抽象代数复习资料

《抽象代数》 复习资料1一、判断对错，正确的填√，错误的填⨯．1、拉格朗日定理的逆命题是正确的. （ ）2、有限整环一定是域. ( )3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。

. ( )二、填空１、设G 为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算。

则满足消去律为G 是群的______________（请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）． 2、在群中设ord a n =，则对任意, k k Z ord a ?_______________．三、叙述概念 1、代数运算 2、环的特征3、含幺环上未定元的定义 四、计算和证明1、叙述并证明群同态基本定理．2、求10Z 到5Z 的所有环同态。

3、证明：对群中的任意两个元素,a b 均有()()o ab o ba =。

参考答案一、判断对错，正确的填√，错误的填´1、´2、√3、√´ 二、填空 1、充要条件；2、(,)nn k ； 三、叙述定义或定理1、代数运算 ：给定非空集合A ，集合A A ´到A 的映射称为集合A 的一个代数运算 。

（给定非空集合A ，给定A 的一个规则o ，如果对A 中任意的两个元素都有A 中唯一的元素与之对应,则称o 为A 的一个代数运。

2、环的特征：设R 是环，若存在最小的正整数n,使得对所有的a R Î，有0na =，则称环R 的特征是n,若不存在这样的n 则称R 的特征是无穷。

3、含幺环上未定元的定义：含幺Ｒ扩环中的元素x ，和Ｒ中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方幂Ｒ线性无关。

四、1、设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射．则N Ker ϕ=是G 的正规子群，且G N G ≅． 证明：由于G 的单位元是G 的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核N Ker ϕ=也是G的一个正规子群．设:(,)a a a G a G ϕ→∈∈，则在G N 与G 之间建立以下映射:()aN a a σϕ→=． （1）证明σ是映射．设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈．于是11,a b a b e a b --===，即G N 中每个陪集在σ之下在G 中只有一个象．从而σ确为G N 到G 的一个映射． （2）证明σ是满射．任取a G ∈，由ϕ是满射知，有a G ∈使得()a a ϕ=．从而在σ之下，a 在G N 中有逆象aN ．（3）证明σ是单射．若aN bN ≠，则1a b N -∉，从而1,a b e a b -≠≠．因此，σ是G N 到G 的一个双射．又由于有()()aN bN abN ab =→=，故σ为同构映射．从而G N G ≅．2、找出模10的剩余类环10Z 到剩余类环5Z 的所有环同态。

因为环同态一定是加群同态，而且为循环群之间的同态，从而由10Z 中生成元的象决定，而5Z 共有3个元素，均可充当前者生成元的象。

五个加群同态如下：11052105310541055105: [1]0,或[]0;: [1]1,或[];: [1]2,或[]2. : [1]3,或[]3: [1]4,或[]410f Z Z n f Z Z n n f Z Z n n f Z Z n nf Z Z n n不难证明只有前两个同态保持乘法运算，从而环同态只有11532153: [1]0,或[n]0;: [1]1,或[n].f Z Z f Z Z n3、证明：分两种情况证明第一种情况：()()o ab o ba =。

();o ab n =<? 因为1(),nn baba ba b aba bab a ba +==L L L L 1444442444443E5555555F 所以，有消去律可得(),(),下设()，同理可证m n ；-----6分nba e o ba n o ba m =???第二种情况：();o ab =?下证();o ba =?假设();o ba n =<?则有1的证明可知();o ab <?因而与();o ab =?矛盾《抽象代数》 复习资料2一、 叙述概念及定理 1. 正规子群.2. 环的扩张（挖补）定理.3. 理想.4. 素域.5. 唯一分解整环. 二、计算与证明1. 在[]Z x 中,令{}()()|(0)I f x Z x f =∈是偶数. 证明: (1),2I x =<>且I 不是主理想 (2)I 为[]Z x 的极大理想.2.设G 是交换环. 证明: G 的所有阶数有限的元素构成的集合H 是G 的正规子群, 且商群HG的元素除了单位元外, 其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.3.证明: (1)集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位元的交换环.又问:单位群*?R =(2) 当F 是有理数域时,R 还作成域,但是当F 是实数域时,R 不作成域.参考答案一、 叙述概念及定理1. 设H 是群G 的子群，如果对任意的a G ∈，有aH Ha =，则称H 是G 的正规子群.2. 环的扩张（挖补）定理:设S 与R 是两个没有公共元素的环,σ是环S 到R 的单同态, 则存在一个与环R 同构的环S 及由S 到R 的同构映射σ, 使得S 是S 子环且σσ=S.3. 理想:设R 是环, I 是R 的非空子集. 如果I 满足(1) 对任意的;,,I t s I t s ∈-∈(2) 对任意的,,,,I rs sr R r I s ∈∈∈ 则称I 是R 的一个理想. 4. 素域. 没有真子域的域.5. 唯一分解整环: 每个非零非单位的元素都有唯一分解的整环. 二、计算与证明1. 在[]Z x 中,令{}()()|(0)I f x Z x f =∈是偶数. 证明: (1),2I x =<>且I 不是主理想; (2)I 为[]Z x 的极大理想.证明: (1) (),2f x x ∀∈<>,有()()2,()[],f x g x x z g x Z x z Z =+∈∈,则(0)2f z =为偶数,从而{},2()()x If x Z x <>⊆=∈是偶数 (3分)另一方面,设1011()[]n n n n f x a x a x a x a Z x --=++++∈,若(0)n f a =为偶数,则存在z Z ∈ 使得:(0)2n a f z==,从而12011()(),2n n n n f x x a x a x a a x ---=++++∈<>.所以,2I x =<>. 下证2,x 不是主理想.首先, },],[2)({}][,2)()({2,Z z x Z f z x x f x Z g f x g x x f x ∈∈+=∈+= 所以].[2,x Z x ≠ 其次, 假设存在],[)(x Z x d ∈ 使得2,)(x x d =, 则在][x Z 中, 有x x d )(且2)(x d ,由此得1)(±=x d . 从而][12,x Z x =±=矛盾. 因此2,x 不是主理想. (2) 显然I 为[]Z x 的真理想,设[]I JZ x ⊂,在J 中任意取一个不属于I 的元素1011()n n n n f x a x a x a x a --=++++,则n a 不是偶数,设21n a z =+,于是1201112()()2n n n n a z f x x a x a x a z J ---=-=-+++-∈从而[]J Z x =, 所以I 为[]Z x 的极大理想.2.设G 是交换环. 证明: G 的所有阶数有限的元素构成的集合H 是G 的正规子群, 且商群HG的元素除了单位元外, 其余元素(如果有的话)的阶数都是无限的.证明: 显然H 非空. 设H y x ∈∀,, 则N n m ∈∃,, 使得e y x n m ==, 则 e x x m m ==--11)()(, e y x xy m n m n m n ==)(.从而H xy x ∈-,1, 所以H 是G 的子群. 又因为G 是交换群, 所以H 是G 的正规子群. 设HGx ∈∀, 如果N r ∈∃, 使得e x x r r==, 则H x r ∈.从而N t ∈∃, 使得e x x rttr ==)(, 从而H x ∈. 由此知e x =为HG的单位元.3. 证明: (1)集合2,a b R a b F b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭数域关于方阵的普通加法与乘法作成一个有单位元的交换环.(2) 当F 是有理数域时,R 还作成域,但是当F 是实数域时,R 不作成域. 证明: (1)数域F 上的所有2阶方阵在矩阵的普通加法与乘法下作成一个有单位元的环22F ⨯,从而我们只需证明R 是22F ⨯的子环,任意的22,a b cd R b a dc ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,由于F 是数域,从而222()2222()2a b c d a c bd R b a d c b d aca b c d a c b d a d b cRb a dc ad b c a c b d--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=∈ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭,从而R 是一个环,又21001E R ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,并且2222()222a b cd ac bdad bc cd a b b a dc ad bcac bd dc b a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而R 是一个有单位元的交换环. (2) 当F 是有理数域时,若22220a ba b b a=-=,则0a b ==,从而当,a b 不全为0时,2a b b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的行列式不为0,从而可逆,即当F 是有理数域时, R 中的每一个非零元素都可逆,从而R 是域.但当F 是实数域时, 对于任意的实数b20b b=,从而不是所有的非零元都可逆,因此当F 是实数域时,R 不作成域.《抽象代数》 复习资料3一、叙述概念或命题1．不变子群； 二、填空题1．设有限域F 的阶为81，则的特征=p 。

2．已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 。

三、设G 是群。

证明：如果对任意的G x ∈，有e x =2，则G 是交换群。

四、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

五、设}R ,,,|{H ∈+++=d c b a dk cj bi a 是四元数体，对H 中任意元dk cj bi a x +++=，定义其共轭dk cj bi a x ---=。