标准化资料计算欧几里得距离
欧式距离尺度函数
欧式距离尺度函数欧式距离尺度函数是一种用于度量样本之间相似度和差异度的常见方法。
它基于欧几里得几何中的距离公式，可以用于计算任意维空间对象之间的距离。
欧式距离尺度函数已广泛应用于数据挖掘、机器学习、模式识别等领域。
本文将详细介绍欧式距离尺度函数的定义、计算方法和应用。
欧式距离尺度函数是指在欧几里得空间中计算两个点之间距离的方法。
它是二维或多维空间中最基本的距离度量方法之一。
欧氏距离的通式如下：d(x,y) = sqrt((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + …… +(xn-yn)^2)其中 x,y 是 n 维欧几里得空间中的两个点，x1,x2,...,xn , y1,y2,...,yn 是它们在空间中各个维度上的坐标。
欧式距离是欧几里得空间中最基本的距离度量方法之一，它可以用来对样本之间的相似度和差异度进行度量。
欧式距离越短，说明两个点之间的距离越近，相似度越高；反之，欧式距离越长，说明两个点之间距离越远，差异度越大。
欧式距离尺度函数的计算方法非常简单，只需要按照上述公式进行计算即可。
假设有两个三维点 A(1,2,3), B(4,5,6)，则它们之间的欧式距离 d(A,B) = sqrt((1-4)^2 +(2-5)^2 + (3-6)^2) = sqrt(27) ≈ 5.2。
在实际应用中，不仅仅是两个点之间的欧式距离需要求解，还需要计算多个样本之间的距离矩阵。
这也是欧式距离尺度函数被广泛应用的一个原因。
计算距离矩阵需要对每个样本进行两两求距离，所以距离矩阵是一个二维的矩阵。
以三个三维点 A(1,2,3),B(4,5,6), C(2,3,4) 为例，其距离矩阵为：| | A | B | C ||----|----|----|----|| A | 0 | 5.2| 2.2|| B | 5.2| 0 | 4.2|| C | 2.2| 4.2| 0 |A 和B 之间的距离为 5.2，A 和C 之间的距离为 2.2，B 和 C 之间的距离为 4.2。
python 标准化欧氏距离
Python标准化欧氏距离1. 欧氏距离是指在n维空间中两点间的距离。
它是一种常用的距离度量方法，也被广泛应用于数据挖掘、模式识别等领域。
在实际应用中，为了消除维度之间的差异性，需要对欧氏距离进行标准化处理。
2. 标准化欧氏距离是指在计算欧氏距离前，对数据进行标准化处理，使各个维度之间的差异性不会对距离计算产生影响。
在Python中，可以使用标准化技术对欧氏距离进行标准化处理，以提高距离计算的准确性和可靠性。
3. 在Python中，使用scipy库中的spatial.distance模块可以方便地计算欧氏距离。
在进行距离计算之前，需要先对数据进行标准化处理，以消除维度之间的差异性。
标准化处理有多种方法，比如Z-score标准化、最小-最大标准化等。
4. Z-score标准化是一种常用的标准化方法，它通过计算每个维度的均值和标准差，对数据进行标准化处理。
在Python中，可以使用scipy库中的stats模块进行Z-score标准化。
具体步骤如下：1) 计算每个维度的均值和标准差；2) 对每个维度的数值减去均值，然后除以标准差，得到标准化后的数值。
5. 最小-最大标准化是另一种常用的标准化方法，它通过将数据缩放到一个指定的范围内，来消除维度之间的差异性。
在Python中，可以使用scikit-learn库中的MinMaxScaler类进行最小-最大标准化。
具体步骤如下：1) 计算每个维度的最大值和最小值；2) 对每个维度的数值减去最小值，然后除以最大值减最小值的差，得到标准化后的数值。
6. 在对数据进行标准化处理之后，可以使用scipy库中的spatial.distance模块来计算标准化后的欧氏距离。
具体步骤如下：1) 导入scipy库中的spatial.distance模块；2) 使用pdist函数计算标准化后的欧氏距离；3) 对于多个数据点之间的距离计算，可以使用squareform函数将距离矩阵转换为对称矩阵。
欧几里得距离
欧几里德空间和距离欧几里德空间(Euclidean Space)，简称为欧氏空间，在数学中是对欧几里德所研究的二维和三维空间的一般化。
所谓一般化就是把欧几里德对于距离、以及相关的概念如长度和角度等转换成任意数维的坐标系。
欧几里德距离(Euclidean Distance)The Euclidean distance between points andin Euclidean n-space, is definedas:.设x n和y n分别是n维度量空间中的点，则其欧几里德距离定义为：d(x,y)=(∑(x i-y i)2)1/2当n=2时，则为平面上两点的距离，当n=3时，则为三维空间中两点的距离。
2.2.1 区间标度变量区间标度变量是一个粗略线性标度的连续变量。
用来计算相异度d（i，j），其距离度量包括欧几里德距离，曼哈坦距离和明考斯基距离。
首先实现数据的标准化，给定一个变量f的度量值，可以进行一下转化：（1）计算平均的绝对偏差S f：S f = （|x1f-m f|+|x2f-m f|+……+|x nf-m f|）/n这里x1f，……，x nf是f的n个度量值，m f是f的平均值。
（2）计算标准化的度量值：Z if = （x if-m f）/s f我们知道对象之间的相异度是基于对象间的距离来计算的。
最常用的度量方法是欧几里德距离，形式如下：d(i,j) = (|xi1-xj1|2+|xi2-xj2|2+……+|xip-xjp|2)1/2这里i=（xi1,xi2,……,xip）和j=（xj1,xj2,……，xjp）是两个p维的数据对象。
曼哈坦距离的公式如下：d(i,j)=|xi1-xj1|+|xi2-xj2|+……|xip-xjp|上面的两个公式必须满足下面的条件：d(i,j)≧0:距离非负。
d(i,i)=0:对象与自身的距离为0。
d(i,j)=d(j,i):距离函数具有对称性。
d(i,j)≦d(i,h)+d(h,j):对象i到对象j的距离小于等于途经其他任何对象h的距离之和。
欧几里德距离的平方度量
欧几里德距离的平方度量欧几里德距离的平方度量是一种常见的距离度量方法，在各个领域都有应用。
下面将从定义、计算方法、优缺点以及应用等方面介绍欧几里德距离的平方度量。
一、定义欧几里得距离又称欧氏距离，是指在m维空间中两个点之间的真实距离，或者向量之间的距离。
欧几里得距离的平方度量是指将欧几里得距离的计算公式进行平方，得出的结果便是欧几里得距离的平方度量。
欧几里得距离的计算公式如下：$dist(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$欧几里得距离的平方度量的计算公式如下：$distance^2(x,y)=\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2$二、计算方法欧几里得距离的平方度量的计算方法非常简单，只需要将欧几里得距离的计算公式进行平方即可得出结果。
比如，假设有两个二维向量 $x=(1, 3)$ 和 $y=(4, 5)$，那么它们之间的欧几里得距离的平方度量就是：$distance^2(x,y)=(1-4)^2+(3-5)^2=10$三、优缺点欧几里得距离的平方度量具有以下优点：1. 计算简单，易于实现。
2. 结果直观，易于理解。
3. 在一些模式识别问题中，欧几里得距离的平方度量能够约束后续算法得出更优的结果。
但欧几里得距离的平方度量也有以下缺点：1. 没有考虑到特征之间的相关性，可能会导致距离计算不准确。
2. 没有考虑到特征权重的不同，可能会导致某些特征对距离的贡献过大或过小。
4. 应用欧几里得距离的平方度量在各个领域都有广泛应用，特别是在机器学习、数据挖掘等领域。
1. 机器学习中，欧几里得距离的平方度量常被用于聚类分析和KNN分类算法中。
2. 数据挖掘中，欧几里得距离的平方度量常被用于相似性计算和异常检测等任务中。
3. 计算机视觉领域中，欧几里得距离的平方度量常被用于图像匹配和目标跟踪等任务中。
以上是欧几里得距离的平方度量的定义、计算方法、优缺点以及应用等方面的介绍，相信对大家了解欧几里得距离的平方度量会有所帮助。
标准化欧氏距离
标准化欧氏距离(Standardized Euclidean Distance )
(1)标准欧氏距离的定义
标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。
标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。
均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standarddeviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：
而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。
因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：
标准化后的值=( 标准化前的值－分量的均值) /分量的标准差
经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与b(x21,x22,…,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：
如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(Weighted Euclidean distance)。
(2)Matlab计算标准化欧氏距离
例子：计算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)两两间的标准化欧氏距离(假设两个分量的标准差分别为0.5和1)
X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]
D= pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])
结果：
D=
2.0000 2.0000 2.8284。
欧式距离公式
欧式距离公式欧式距离公式是数学、统计学和计算机科学领域的一种量化距离衡量方法，它是以古典几何中的欧氏距离为基础，用数学描述和表示客观实物间的距离。
欧式距离用于计算两个物体间的空间距离，可以有多种形式，广泛用于各种应用场景。
欧式距离可以统称为欧氏距离，也称作欧几里得距离（Euclidean distance）。
它指两点之间的距离，也用坐标表示。
欧式距离公式定义为：d =((x_2 - x_1)2 + (y_2 - y_1)2)其中，x_1 and x_2 为两个点的横坐标，y_1 and y_2 为两个点的纵坐标，d 为两个点之间的距离，它表示两点之间的某种距离。
欧式距离的几何性质欧氏几何中的距离也是无穷维中的向量空间中一个重要的概念，它可以被视为一条单调递减的实数线。
欧式距离是一条从原点出发指向任意点的有向直线段，其长度由以下公式表示：d =√((x_2-x_1)2 + (y_2-y_1)2)换句话说，欧式距离是把点A和点B用一条直线连接，直线段的长度就是点A到点B的欧式距离。
欧几里得定理告诉我们：在空间中，任意一点A到另一点B的距离X，等于从原点O出发指向A和指向B 的两个位置的向量的夹角之和，也就是指从原点O出发指向点A的有向直线段的长度加上指向B的有向直线段的长度。
欧氏距离还有一个性质，即可以使用欧氏距离来表示多点之间的距离，只要将这些点构成的图形与原点O相投影，那么多点之间的欧氏距离就是图形的总长度。
应用欧式距离可以用于多种场景，如天文学、物理学和工程学中的定位、追踪、分析和识别，还可用于机器学习和数据挖掘领域的聚类、分类等任务。
欧式距离也被广泛应用于自然语言处理，尤其是用于计算词语或句子间的相似性。
通常，自然语言处理中所使用的文本距离算法可以看作是欧氏距离的一个特殊情况，文本距离度量的是文本之间的相似性或匹配度，而欧式距离则将文本视为一系列特征值，并计算特征值之间的欧氏距离，从而定量地分析文本之间的相似度。
d i s t a n c e 算 法 小 结
18种和“距离(distance)”、“相似度(similarity)”相关的量的小结在计算机人工智能领域，距离(distance)、相似度(similarity)是经常出现的基本概念，它们在自然语言处理、计算机视觉等子领域有重要的应用，而这些概念又大多源于数学领域的度量(metric)、测度(measure)等概念。
?这里拮取其中18种做下小结备忘，也借机熟悉markdown的数学公式语法。
常见的距离算法和相似度（相关系数）计算方法1.常见的距离算法1.1欧几里得距离（Euclidean?Distance）以及欧式距离的标准化（Standardized Euclidean distance）1.2马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis?Distance）1.3曼哈顿距离（Manhattan?Distance）1.4切比雪夫距离（Chebyshev?Distance）1.5明可夫斯基距离（Minkowski?Distance）1.6海明距离（Hamming distance）2.常见的相似度（系数）算法2.1余弦相似度（Cosine?Similarity）以及调整余弦相似度（Adjusted?Cosine?Similarity）2.2皮尔森相关系数（Pearson?Correlation?Coefficient）2.3Jaccard相似系数（Jaccard?Coefficient）2.4Tanimoto系数（广义Jaccard相似系数）2.5对数似然相似度-对数似然相似率2.6互信息-信息增益，相对熵-KL散度2.7信息检索--词频-逆文档频率（TF-IDF）2.8词对相似度--点间互信息3.距离算法与相似度算法的选择（对比）1.常见的距离算法1.1欧几里得距离（Euclidean?Distance）公式：标准欧氏距离的思路：现将各个维度的数据进行标准化：标准化后的值?=?(?标准化前的值?－?分量的均值?)?-分量的标准差，然后计算欧式距离欧式距离的标准化（Standardized Euclidean distance）公式：1.2马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis?Distance）公式：关系：若协方差矩阵是对角矩阵，公式变成了标准化欧氏距离；如果去掉马氏距离中的协方差矩阵，就退化为欧氏距离。
欧几里得度量
欧几里得度量欧几里得欧几里得度量。
欧几里得度量是一个通常采用的距离定义。
指在m 维空间中两个点之间的真实距离。
或者向量的自然长度。
在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
中文名,欧几里得度量。
别称,欧氏距离。
表达式,|x| =。
提出者,欧几里得。
应用学科,数学。
适用领域范围,m 维空间中两个点之间的真实距离。
相关,欧氏距离变换。
计算公式。
O p = sqrt A2+A2 )|x| = V O p = V A2+A2+A2 维欧氏空间是一个点集,它的每个点X 或向量x 可以表示为。
其中x[i] 是实数。
称为X的第i个坐标。
两个点A =和B =之间的距离p定义为下面的公式：p =V [刀八2向量x =的自然长度|x|定义为下面的公式：|x| = 。
欧氏距离变换所谓欧氏距离变换。
是指对于一张二值图像。
将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。
欧氏距离变换在数字图像处理中的应用范围很广泛。
尤其对于图像的骨架提取。
是一个很好的参照。
闵氏距离。
又叫做闵可夫斯基距离,是欧氏空间中的一种测度。
被看做是欧氏距离的一种推广。
欧氏距离是闵可夫斯基距离的一种特殊情况。
定义式：p =[刀"PE闵可夫斯基距离公式中。
当p=2 时。
即为欧氏距离；当p=1 时。
即为曼哈顿距离；当P T*时。
即为切比雪夫距离。
欧几里得度量（euclidean metric）（也称欧氏距离）是一个通常采用的距离定义，指在m 维空间中两个点之间的真实距离，或者向量的自然长度（即该点到原点的距离）。
在二维和三维空间中的欧氏距离就是两点之间的实际距离。
计算公式二维空间的公式三维空间的公式n 维空间的公式n 维欧氏空间是一个点集，它的每个点X或向量x可以表示为（x[1],x[2],…, x[n])，其中x[i](i = 1, 2,…，n)是实数，称为X的第i个坐标两个点 A = (a[1], a[2],…，a[n])和 B = (b[1], b[2],…，b[n])之间的距离P (AB)定义为下面的公式：P (A B) = V [刀(b[i] )A2 ] (i = 1, 2,…，n)欧氏距离变换所谓欧氏距离变换，是指对于一张二值图像 (在此我们假定白色为前景色，黑色为背景色) ，将前景中的像素的值转化为该点到达最近的背景点的距离。
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，以利選取投資標的 在行銷方面，則可以將具有類似消費偏好的消費者區隔 出來，以利於產品的定位和行銷
集群分析的基本想法
學生數學及英文成績
散பைடு நூலகம்群
假設某高中有一班
共有15位同學，將 其依數學及英文兩 科學習的表現予以 分群，以判斷哪些 同學需要進行特殊 的輔導
集群分析的步驟
選擇衡量相似性(similarity)的方式
選擇分群的原則(如層級或非層級) 選擇分群的方法(如層級法中之華德法)
決定分群的群數
解釋分群的結果
衡量相似性的方式
衡量相似性的方式
距離(distance) 關聯係數(association coefficients) 相關係數(correlation coefficients)
利用距離來衡量相似性
依據任兩個觀測點或兩個群體間，在p個座標空間(即有p個據以分群的特
性或變數)中的距離來決定哪些觀測點或群體是應該歸屬於同一類 兩個點i與j在p維的空間中的歐幾里得距離 D X X
p 1 2 2 ij
k 1
2
ik
jk
標準化資料計算歐幾里得距離
層級分群法
層級分群法在分群時可分為凝聚分層（agglomerative
）與分離分層（divisive） 凝聚分層法
在分群開始時，先將每一觀測點視為一群（因此如果有
個樣本點，即有群），接著再逐步將接近的樣本點合為 一群，使群數逐步減少
分離分層法 先確定想要分群的群數，將所有樣本點各自歸入其中的 一群，再計算各群的中心值，然後針對每一樣本點，計 算其至各群中心點的距離後，將其重新移動至距離最近 的一群當中。反覆操作，直到不需重新移動為止
集群分析
概念及應用
集群分析（cluster analysis）是一種用來將屬量的觀測
點分群或分類的分析方法 經過集群分析分群之後，在同一群內的觀測點針對某 些特性而言，會具有一致性；而分屬不同群的觀測點 ，針對同樣的特性則會有顯著的不同 基於上述的定義，集群分析得以應用於財務、行銷、 政治等許多的領域
馬式距離(Mahalanobis distance)
2 ij
p X X jk Dij ik k 1 S ik S jk
1
2
2 X i 2 X j 2 2 2rX i1 X j1 X i 2 X j 2 1 X i1 X j1 MD 2 S1 S 2 1 r2 S12 S2
分群群數之決定
集群分析之樹狀圖
凝聚分層法(1)
單一聯結法 兩群體之間的距離定義為，以兩群體各自群體內任一 觀測點至另一群體中任一觀測點距離（通常以歐幾里 得距離平方代表；如果兩群體各有n1 及n2 個觀測點， 則共有n1x n2 個距離）中最近者，作為兩群體間之距離 當群體間的距離確定之後，距離近的群體可以進一步 合為同一群，再重新計算群與群之間的距離，並進行 下一步的合併
如果此一指標值很大，代表此合併步驟會使群組內差異擴大，故不適合
加以合併；而若相似度損失值很小，則表示新的分群較為合適
SPR 新群體組內變異平方和 原群體組內變異平方和 全體樣本組內變異平方 和
分離分層法
K組平均法（K-means） 先確定想要分群的群數，接著將所有樣本點各自歸入 其中的一群，下一步再計算各群的中心值，然後針對 每一樣本點，計算其至各群中心點的距離後，將其重 新移動至距離最近的一群當中 計算各群的中心值，也針對每一樣本點計算其至各群 新的中心點的距離，並將之重新移動至距離最近的一 群當中
凝聚分層法(2)
完全聯結法 兩群體之間的距離定義為，以兩群體各自群體內任一 觀測點至另一群體中任一觀測點距離中最遠者，作為 兩群體間之距離 相同地，當群體間的距離確定後，距離近的群體可以 進一步合為同一群，再重新計算群與群之間的距離， 並進行下一步的合併
凝聚分層法(3)
平均聯結法 兩群體之間的距離定義為，以兩群體各自群體內任一 觀測點至另一群體中任一觀測點所有距離的平均值， 作為兩群體間之距離
凝聚分層法(4)
中心法 兩群體之間的距離定義為，以兩群體中心點之間的距 離，作為兩群體間之距離
凝聚分層法(5)
華德法 求取所有群體的組內平方和（within-cluster sum of squares）最小的情況下，找到最適的分群狀況 在每一次的分群（由多群逐漸凝聚成少群）過程中， 都會先計算各種可能分群情況下，各群體的組內平方 和及其總和，然後再比較各種可能分群情況之組內平 方和總和，並選取組內平方和總和最小的分群情況作 為分群的結果
兩階段法
第一階段先以凝聚分層法（如華德法）分群，並決定
選取的群數 第二階段再以此一決定的群數，以非凝聚分層法的K 組平均法進行分群 既可某種程度解決非凝聚分層法主觀決定群數的問題 ，也可以改善層級分群法無法將觀測點變換所屬群體 的問題
集群分析的相關檢定
新群體之root-mean-square standard deviation (RMSSTD)
RMSSTD愈小代表分群的結果愈好 RMSSTD
(n 1) S i
i 1 p 2
R-squared
趨近於1，則表示分群效果佳
P(n 1)
S
i 1
p 2 i
P
若R-squared趨近於0，表示群體之間幾乎沒有差異性，分群效果差，若
Semipartial R-squared (SPR)
分群的原則與分群的方法
先根據分群的變數計算兩兩觀測點間的距離，然後將距離最近
的點歸為一群 要做進一步的分群時，我們需要額外計算的是：已經分在一起 的那一群觀測點全體與其他尚未分群的每一個觀測點之間的距 離 將觀測點歸併時的順序考量
層級(hierarchical) 非層級(nonhierarchical) 兩階段法