理论力学：第13章 虚位移原理
虚位移原理
y
θ
5
解：∑δWi = ∑F •δri = 0 i
1
θ
2
3
4
2W
2W
2W
2W
F 不 计 摩 擦
F i = Fix i + Fiy j
δ ri = δ x i i + δ y i j
∑ (F
A
θ = 900
mg 1
O
C1
M θ m2g
C2
ϕ
m3g
B
F
基本步骤： 基本步骤： 1. 确定系统是否满足原理的应用条件
n
2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
∑F
i =1
i
• δ ri = 0
δrA
1
A
δr C mg 1
O
δθ
M
[δ r A ] AB = [δ rB ] AB
δr C
三、虚位移原理 (virtual work principle)
n
∑F
i =1
i
• δ ri = 0
虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的 虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的 质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是： 平衡的充要条件是 质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。 有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
δ W = F x δ x + F y δ y + F zδ z
理想约束
• 理想约束 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力 ： 质点系中所有约束力
理论力学教学材料-10虚位移原理
弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。
《理论力学》第十三章--虚位移试题及答案
理论力学14章作业题解思考题14-1 确定自由度。
解 (a) k=2 ； (b) k=2； (c) 只滚不滑 k=2，又滚又滑 k=314-1 一台秤构造如图。
已知：BC//OD ，且BC=OD ，BC=AB/10。
设秤锤重P 1=10N ，试求秤台上的重物P 2。
解：（1）分析虚位移 秤杆AC 作转动，有10=C A r r d d /。
秤台作平动，有E C r r d d =，故有E C A r r r d d d 1010==。
（2）建立虚位移原理方程1002121=+-=+-E E A r P P r P r P d d d )(故有：01021=+-P P ，N P 1002=。
Cr d Er14-5 OA=l ，OC=R满足的条件。
解： （用虚位移原理求解）(1) 运动分析（虚位移关系分析）A 处虚位移关系用合成运动的理论分析。
A 为动点，OC 为动系。
r e A r r r r r r d d d +=f d d cos A e r r =另外：R r l r C e /d d = (2) 虚功方程fd f f d d d d cos /)cos /(cos /R l F F r R l F F R r l F r F r F r F C C C A C 21212121000==-=-=-14-9 已知：AC=BC=EC=GC=DE=DG=l ，荷载F 2。
求平衡时的F 1。
解 用解析法，1个自由度，选q 为广义坐标。
建立坐标，如图。
(1) 计算虚位移qdqd q qdq d q sin ,cos cos ,sin l y l y l x l x A A D D 2233-====(2) 计算力的投影 2211F F F F x y -=-= , (3) 建立虚位移原理方程qqdq q q d d sin cos )cos sin (230320212121F F l F l F x F y F D x A y ==×-×=+Oxy14-12 F=4kN, AO=OE=5m. 求D 解：(1) 接触D 处水平约束，代之约束力。
10.3虚位移原理
FA'
A
Foy
FA rA
O
Fox
B rB
FN
理想约束是大量实际情况的理论模型。
r 0
•虚位移原理
具有双面、定常、理想约束的静止质点系，在给定位置保持
平衡的充分必要条件是：所有作用在质点系上的主动力在该位置的 任何虚位移上的虚功之和等于零。
解析形式
n
Fi. ri 0
i 1
n
Fix xi Fiy yi Fiz zi 0
i 1
称为虚功方程或静力学普遍方程。
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虚位移原理的应用
1、系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；
2、求系统在已知主动力作用下的平衡位置； 3、求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力。
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虚位移原理
• 虚功
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。
W F xx Fyy Fzz
因为虚位移是假想的，因而虚功也是假想的，它不涉及物理过程， 也与能量的变化无关。
•理想约束
理想约束：约束反力在质点系的任意虚位移上所作 虚功之和为零的约束。
n
FNi ri 0
i 1
式中： FNi 表示作用在第i个质点上的约束力。 δri 表示第 i 个质点的虚位移。
讨论： 哪些约束是理想约束?
理想约束
FNi ri 0
1、光滑固定面和可动铰链支座 2、光滑固定铰链和轴承 3、连接物体的光滑铰链 4、二力杆和不可伸长的柔索 5、刚体沿固定面纯滚动
虚位移原理的定义
虚位移原理的定义
在物体的运动中，位移可以由许多因素引起，如外力、惯性、重力等。
虚位移原理的主要思想是将这些因素分离开，然后通过分析每个因素对位
移的贡献，来求解物体的运动方程。
1.确定系统的运动状态：首先，要明确系统的物体以及外部力的情况。
这些可以通过建立物体的坐标系和分析作用力得到。
2.定义虚位移：在给定的运动状态下，假设系统从位置A变化到位置B。
定义系统的虚位移为一个无限小的变化，并使其满足运动约束条件。
这个虚位移可以用一个一般的位移矢量δr来表示。
3.计算虚功：通过分析作用在系统上的外部力，计算出每个力对系统
虚位移的贡献。
这个贡献即代表了力对系统产生的虚功。
4.计算虚力：将虚功除以虚位移，得到一个常数，即为虚力。
这个虚
力与系统的其他因素（如惯性、重力）无关，只与外部力有关。
此外，虚位移原理还可以用于解决静力学、动力学和弹性力学等领域
的问题。
在静力学中，可以通过虚位移原理推导出平衡条件；在动力学中，可以用来分析系统的运动方程；在弹性力学中，可以通过虚位移原理推导
出材料的应力应变关系。
总之，虚位移原理是理论力学中一个十分重要的原理，它具有普遍性
和广泛应用性。
通过应用虚位移原理，我们可以更加简洁和有效地描述和
解决各种力学问题。
如何理解理论力学中的虚位移原理？
如何理解理论力学中的虚位移原理？在理论力学的广阔领域中，虚位移原理是一个极其重要的概念，它为解决力学问题提供了一种独特而有效的方法。
然而，对于许多初学者来说，理解虚位移原理可能会感到有些困惑。
那么，让我们一起来揭开它神秘的面纱，深入探讨如何理解这一重要原理。
首先，我们来明确一下什么是虚位移。
虚位移并不是实际发生的位移，而是在某一瞬时，质点或质点系在约束许可的条件下，设想的无限小位移。
它是一种假想的、符合约束条件的位移。
为了更好地理解，我们可以想象一个被绳子悬挂着的小球。
在某一时刻，如果我们假设小球可以在不破坏绳子约束的情况下有一个微小的位移，这个微小的位移就是虚位移。
那么，虚位移原理到底说了什么呢？简单来说，虚位移原理指出：对于一个受理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是，作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所做的虚功之和等于零。
这听起来可能有点抽象，让我们通过一个具体的例子来解释。
假设我们有一个由两个质点通过一根轻质刚性杆连接的系统，放在光滑的水平面上。
质点 A 受到一个水平向右的力 F₁，质点 B 受到一个水平向左的力 F₂。
如果这个系统处于平衡状态，根据虚位移原理，我们可以假设质点 A 有一个向右的虚位移δr₁，质点 B 有一个向左的虚位移δr₂。
由于杆是刚性的，所以两个质点的虚位移之间存在一定的关系。
那么，主动力 F₁和 F₂在相应的虚位移上所做的虚功之和F₁·δr₁ F₂·δr₂就等于零。
虚位移原理的重要性在于它为解决静力学问题提供了一种统一的方法，避免了分别对每个物体进行受力分析和列平衡方程的繁琐过程。
通过虚位移原理，我们可以直接从系统的整体出发，找到力与虚位移之间的关系，从而快速确定系统是否平衡以及未知力的大小。
理解虚位移原理还需要注意一些关键的要点。
首先是理想约束的概念。
理想约束是指约束力在虚位移上所做的虚功之和为零的约束。
常见的理想约束包括光滑接触面、光滑铰链、不可伸长的绳索等。
理论力学：第13章 虚位移原理及分析力学基础
第13章 虚位移原理及分析力学基础也称虚功原理。
在固体力学、结构力学中应用较多。
主要思路∶在讲本章时，先不写本章题目，而是在黑板上给出下面静力学问题（图13-1），让学生思考如何解，再一起求解。
进一步看更复杂的结构（图13-2），结论是∶用传统静力学的方法很繁。
再提示如能直接建立P 、Q 关系最好，从而避开众多反力。
用什么理论呢?静力学的方法已被否定，运动学不能解决受力问题，动力学中动量、动量矩定理必须包含反力，不行；动能定理呢?d F T W δ=∑，而d 0T =，则0F W δ∑=，即虚位移原理。
具体如下：1. 考虑如下问题的求解。
如图19-1，系统平衡。
已知Q 、l 、α，求P 。
问题：用几何静力学方法如何求解？ （1）整体：()0O m F ∑=→C N （2）E 点（或BE 、AE 及重物）→BE S（3）BC 和滑块C()0D m F ∑=→P图13-2可见，对此类题目，用几何静力学求解较繁。
如图13-3示结构，用此种解法更繁。
因为：①要取多个分离体，画多个受力图；②引入多个中间未知量，要列多个方程。
2. 分析此种结构特点，引入新的求解思想。
结构特点：几何可变体系。
可否直接建立P 和Q 的关系？显然要从动力学方程入手。
为避免出现不必求的各约束力，可考虑动能定理。
假设系统有一小的位移，由动能定理：d F T W δ=∑图13-1图13-3虚位移由于系统平衡，动能无变化，d 0T =，则0F W δ∑= → 虚功方程此方程中只包含P 和Q ，故建立了简单的方程，可求P 。
此便是虚位移原理的思想。
严格建立虚位移原理，需有诸多基本概念。
13.1 约束 约束的运动学分类静力学中讲的约束——约束的力的性质（约束的力的方面），用约束力表示，常指物体； 此处讲的约束——约束的运动的性质（约束的运动的方面），用约束方程表示，指限制条件。
一、 约束和约束方程自由质点系：运动不受任何限制。
非自由质点系：运动受到限制——约束。
《虚位移原理》课件
05
虚位移原理的局限性
刚体假设的局限性
刚体假设忽略了物体的形变，这在许多实 际情况下是不适用的。
对于弹性体或流体等需要考虑形变的场合 ，刚体假设可能导致误差。
刚体假设限制了虚位移原理的应用范围， 只能用于分析刚体系统的平衡问题。
虚位移假设的局限性
1
虚位移是指不会引起外力矩的位移，但实际系统 中往往存在摩擦力、粘滞力等阻力，这些阻力可 能阻碍虚位移的发生。
展望
学科发展动态
介绍与《虚位移原理》相关的学
科发展动态，如最新研究成果、
学术热点等。
01
应用前景
02 探讨《虚位移原理》在未来的应
用前景，如工程领域、科学研究
等。
学习方法建议
针对《虚位移原理》的学习，给
出进一步深入学习的方法和建议
03
。
互动与交流
04 鼓励学习者之间以及学习者与教
师之间的互动与交流，共同促进优设计等。动力学问题中的虚位移原理
在动力学问题中，虚位移原理可 以用来研究物体的运动规律和受
力情况。
通过分析物体的受力情况和虚位 移，可以计算物体的加速度和速 度，进一步了解物体的运动规律
。
动力学问题中的虚位移原理在航 天工程、车辆工程、机器人等领 域有着广泛的应用，如卫星轨道
计算、车辆动力学分析等。
虚位移原理的应用场景
机械系统
在机械系统中，如机器、 机构等，当分析其平衡状 态时，可以利用虚位移原
理来计算约束反力。
建筑结构
在建筑结构中，如桥梁、 高层建筑等，当分析其静 力平衡时，可以利用虚位 移原理来计算内力和位移
。
化学反应
在化学反应中，当分析反 应平衡时，可以利用虚位 移原理来计算反应热和反
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3
3
yB yC b
2
2
代入虚功方程
由于 0 ，解得
3 FDxd M F b 0
2
2M 3Fb FDx
2d
解除 D 点 y 方向的约束，用约束力 FDy 代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理
ΣWF 0 FDy yD F yB 0
M m2ra m2 g m1g m1a m2a 1 r 0
2
解得
a 2M (m1g m2 g)r (3m2 m1 )r
·9·
第 13 章 虚位移原理及拉格朗日方程
13-2 在题 13-2 图示机构中，已知 FB＝200N，＝60，＝30，刚度系数 k＝10N/cm 的弹簧在图示位置的总压缩量＝4cm，试求使该机构在图示位置保持平衡的力 FA 的大小。
FA
FB
（1）
FA
F
bC
A
O
rC b
k
rA
D
l
由于 0 ，所以
5F 4F1 0
解得
5 F1 F
4
由于
F1 k (2l sin 2l sin 0 )
所以
5F sin sin 0
8kl
解得
5F
arcsin sin 0
8kl
·2·
13-8 机构如题 13-8 图所示，曲柄 OA 上作用一矩为 M 的力偶，在滑块 D 上作用水平 力 F。求当机构平衡肘，力 F 与力偶矩 M 的关系。
13-22 题 13-22 图所示一升降机的简图，被提升的物体 A 重为 FP1,平衡锤 B 重为 FP2； 带轮 C 及 D 重均为 FP3，半径均为 r，可视为均质圆柱。设电机作用于轮 C 的转矩为 M，胶 带的质量不计，求重物 A 的加速度。
题 13-22 图
解：设物块 A 的加速度为 a，则各运动物体上的惯性力为
F
题 13-8 图
解 设 OA 杆的虚位移为，则 A、B、C 各点虚位移如图所示，由虚功方程
WF 0
M F rD 0
几何关系
rA a rB cos 2 rA cos
代入虚功方程， 0 ，解得
rB sin 2 rD cos
r
r
r
解得
a A M (FP 2 FP1 )r g (FP1 FP 2 FP3 )r
13-24 题 13-24 图所示，吊索一端绕在鼓轮Ⅰ上，另一端绕过滑轮Ⅱ系于重 m1g 的平 台 A 上，鼓轮半径为 r、重为 m2 g ，电动机给鼓轮的转矩为 M，试求平台上升的加速度。
设鼓轮可看作均质圆盘，滑轮的质量可以不计。
Ⅱ
M MI
a
Ⅰ
rQ
A
m2g
m1g
FI2 FI1
（1）
（2）
题 13-24 图
解：设平台上升的加速度为 a，则各运动物体的惯性力为
·8·
FI1 m1a FI 2 m2a M I I
由虚位移原理
ΣWF 0 M M I (m2 g m1g FI1 FI 2 )rQ 0
由于xA≠0，所以 FAx＝0
②设发生虚位移 y A , 而 xA 0
·4·
由虚位移原理
WF 0 FAy y A F1 y1 F2 y2 F3 yD M 0
几何关系
1 y1 yA y2 yA
3
yD yA yA 3
M Fa tan 2
·3·
13-12 在图示静定连续梁中，F1＝5kN，F2＝4kN，F3＝3kN，力偶矩 M＝2kNm。求 固定端 A 的约束力和约束力偶。
F1
F2
F3
(1)
MA
FXAAx
xA
FYAA y
F1
F2
F3
xC F1
B
（2）
F2
M xD
F3
yA
y1
MA
A
FXAA x
C
FA
2
3
3 3
FB
1 2
k
110.2
N
·1·
13-5 在题 13-5 图所示系统中，弹簧 AB、BC 的刚度系数均为 k，除连接 C 点的二杆长 度为 l 外，其余各杆长度均为 2l。各杆的自重可以忽略。未加力 F 时，弹簧不受力，＝ 0。 试求加力 F 后的平衡位置所对应的值。
O
x
F
F1 F1
F1 F1 xC
A xA
xB B
CF
y
（1）
（2）
题 13-5 图
解：设机构发生虚位移，解除弹簧，以弹性力 F 代替，采用变分法，取为广义坐标
xA l sin xA l cos
xB 3l sin xB 3l cos
xC 5l sin xC 5l cos
其中
r r
·7·
代入方程得
1
11
(FP1 FI1 M I1 FP2 FI2 M I2 M ) r 0
r
r
r
由于r 0，所以
1
11
FP1 FI1 M I1 FP2 FI2 M I2 M 0
代入虚功方程
1
M
FAy F1 F2 F3 yA 0
3
3
由于 y A 0 ，解得
FAy
F1
F2 3
M F3 3
5 3 4
33
kN
③设发生虚位移，而 xA y A 0 ，由虚位移原理
WF 0 M A F1 y1 F2 y2 F3 yD M 0
FYAAy
y2 B
D
M
yD
（3）
MA
FAx
A
FAy
F1 1m
F2 1m
C y1 yC
y2 B
（4）
题 13-12 图
F3
yD D
M
解：研究连续梁，解除 A 端约束，以约束力 FAx、FAy、MA、代替。
①设发生虚位移xA，而 y A 0
由虚位移原理
WF 0 FAx xA 0
由虚位移原理的解析表达式
Σ(Fxix Fyi y Fzi z) 0
F xC F1 xA F1 xB F1 xB F1 xC 0
即
F x C F1 (xA xC ) 0
F 5l cos F1(l cos 5l cos ) 0
rC
O
C
2
4
5 rD rB
A
B
F
D S3
S3
F
（1）
（2）
题 13-18 图
解：位移，如图所示，由虚位移原 理
ΣWF 0 S3 rB FrD 0
因为 CB 杆作平面运动，O 为瞬心，
·6·
由几何关系
rB OB rC OC
几何关系
yC 3
2 y1 yC
3
1
y2
3
yC
yD yC
代入上式
由于 0 ，解得
M A 2F1 F2 3F3 M 0
M A 2F1 F2 3F3 M 7 kNm
13-16 杆 AB 与 CD 由铰链 C 联结，并由铰链支座 A、D 固定，如题 13-16 图所示。 在 AB 杆上作用一铅直力 F，在 CD 杆上作用一力偶 M，不计杆重，求支座 D 的约束力。
FI1 FP1 a, FI2 FP2 a M I1 M I2 I D
g
g
其中
a
I D 1 FP3 r 2
r
2g
设系统发生虚位移r，由虚位移原理
ΣWF 0 FP1r FI1r M I1 FP2 r FI2 r M I2 M 0
FB
rB B
（2）
题 13-2 图
解：解除弹簧约束，以弹性力 F 代替，设机构发生虚位移，由虚位移原理
WF 0 FrC FA sin rA FBrB 0
(a)
F k rA 2 rC
rB DB tg 3
rA DA
3
代入(a)式，由于 rA 0 ，解得
F F
yC
yB
题 13-16 图
FDx
·5·
解：解除 D 点 x 方向的约束，用约束力 FDx 代替。设机构发生虚位移，由虚位移原理
ΣWF 0 FDxxD M F yB 0
由于 C为 CD 杆瞬心
xD d yC b
而 AB 杆绕 A 点转动，所以，几何关系为
OB 2CD 6 OC AC 3 5
rB
6
2
rC 3 5 5
rD rD AD AC
rD AD
6
2
rC AC 3 5 5
代入虚功方程得
2 2
S3 F rC 0
5
5
由于 rC 0 ，解得
S3 F
由于 DC 杆平移，所以
A
3
3
yC yD
yB
2