU 2
i i 1
N
i
,
式中qi和Ui为第 i 部分的电量和电势。
[例3.2]
一孤立带电导体球电量为 q，半径为 R，求
其静电能。 [解] 对孤立导体球有 U = q/C， 4 R 。应用 C 0 上式得：
A
udq
1
0
dq
1 2
Q .
0
2
C
2C
QU ,
则
We A
Q
2C
或写成： W e 2 Q (U 2 U 1 ) 2 ( Q 1U 1 Q 2U 2 ). 这与前面的普适公式的结果一致。
1
1
■ 空间存在电介质的情形
第三节
电荷体系在外电场中的静电能
在实际问题中，常常需要研究一电荷分布固定的电 荷体系，在给定的外电场中的运动，这时电荷体系的自 能不变，改变的是电荷体系与外电场之间的互能，这部 分能量也称电荷体系在外电场中的静电能 当已知外场U 时 ，点电荷q 在U中的电势能可以直 We qU 接计算： We是q 在外场U 中的静电能，属于相互作用能。
■
当电荷体系为N个点电荷q1，q2，…，qN构成的点电 荷系统时，它在外电场U中的静电能为：
■
We q i U ri
n i 1
U（ri ）为外场在点电荷qi 处的电势。
■ 电荷密度为 e (r ) 、体积为V 的带电体，在外电场U
中的静电能应为：
We e r U r dV V
这在静电场中难以有令人信服的理由， 在电磁波的传播中，如通讯工程中能充分说 明场才是能量的携带者。
一、 电容器储存的能量 这里我们从电容器具有能量， 静电系统具有能量做形式上 的推演来说明电场的能量。
电容器充放电的过程是能 量从电源到用电器，（如 灯炮）上消耗的过程。
C
I
R
• 电容器储存的能量
电容器放电过程中,电量 dq 在电场力的作用下， 从正极板到负极板，这微小过程中电场力作功为： 因为 dq 0 表示极板上的电量随放电而减少
N
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U Vi e r U i r dV Vi e r
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W互 W自
☆靜電能 = 裝組系統的電荷配置所需做的功。
点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是，不能 计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）。 线电荷间互能的计算公式
即 U 0 。于是， U1(r) ≈ U(r)
We 1
2
V
e
(r )U ( r )dV .
二、对面电荷分布的情形 设面电荷密度为 e (r ) 。类似，将面电荷无限
分割为圆状面电荷元 e (r )dS
，
它在自身产生的电势不会大于 e a / 2 0（a为面元 半径，见第一章1.7节例1.10）该电势随 dS 0 a 0 而趋于零。于是 ，U1(r) ≈ U(r) ，其静电能为：
假设q1、q2从相距无穷远移至相距为r。 先把q1从无限远移至A点，因q2与A点相距仍然为无 限，外力做功等于零。 B A r1 2 q1 q q q
1 2 2
再把q2从无限远移至B点，外力要克服q1的电场力 做功，其大小等于系统电势能的增量。 W12 q2 ( U12 U )
U 1 2是q
B
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j 1 ji N
U i U ji
j 1 ji
3
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qj rji
)]
1 2
[ q1 (
q2 4 o r12
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q3 4 o r13
) q2 (
q1 4 o r21
q3 4 o r23
) q3 (
q1 4 o r31
q2 4 o r32
W互
( q 1U 1 q 2 U 2 q 3 U 3 )
1 2
i1
q iU i
3
Ui 是除qi外的其它所有电荷在qi 所在处产生的电势。
三、N 个点电荷系统的相互作用能： 推广至由n个点电荷组成的系统，其相互作用能 （电势能）为
W互 1 2
i1
q iU i
☆ 点电荷的自能.
设想点电荷q是由半径为R的均匀带电球收缩半径 R 0 而成，则球内一点产生的电势为
U E dl
3
2
r
R
qr 40 R
2
r
3
dr
q 40 r
1 2
2
dr
R
R r 3 0 2 2 1
由
We
U r dV v
We
2
6 0
R
0
2 3 q 3 2 1 2 2 R r 4r dr 4 R 2 5 2 0
由上面结论知，当 R 0,We 点电荷自能发散（理 论上称为“发散困难”）,故讨论点电荷组的电能时，只 讨论相互作用能. 同时也表明，真正的点电荷并不存在.
W互 1 2 Li e l U i l dl
N
i 1
[例3.1] 求体电荷密度为 e 、半径为R 的均匀带电 球的静电能（带电体的介电常量设为 0）。
[解] 以球心为原点，取球坐标（ r , , ）。根据第 一章1.7节例1.11的结果取 R1 = 0，R2 = R，可得：
设想带电体系中的电荷可以无限分割为许多小部分， 这些部分最初都分散在彼此相距无限远的位置上，通常 规定，处于这种状态下的静电能为0。亦即把各部分电 荷从无限远分散的状态，聚集成现有带电体系时，抵抗 静电力所作的全部功，为带电系统的静电能。
第一节、真空中点电荷间的相互作用能 一、 两个点电荷系统的相互作用能
q2 1 1 2 1 We qU q . 2 2C 2 4 0 R
与例3.1的结果比较可知，对电量及半径相同的带电球， 其静电自能与电荷分布有关。电荷集中分布于球面比 均匀分布于整个球体的自能要小。
[例3.3] 求平行板电容器的静电能公式。 [解] 如上页图所示，极板间的均匀各向同性电介质的 介电常量为 ，极板面积为S，两极板间的间距为d。 接通电源后，极板带电分别为Q1和Q2，且Q2 = - Q1 = Q； 两极板电势分别为U1和U2，电势差为U = U2 -U1。 ■ 分析电容器充电过程，电源对电容器作功，使电源能 量转化为电容器的静电能。在q由0增至Q的过程中，电 Q Q q 1 源作功为： 2
四、多个带电体组成的系统的静电能。 设N个带电体的体积分别为 V1、V2 VN ，它们 在空间r处产生的总电势可写成两部分：
U r U i i U
i
i
笫i个带电体在 r处产生的电势
除第i个带电体以外 其余带电体在r处产生的电势
We
N
1 2
i 1
限分割成每一小部分，其自能为零。
e 如果用总电量 q 4 R 3 e / 3 表示，上述结果可写成：
We
q2 3 . 5 4 0 R
这时若固定q，令 R 0 ，则
W e ，即点电荷的自能发散。
■ 对带电导体 静电能公式可进一步简化。导体的特点是电荷分 布在外表面，整个导体是等势体。当求该带电导体的 静电能时，应用前式可得如下结果：
U 2 1是q2在A点产生的电势。
4 0
r1 2
12
两种不同的迁移过程，外力做功相等。
W 12 或 W 21
W互 1 2 q1
也称两个点电荷之间的相互作用能
1 q2 1 2 q2 1 q1 4 0 r21
1 2 q 1U 1 1 2 q 2U 2
4 0 r12
1 2
第三章 静电能
能量是物质运动的一种普遍量度，在力学中，利 用能量守恒及各能量间的转换建立关系式，来求未知 物理量。电场是物质，能量是物质的一种属性，要掌 握电场，不能不研究形成电场的带电体系的静电能。
任何物体的带电过程，都是电荷之间的相对移动 过程，在这个过程中，外力必须克服电荷间的相互作 用而作功。外界作功所消耗的能量将转换为带电系统 的能量，该能量定义为带电系统的静电能。
U 12
1在B点产生的电势，U∞是q1在无限远处的电势。
1 q1 4 0 r12
U 0
所以
W 12 q 2 U 12
1
q1q 2
4 0 r12
A
r
B
q1
q1
q2
1 2
q2
同理，先把q2从无限远移B点，再把q1移到A点， 1 q q 外力做功为 W W qU
21 1 21
U (r )
e
6 0
(3 R
2
r )
2
于是，积分得： 2 5 e 1 4 e R 2 2 2 W e e (3 R r ) r sin drd d . 2 rR 6 0 1 5 0 当 e 固定时，We将随 R 0 而趋于零。
☆ 说明当帶电体为连续电荷分布时，将该体电荷无
n
Ui U
j i
j1
N
ji
1 4 0