光学课程设计 ——望远镜系统

望远镜系统结构设计

指导教师： 张 翔 专 业：光信息科学与技术 班 级：光信息08级1班 姓 名： 学

号： 20080320

光学课程设计

目录

第一部分设计背景 (1)

第二部分设计目的及意义 (1)

第三部分望远镜介绍 (1)

3.1望远镜定义 (1)

3.2望远镜分类及相应工作原理 (2)

第四部分望远镜系统设计 (3)

4.1开普勒望远镜 (3)

4.2望远镜系统常用参数 (4)

4.3外形尺寸计算 (6)

4.4伽利略望远镜 (8)

4.5物镜组的选取 (9)

4.6望远镜像差类型及主要结构 (10)

4.7双胶物镜与双分离物镜分析 (12)

4.8内调焦望远物镜分析 (14)

4.9目镜组的选取 (14)

4.10目镜主要像差及分析 (17)

4.11棱镜转像系统 (17)

4.12转折形式望远镜系统 (18)

4.13光学系统初始结构参数计算方法 (18)

4.14应用光学系统中的光栅 (20)

第五部分设计总结 (21)

第六部分参考文献 (21)

一．设计背景

在现在科学技术中，以典型精密仪器透镜、反射镜、棱镜等及其组合为关键部分的大口径光电系统的应用越来越广泛。如：天文、空间望远镜；地基空间目标探测与识别；激光大气传输、惯性约束聚变装置等等。

其中我国以高功率激光科研和激光核聚变研究为目的的光电系统——“神光二号”，颇具代表。“神光二号”对于未来的能源危机和我国的军事领域有着重要意义。

二．设计目的及意义

运用应用光学知识，了解望远镜工作原理的基础上，完成望远镜外形尺寸、

物镜组、目镜组及转像系统的简易或远离设计。了解光学设计中的PW法基本原理。

三．望远镜介绍

3.1 望远镜定义

望远镜是一种用于观察远距离物体的目视光学仪器，能把远物很小的张角按一定倍率放大，使之在像空间具有较大的张角，使本来无法用肉眼看清或分辨的物体变清晰可辨。所以，望远镜是天文和地面观测中不可缺少的工具。它是一种通过物镜和目镜使入射的平行光束仍保持平行射出的光学系统。根据望远镜原理一般分为三种。一种通过收集电磁波来观察遥远物体的仪器。在日常生活中，望远镜主要指光学望远镜。但是在现代天文学中，天文望远镜包括了射电望远镜，红外望远镜，X射线和伽吗射线望远镜。近年来天文望远镜的概念又进一步地延伸到了引力波，宇宙射线和暗物质的领域。或者再经过一个放大目镜进行观察。日常生活中的光学望远镜又称“千里镜”。它主要包括业余天文望远镜，观剧望远镜和军用双筒望远镜。

【望远镜基本工作示意图】

3.2 望远镜分类及相应工作原理

1．折射式望远镜

是用透镜作物镜的望远镜。分为两种类型：由凹透镜作目镜的称伽利略望远镜；由凸透镜作目镜的称开普勒望远镜。因单透镜物镜色差和球差都相当严重，现代的折射望远镜常用两块或两块以上的透镜组作物镜。其中以双透镜物镜应用最普遍。它由相距很近的一块冕牌玻璃制成的凸透镜和一块火石玻璃制成的凹透镜组成，对两个特定的波长完全消除位置色差，对其余波长的位置色差也可相应减弱在满足一定设计条件时，还可消去球差和彗差。由于剩余色差和其他像差的影响，双透镜物镜的相对口径较小，一般为1/15-1/20，很少大于1/7，可用视场也不大。口径小于8厘米的双透镜物镜可将两块透镜胶合在一起，称双胶合物镜，留有一定间隙未胶合的称双分离物镜。为了增大相对口径和视场，可采用多透镜物镜组。对于伽利略望远镜来说，结构非常简单，光能损失少。镜筒短，很轻便。而且成正像，但倍数小视野窄，一般用于观剧镜和玩具望远镜。对于开普勒望远镜来说，需要在物镜后面添加棱镜组或透镜组来转像，使眼睛观察到的是正像。一般的折射望远镜都是采用开普勒结构。由于折射望远镜的成像质量比反射望远镜好，视场大，使用方便，易于维护，中小型天文望远镜及许多专用仪器多采用折射系统，但大型折射望远镜制造起来比反射望远镜困难得多，因为冶炼大口径的优质透镜非常困难，且存在玻璃对光线的吸收问题，所以大口径望远镜都采用反射式。

2．反射式望远镜

是用凹面反射镜作物镜的望远镜。可分为牛顿望远镜.卡塞格林望远镜等几种类型。反射望远镜的主要优点是不存在色差，当物镜采用抛物面时，还可消去球差。但为了减小其它像差的影响，可用视场较小。对制造反射镜的材料只要求膨胀系数较小、应力小和便于磨制。磨好的反射镜一般在表面镀一层铝膜，铝膜在2000-9000埃波段范围的反射率都大于80%，因而除光学波段外，反射望远镜还适于对近红外和近紫外波段进行研究。反射望远镜的相对口径可以做得较大，主焦点式反射望远镜的相对口径约为1/5-1/2.5，甚至更大，而且除牛顿望远镜外，镜筒的长度比系统的焦距要短得多，加上主镜只有一个表面需要加工，这就大大降低了造价和制造的困难，因此目前口径大于1.34米的光学望远镜全部是反射望远镜。一架较大口径的反射望远镜，通过变换不同的副镜，可获得主焦点系统(或牛顿系统)、卡塞格林系统和折轴系统。这样，一架望远镜便可获得几种不同的相对口径和视场。反射望远镜主要用于天体物理方面的工作。

3. 折反射望远镜

是在球面反射镜的基础上，再加入用于校正像差的折射元件，可以避免困难的大型非球面加工，又能获得良好的像质量。比较著名的有施密特望远镜 ，它在球面反射镜的球心位置处放置一施密特校正板。它是一个面是平面，另一个面是轻度变形的非球面，使光束的中心部分略有会聚，而外围部分略有发散，正好矫正球差和彗差。还有一种马克苏托夫望远镜 ，在球面反射镜前面加一个弯月型透镜，选择合适的弯月透镜的参数和位置，可以同时校正球差和彗差。及这两种望远镜的衍生型，如超施密特望远镜，贝克―努恩照相机等。在折反射望远镜中，由反射镜成像，折射镜用于校正像差。它的特点是相对口径很大(甚至可大于1)，光力强，视场广阔，像质优良。适于巡天摄影和观测星云、彗星、流星等天体。小型目视望远镜若采用折反射卡塞格林系统，镜筒可非常短小。

四． 望远镜系统设计

4.1 望远镜外形尺寸设计

【开普勒（Kelper telescope ）望远镜光路示意图】

开普勒望远镜属于折射式望远镜。由两个凸透镜构成。由于两者之间有一个实像，可方便的安装分划板，并且各种性能优良，所以目前军用望远镜，小型天文望远镜等专业级的望远镜都采用此种结构。但这种结构成像是倒立的，所以要在中间增加正像系统。 正像系统分为两类：棱镜正像系统和透镜正像系统。我们常见的前宽后窄的典型双筒望远镜既采用了双直角棱镜正像系统。这种系统的优点是在正像的同时将光轴两次折叠，从而大大减小了望远镜的体积和重量。透镜正像系统采用一组复杂的透镜来将像倒转，成本较高，但俄罗斯20×50三节伸

'物

f 目f

'z l

缩古典型单筒望远镜既采用设计精良的透镜正像系统。

4.2 对于望远镜系统有以下参数：

1. 垂轴放大率

垂轴放大率代表共轭面像高和物高之比。主要公式有：

''

'f x x f y y -=-==β

''ff xx =

2. 角放大率

角放大率是共轭面上的轴上点A 发出的光线通过光学系统后，与光轴的夹角'U 的正切和对应的入射光线所成德夹角U 的正切之比。一般用γ表示。主要公式有：

U

U tan tan '

=γ

u

u '=γ

3. 轴向放大率

当物平面沿光轴移动微小的距离dx 时，像平面相应地移动距离'

dx ，比例dx

dx '

称为光学

系统的轴向放大率，用α表示。它代表平行于光轴的微小线段所成德像与该线段二者长度之比。主要公式有：

2'2

'''l

f fl dl dl dx dx -===α

x

x dx dx '

'-==α

4. 视放大率

视放大率是望远镜最重要的光学性能之一，它表示仪器放大作用的大小。视放大率必须满足对仪器的精度要求，对不同的仪器精度要求也不一样。

(1)

观察仪器。有以下关系：Γ

='

'60α，可由要求得分辨角α即可求出需要的视角放

大率Γ。

(2)

瞄准仪器。使用压线瞄准时为：Γ=?'

'60α，用对线、双线或叉线瞄准时为：

Γ

=?'

'10α。

(3) 测距仪器。测距仪器的精度要求是测距误差。Γ

?=?-B l l 2

5

10

5，根据一定距离l 上要求得测距误差l ?和仪器的基线B ，即可求得视放大率Γ。

视放大率除了和仪器工作精度有关外，还与其他一系列因素有关，必须同时兼顾，介绍如下。

(1)视放大率和仪器体积、重量的关系。''';D D f f =Γ-=Γ目物。

在目镜焦距'

目f 和出瞳直径'D 一定条件下，Γ越大，物镜焦距'

物f 和口径D 越大。

(2)视放大率Γ和视场ω2的关系。ω

ωtan tan '=Γ。ω为望远镜的物方视场角，它标志着仪

器的观察范围。一定类型的目镜，它的视场角'2ω是一定的，增大视放大率Γ必须同时减少视场角ω2。

(3)仪器的使用条件对视放大率也有限制。

(4)望远镜的有效放大率。人眼的视角分辨率为'

'60，有：α

ωω'

''60tan tan ≈=Γ，如果要求仪器的视角分辨率和衍射分辨率相等，则应满足：D

''''14060=Γ，符合以上关系的视放大率称为望远镜的“有效放大率”。

5. 极限分辨角

通常，我们把望远镜刚能分辨的两物点在望远镜系统上成的两像点之间的夹角叫做望远镜的极限分辨角。它的大小与望远镜的视放大率以及垂轴，轴向放大率有关。 ω=1.22λ/D

其中，λ为入射波长，D 为入瞳直径。望远镜的最灵敏波长为555纳米，当入瞳单位取mm ，极限分辨角取秒时，ω’=140/D 。

4.3 外形尺寸计算 已知参数：

① 物镜和目镜之间的距离mm L 315= ② 望远镜放大镜的倍数?=Γ20

③ 物方视场角'2032 =ω

求解如下：

1. 目镜的视场角'2ω：

6.1tan 20tan tan '?=?Γ=ω

ω'

'12

30202.30οοω

==? 4

260'2'?=ω 2. 望远镜的分辨率α：

由望远镜分辨率与视放大率关系式：

'

''

'''3

20

6060==Γ=α 3. 物镜的通光口径D ：

物镜的口径取决与分辨率的要求，若使物镜的分辨率与放大率相适应，望远镜口径与放大率的关系满足3

.2D

≥Γ，为减轻眼睛负担，可取(),1~0.5D =Γ及Γ=)2~1(D ，这里系数取1.5 ，则:

mm

D 305.1=Γ= 4. 出瞳直径'

D ：

mm

D D D

D 5.12030

''==Γ=?=Γ 5. 物镜焦距’物f 与目镜焦距’目f ：

??

???==-=20315

’目

‘物

目’

物f f f f L ???==?mm f mm f 30015’物‘目 6. 视场光阑的直径

视

D ：

根据三角形定则，计算视场角，：

m f f D 46.1767.1tan 3002tan 222=??=??===物

物视

7. 目镜口径目D ：

目镜的视场角ω'2，以及出瞳直径z R 2限制了目镜的口径，据此计算：

mm

R D mm l R R x z 334.212667.100230tan 75.155.1tan ==='??+='?'+=目

目目

ω

8. 出瞳距'z l ：

孔径光阑选在物镜框上，轴外光束的主光线通过物镜中心O ，假定在目镜组的投射高为R ，：

()()mm

L L l L l l R L

R z z z 75.1520

315)tan()tan()tan()tan()tan(tan '''

'

'==Γ=?==∴=

=ωωωωωω

9. 目镜的视度调节量：视度的调节范围一般为SD=5±视度。则目镜的 轴向移动量x 等于

mm mm f SD x f x 目125.11000155100022

'

2

=?±='?-=-=‘目

4.4 伽利略望远镜

【伽利略望远镜示意图】

物镜是会聚透镜而目镜是发散透镜的望远镜。光线经过物镜折射所成的实像在目镜的后方（靠近人目的后方）焦点上，这像对目镜是一个虚像，因此经它折射后成一放大的正立虚像。伽利略望远镜的放大率等于物镜焦距与目镜焦距的比值。其优点是镜筒短而能成正像，但它的视野比较小。把两个放大倍数不高的伽利略望远镜并列一起、中间用一个螺栓钮可以同时调节其清晰程度的装置，称为“观剧镜”；因携带方便，常用以观看表演等。伽利略发明的望远镜在人类认识自然的历史中占有重要地位。它由一个凹透镜（目镜）和一个凸透镜（物镜）构成。其优点是结构简单，能直接成正像。 伽利略望远镜是由物镜和负目镜按光学间隔△=0的方式组合而成,伽利略望远镜在物镜口径一定时，倍率越高，视场越小.

4.5 物镜组的选取

物镜组主要参数：

①等效焦距'f②相对孔径'

D③视场角

/f

2

物镜组的种类：

①双胶物镜②双分离物镜③双单和单双物镜④三分离物镜⑤摄远物镜

示意图分别如下：

4.6 望远镜需要消除的像差类型及主要结构形式

与近轴区成像比较必然在成像位置和像的大小方面存在一定的差异，被称为像差单色光像差有五种：

球差、彗差(正弦差)、像散、场曲、畸变

复色光像差有两种：

位置色差(轴向色差)、倍率色差(垂轴色差)

部分像差分析如下：

①球差

定义：球面像差的简称(轴上点)

对应孔径角Umax入射光线的高度hmax被称为全孔径（边光球差）

若h /hmax =0.7，则称为0.7孔径或0.7带光（带光球差）

【球差示意图】

球差是轴上点唯一的单色像差，可在沿轴方向和垂轴方向来度量分别称为轴向球差和垂轴球差。轴向球差又称为纵向球差，它是沿光轴方向度量的球差，用符号δL ’ 表示。垂轴球差是过近轴光线像点A’的垂轴平面内度量的球差。用符号δT ’ 表示，它表示由轴向球差引起的弥散圆的半径，δT ’= δL ’ tanU’。对于单透镜来说，U 越大则球差值越大。

②慧差(轴外点宽光束)

彗差是轴外物点发出宽光束通过光学系统后，并不会聚一点，相对于主光线而是呈彗星状图形的一种失对称的像差。子午彗差指对子午光线度量的彗差，子午光线对交点离开主光线的垂直距离K T’用来表示此光线对交点偏离主光线的程度。

【慧差示意图】

③像散(轴外点细光束)

轴外物点用光束成像时形成两条相互垂直且相隔一定距离的短线像的一种非对称性像差被称为像散。

K T ’

【像散示意图】

④场曲

场曲是像场弯曲的简称。场曲是物平面形成曲面像的一种像差。场曲需要以子午场曲和弧矢场曲来表征。

子午场曲：

子午细光束焦点相对于理想像面的偏离称为细光束子午场曲，用符号x t ’表示'''l l x t t -=。

【子午场曲示意图】

弧矢场曲：

弧矢细光束焦点相对于理想像面的偏离称为细光束弧矢场曲，用符号x s ’表示'''l l x s s -=。

【弧矢场曲示意图】

⑤畸变(相似性破坏)

A

t

s

畸变是垂轴（横向）放大率随视场的增大而变化，所引起一种失去物像相似的像差

【正畸变示意图】

【负畸变示意图】

⑤色差

复色光成像时，由于不同色光而引起的像差称为色差。

4.7 双胶物镜与双分离物镜分析

①双胶物镜

双胶物镜是一种最常用最简单的望远镜物镜，由一个正透镜和一个负透镜胶合而成，如图所示。这种物镜的优点是；结构简单，安装方便，光能损失小，合适的选择玻璃可以校正球差、惠差和轴向色差三种像差，满足望远镜物镜的像差要求。

不同焦距时，双胶物镜可得到满意的成像质量的相对孔径，如表所示

由于这种物镜不能校正像散和场曲，所以视场一般不能超过8。一10。。如果物镜后面有很长光路的棱镜，由于棱镜的像散和物镜的像散符号相反，可以抵销一部分物镜的像散，视场可达到15。一20。一般双胶物镜的最大口径不能超过100 mm，这是因为当透镜直径过大时，由于透镜的重量过大，胶合不牢固。同时，当温度改变时，胶合面上可能产生应力，

使成像质量变坏，严重时可能脱胶。

②双分离物镜分析

双不胶镜同样由一块正透镜和一块负透镜组成空气间隔，如图所示。

它和双胶物镜比较，具有下列优点：

A.物镜的口径不受限制。因此，一些大口径的物镜都用双不胶物镜，而不用双胶物镜。

B.能够利用空气间隔校正剩余球差，增大相对孔径。在一般焦距(100一150 mm)时，相对

孔径可达1：2．5—1：3。

它的缺点是：光能损失增加，加工安装比较困难，特别是两透镜的共铀性不易保证。

4.8 内调焦望远物镜分析

望远系统的工作范围应是无穷远起点以外，当用望远系统观察有限远的目标时，产生

了调焦望远系统。调焦望远系统是用光学零件位置上的变化实现调焦作用的。调焦望远系统分为外调焦和内调焦系统。

【内调焦望远镜示意图】

其中内调焦望远系统如图，当目标在有限远时，移动调焦镜，使目标经物镜所成的像仍然在固定的分划板处。内调焦系统的调焦镜可以是负透镜，也可以是正透镜。内调焦系统是物镜到分划板的距离固定不变，通过改变物镜和调焦镜的总焦距来实现调焦的目的。即物体由无穷远向物镜方向移动时，物镜和调焦镜的组合焦距随之改变。

设内调焦系统的物镜光焦度为1?，调焦镜的光焦度为2?，物镜和调焦镜的总光焦度

为?,则有 2

1021?????d -+=式中，0d 为调焦无穷远时物镜与调焦镜之间的距离。由图

可得物镜的筒长L 为：????

??-+=1001f d f d L 式中，f 为内调焦望远系统物镜和调焦镜的总焦

距；1f 为物镜的焦距。

4．9 目镜组的选取

目镜组主要参数：

① 像方视场角ω'2②相对出瞳距离目z f l ''

③工作距离S 目镜组的种类：

① 惠更斯目镜②冉斯登目镜③凯涅尔目镜④对称目镜 ⑤ 无畸变目镜⑥艾尔弗目镜。 相应示意图及特点如下： ① 惠更斯目镜

它由两个单透镜构成，间隔为d 。 如下图。光学特性为

50

~402='ω，4

1

≈'

'目z f l 天方望远镜中常采用惠斯更斯目镜。它的缺点是由于不存在实像面，因此不能安装分划镜。

【惠更斯目镜结构示意图】 【惠更斯目镜光路示意图】

② 冉斯登目镜

它由两个平凸透镜构成，其间隔d 小于惠更斯目镜两透镜的间距。当目镜两块透镜的焦距和间隔相等时，可满足校正垂轴色差的条件。但是整个目镜的两个焦点分别位于两块透镜上，目镜的工作距离为零。这种情况下不适合安装分划板，而且出瞳直径小，也不利于观

察。一半将两块透镜适当缩短，如下图。其光学特性为

40~302='ω，

3

1

≈''目z f l .冉斯登目镜主要用于大地测量仪器的望远镜目镜，一般用作测量和读数。

【冉斯登目镜结构示意图】 【冉斯登目镜光路示意图】

③ 凯涅尔目镜

ω'2=45°~50°，

目z f l '

'

≈1/2

④对称目镜

ω'2=40°~42°，

目z f l '

'

≈3/4

⑤无畸变目镜

ω'2=40°，

目

z f l ''

≈3/4

⑥艾尔弗目镜

ω'2=65°~72°

目z f l ''

≈4

3

4.10 目镜主要像差及分析：

由于目镜的视场大，出瞳又远离透镜组，轴向光束在透镜组上的投射高比较大，在透镜表面上的入射角自然也就增大，因此轴外的斜光束像差，如慧差，象散，场曲，畸变和垂轴色差都大，所以目镜的结构一般都比较复杂。由于目镜的焦距比较短，相对孔径不大，因此目镜的球差和轴向色差一般比较小。姑目镜的像差校正以轴外像差为主，其中影响成像清晰的几种像差，如慧差，象散，垂轴色差最重要。

目镜中的场曲一般不进行校正。实际应用中主要校正的是正像散，垂轴色差和慧差。 目镜是整个目视光学仪器的一个组成部分，因此在校正像差时，还必须考虑到它和物镜之间的像差补偿关系。

4.11 棱镜转像系统

通过一个典型开普勒望远镜看到的图象，是上下左右颠倒的，为了适应地面观测的需要，必须在物镜（将远处的目标成一倒立的实像）后面加一组棱镜，将倒立的实像转为正立的实像。实现转像的常用两种结构棱镜：Porro 棱镜和Roof 棱镜 。

Porro 棱镜的优点是结构简单，透光率高，成像质量好，但望远镜体积偏大。为了克服这个缺点，可以采用反向Porro 棱镜转像，不过又带来了新的问题，物镜的口径偏小，不适合低照度环境下使用。Roof 棱镜的优点是采用它之后望远镜的体积可以做得最小，望远镜的重量也随之下降，但是这种棱镜结构复杂，且透光率比Porro 棱镜低5%，需镀增透膜。所以要做个优质roof 棱镜望远镜，需要付出很大代价。

传统普罗棱镜 (Porro prism),或曲筒型使用2个 45°~90°~45°度直角棱镜内全反射原理,把光路折曲. 优点是构造简单, 透光率可达94%, 而且物镜相距基线变长, 双眼视差较大, 影像较富立体感. 缺点是体积较大, 看近处景物容易

4.12 转折形式望远镜系统

【折转形式望远镜系统光路图】

【等效示意图】

此处所选择的是转像棱镜是porro I 型棱镜。该棱镜转像系统的特点：由两个互相成直角（主截面互相垂直）放置的直角棱镜构成，也就是说，如果一个棱镜起直角的作用，则另一个棱镜的主截面与前者垂直，相当于一个棱镜的屋脊面，成倒像。实际上该棱镜的作用等价于一个直角屋脊棱镜，porro I 型棱镜系统不使光轴偏折，仅仅使光轴平移。

4.13 光学系统初始结构参数计算方法

望远镜像差设计PW 法

在解初始结构参数时，没有考虑高级像差，又略去了透镜的厚度，因此它只是一个近似解，其近似程度取决于所要求的视场和孔径的大小。根据像差理论，光学系统的初级像差可以表示如下：

初级球差：()()u i i i luni S S u n L k

k k -''-=''-='∑1

1

12,21δ 初级彗差：()()i i S u i i i luni ，S

S u n K z

ⅠⅡk Ⅱk k s =-''-=''-='∑1

21

初级像散：2

1

2

1??? ??==''-='∑i i S i i S ，S S u n x z

Ⅰz ⅡⅢk Ⅲk k ts 匹兹伐尔场曲：()r n n n n J ，S S u n x Ⅳk Ⅳk k p '-'=''-='∑212

21 初级畸变：()i i S S ，S S u n z

ⅣⅢⅤk Ⅴk k y z

+=''-=∑'1

21δ 初级位置色差：??? ??-''=''-='?∑n dn n n d luni ，C C u n l Ⅰk Ⅰk k FC 1

2

1 初级倍率色差：i i C n dn n n d luni ，C

C u n y z

Ⅰz Ⅱk

Ⅱk k FC =??? ??-''=''-='?∑1

1 式中，∑∑k

Ⅴk ⅠS S 1

1

~分别表示光学系统的球差、彗差、像散、场曲和畸变的初级像差系数，

∑∑k

Ⅱk Ⅰ

C 和C 1

1

分别为光学系统的位置色差和倍率色差的初级系数，k 表示光学系统的面数。 P 、W 的定义即：()()()()u

i i i W u i i i ni P -''-=-''-=, .为确定初级像差系数与光学系统结构参数之间的关系，我们对P 、W 作适当变形，给出其与第一近轴光线u 和u ′的关系：

∑∑=k

k hP S 1

11

∑∑∑+=k

k z

k

W J P h S 1

112

n u h

J W h h J P h h S k

k z k

z k

?++=∑∑∑∑12

1121312 ∑∑'-'=k k

nr n n

n J

S 1

2

14 2123

12122

1

2

31

5

11)3(3n h J nr n n n n u h h h J W h h J P h h S

k k z k z k

z k

?-'-'+?++=∑∑∑∑∑ ()()

n u n u W n u n u P ??

?-=?????

? ????=1,12

代入拉-赫不变量J 中变形得到以PW 表示的按折射面分布的初级像差系数表示式。（只有前五个公式）

经过化简，薄透镜系统的初级像差系数公式也可变为如下形式：

∑∑=j

j

j

P h S 1

1