选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
两垂直的向量，那么，对空间任一 向量 p ，存在一个有序实数组 {x,y,z}使得 p xi y j zk .
OP OQ zk . OQ xi y j.
z
我们称 xi, y j , zk
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
P O α A l
已知：如图，PO,PA分别是平面α的 垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射 影， , 且l OA, 求证 : l PA. l
已知：如图，PO,PA分别是平面α的 垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射 影， , 且l OA, 求证 : l PA. l
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 成立吗？ 已知:如图, PO 、 分别是平面 的垂线、 斜线， PA AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l PA ， 求证： l OA P
z
p
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3
z
在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z)，叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z)，其中x叫做点A的横 坐标，y叫做点A的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标.
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
O
A
a
l
例2 如图，m,n是平面α内的两条相交直线。 如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α z
l
证明：在内作任一直线g , 分别在 l , m, n, g上取非零向量l , m, n, g . 因为m与n相交，所以向量m, n不平行。
x
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
练习：
e e AB 1、在空间坐标系o-xyz中， e1 2e2 3e2 ( e1、2、3 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。 AB
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点 为 ，关于轴的对称点为 ，
平面向量基本定理：
如果e1，2是同一平面内的两个不共线向量， e 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数1，2，使a＝1 e1＋2 e 2。 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。） e
平面向量的正交分解及坐标表示
a xi y j
y
a
x
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
的有序实数对( x, y ), 使 g x m y n.
n α
g l m g
m n
由向量共面的充要条件知，存在唯一
所以l g 0
所以l g
将上式两边与向量l作数量 积，得l g xl m yl n.
即l g
这就证明了直
因为l m 0, l n 0
证明：如图，在直线l上取向量a, 同时取向量PO, OA.
α
P O A l a
因为l OA, 所以a OA 0.
因为PO , 且l , 所以l PO, 因此a PO 0
又因为a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 所以l PA.
o j
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
问题：
OP OQ zk xi y j zk . 由此可知，如果 i, j , k 是空间两
二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2 y
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP ห้องสมุดไป่ตู้OA yOB zOC.
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c 都叫做基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 0 。
为向量 p 在
k j i O
x
p
P
y Q
i, j , k 上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j , k ，你能得出类似的
结论吗？ 空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P， Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB， OC表示向量OP,OQ.
O M A Q P C
N
B
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
线l垂直于平面内的任 意一条直线，所以l
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0），// b的 （ b a 充要条件是存在实数，使a＝ b。
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
OP OQ zk . OQ xi y j.
z
我们称 xi, y j , zk
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
P O α A l
已知：如图，PO,PA分别是平面α的 垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射 影， , 且l OA, 求证 : l PA. l
已知：如图，PO,PA分别是平面α的 垂线，斜线,AO是PA在平面α内的射 影， , 且l OA, 求证 : l PA. l
当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 e1,e2,e3 ,以点O为原点，分别 以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、 z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个 空间直角坐标系O--xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向 量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。
三垂线定理：在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.
反过来，在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直. 成立吗？ 已知:如图, PO 、 分别是平面 的垂线、 斜线， PA AO 是 PA 在平面 内的射影， l ，且 l PA ， 求证： l OA P
z
p
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3
z
在单位正交基底e1, e2, e3 中与向量OA对应的有序实数 组(x,y,z)，叫做点A在此空间 直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z)，其中x叫做点A的横 坐标，y叫做点A的纵坐标，z 叫做点A的竖坐标.
分析:同样可用向量, 证明思路几乎一样,只 不过其中的加法运算 用减法运算来分析.
O
A
a
l
例2 如图，m,n是平面α内的两条相交直线。 如果l⊥m,l⊥n,求证：l⊥α z
l
证明：在内作任一直线g , 分别在 l , m, n, g上取非零向量l , m, n, g . 因为m与n相交，所以向量m, n不平行。
x
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
练习：
e e AB 1、在空间坐标系o-xyz中， e1 2e2 3e2 ( e1、2、3 分 别是与x轴、 y轴、 z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。 AB
2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正 投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点 为 ，关于轴的对称点为 ，
平面向量基本定理：
如果e1，2是同一平面内的两个不共线向量， e 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数1，2，使a＝1 e1＋2 e 2。 （e1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。） e
平面向量的正交分解及坐标表示
a xi y j
y
a
x
i (1, 0), j (0,1), 0 (0, 0). i
的有序实数对( x, y ), 使 g x m y n.
n α
g l m g
m n
由向量共面的充要条件知，存在唯一
所以l g 0
所以l g
将上式两边与向量l作数量 积，得l g xl m yl n.
即l g
这就证明了直
因为l m 0, l n 0
证明：如图，在直线l上取向量a, 同时取向量PO, OA.
α
P O A l a
因为l OA, 所以a OA 0.
因为PO , 且l , 所以l PO, 因此a PO 0
又因为a PA a ( PO OA) a PO a OA 0 所以l PA.
o j
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以 用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定 理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
问题：
OP OQ zk xi y j zk . 由此可知，如果 i, j , k 是空间两
二、空间向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)
x e3 e1 O e2 y
（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。
还应明确： （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使
OP ห้องสมุดไป่ตู้OA yOB zOC.
向量 p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
a, b, c 都叫做基向量
特别提示：对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面，
（2） 由于可视 0 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 0 。
为向量 p 在
k j i O
x
p
P
y Q
i, j , k 上的分向量。
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 a, b, c 代替两两垂直的向量 i, j , k ，你能得出类似的
结论吗？ 空间向量基本定理：
如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一
例题
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P， Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB， OC表示向量OP,OQ.
O M A Q P C
N
B
练习
1、已知向量{a，b，c}是空间的一个基底． 求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底．
线l垂直于平面内的任 意一条直线，所以l
3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示
复习：
共线向量定理:
对空间任意两个向量a、 b 0），// b的 （ b a 充要条件是存在实数，使a＝ b。
共面向量定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝x a＋yb。
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空间向量的正交分解及其坐标表示 课件(人教A版选修2-1)
O
y
的坐标系都是右手直角坐标
系.
x
复习回顾：
2.向量共线定理:
对空间任意两个向量a、（b b 0），a // b的
充要条件是存在实数，使a＝b。
3.向量共面定理:
如果两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b 共面的充要条件是存在实数对x，y，使 p＝xa＋yb。
4.平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
我们知道，平面内的任意一个向量 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
新知探究：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
3.1.4 空间向量的正交分解及其 坐标表示
复习回顾：
1．空间直角坐标系：
（1）作空间直角坐标系 O xyz 时，一般使
xOy 135 (或45 ), yOz 90
（2）在空间直角坐标系中，
z
让右手拇指指向 轴x的正
方向，食指指向 轴y的正
z 方向，如果中指指向 轴
的正方向，称这个坐标系为
右手直角坐标系。本书建立
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
如结图论，：设如果i ,ij,,jk, k是是空空间间三三个个两两两两垂垂直直的向量.
且的有向公量，共那的么起，点对O于. 空间任一向量 p，
人教A版高中数学选修2-1课件3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
[解题过程] ∵O→G＝O→A＋A→G，而A→G＝23A→D，A→D＝O→D －O→A，
又D为BC中点． ∴O→D＝12(O→B＋O→C)， ∴O→G＝O→A＋23A→D＝O→A＋23(O→D－O→A) ＝O→A＋23×12(O→B＋O→C)－23O→A＝13(O→A＋O→B＋O→C) ＝13(a＋b＋c)．
1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基 底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共 面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空 间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关 联的不同概念．
∴m＝17，n＝－5，z＝－30.
∴O→P ＝17O→A －5O→B －30O→C .
[题后感悟] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为 基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常 用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．
2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一 个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}； ⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有( )
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
解析： 如图所示，设 a＝A→B，b＝A→A1，
c＝A→D ，则 x＝A→B1，y＝A→D1，z＝A→C，
a＋b＋c＝A→C1，由 A、B1、C、D1 四点 不共面，
1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的 一组向量是( )
A．2a，a－b，a＋2b
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-人教A版高中数学选修2-1课件
如果三个a、 向 b、 c不 量共面，那么一 对向 空p量 间 ，任
存在唯一的有{序 x, y实 ,z}， 数使 组p得 xaybzc
{a , b, c } 叫做空间的一个基底
a , b , c 都叫做基向量 特别0地 0a， 0b0c
注意： 1、任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底; 2、由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非 零向量共面，所以，三个基向量不能为零向量; 3、一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的 某一个向量，二者是相关连的不同概念．
如果e1,e2是同一平面内的两 共个 线不 向量，那么对
这一平面内的任一 a，向有量且只有一对1实 ,2数 ，使 a 1e1 2e2.
(e1,e2叫做表示这一平面 有内 向所 量的一组)基底
特别地，当设 i , j 是互相垂直的单位向y 量,
平面向量的正交分解及坐标表示
a
axiyj
j
i(1 ,0 ),j(0 ,1 )
四、空间向量的坐标表示 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-人教A版高中数学选修2-1课件【精品】
给定一个空间坐标系和向量 p ,将向
量 p 平移至起点与原点O重合，得到 z
向量 OP p.
由空间向量基本定理可知，存在唯一
P(x,y,z)
的有序实数组(x,y,z)使
e3
p
pxe1ye2ze3
z
D'
C'
B'
A'
D
C
y
xA
B
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表 示-人 教A版高 中数学 选修2- 1课件 【精品 】
例 1、已知空O 间A四 ， B边 C其形 对O 角、 B线 A， C为 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-人教A版高中数学选修2-1课件【精品】 M、 N分别是 O对 、 AB边 的 C 中点 P、 ， Q是 点线 M三 N 等分点， O用 、 A O、 B 基 O表 C向示 量O 向、 P O 量 Q
存在唯一的有{序 x, y实 ,z}， 数使 组p得 xaybzc
{a , b, c } 叫做空间的一个基底
a , b , c 都叫做基向量 特别0地 0a， 0b0c
注意： 1、任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底; 2、由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个非 零向量共面，所以，三个基向量不能为零向量; 3、一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的 某一个向量，二者是相关连的不同概念．
如果e1,e2是同一平面内的两 共个 线不 向量，那么对
这一平面内的任一 a，向有量且只有一对1实 ,2数 ，使 a 1e1 2e2.
(e1,e2叫做表示这一平面 有内 向所 量的一组)基底
特别地，当设 i , j 是互相垂直的单位向y 量,
平面向量的正交分解及坐标表示
a
axiyj
j
i(1 ,0 ),j(0 ,1 )
四、空间向量的坐标表示 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-人教A版高中数学选修2-1课件【精品】
给定一个空间坐标系和向量 p ,将向
量 p 平移至起点与原点O重合，得到 z
向量 OP p.
由空间向量基本定理可知，存在唯一
P(x,y,z)
的有序实数组(x,y,z)使
e3
p
pxe1ye2ze3
z
D'
C'
B'
A'
D
C
y
xA
B
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表 示-人 教A版高 中数学 选修2- 1课件 【精品 】
例 1、已知空O 间A四 ， B边 C其形 对O 角、 B线 A， C为 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示-人教A版高中数学选修2-1课件【精品】 M、 N分别是 O对 、 AB边 的 C 中点 P、 ， Q是 点线 M三 N 等分点， O用 、 A O、 B 基 O表 C向示 量O 向、 P O 量 Q
高中数学人教A版选修2-1配套课件：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
xe1＋ye2＋ze3 可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得 p＝_____________. x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1，e2，e3 我们把__________ (x，y，z) ． 下的坐标，记作 p＝__________
牛刀小试 4 ．若a＝3e1 ＋2e2 －e3，{e1 ，e2，e3}为空间的一个单位正 交基底，则a的坐标为__________． [答案] (3,2，－1)
→ → → → [解析] (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM， → → → → → → ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)． → → → → → ∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC. → → → ∴向量MA，MB，MC共面． → → → (2)由(1)知，向量MA，MB，MC共面，三个向量又有公共 起点 M，∴M、A、B、C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．
定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B
正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．
空间向量的正交分解与坐标表示 温故知新
2．复习平面向量的正交分解与坐标表示． 思维导航 2 ．类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分 解，请思考此时的基底应满足什么条件？
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示，且计算方
向量，它们可能共面，此时 {a ， b ， c} 不可能成为空间的一个 基底．
6．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满 → 1→ 1→ 1→ 足OM＝3OA＋3OB＋3OC. → → → (1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作
牛刀小试 4 ．若a＝3e1 ＋2e2 －e3，{e1 ，e2，e3}为空间的一个单位正 交基底，则a的坐标为__________． [答案] (3,2，－1)
→ → → → [解析] (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM， → → → → → → ∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)． → → → → → ∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC. → → → ∴向量MA，MB，MC共面． → → → (2)由(1)知，向量MA，MB，MC共面，三个向量又有公共 起点 M，∴M、A、B、C 共面，即点 M 在平面 ABC 内．
定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B
正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．
空间向量的正交分解与坐标表示 温故知新
2．复习平面向量的正交分解与坐标表示． 思维导航 2 ．类比平面向量的正交分解，空间向量也可以正交分 解，请思考此时的基底应满足什么条件？
如何选取基底才能实现将空间向量用坐标表示，且计算方
向量，它们可能共面，此时 {a ， b ， c} 不可能成为空间的一个 基底．
6．已知 A，B，C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 M 满 → 1→ 1→ 1→ 足OM＝3OA＋3OB＋3OC. → → → (1)判断MA，MB，MC三个向量是否共面； (2)判断点 M 是否在平面 ABC 内．
的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作
新人教A版数学选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
方法技巧 (1)若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和 平行四边形法则,以及数乘向量的运算进行.
(2)若没给定基底时,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方 便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角已知或易求.
即时训练 2-1:(1)在空间四边形 ABCD 中,AC 和 BD 为对角线,G 为△ABC 的重心,E
注意:(1)若p=xa+yb+zc,则xa+yb+zc叫做向量a,b,c的线性表示式或线性 组合,或者说p可以由a,b,c线性表示. (2)对于基底{a,b,c},除了应知道a,b,c不共面外,还应明确以下三点:① 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底.②基底中的三 个向量a,b,c都不是0.这是因为0与任意向量共线,与任意两个向量共面. ③空间中的一个基底是由不共面的三个向量构成的,是一个向量组,基向 量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念.
解析: OA =2a+b+3c=8i+4j+2j+3k+9k-3j=8i+3j+12k. 所以点 A 的坐标为(8,3,12).故选 D.
4.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴,y轴,z轴正方向上的单位向量,
且向量p=i-3j+ 1 k,则p的坐标为
.
2
答案:(1,-3,1 )
2
5.从空间一点 P 引出三条射线 PA,PB,PC,在 PA,PB,PC 上分别取 PQ =a, PR =b,
使得p=xa+yb+zc.
(2)空间向量基本定理的证明
如图,已知 a,b,c 不共面,过点 O 作 OA =a, OB =b, OC =c, OP =p.过点 P 作直线 PP′∥OC,交平面 OAB 于点 P′,在平面 OAB 内过点 P′作 P′A′∥OB,P′B′∥ OA,分别与直线 OA,OB 交于点 A′,B′,连接 OP′.于是存在三个实数 x,y,z,使
高中数学选修2-1精品课件12：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
那么对于空间任意一个向量 p＝O→P，可以沿三条坐标 轴的方向进行分解(如图所示)，即存在一个有序实数组 {x，y，z}，使得 p＝xi＋yj＋zk，这样的分解称为空间 向量的正交分解．
(3)空间向量的坐标表示：空间任一向量 p 作正交分解可得 p＝xi＋yj＋zk，则 x，y，z 称作向量 p 在单位正交基底{i，j， k}下的坐标，记作 p＝(x，y，z)．
因为{a，b，c}为基底．所以 a，b，c 不共面． 1＝μ，
所以1＝λ， 此方程组无解， 0＝λ＋μ.
所以 a＋b，b＋c，c＋a 不共面．
所以{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．
归纳升华 1．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底， 关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手， 常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2．判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、 四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的 向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的 判断．
A．0
B．1
C．2
【解析】①④错误，②③正确．
【CD-A1B1C1D1 中，可以作为空间向量的 一个基底的是( )
A.A→B，A→C，A→D
B.A→B，A→A1，A→B1
C.D→1A1，D→1C1，D→1D D.A→C1，A→1C，C→C1
【解析】在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，只有 C 中的三 个向量D→1A1，D→1C1，D→1D不共面，可以作为空间向量的 一个基底． 【答案】C
变式训练 已知a，b，c是不共面的三个向量，
则能构成空间的一个基底的一组向量是( )
A．3a，a－b，a＋2b B．2b，b－2a，b＋2a
人教版高中数学选修2-1(A版)课件：第三章 3.1 3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 (共72张PPT)
最孤独的时光，会塑造最坚强的自己。 只要有信心，人永远不会挫败。 我们的人生必须励志，不励志就仿佛没有灵魂。 如果我们一直告诫自己要开心过每一天，就是说我们并不开心。 善良的人永远命是弱者的借口，运是强者的谦辞，辉煌肯定有，就看怎么走。 只要还有明天，今天就永远是起跑线。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
人生终有许多选择。每一步都要慎重。但是一次选择不能决定一切。不要犹豫，作出选择就不要后悔。只要我们能不屈不挠地奋斗，胜利就 在前方。 一个人最炫耀什么，说明其内心最缺乏什么；一个人越在意的地方，也是其最自卑的地方。 我们这个世界，从不会给一个伤心的落伍者颁发奖牌。 问候不一定要慎重其事，但一定要真诚感人。 人必须有自信，这是成功的秘密。 同在一个环境中生活，强者与弱者的分界就在于谁能改变它。 希望，只有和勤奋作伴，才能如虎添翼。 人总是在失去了才知道珍惜！ 当你能飞的时候就不要放弃飞。 所有的胜利，与征服自己的胜利比起来，都是微不足道。所有的失败，与失去自己的失败比起来，更是微不足道。 不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！ 你既认准这条路，又何必在意要走多久。 当你能飞的时候就不要放弃飞。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张ppt) .ppt
不是零向量 C．若向量ar ⊥ br ，则ar ，br 与任何一个向量都不能构
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
成空间的一个基底
D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底
4．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点， 且OuuAr＝ar ，OuuBr＝br ，OuuCr＝cr ，用ar ，br ，cr 表示向量MuuNr为 ( C )
单位向量 我们称它们为单位正交基底，
以er1，er 2，er 3的公共起点O为原点， 分别以er1，er 2，er 3的方向为x轴，y轴，z轴的正
方向建立空间直角坐标系Oxyz.那么对于空间
任意一个向量pr ，一定可以把它平移，使它的
uur 起点与原点O重合，得到向量OP
=
pr .由
空间向量基本定理可知，存在有序实数组 {x，y，z}，使得pr ＝xer1＋yer 2＋zer 3 我们把x，y，z称作向量pr 在单位正交基底er1，er 2，er 3 下的坐标，记作pr =(x，y，z). 此时向量pr 的坐标恰是点P在空间直角坐标系Oxyz
探究点1 空间向量基本定理
rrr
如图，设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，
且有公共起点O.对于空间任意一个向量pr
=
uur OP,
rr
设点Q为点P在i,j所确定的平面上的正投影，
由平uur面r 向量基本定理可知，
z
在OQ,k所确定的平面上，
uur uur r
存在实数z，使得OP = OQ + zk,
中的坐标 x,y,z.
由空间向量基本定理可知，空间任意一个向量
都可以用三个不共面的向量表示出来.
例1.如图，M，N分别是四面体OABC的
边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.
高中数学人教A版选修2-1课件：3-1-4 空间向量的正交分解及其坐标表示
重难聚焦
第一章
三角函数
(2)唯一性:设还有实数x',y',z',使p=x'a+y'b+z'c,而p=xa+yb+zc, 则xa+yb+zc=x'a+y'b+z'c, 所以(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c=0. 又a,b,c不共面,所以x-x'=0,y-y'=0,且z-z'=0,即x=x',y=y',且z=z'. 所以p=xa+yb+zc的表示形式是唯一的.
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个 基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c}, 其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:∵x=a+b,y=b+c,z=c+a, ∴x,a,b共面,故①不能作为基底. x,y,z不共面可以作为一个基底,故②可作为基底. z=c+a与b和c不共面,故③可以构成一个基底. ④假设a+b,b+c,a+b+c共面, 则a+b+c=λ(a+b)+μ(b+c)=λa+(λ+μ)b+μc, ������ = 1, 则 ������ + ������ = 1, 该方程组无解. ������ = 1, 故x,y,a+b+c不共面,可以作为空间的一个基底. 栏目 导引 答案:C
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示(共20张)
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.
共线向量定理: 共面向量定理:
平面向量基本定理：
y 平面向量的正交分解及坐标表示
o
x
1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决 一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点) 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
每一个成功者都有一个开始.勇于开始， 才能找到成功的路.
中写出向量的坐标.
z
k
P
Oj
y
i
x
Q
O M
A
Q
C
P
N
B
O M
A
Q
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P
N
B
A
C
B
C
(1,1，－1) (－1,0,1)
1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用 它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何 问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关 的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目 标进行调整,直到符合要求.