函数的性质与带有绝对值的函数(教师)
1.2绝对值函数-教师版
高一数学寒假课程 绝对值函数（教师版） 9 / 9高三数学课程高一数学寒假课程 绝对值函数（教师版） 9 / 9高三数学课程 1. 奇函数函数()f x 关于原点对称，即()()f x f x -=-。
若函数在0x =上有定义，令0x =，有()00f =2. 偶函数函数关于y 轴对称，即()()f x f x -= 3. 周期函数()f x ：()()f x T f x +=，其中，0T ≠，是一个常数，可以有正负4.函数对称性①若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-，则函数关于轴x a =对称 ①若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--，则函数关于点(),0a 对称①的变形有：()()2f a x f x +=-、()()2f a x f x -=等；①的变形有()()0f a x f a x ++-=、()()2f a x f x +=--、()()2f a x f x -=-等绝对值函数知识梳理例题解析【例1】若函数f（x）=a|2x﹣4|（a＞0，a≠1），满足f（1）=，则f（x）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，2]B．[2，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【解答】解：由f（1）=，得a2=，于是a=，因此f（x）=（）|2x﹣4|．因为g（x）=|2x﹣4|在[2，+∞）上单调递增，所以f（x）的单调递减区间是[2，+∞）．故选：B．【例2】关于x的方程e x﹣1﹣|kx|=0（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，则k的取值范围是（）A．{﹣2，0，2}B．（1，+∞）C．{k|k2＞1}D．{k|k＞e}【解答】解：由e x﹣1﹣|kx|=0得e x﹣1=|kx|，当k＜0时，e x﹣1=kx恒有1个根，当k＞0时，要使方程e x﹣1﹣|kx|=0（其中e=2.71828…是自然对数的底数）的有三个不同实根，高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9则在x＞0时，e x﹣1=|kx|有两个不同的实根，由e x﹣1=|kx|得|k|=，设f（x）=，则f′（x）==，当x＞1时，f′（x）＞0，函数单调递增，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数单调递减，①当x=1时，函数f（x）取得极小值f（1）=1，①要使在x＞0时，e x﹣1=kx由两个不同的实根，则|k|＞1，等价为k2＞1，故选：C．【例3】函数f（x）=|2x﹣1|，若a＜b＜c且f（a）＞f（c）＞f（b），则下列四个式子是成立的是（）A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b≥0，c＞0B．C．2c+2a＜2D．2﹣a＜2c【解答】解：f（x）=，故可作出f（x）=|2x﹣1|的图象如图所示，由图可知，要使a＜b＜c且f（a）＞f（c）＞f（b）成立，高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9则有a＜0且c＞0，且1﹣2a＞2c﹣1，①2a+2c＜2．当a=﹣1，c=0时，f（﹣1）=|2﹣1﹣1|=，f（c）=0，满足f（a）＞f（c），但f（﹣a）=f（1）=|2﹣1|=1＞0，则2﹣a＜2c不成立，故D错误．故选：C．【例4】已知命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，命题q：命题f（x）=﹣（5﹣2m）x 是减函数，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①由绝对值得意义得，|x|+|x﹣1|的最小值等于1，故命题p：不等式|x|+|x﹣1|＞m的解集为R，等价于m＜1，命题q：命题f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数等价于5﹣2m＞1，即m＜2，所以p是q的充分不必要条件，故选：A．【例5】当0＜a＜1时，函数①y=a|x|与函数①y=log a|x|在区间（﹣∞，0）上的单调性为（）A．都是增函数B．都是减函数C．①是增函数，①是减函数D．①是减函数，①是增函数【解答】解：如图所示A正确高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9高一数学寒假课程 绝对值函数（教师版） 9 / 9高三数学课程 故选A【例5】已知f （x ）=|3x+|+3|x ﹣a|．（①）若a=1，求f （x ）≥8的解集；（①）对任意a①（0，+∞），任意x①R ，f （x ）≥m 恒成立，求实数m 的最大值． 【解答】解：（①）若a=1，则f （x ）=|3x+1|+|3x ﹣3|，则当x≥1时，f （x ）=3x+1+3x ﹣3=6x ﹣2≥8，解得x≥，则为x≥；当﹣＜x ＜1时，f （x ）=3x+1+3﹣3x=4≥8，无解，则x①①；当x≤﹣时，f （x ）=﹣3x ﹣1+3﹣3x=2﹣6x≥8，解得x≤﹣1，则为x≤﹣1．综上可得x≤﹣1或x≥．则解集为（﹣∞，﹣1]①[，+∞）；（①）f （x ）=|3x+|+3|x ﹣a|≥|（3x+）+（3a ﹣3x ）|=|+3a|=3a+≥2=2，当且仅当3a=即a=时，取得最小值2．由于任意x①R，f（x）≥m恒成立，则m≤2，即有m的最大值为2．【例6】已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且m＜n，f（m）=f（n）．求证：（1）m+n＞0；（2）f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）．【解答】（1）证明：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=±log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），①或log2（m+1）=log2．①由①得m+1=n+1，与m＜n矛盾，舍去．由①得m+1=，即（m+1）（n+1）=1．①①m+1＜1＜n+1．①m＜0＜n．①mn＜0．由①得mn+m+n=0，m+n=﹣mn＞0．（2）证明：当x＞0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（x+1）在（0，+∞）上为增函数．由（1）知m2﹣（m+n）=m2+mn=m（m+n），且m＜0，m+n ＞0，①m（m+n）＜0．高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9①m2﹣（m+n）＜0，0＜m2＜m+n．①f（m2）＜f（m+n）．同理，（m+n）﹣n2=﹣mn﹣n2=﹣n（m+n）＜0，①0＜m+n＜n2．①f（m+n）＜f（n2）．①f（m2）＜f（m+n）＜f（n2）．【例7】已知，g（x）=x+a （a＞0）（1）当a=4时，求的最小值（2）当1≤x≤4时，不等式＞1恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=4时，①，①，，取“=”号故的最小值为15；（2）（1≤x≤4）设，则问题等价于，t①[1，2]时恒成立，即或，t①[1，2]时恒成立，令，则只需h（t ）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9高一数学寒假课程 绝对值函数（教师版） 9 / 9高三数学课程 由函数 的单调性知，或a ＜0解得a ＞1或a ＜01、对单调性、奇偶性的概念做到很熟2、对函数基本性质融会贯通1．已知函数f （x ）=3﹣|x|，g （x ）=x 2﹣4x+3，构造函数F （x ），定义如下：当f （x ）≥g （x ）时，F （x ）=g （x ）；当f （x ）＜g （x ）时，F （x ）=f （x ），则F （x ）在[﹣3，3]（ ） A ．有最大值3，最小值﹣1 B ．有最大值，无最小值C ．有最大值3，无最小值D ．无最大值，也无最小值【解答】解：根据题意，F （x ）实际是f （x ）与g （x ）的较小者的值；在同一坐标系中先画出f （x ）与g （x ）的图象，比较大小，然后根据定义画出F （x ），就反思总结随堂练习高一数学寒假课程 绝对值函数（教师版） 9 / 9高三数学课程 容易看出F （x ）的最值，如图可得：F （x ）的最大值为3，最小值为﹣1； 故选：A ．2．函数f （x ）=ax 2+bx+c 的图象如图所示，M=|a ﹣b+c|+|2a+b|，N=|a+b+c|+|2a ﹣b|，则（ ） A ．M ＞N B ．M=NC ．M ＜ND ．M ，N 的大小关系不确定【解答】解：f （x ）=ax 2+bx+c ，根据图象，a ＞0，f （﹣1）＞0，所以 a ﹣b+c ＞0， ①图象与y 轴交于负半轴， ①f （0）=c ＜0． ①对称轴在1右边， ①x=，①2a+b ＜0，所以M=|a﹣b+c|+|2a+b|=（a﹣b+c）﹣（2a+b）=c﹣a﹣2b．①a＞0，2a+b＜0，①b＜0，2a﹣b＞0，根据图象，f（1）＜0，则a+b+c＜0，①N=|a+b+c|+|2a﹣b|=﹣（a+b+c）+（2a﹣b）=a﹣2b﹣c．M﹣N=（c﹣a﹣2b）﹣（a﹣2b﹣c）=2c﹣2a＜0，①M＜N．故选：C．3．y=f（x）是R上的减函数，且y=f（x）的图象经过点A（0，1）和B（3，﹣1），则不等式|f（x+1）|＜1的解集为（﹣1，2）．【解答】解：y=f（x）是R上的减函数，且y=f（x）的图象经过点A（0，1）和点B（3，﹣1），所以|f（x）|＜1的解集是{x|0＜x＜3}，不等式|f（x+1）|＜1对应函数y=|f（x+1）|的图象可以看作y=|f（x）|的图象向左平移1个单位得到的，则不等式|f（x+1）|＜1的解集为：{x|﹣1＜x＜2}，故答案为：（﹣1，2）．4．设函数，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有5个不同的实数解x1、x2、x3、x4、x5则f（x1+x2+x3+x4+x5）等于3lg2．高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9【解答】解：当x=2时，f（x）=1，则由f2（x）+bf（x）+c=0得1+b+c=0．①x1=2，c=﹣b﹣1．当x＞2时，f（x）=lg（x﹣2），由f2（x）+bf（x）+c=0，得[lg（x﹣2）]2+blg（x﹣2）﹣b﹣1=0，解得lg（x﹣2）=﹣b﹣1，x2=12或lg（x﹣2）=﹣b﹣1，x3=2+10﹣b﹣1．当x＜2时，f（x）=lg（2﹣x），由f2（x）+bf（x）+c=0得[lg（2﹣x）]2+blg（2﹣x）﹣b ﹣1=0），解得lg（2﹣x）=1，x4=﹣8或lg（2﹣x）=b，x5=2﹣10﹣b﹣1．①f（x1+x2+x3+x4+x5）=f（2+12+2+10b﹣8+2﹣10b）=f（10）=lg|10﹣2|=lg8=3lg2．故答案是3lg2．课后练习1．已知函数f（x）=ax2+2bx+4c（a，b，c①R，a≠0）．（1）若函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，求证：4b2﹣16ac＜﹣1；（2）若时，对于给定的负数a，有一个最大的正数M（a），使x①[0，M（a）]时，都有|f（x）|≤5，求a为何值时M（a）最大？并求M（a）的最大值；（3）若a＞0，且a+b=1，又|x|≤2时，恒有|f（x）|≤2，求f（x）的解析式．【解答】解：（1）证明：①函数f（x）的图象与直线y=±x均无公共点，高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9高一数学寒假课程 绝对值函数（教师版） 9 / 9 高三数学课程 ①ax 2+2bx+4c=±x 无解①①＜0①4b 2﹣16ac ＜﹣1；（2）把b=4，c=代入得：f （x ）=ax 2+8x+3=a +3﹣，①a ＜0，所以f （x ）max =3﹣①当3﹣＞5，即﹣8＜a ＜0时，M （a ）满足：﹣8＜a ＜0且0＜M （a ）＜﹣， 所以M （a ）是方程ax 2+8x+3=5的较小根，则M （a ）==＜=；①当3﹣≤5即a≤﹣8时，此时M （a ）≥﹣，所以M （a ）是ax 2+8x+3=﹣5的较大根， 则M （a ）==≤=，当且仅当a=﹣8时取等号，由于 ＞，因此当且仅当a=﹣8时，M （a ）取最大值； （3）求得f′（x ）=2ax+2b ，①a＞0，①f（x）max=2a+2b=2，即a+b=1，则﹣2≤f（0）=4a=4a+4b+4c﹣4（a+b）=f（2）﹣4≤2﹣4=﹣2，①4c=﹣2，解得c=﹣，又①|f（x）|≤2，所以f（x）≥﹣2=f（0）①f（x）在x=0处取得最小值，且0①（﹣2，2），①﹣=0，解得b=0，从而a=1，①f（x）=x2﹣2．2．已知（1）比较f（3）与的大小；（2）求证：．【解答】解：（1）①，①f（3）==，==；又①3＜，高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9①1+＞1+，①＜，即f（3）＜f（）；（2）证明：①+≥+==≥=；①．3．设f（x）=|2x﹣1|+|1﹣x|．（1）解不等式f （x ）≤3x+4；高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9（2）对任意的x，不等式f（x）≥（m2﹣3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当时，原不等式可化为﹣（2x﹣1）﹣（x﹣1）≤3x+4，解得，故此时；当时，原不等式可化为2x﹣1﹣（x﹣1）≤3x+4，解得x≥﹣2，故此时；当x＞1时，原不等式可化为2x﹣1+x﹣1≤3x+4，即﹣2≤4，显然成立，故此时x＞1．综上可得，原不等式的解集为{x|x≥﹣}．（2）当x=0时，原不等式为2≥0，显然恒成立；当x≠0时，原不等式两边同除以|x|，则不等式可化为：恒成立．因为．所以要使原式恒成立，只需m2﹣3m+3≤1即可，即m2﹣3m+2≤0．解得1≤m≤2．4．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c①R（①）当a=1时，f（x）＜0的解集与不等式＞1的解集相同，求函数f（x）的解析式；（①）若|x|≤1，|f（x）|≤1恒成立，求a的取值范围；（①）在（①）条件下若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．【解答】解：（I）①＞1的解集是{x|2＜x＜3}，①f （x ）=0的两根为2，3，高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9①，解得：b=﹣5，c=6，①f（x）=x2﹣5x+6；（II）①f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（﹣1）=a﹣b+c，①2a=f（1）+f（﹣1）﹣2f（0），又|x|≤1，|f（x）|≤1，①|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，①|2a|=|f（1）+f（﹣1）﹣2f（0）|≤|f（1）|+|f（﹣1）|+2|f（0）|≤4，①﹣2≤a≤2；（III）①f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（﹣1）=a﹣b+c，由得，①g（1）=λa+b=λ•[f（1）+f（﹣1）]﹣λf（0）+[f（1）﹣f（﹣1）]=f（1）+f（﹣1）﹣λf（0），g（﹣1）=﹣λa+b=（﹣λ）•[f（1）+f（﹣1）]+λf（0）+[f（1）﹣f（﹣1）]=f（1）﹣f（﹣1）+λf（0），①λ＞1，|f（1）|≤1，|f（﹣1）|≤1，|f（0）|≤1，①|g（1）|=|f（1）+f（﹣1）﹣λf（0）|≤++λ=2λ|g（﹣1）|=|f（1）﹣f（﹣1）+λf（0）|≤++λ=2λ高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9g（x）是关于x的一次函数，由一次函数的单调性得：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．5．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a①R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x①[，1]时恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；①当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；①当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]①[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x①[，1]时恒成立时恒成立，当x①[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x①[，1]，所以﹣①[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0}．6．已知函数f（x）=x2﹣x|x﹣a|﹣3a ，a＞0．高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9（①）若a=1，求f（x）的单调区间；（①）若函数f（x）恰有两个不同的零点x1，x2，求的取值范围．【解答】解：（①）根据函数的图象可得，f（x）在上单调递减，在上单调递增．（①）①当0＜a＜3时，令f（x）=0，可得，（因为f（a）=a2﹣3a＜0，所以x3＞a 舍去）所以，在0＜a＜3上是减函数，所以．①当a≥3时，令f（x）=0，则可得x1，x2是方程2x2﹣ax﹣3a=0的两个根，所以，综合①①得，．高三数学课程高一数学寒假课程绝对值函数（教师版）9 / 9。
高考数学中绝对值函数的性质与应用
高考数学中绝对值函数的性质与应用在高考数学中，绝对值函数是一道经典的数学题型，也是许多同学所困扰的难点，今天我来为大家详细讲解绝对值函数的性质与应用。
一、绝对值函数的定义绝对值函数就是一个把自变量转变符号的函数，一般表示为|f(x)|，其中x为自变量，f(x)为函数。
我们可以对绝对值函数进行分类讨论：1.当x>0时，|x| = x；2.当x<0时，|x| = −x；3.当x=0时，|x| = 0。
二、绝对值函数的性质1.非负性：|x|≥0，即绝对值不会小于0。
2.同号性：|ab|=|a|·|b|，当且仅当a和b同号时，成立。
3.三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，a、b为任意实数。
三、绝对值函数的应用现在我们来看几个具体的例子。
1.绝对值函数的应用于解方程首先我们来看一个简单的例子：|x−3|=5，我们需要解出x的值。
首先我们可以根据绝对值的两种情况对原式进行分类讨论：①当x−3≥0时，|x−3|=x−3，则原式变成x−3=5。
解得：x=8②当x−3<0时，|x−3|=−(x−3)，则原式变成−(x−3)=5。
解得：x=−2因此绝对值方程的解法就是把绝对值函数拆分成两条方程，然后求解。
2.绝对值函数的应用于证明不等式题目：设a，b为正实数，证明：(a+b)²≥4ab。
解析：我们先来试着将(a+b)²拆开，得到：(a+b)²= a²+2ab+b²又因为x²≥0，所以a²+b²≥2ab。
将此代入(a+b)²= a²+2ab+b²中，得(a+b)²= (a²+b²)+2ab ≥4ab3.绝对值函数的应用于优化问题考虑一个面积固定的长方形，现在把它分成两个相等的正方形，求它的周长的最小值。
解析：设长为x，宽为y，面积为xy，由题目可知x²=2xy，可得到y=x/2。
绝对值函数的图象与性质
绝对值函数的图象与性质绝对值函数是数学中相当重要的一个函数，它表示两个变量之间的绝对值关系。
从图象上来看，绝对值函数的图象是一条垂直于坐标轴的对称的“V”字形折线，它的图象包括定义域的点的集合和记号的一个组合，它的值定义在实数范围以内，即 y≥0且取到实数上的最小值，最小值为0。
绝对值函数的图象拥有的性质有：无论原函数为什么形式，绝对值函数的图象都是对称的“V”字形折线。
其中，y=f (x)x=a处有极值，那么y=|f ( x )|x=a处也有极值。
绝对值函数在坐标轴上一定是垂直收缩的，而且垂直收缩是从0点开始的。
绝对值函数的函数方程可以写成y=|x|，其中x是实数，那么绝对值函数的图象就是一条对称的“V字形的折线，方向数轴为 |x|增大而增大，而 x变化则与 |x|变化相反，它的定义域是 x有实数，值域为 y≥0 。
绝对值函数的极限性质有：当 x→-∞时，y=|x|无穷接近于 0；当x→+∞时，y=|x|无穷接近于+∞；当x→0时，y=|x|无穷小等于0。
绝对值函数具有重要的物理意义：力学问题中，绝对值函数与力或速度之间的关系，例如简谐振荡中绝对值函数关系可以用来描述力的变化；电磁学中，磁场的强弱的变化关系也可以用绝对值函数来描述。
一般来说，绝对值函数与一般函数的图象有以下区别：绝对值函数的图象上没有“断点”，因为我们没有定义x=0时y的数值，也没有定义y<0时x的数值，曲线上没有断点，而一般函数的图象可能有断点；绝对值函数图象是“V字形，曲线上有且只有一个极值，而一般函数的曲线可能有多个极值。
绝对值函数是一个数学中很重要的函数，它的图象和性质关系到许多数学问题的求解，同时它还具有重要的实用价值，使用它来描述力学中的力和电磁学中的磁场的变化，以解决实际的科学问题。
本文介绍了绝对值函数的图象和性质，主要包括绝对值函数的图象，极限性质以及函数方程、物理意义等，还与一般函数作了对比，从而使得我们对绝对值函数有了更加深入的认识和理解。
高中数学教案：绝对值函数的基本性质教学设计
高中数学教案：绝对值函数的基本性质教学设计。
一、教育目标通过学习此教案，学生将能够：1.理解绝对值函数的基本概念和符号表示；2.掌握绝对值函数的基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性；3.能够应用绝对值函数解决实际问题。
二、教学内容本教案的主要教学内容包括：1.绝对值函数的定义和符号表示；2.绝对值函数的图像及其性质；3.绝对值函数的单调性、奇偶性和周期性。
三、教学方法针对上述教学内容，我们可以采用以下教学方法：1.演示法：通过绘制绝对值函数的图像，帮助学生理解其基本概念和符号表示。
2.讨论法：引导学生在小组中探讨绝对值函数的基本性质，并总结得出结论。
3.实验法：通过实际问题的解答，帮助学生学会综合运用绝对值函数的性质解决问题。
四、教学设计1.导入环节引导学生回顾一元一次方程的解法，回忆绝对值的概念和基本性质，如|x|=a（a>0）时，x有两个解x=a和x=-a。
然后讲解绝对值函数的概念和基本性质，引导学生熟悉其符号表示。
2.讲解环节通过幻灯片、黑板或白板等工具，讲解绝对值函数的图像和基本性质，包括单调性、奇偶性和周期性，让学生能够熟悉其特点，并总结发现规律。
3.练习环节提供一些绝对值函数的练习题，包括求函数值、解不等式等，加强学生对绝对值函数的认识和理解。
同时引导学生尝试在实际应用中使用绝对值函数，例如利用绝对值函数计算速度、温度差等问题，帮助学生体会到数学在日常生活中的应用价值。
4.总结评价对学生的学习情况进行总结和评价，引导学生探讨和交流其学习过程和成果，以便查漏补缺，达到更好的学习效果。
五、评估方式根据本案例的教学目标和教学内容，评估方式包括以下几个方面：1.学生的基本知识掌握情况，如是否清晰地理解绝对值函数的概念和符号表示；2.学生对绝对值函数的基本性质的掌握情况，如单调性、奇偶性和周期性的理解和运用；3.学生综合运用绝对值函数解题的能力，如在实际应用中使用绝对值函数解决问题的能力。
函数的性质教案8篇
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绝对值函数的图像和性质
绝对值函数的图像和性质绝对值函数是一种基本的数学函数，定义如下：对于任意实数 x，绝对值函数 f(x) = |x| 输出 x 的非负值，即：当x ≥ 0 时，f(x) = x；当 x < 0 时，f(x) = -x。
绝对值函数的图像以 V 字形状为特征，关于 x 轴对称。
下面将详细探讨绝对值函数的图像和性质。
图像特征：绝对值函数的图像是以原点为顶点的 V 形曲线。
当 x > 0 时，函数图像与 y = x 重合；当 x < 0 时，函数图像与 y = -x 重合。
这种对称的特点使得绝对值函数在数学和物理等领域中具有重要的应用。
性质一：定义域和值域绝对值函数的定义域为所有实数集 R，即对于任意实数 x，f(x) 都有定义。
值域为非负实数集[0, +∞)，即绝对值函数的值始终为非负数。
性质二：奇函数绝对值函数是奇函数，即对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
这一性质可以通过绝对值函数的定义直接得出。
性质三：关于原点对称绝对值函数关于原点对称，即对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
也可以从图像特征中直观地看出这一点。
性质四：点 (0, 0) 的特殊性绝对值函数在点 (0, 0) 处达到最小值为 0。
这是因为绝对值函数的定义决定了它在非负区间上是递增的，在负数区间上是递减的，而在原点处取到最小值。
性质五：导数和导函数对于绝对值函数 f(x) = |x|，当x ≠ 0 时，导数 f'(x) = ±1，即在x ≠ 0 的位置处，绝对值函数的导数恒为 1 或 -1。
当 x = 0 时，绝对值函数不可导。
以上是绝对值函数的图像和性质的简要介绍。
绝对值函数是一种重要的数学工具，在数学和应用领域中广泛应用。
通过深入了解绝对值函数的特性和性质，我们可以更好地理解数学问题并解决实际应用中的相关计算。
希望这篇文章能够帮助您对绝对值函数有一个更清晰的认识。
分式函数与绝对值函数的概念与性质
分式函数与绝对值函数的概念与性质分式函数是数学中常见的一种函数形式。
它可以被表示为两个多项式的比值，其中分母不能为零。
分式函数可以写作 f(x) =\frac{P(x)}{Q(x)}，其中 P(x) 和 Q(x) 分别为多项式，且Q(x) ≠ 0。
绝对值函数是一个以 x 为自变量的函数，它的值为该自变量 x 在数轴上的绝对值。
绝对值函数可以写作 f(x) = |x|。
无论 x 的值是正数、负数还是零，绝对值函数的值总是非负的。
在接下来的文章中，我们将详细讨论分式函数和绝对值函数的概念与性质，并对它们的特点进行比较。
一、分式函数的特点1. 定义域与值域：对于分式函数 f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}，其中 P(x) 和 Q(x) 是多项式函数，定义域是除了使得 Q(x) = 0 的 x 值之外的所有实数。
而值域则取决于 P(x) 和 Q(x) 的具体形式。
2. 垂直渐近线：分式函数的图像可能存在垂直渐近线。
这些渐近线是函数图像在某些特定点附近无法通过的竖直直线。
3. 水平渐近线：若分式函数 f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} 中，P(x) 和 Q(x) 的次数分别为 p 和 q，且 p < q，则 f(x) 的图像将有一条水平渐近线 y = 0。
二、绝对值函数的特点1. 定义域与值域：绝对值函数 f(x) = |x| 的定义域是所有实数，而值域是非负实数集合[0, +∞)。
2. 对称性：绝对值函数在原点处具有对称性，即 f(x) = f(-x)。
这是因为绝对值函数的值不受 x 是正数还是负数的影响，只与 x 的绝对值有关。
3. 单调性：绝对值函数在自变量的取值范围内是单调递增的。
换句话说，当 x1 < x2 时，有 |x1| < |x2|。
三、分式函数与绝对值函数的比较1. 定义域与值域：分式函数和绝对值函数的定义域和值域可以根据具体的函数形式进行比较，它们可能相同也可能不同。
初二数学绝对值函数知识概述
初二数学绝对值函数知识概述数学是一门既抽象又深刻的学科，而绝对值函数是数学中一个重要的概念。
绝对值函数在初二数学中起着重要的作用，本文将对初二数学绝对值函数的相关知识进行概述。
一、绝对值函数的定义及性质绝对值函数是数学中一种特殊的函数形式，它表示一个实数对其绝对值取正值的函数。
绝对值函数可以用以下方式表示： f(x) = |x|，其中x为实数。
绝对值函数的图像呈现为一条折线，其对称轴为y轴。
绝对值函数具有以下几个重要的性质：1. 非负性：对于任意实数x，绝对值函数的值大于等于零，即| x | ≥0。
2. 分段连续性：绝对值函数在x = 0 处不连续，在x > 0 和 x < 0 两个区间内均为连续函数。
3. 增减性：在x > 0 区间上，绝对值函数随着x的增加而增加；在x < 0 区间上，绝对值函数随着x的减小而增加。
4. 对称性：绝对值函数关于y轴对称，即f(x) = f(-x)。
二、绝对值函数的图像与性质绝对值函数的图像呈现V形，此形状由其定义决定。
在x > 0 区间上，绝对值函数的图像为斜率为1的直线；在x < 0 区间上，绝对值函数的图像也为斜率为1的直线，但其斜率方向与前者相反。
而在x = 0 处，绝对值函数的图像为顶点。
绝对值函数的图像有以下常见的性质：1. 顶点坐标：绝对值函数的图像在x = 0 处的顶点坐标为(0, 0)。
2. 斜率：绝对值函数在x > 0 区间上的斜率为正1，而在x < 0 区间上的斜率为负1。
3. 对称性：绝对值函数的图像关于y轴对称。
三、绝对值函数的解析式绝对值函数的解析式为f(x) = |x|，其中x为实数。
绝对值函数的解析式可以用来求解方程、不等式等数学问题。
在求解绝对值函数问题时，常常需要分情况讨论，根据实际情况写出合适的绝对值函数表达式。
四、绝对值函数的应用绝对值函数在数学中有广泛的应用，特别是在几何、不等式、方程及计算问题中。
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函数的性质与带有绝对值的函数一、复习要点基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法.二、基础训练1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3x ，则f (x ) ＝ ．（2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ．【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3x ，x ＜00， x ＝0 1＋3x ， x ＞0；（2）(－2，2).2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数23()log ()2a g x x ax =-+的递减区间是 . 【答案】(0,)3a .3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ．（2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞.5.()||f x x a =-在()2+∞，上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤.6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 .【答案】1个. 7.23x mb --=有4个根，则实数b 的取值范围是 .【答案】02b <<.8.若不等式a ＋21x x-≥2log 2x在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ．【答案】1a ≥.例1已知函数()dx cbx ax x f +++=2（其中d c b a ,,,是实数常数，d x -≠）()x f d b ,（2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围；（3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()232-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时，不等式()()0<+x mf mx f 恒成立，求负实数m 的取值范围。
【分析】（1）转化为反比例函数模型；（2）考察反比例函数的单调性；（3）由条件可以确定各字母；然后等价转化.【解答】(1)0a =，()bx c c bdf x b x d x d+-∴==+++．类比函数k y x =的图像，可知函数()f x 的图像的对称中心是(,)d b -．又函数()f x 的图像的对称中心是(1,3)-，3,1.b d =⎧∴⎨=⎩ ，3()31c f x x -∴=++. 证明：函数()(,),-1,3(2,6)y f x P x y P x y '=---上任意取点它关于（）的对称点为，33(2)33211c c f x x x ----=+=---++,而3366(3)311c c y x x ---=-+=-++，所以(2)6f x y --=-，即(2,6)P x y '---也在()y f x =上.所以函数图像关于（-1，3）对称.(2)由(1)知，3()31c f x x -=++．依据题意，对任意0[3,10]x ∈，恒有0()[3,10]f x ∈．1若3c =，则()3f x =，符合题意．2若3c ≠，当3c <时，对任意[3,10]x ∈，恒有3()331c f x x -=+<+，不符合题意． 所以3c >，函数3()31c f x x -=++在[3,10]上是单调递减函数，且满足()3f x >．因此，当且仅当(3)10f ≤，即331c <≤时符合题意．综上，所求实数c 的范围是331c ≤≤．(3)依据题设，有()()0,(1)0,3(2).2f x f x f f ⎧⎪+-=⎪=⎨⎪⎪-=-⎩解得1,1,0.a c d =⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 于是，1()f x x x =-．由22()()0,10,20(21)11.f mx mf x m m mx x m mx x x +<⎧⎪<⇒--<⇒->⎨⎪≥⎩，解得2121m x <--．因此，min 21()21m x <--．考察函数21(1)21y x x =-≥-，可知该函数在[1,)+∞是增函数，故min(1)1y y ==-．所以，所求负实数m 的取值范围是1m <-．例2已知函数()axf x x b=+，且(1)1f =，(2)4f -=． （1）求a 、b 的值； （2）已知定点(1,0)A ，设点(,)P x y 是函数()(1)y f x x =<-图象上的任意一点，求||AP 的最小值，并求此时点P 的坐标； （3）当[1,2]x ∈时，不等式2()(1)||mf x x x m ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）简单，依据条件解方程；（2）换元法求最值；（3）注意分类讨论.【解答】（1）由⎧⎨⎩(1)1(2)4f f =-=，得⎧⎨⎩122a b a b =+-=-， 解得：⎧⎨⎩21a b ==．（2）由（1）2()1x f x x =+，所以22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++，令t x =+1，0t <，则22222142||(2)4(1)4()8AP t t t t t t =-+-=+-++22222()4()4(2)t t t t t t=+-++=+-因为1x <-，所以0t <，所以，当222t +≤-22||(222)AP ≥-，即AP 的最小值是222，此时2t =-21x =--，点P 的坐标是(21,22)-。
（3）问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，也就是||mx x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，要使问题有意义，01m <<或2m >．法一：在01m <<或2m >下，问题化为||mx m x-≤对[1,2]x ∈恒成立，即m m m x m x x-≤≤+对[1,2]x ∈恒成立，即2mx m x mx m -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立，①当1x =时，112m ≤<或2m >，②当1x ≠时，21x m x ≥+且21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立，对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立，等价于2max ()1x m x ≥+， 令1t x =+，(1,2]x ∈，则1x t =-，(2,3]t ∈，22(1)121x t t x t t-==+-+，(2,3]t ∈递增，2max 4()13x x ∴=+，43m ≥，结合01m <<或2m >，2m ∴>对于21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立，等价于2min ()1x m x ≤- 令1t x =-，(1,2]x ∈，则1x t =+，(0,1]t ∈，22(1)121x t t x t t+==++-，(0,1]t ∈递减，2min ()41x x ∴=-，4m ∴≤，0124m m ∴<<<≤或，综上：24m <≤。
法二：问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立，也就是||mx x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立，要使问题有意义，01m <<或2m >．故问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立，令()||g x x x m =-①若01m <<时，由于[1,2]x ∈，故2()()g x x x m x mx =-=-，()g x 在[1,2]x ∈时单调递增，依题意(2)g m ≤，43m ≥，舍去；②若2m >，由于[1,2]x ∈，故22()()()24m m g x x m x x =-=--+，考虑到12m>，再分两种情形：（ⅰ）122m<≤，即24m <≤，()g x 的最大值是2()24m m g =，依题意24m m ≤，即4m ≤，24m ∴<≤；（ⅱ）22m>，即4m >，()g x 在[1,2]x ∈时单调递增，故(2)g m ≤，2(2)m m ∴-≤，4m ∴≤，舍去。
综上可得，24m <≤。
【反思】恰当地转化是解决本题的关键，另外本题也是含参问题，涉及到分类讨论思想的运用. 例题3已知()||23f x x x a x =-+-.（1）当4a =，25x ≤≤时，问x 分别取何值时，函数()f x 取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（2）若()f x 在R 上恒为增函数，试求a 的取值范围.【分析】(1)是一个具体清晰的函数，讨论去掉绝对值就可以了，（2）必须结合图像进行分析. 【解答】（1）当4a =时，()|4|23f x x x x =-+- . (ⅰ)24x ≤<时，2()(4)23(3)6f x x x x x =-+-=--+，当2x =时，min ()5f x =；当3x =时，max ()6f x =. (ⅱ)当45x ≤≤时，2()(4)23(1)4f x x x x x =-+-=--当4x =时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = .综上所述，当2x =或4时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = .（2）2222222(2)()3,(2)3,24()(2)3,2(2)()3,24a a x x ax a x x a f x x a x x a a a x x a⎧-----≥⎪⎧+--≥⎪==⎨⎨-++-<++⎩⎪--+-<⎪⎩， ()f x 在R 上恒为增函数的充要条件是2222a a a a -⎧≤⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，解得22a -≤≤ .【反思】对于既有自变量又有参变量的问题，应该充分利用数形结合思想进行分析.例2 已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g .（1）若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求函数)()()(x f x g x h -=在区间[-2,2]上的最大值.【分析】本题是含有绝对值的二次型函数，涉及最值问题，去掉绝对值后，就属于二次函数（动轴定区间、定轴变区间）的最值问题了.【解答】(1)方程)(|)(|x g x f =即0|1|12=---x a x ，[]011=-+-a x x ，显然1=x 是方程的根，所以方程0|1|=-+a x 无解或者只有一个解1=x （这种情况不成立），0<∴a .（2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立，①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ；②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ϕ+>⎧-==⎨-+<-⎩ 因为当1x >时，()2x ϕ>，当1x <时，()2x ϕ>-，所以()2x ϕ>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. （3）解法一：去掉绝对值后单独讨论.⎩⎨⎧≤≤+-+-<≤-++--=---=21,112,1)1(1)(222x a ax x x a ax x x x a x h , 当14)2(1)(,12-2221++++-=++--=<≤a a a x a ax x x h x .（ⅰ）当22--≤a即4≥a 时，33)2()(1max 1-=-=a h x h ；(ⅱ)当12-2<<-a 即24a -<<时，14)2()(21max 1++=-=a a a h x h ；(ⅲ)当12-≥a即2a ≤-时，0)1()(1max 1==h x h .当1-4)2-(1-)(,212221++-=++-=≤≤a a a x a ax x x h x .（ⅰ）当12≤a即2≤a 时，0)1()(2max 2==h x h ；(ⅱ)当221<<a 即4a 2<<时，1-4)2()(22max 2+==a a a h x h ；(ⅲ)22≥a即4≥a 时，3)2()(2max 2-==a h x h .综上所述：当2-≤a 时，0)(max =x h ；当2a 2-<<时，140,14max )(22max ++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧++=a a a a x h ； 当4a 2<≤时，141-4,14max )(222max ++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++=a a a a a a x h ；当4≥a 时，{}333,33m ax )(max -=--=a a a x h .解法二：考虑到对称轴是关于y 轴对称的，所以两个图像整体研究，注意到两个函数图像都经过（1,0）. （ⅰ）当4a ≥时，即22a≥，此时[][]()2,11,2h x -在单调递减，在单调递增， max (2)33,(2)3,0,333,()33h a h a a a a h x a -=-=->∴->-∴=-.(ⅱ)当24a ≤<时，即122a ≤<，此时()2,1,22a a h x ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦在,单调递增，在-,1,,222a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦单调递减，222max ()1,()1,0,()124244a a a a a h a h a a h x a -=++=-+>∴=++.(ⅲ)当22a -<<，即112a-<<时， ()2,2a h x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦在单调递增，在 -,12a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单独递减，2max ()()124a a h x h a =-=++.(ⅳ)当2a ≤-时，12a≤-，[]()2,1h x -在单调递增，在 []1,2单独递减，max ()(1)0h x h ==.【反思】本题是改编题，分段函数的性质是高考考查的重要知识点，该试题立足基础考查了分类讨论、数形结合的思想方法.对学生思维能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力较高.四、课后练习1.函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 . 【答案】(1,1)(1,)-⋃+∞2.已知21(),()()2x f x x g x m ==-，若对[]11,3x ∀∈-，[]20,2x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 . 【答案】14m ≥. 3．设f (x )是R 上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，(1)则f (7.5)＝ ；(2)当x ∈[4，6]时，f (x )＝ ．【答案】（1）－12；（2）⎩⎨⎧x －4，4≤x ≤56－x ，5＜x ≤64.若关于x 的不等式22x x t <--至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是 ．【答案】.9,24⎡⎫-⎪⎢⎣⎭5.设,m n Z ∈,已知函数()()2log 4f x x =-+的定义域是[],m n ,值域是[]0,2,若关于x 的方程1210x m -++=有唯一的实数解,则m n += ． 【答案】1. 6.函数2x my -=在(2+)∞，上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 【答案】2m ≤. 7.已知t 为常数，函数3()31f x x x t =--+在区间[]2,1-上的最大值为2，则实数t = ．【答案】1.8.已知f （x ）=|x 2－4|+x 2+kx ，若f (x )在(0,4)上有两个不同的零点x 1，x 2，则k 的取值范围是 .【答案】（-7,-2). 9.已知函数1)(-=x x f ，关于x 的方程0)()(2=+-k x f x f ，给出下列四个命题： ① 存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根； ② 存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③ 存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根； ④ 存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根. 其中真命题的序号为 ． 【答案】①②③④.10.若关于x 的方程2||1x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】(,4)-∞-.11.已知函数()f x x a a x =+，a 为实数．(1) 当[]1,1,1a x =∈-时，求函数()f x 的值域；(2) 设,m n 是两个实数，满足m n <，若函数()f x 的单调减区间为(),m n ，且3116n m -≤. 求a 的取值范围．【分析】对a x +进行换元，将问题化归为二次函数在给定区间的值域问题。