几何图形面积的最值

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周长一定圆的面积最大的证明

周长一定圆的面积最大的证明令一个半径为r的圆的周长为C，面积为S。

我们的目标是证明，只要C固定，那么S就是最大的。

首先，我们可以用圆的周长公式计算出r为C/2π。

然后，我们可以用这个r来计算圆的面积公式S=πr²。

现在，我们需要证明，这个S是最大的。

为此，我们可以使用两种方法。

第一种方法是微积分法，第二种方法是几何法。

方法一：微积分法我们可以对S进行微积分，求出它的导数S'。

然后，我们可以通过求S'的零点来找到S的最大值。

S'=dS/dr=d(πr²)/dr=2πr当S'=0时，我们可以知道，S最大。

因此，2πr=0，r=0。

这样是不对的，因为半径不能为0。

我们需要找到下一个零点。

我们知道，当r>0时，S'>0，因此，S是单调递增的。

因此，S'=0时，我们可以找到S的最大值。

这时，2πr=0，r=0。

因此，r= C/2π。

这是圆的半径，因此，S是最大的。

方法二：几何法我们可以用几何图形来证明圆的面积是最大的。

画出C为定值的圆和圆内接正多边形的图形。

我们可以看到，圆的面积是最大的，当我们将圆逐步地转变为多边形时，多边形的面积变小了。

因此，我们可以得出结论，只要圆的周长固定，那么圆的面积是最大的。

总之，圆的面积最大是由两个方面组成的：一是微积分，二是几何。

通过这两种方法，我们可以证明圆的面积最大。

这对于计算中需要使用圆的面积、体积等数据的人来说是十分有用的。

初中几何最值问题常用解法

初中几何最值问题常用解法初中几何最值问题一直是学生们的难点，但通过一些常用的解法，我们可以轻松解决这些问题。

以下将介绍9种常用的解法，帮助您更好地理解和学习。

一、轴对称法轴对称法是一种常用的解决最值问题的方法。

通过将图形进行轴对称变换，可以将问题转化为相对简单的问题，从而找到最值。

二、垂线段法垂线段法是指在几何图形中，利用垂线段的性质来求取最值。

例如，在矩形中，要使矩形的周长最小，可以将矩形的一条边固定，然后通过调整其他边的长度，使得矩形的周长最小。

三、两点之间线段最短两点之间线段最短是几何学中的基本原理。

在解决最值问题时，我们可以利用这个原理，找到两个点之间的最短距离。

四、利用三角形三边关系三角形三边关系是指在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

利用这个关系，可以解决一些与三角形相关的最值问题。

五、利用余弦定理求最值余弦定理是三角学中的基本定理，它可以用来解决一些与角度和边长相关的问题。

通过余弦定理，我们可以找到一个角的最大或最小余弦值，从而求得最值。

六、利用基本不等式求最值基本不等式是指在一个数列中，平均值总是小于等于几何平均值。

利用这个不等式，可以解决一些与数列相关的最值问题。

七、代数运算求最值代数运算是一种基本的数学运算方法，它可以用来解决一些与代数式相关的最值问题。

例如，通过求导数或微分的方法，可以找到一个函数的最大或最小值。

八、代数方程求最值代数方程是一种基本的数学方程形式，它可以用来解决一些与代数方程相关的最值问题。

例如，通过解二次方程或不等式的方法，可以找到一个表达式的最大或最小值。

九、几何变换求最值几何变换是指在几何图形中，通过平移、旋转、对称等方式改变图形的形状和大小。

利用几何变换的方法，可以解决一些与图形变换相关的最值问题。

例如，在矩形中，要使矩形的面积最大。

中考数学复习探求最大值的七种方法

探求最大值的七种方法求最值是近年中考的热点考题之一，有的是几何图形面积的最值，有的是线段长度的最值，有的是函数的最值，下面就结合考题介绍求解这些问题最大值的求解方法，供学习时借鉴. 方法1：定圆中，利用直径是最大的弦，确定三角形面积的最大值例1）如图 1，已知直线334y x=-与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA，PB.则△PAB面积的最大值是（）A. 8B. 12 C . 212D.172分析：要想使得三角形的面积最大，在底边不变的前提下，确保底上的高最大，根据圆中最大的弦是直径，只要确保高是经过圆心的一条直径，问题就得解.解：如图1，要使得三角形PAB的面积最大，需要三角形的高最大，根据圆的性质，直径最大，所以三角形的高一定要经过定圆的圆心，所以过点C作CD⊥AB，垂足为D，因为已知直线y=34x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，所以点A的坐标为（4,0），点B的坐标为（0，-3），所以OA=4，OB=3，因为点C（0,1），所以BC=4.在直角三角形AOB中，根据勾股定理，得AB=5.因为∠CBD=∠ABO,∠CDB=∠AOB=90°，所以△CBD∽△ABO，所以BC CD AB AO ,所以454CD，所以CD=165,所以PD=PC+CD=1+165=215，所以三角形PAB的面积为：12×5×215=212.所以选C.方法2：直角三角形中，利用斜边最长，确定线段长度的最大值例2如图2，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．分析：连接AN就构造出三角形中位线定理的使用条件，由于点D是个定点，所以点N运动到点B位置时，DN达到最大长度，因为直角三角形中斜边最长，只要利用条件求出DB的长度，就可以求得EF的最大长度了.解：如图2，连接DN,DB，因为∠A=90°，AB=3，AD=3，所以DB=6，因为点E，F分别为DM，MN的中点，所以EF=12DN,且DN≤DB，所以当DN=DB时，EF取的最大值，此时EF=3.方法3：一次函数中，利用函数的增减性，确定利润最大的方案例3 我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运A、B、C三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和．（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x之间的函数关系式并写出自变量的取值范围．水果品种 A B C每辆汽车运装量（吨） 2.2 2.1 2每吨水果获利（百元） 6 8 5（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案．分析：装运C种水果的汽车辆数为：30-x-y，这是解决第一问的关键要素，其次，要明确总利润=A种水果吨获利×A种水果吨数+B种水果吨获利×B种水果吨数+C种水果吨获利×C种水果吨数.要注意单位的换算，这个细节，不要在这个环节上失分.解：（1）因为用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，所以装运C种水果的汽车辆数为：30-x-y，由题得到：2.2×x+2.1×y+2×（30－x－y）=64 ，整理得： y = －2x+40，因为装运每种水果的汽车不少于4辆；所以x≥4，y≥4，30－x－y≥4，整理，得到：14≤x≤18；（2）因为A 种水果每吨获利6百元， B 种水果每吨获利8百元，C 种水果每吨获利5百元，所以共获利为：Q=6x+8y+5（30－x －y ）=－5x+170，因为k=-50，所以Q 随着x 的增大而减小，又因为14≤x ≤18，所以当x=14时，Q 取得最大值，即Q= －5x+170=100（百元）=1万元. 因此当x=14时，y = －2x+40=12， 30－x －y=4,所以应这样安排：A 种水果用14辆车，B 种水果用12辆车，C 种水果用4辆车利润最大.方法4：坐标系中，利用三角形三边关系定理，确定三点共线时线段的最大值例4 如图3，A,B 分别在y 轴和x 轴上,AB=4,AC=2,∠BAC=90°,点B 动，点A 就随着动,求线段OC 最大值.分析：由于AB 是定长，取斜边AB 的中点D ，所以不论如何运动，斜边上的中线OD 是定长，这样点O,C,D 构成一个三角形，根据三角形的三边关系定理，知道OC ＜OD+DC ，只有点O,D,C 三点共线时OC 最长，这样问题就获得求解.解：取AB 中点D,连接OD,CD ，在三角形OAB 中,∠AOB=90°,AD=DB,有OD=12AB=2. 在三角形ACD 中, ∠BAC=90°,AC=2,AD=12AB=2,所以2在三角形CDO 中，根据三角形的三边关系定理可知,OD+CD ＞OC(当O 、C 、D 在一条直线上时等号成立）所以,OC ≤2即OC 的最大值是2方法5：几何图形中，构造二次函数法，确定图形侧面积的最大值例5如图4，有一块边长为6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）32cm 3322cm 9322cm 27322cm 分析：如图4，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK ，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 为矩形，且全等．连结AO 证明△AOD ≌△AOK 就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出AD=3x ，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．解：因为△ABC 为等边三角形，所以∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC ．因为筝形ADOK ≌筝形BEPF ≌筝形AGQH ，所以AD=BE=BF=CG=CH=AK ．因为折叠后是一个三棱柱，所以DO=PE=PF=QG=QH=OK ，四边形ODEP 、四边形PFGQ 、四边形QHKO 都为矩形．所以∠ADO=∠AKO=90°．连结AO ，在Rt △AOD 和Rt △AOK 中，AO AO DO KO ，所以Rt △AOD ≌Rt △AOK （HL ）．所以∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x ，则AO=2x ，由勾股定理就可以求出3x ，所以DE=6﹣23x ，所以纸盒侧面积=3x （6﹣23x ）=﹣632x +18x=﹣63232()x +932，所以当x=32时，纸盒侧面积最大为．所以选C ．方法6：抛物线上根据直线与定直线平行，且与抛物线只有1交点时距离最大，求三角形最大面积时点的坐标例6 如图5，在平面直角坐标系中，二次函数y=a 2x +bx+2的图象与x 轴交于A （-3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.。

立体几何第三讲空间几何体得最值问题

分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的
最值.如该题中确定三棱锥底面的面积最值是关键.
【玩转跟踪】在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P1, P2 分别是线段 AB 、BD1（不
包括端点）上的动点，且线段 P1P2 平行于平面 A1 ADD1 ，则四面体 P1P2 AB 的体积的最大值
锥 P-AEF 的底面积和高，高为定值时，底面积最大，则体积最大.
【解析】因为 PA 平面 ABC, BC 平面 ABC，所以 PABC 又因为 BCAC, PA AC A ，所以 BC 平面 PAC，又 AF 平面 PAC，所以 BCAF ，又 AFPC, PC BC C ，所以 AF 平面 PBC，即 AFEF 。EF 是 AE 在平面 PBC 上的射影，因为 AEPB ，所以 EFPB ，即 PE 平面 AEF。在三棱锥 P AEF 中， AP AB 2, AEPB ，
5
.
5
又 P 在 BD 上运动，且当 P 运动到点 O 时，PQ 最小，等于 OQ 的长为 2 5 ，也就是异面直 5
线 BD 和 SC 的公垂线段的长.故选 B. 2.几何体表面上的最短距离问题
【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，各棱长均为 2，M 为 AA1 中点，N 为 BC 的中点，则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之.
又∵ 0＜α+β＜π，∴(α+β)max＝π-arctan 2 ,(α+β)min＝π-arctan2 2 .
【迁移运用】
1．【西藏日喀则一中高三 10 月检测】已知正三C 的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面

2024年中考复习-11 几何图形中求线段,线段和,面积等最值问题(4题型)(解析版)

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接HG ，试问HG 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DC =，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB 上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin 10ETA ∠=，根据45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC =，又∵AC BC⊥∴45ECA ∠=︒∵AE BE =，BE AE⊥∴45EBA ∠=︒∴45ECA ABE ∠=∠=︒∴FEB CAB∠=∠∵24AC BC ==，∴2BC =∴BF CF ==∴1tan 2CB CAB AC ∠==∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =-=（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD =，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DB BF BG =∴BD BG BC BF=又∵DBG CBF∠=∠∴DBC GBF∠=∠∴DBC GBF∽∴DC DB GF GB==∴DC =∴DM GF=在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB≌∴MGD FBG∠=∠∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒又∵90DGB ∠=︒∴180MGF ∠=︒∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD∠=︒∠=︒=∠∴D 在EB 上，∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ==∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒∴DN DB=∴3AB DN =，∵4AC =，2CB =∴AB =∴133DN AB ==，∴103AD ==，②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE =，12EH AB ==∴sin 10103AE ETA AT ∠==设FEB CAB α∠=∠=则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯=⨯．【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A，(2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D '' ，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______；(2)如图②，当点C '落在OB 上时，求点D ¢的坐标和BD '的长；(3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)．()，D为OB中点，B2,23()∴，D1,3()22132OD∴=+=，∵以点O为中心，逆时针旋转由（1）知60AOB ∠=︒，30GD O '∴∠=︒，112OG OD '∴==，D G '()1,3D ∴'-，()2,23B ，∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点，此时M 在BO 的延长线上，()2,23B ，()222234OB ∴=+=，742BM OB OM ∴=+=+；即BM 最大值为742+；此时M 在线段OB 上，BM BM ∴最小值为427-；综上所述，BM 最大值为1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅ ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF = ，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ADE CDF ∴（） ≌．（2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅ ，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒，90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB CNB ∴≅ ，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△，BM AH ∴=，222AH AD DH =- ，DH ∴最大时，AH 最小，即点(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=．(2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．AD BC EG AD ⊥⊥ ，，90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=(22DF BF BD ∴=-=AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，点E 为GH 的中点，GE HE ∴=，在AGE 和KHE △中，12AE KE =⎧⎪∠=∠⎨，由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==，32CE CM ∴==，（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________．问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值．问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．∵点E为AD上的靠近点∴11633 AE AD==⨯在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，EG（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）343-；（3）存在，最小值为403米【分析】（1）证明C ABD BA ∽△△，利用相似三角形的性质得到994CBA ABD S S == ，即可得到ACD 的面积；（2）证明ABE BCF ∽△△，进一步得到90APB ∠=︒，则证明点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，连接,OP OC ，OC 交O 于点P '，进一求出3,34OP OP OB OC '====，则343CP OC OP ''=-=-，由CP OC OP ≥-，即可得到CP 的最小值；（3）证明,CBH EBC ∽得到2BC BE BH =⋅，则2AB BE BH =⋅，再证明,ABH EBA ∽得到120AHB EAB ∠=∠=︒，证明点H 在O 的劣弧 AB 上运动，求得90OBC ∠=︒，进一步求得403OH AO BO ===米，勾股定理可得803OC =米，记OC 与O 相交于点H '，则403OH OH '==米，求出403CH OC OH ''=-=米，由403CH OC OH '≥-=米，即可得到答案．【详解】（1）解：∵,BDA BAC ∠=∠B B ∠=∠，∴C ABD BA ∽△△，∴2439ABDCBA S BD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴994CBA ABD S S == ，∴ACD 的面积为945CBA ABD S S -=-= ，故答案为：5（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABE BCF ∠=∠=︒，∵65BE CF =，6,5AB BC ==，∴65BE AB CF BC ==，∴ABE BCF ∽△△，∴BAE CBF ∠=∠，∵90CBF ABP ∠+∠=︒∴90BAE ABP ∠+∠=︒∴()18090APB BAE ABP ∠=︒-∠+∠=︒∴点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，则1602BM AM AB ===米，题型二线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________．【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值；【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．在OAB 中，3OB =，将 120BOB '∴∠=︒，OB OB '==OBB OB B ''∴∠=∠，OBB OB B B OB '''∠+∠+∠=PA PB PC PA ∴++=+∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=∠=︒DCB BCA60本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进是边长为2的等边三角形．行探究．已知ABC(1)【动手操作】如图1，若D为线段BC上靠近点B的三等分点，将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，连接CE，则CE的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E 三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值．（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC 的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABD ACE ≌△△，∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =+∴当点D 在线段BC 上时，∵DEC 为等边三角形，1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．又90AOB ∠=︒，∴四边形DMON 是矩形，∴90MDN ∠=︒，大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP 、QD ，求PC QD +最小时AP 的长；（3）如图3，在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点D 到AB 的距离为，动点E 、F 在AD 边上运动，始终保持3EF =，在BC 边上有一个直径为BM 的半圆O ，连接AM 与半圆O 交于点N ，连接CE 、FN ，求CE EF FN ++的最小值．如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA '∠=∠=∠=∠∴DA 垂直平分BB '，∴PB PB '=，（3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =∴四边形EFGC 是平行四边形，∴3GC EF ==，FG EC =，【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的 AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为；【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值；【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ===60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧 EF所对的圆心角为90︒， EF 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧 EF上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8；（2）41；（3）AP PQ +存在最小值，最小值为()20310m -．【分析】（1）连接OC 交O 于点1P ，则1CP是CP 的最小值，求出1CP 的长即可，（2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，作EF BC ∥，连接BC '，BP C P '+的最小值，即为BC '的长度，求出BC '即可，（3）连接AC ，作点A 关于BC 的对称点A '，连接PA '，A Q '，AA '，过A '作A N ED '⊥，分别交ED 、AC 的延长线于点N 、M ，分别延长AF ，DE 交于点O ，连接OQ ，OA '，当A Q '取得最小值时，AP PQ +的值最小，即A Q ''的长，求出A Q ''即可．解：（1）如图，连接OC 交O 于点1P ，连接OP ，点P 为半圆O 的AB上一点，∴当点P 与点1P 不重合时，CP OC OP >-，当点P 与点1P 重合时，1CP CP OC OP ==-，CP OC OP ∴≥-，CP ∴的最小值OC OP =-，BC 切半圆O 于点B ，90ABC ∴∠=︒，152OB OP AB === ，12BC =，2212513OC ∴=+=，CP ∴的最小值1358OC OP =-=-=，故答案为：8．（2）过P 作PH BC ⊥，如图，矩形ABCD 的面积是13553PBC S ∴=⨯⨯= 2PH ∴=，60ABC ∠=︒ ，AB BC ==ABC ∴ 是等边三角形，60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒ ，DE ACD MCD CAO ∴∠=∠=∠=AA M '∴ 和OA N '△都是直角三角形，四边形,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．∴HF DE =，CH BG =∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=∴3221BG CF ==；根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =∴32KS AK AS AP =-=，则tan ∠题型三面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．（2）如图所示，延长∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD D =，∠∴ABG ADF ≌∴AG AF DAF =，∠（3）把ADF △绕点A ∴33AG AF FAG =，∠∵60EAF ∠=︒，∴30EAG ∠=︒，本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值．,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据13tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒，即可求解；（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出4DEF S EM = ，进而根据（2）的方法得出3EM GH FH ==，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32163OF =-，即可求解．【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒，∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA=∠=∠，∴点H 在BC 的延长线上，∵四边形ABCD 是正方形∴90ADC ∠=︒，∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=，故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠，∵EM BC ∥，则EM AB ⊥，∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥，∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒，∵EM BC ∥，∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒，即180DFC DGH ∠+∠=︒，∴,,,D F H G 四点共圆；∴30GFH GDH ∠=∠=︒，又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形，FT CK∴=8DK CK DK FT ∴+=+=111()4222DEF EMD EMF S S S DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+= 同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ，可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH=∵2220-+=≥，∴FH x y =+≥当且仅当x y =时取得等于号，此时FC AE CH ==，设,,,D F H G 的圆心为O ，∵DC FH ⊥，FC CH =，∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF OF =︒=∵8OD OC +=即82OF +=解得：32OF =-∴232FH FC OF ===-∴48GH ==-，∴()44448192DEF S EM GH ===-=- ，即DEF 面积的最小为192-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值．问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =，并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．∴当点C 在C '的位置，即∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴2C B AB '==，∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵180ADE ADC ∠+∠=∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，∴160302BE OB ==⨯=，（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______．问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴2AD a =∴2112224ABC S BC AD a a a =�创=∴24a =解得：4a =，故答案为：4．（2）如图所示，连接CD，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF∠=∠-∠=∠-∠=∠在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDFV V ≌∴DE DF =；（3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒，∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒-︒-︒=︒将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ，∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ，又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN b ==∴2PG PN ==∴21112224PQG S PG NQ b b =⨯=⨯⨯=∵四边形PEQF 的面积为∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =，在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ=⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌，同理可得PNQ PMQ≌则2PNQPEQF S S = 四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQ S = ，如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22128ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE =；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ，2,AB BC ==，点P 在 AD 上运动，求PBC 的面积的最大值；（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求2CQ AP =，过点B 作BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在CDE 内种植花卉，DEP 内修建老年活动区，BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的CDE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径．在Rt ABC △中，tan BC BAC AB∠=60BPC BAC ∴∠=∠=︒过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ，延长连接P B P C ₂，₂，此时P BC ₂的面积最大．理由：在 AD 上任意另取一点P。

专题26.3.2 几何图形面积最值问题-九年级数学同步精讲精练之二次函数(华师大版)

26.3.2 几何图形面积最值问题【同步测试】一．选择题（共2小题）1．用长40m的篱笆围成一个矩形菜园，则围成的菜园的最大面积为（）A．400m2B．300m2C．200m2D．100m2【答案】D【解析】解：设矩形的面积为S平方米，长为xm，由题意，得S＝x（20﹣x），s最大＝100．故选：D．【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，抛物线的顶点式的运用，矩形的面积公式，解答时求出矩形的面积表达式是关键．2．如图，一边靠校园围墙，其他三边用总长为40米的铁栏杆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB为x米，面积为S平方米，要使矩形ABCD面积最大，则x的长为（）A．10米B．15米C．20米D．25米【答案】A【解析】解：设矩形ABCD的边AB为x米，则宽为（40﹣2x）米，S＝（40﹣2x）x＝﹣2x2+40x．要使矩形ABCD面积最大，则x10米，即x的长为10米．故选：A．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．二．填空题（共3小题）3．如图，用长20m的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的园子，最大面积是________m2．【答案】50m2【解析】解：设与墙平行的一边长为xm，则另一面为，其面积x x2﹣10x，∴最大面积为50即最大面积是50m2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．4．周长为13cm的矩形铁板上剪去一个等边三角形（这个等边三角形的一边是矩形的宽），则矩形宽为_____cm，长为____cm时，剩下的面积最大，这个最大面积是_________．【答案】见解析经整理，得：y x2x，当x4时，y取得最大值，y最大（4），此时长为（）．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是求最值问题．5．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点以1cm/s的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积为最大时，运动时间t为______s．【答案】2∵由以上函数图象知∴当t＝2时，△PBQ的面积最大为4cm2．【点睛】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y＝﹣x2﹣2x+5，y＝3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．三．解答题（共3小题）6．一养鸡专业户计划用长116m的竹篱笆靠墙（如图）围成一个长方形鸡舍，怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大面积为多少？【答案】见解析【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD．设BC＝xm，则AB＝CD（116﹣x）m，矩形的面积为S．由题意，得S＝x•x2+58x（x﹣58）2+1682．∴当x＝58m时，S最大＝1682m2．【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，矩形的面积公式的运用，二次函数的解析式的顶点式的运用．解答时求出S与x之间的关系式是关键．7．如图等腰梯形ABCD中，AB＝4，CD＝9，∠C＝60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中以个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动（1）求AD的长；（2）设CD＝x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大？并求出最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）如图1在Rt△ADE中，AD2＝5；（2）如图1∵CP＝x，h为PD边上的高，依题意，△PDQ的面积S可表示为：（x）2．（0≤x≤5）∴a0，∴当x时（满足0≤x≤5），S最大值．学科&网【点睛】本题考查了学生的分析作图能力和考查学生综合运用平行线、等腰梯形、等边三角形、菱形、二次函数等知识．这里设计了一个开放的、动态的数学情境，为学生灵活运用基础知识、分析问题、解决问题留下了广阔的探索、创新的思维空间．8．如图等腰梯形花圃ABCD的底边AD靠墙，另三边用长为40m的铁栏围成，设AB的长为xm，该花圃的面积为Sm2（1）求出底边BC的长．（用含x的代数式表示）（2）若∠BAD＝60°，求S与x之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若墙长为24m，试求S的最大值．【答案】见解析【解析】解：（1）∵AB＝CD＝x米，∴BC＝40﹣AB﹣CD＝（40﹣2x）米．（2）如图，过点B、C分别作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，在Rt△ABE中，AB＝x，∠BAE＝60°∴AE x，BE x，∴S（40﹣2x+40﹣x）•x x（80﹣3x）（0＜x＜20），当S＝93时，，解得：x1＝6，x2＝20（舍去）．∴x＝6（3）由题意，得40﹣x≤24，解得x≥16，结合（2）得16≤x＜20．由（2），S∵a∴函数图象为开口向下的抛物线的一段（附函数图象草图如左）．其对称轴为x，∵16，由左图可知，当16≤x＜20时，S随x的增大而减小，∴当x＝16时，S取得最大值，此时S最大值162+2016＝128m2．【点睛】本题考查了二次函数的性质的运用，等腰梯形的性质的运用．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查二次函数的运用，运算较复杂，难度偏难．。

2021年九年级中考数学复习微专题《利用二次函数性质求最值》经典题型分类专题提升练习

２０２１年中考数学复习微专题《利用二次函数性质求最值》经典题型分类专题提升练习类型一：几何图形中的面积最值问题１．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ＡＢＣＤ，其中∠Ｃ＝１２０°．若新建墙ＢＣ与ＣＤ总长为１２ｍ，则该梯形储料场ＡＢＣＤ的最大面积是（）Ａ．１８ｍ２Ｂ．１８ 3 ｍ２Ｃ．２４ 3 ｍ２Ｄ．4532ｍ２２．在矩形ＡＢＣＤ的各边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ和ＤＡ上分别选取点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，使得ＡＥ＝ＡＨ＝ＣＦ＝ＣＧ，如果ＡＢ＝６０，ＢＣ＝４０，四边形ＥＦＧＨ的最大面积是（）Ａ．１３５０Ｂ．１３００Ｃ．１２５０Ｄ．１２００３．如图所示是某养殖专业户建立的一个矩形场地，一边靠墙（墙长１５ｍ），另三边除大门外用篱笆围成．已知篱笆总长为３０ｍ，门宽是２ｍ，若设这块场地的宽为ｘｍ，养殖场地的面积为ｙｍ２，则当ｘ为何值时，ｙ有最大值？最大值为多少？４．如图，有一块三角形空地，底边长ＢＣ＝１００米，高ＡＨ＝８０米，某单位要沿着底边ＢＣ修一座底面是矩形ＤＥＦＧ的大楼，Ｄ、Ｇ分别在ＡＢ、ＡＣ边上，Ｅ、Ｆ在边ＢＣ上，当矩形ＤＥＦＧ的面积最大时，这个矩形的长与宽各是多少米？最大面积为多少？５．为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，甲种花卉的种植费用ｙ（元）与种植面积ｘ（ｍ２）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米１００元．（１）直接写出当０≤ｘ≤３００和ｘ＞３００时，ｙ与ｘ的函数关系式；（２）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共１２００ｍ２，若甲种花卉的种植面积不少于２００ｍ２，且不超过乙种花卉种植面积的２倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？６．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用２８ｍ长的篱笆围成一个矩形花园ＡＢＣＤ（篱笆只围ＡＢ，ＢＣ两边），设ＡＢ＝ｘｍ．（１）若花园的面积为１９２ｍ２，求ｘ的值；（２）若在Ｐ处有一棵树与墙ＣＤ，ＡＤ的距离分别是１５ｍ和６ｍ，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积Ｓ的最大值．类型二：销售利润问题１．某商店经营一种玩具，已知所获利润ｙ（元）与销售的单价ｘ（元）之间的关系为ｙ＝－ｘ２＋２４ｘ＋２９５６，则获利最多为（）Ａ．３１４４元Ｂ．３１００元Ｃ．１４４元Ｄ．２９５６元２．某商品现在的售价为每件６０元，每星期可卖出３００件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价１元，每星期要少卖出１０件，已知商品的进价为每件４０元，如何定价才能使利润最大？３．小明投资销售一种进价为每件２０元的护眼台灯，销售过程中发现，每月销售量ｙ（件）与销售单价ｘ（元）之间的关系满足一次函数ｙ＝－１０ｘ＋５００，在销售过程中，销售单价不低于成本价，且每件的利润不高于成本价的６０％．（１）设小明每月获得利润为Ｗ（元），求每月获得利润Ｗ（元）与销售单价ｘ（元）之间的函数关系式，并确定自变量ｘ的取值范围；（２）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？４．某商场以每件３０元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量ｍ（件）与每件的销售价ｘ（元）满足一次函数关系ｍ＝１６２－３ｘ．（１）请写出商场卖这种商品每天的销售利润ｙ（元）与每件销售价ｘ（元）之间的函数关系式；（２）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到５００元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．５．某饮料经营部每天的固定成本为２００元，其销售的饮料每瓶进价为５元．销售单价与日均销售量的关系如下：（１）若记销售单价比每瓶进价多ｘ元时，日均毛利润（毛利润＝售价－进价－固定成本）为ｙ元，求ｙ关于ｘ的函数解析式和自变量的取值范围；（２）若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元？最大日均毛利润为多少元？６．天水某景区商店销售一种纪念品，这种商品的成本价１０元／件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于１６元／件，市场调查发现，该商品每天的销售量ｙ（件）与销售价ｘ（元／件）之间的函数关系如图所示．（１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式，并写出自变量ｘ的取值范围；（２）求每天的销售利润Ｗ（元）与销售价ｘ（元／件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？７．我市某超市销售一种文具，进价为５元／件．售价为６元／件时，当天的销售量为１００件．在销售过程中发现：售价每上涨０．５元，当天的销售量就减少５件．设当天销售单价统一为ｘ元／件（ｘ≥６，且ｘ是按０．５元的倍数上涨），当天销售利润为ｙ元．（１）求ｙ与ｘ的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（２）要使当天销售利润不低于２４０元，求当天销售单价所在的范围；（３）若每件文具的利润不超过８０％，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．类型三：动点最值问题１．如图，抛物线ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＋３与ｙ轴交于点Ｃ，点Ｄ（０，１），点Ｐ是抛物线上的动点．若△ＰＣＤ是以ＣＤ为底的等腰三角形，则点Ｐ的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿．２．如图所示，甲、乙两船分别从Ａ地和Ｃ地同时开出，各沿箭头所指方向航行，已知ＡＣ＝１０海里，甲、乙两船的速度分别是每小时１６海里和每小时１２海里，同时出发多长时间后，两船相距最近？最近距离是多少？３．如图１，抛物线ｙ＝－３［（ｘ－２）２＋ｎ］与ｘ轴交于点Ａ（ｍ－２，０）５和Ｂ（２ｍ＋３，０）（点Ａ在点Ｂ的左侧），与ｙ轴交于点Ｃ，连接ＢＣ．（１）求ｍ，ｎ的值．（２）如图２，点Ｎ为抛物线上的一动点，且位于直线ＢＣ上方，连接ＣＮ，ＢＮ．求△ＮＢＣ面积的最大值．（３）如图３，点Ｍ，Ｐ分别为线段ＢＣ和线段ＯＢ上的动点，连接ＰＭ，ＰＣ，是否存在这样的点Ｐ，使△ＰＣＭ为等腰三角形，△ＰＭＢ为直角三角形同时成立？若存在，求出点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．４．如图，抛物线经过Ａ（－２，０），Ｂ，Ｃ（０，２）三点．（１）求抛物线的解析式；（２）在直线ＡＣ下方的抛物线上有一点Ｄ，使得△ＤＣＡ的面积最大，求点Ｄ的坐标．５．如图，抛物线ｙ＝－２３ｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴交于Ａ，Ｂ两点（点Ａ在点Ｂ的左侧），点Ａ的坐标为（－１，０），与ｙ轴交于点Ｃ（０，２），直线ＣＤ：ｙ＝－ｘ＋２与ｘ轴交于点Ｄ．动点Ｍ在抛物线上运动，过点Ｍ作ＭＰ⊥ｘ轴，垂足为点Ｐ，交直线ＣＤ于点Ｎ．（１）求抛物线的表达式．（２）当点Ｐ在线段ＯＤ上时，△ＣＤＭ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．（３）点Ｅ是抛物线对称轴与ｘ轴的交点，点Ｆ是ｘ轴上一动点，点Ｍ在运动过程中，若以Ｃ，Ｅ，Ｆ，Ｍ为顶点的四边形是平行四边形时，请写出点Ｆ的坐标．。

数学沪科版九年级(上册)21.4.1几何面积最值问题

问题3 面积S的函数表达式是什么？设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x. 问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，S最大值=450m2.
新知探究
形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
解:根据题意得
S=l(30-l)，
200
即 S=-l ²+30l (0<l<30).
因此，当
l
b 2a
30 2 (1)
15m
100
时，4ac b2 4（-1）2 0 302 225m2
4a
4 (1)
O 5 10 15 20 25 30
l
S有最大值225m².
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
新知探究
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式1与例题有什么不同？
x
x
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
60-2x
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
答案：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
S 60 x • x 1 x2 30x
2
2
新知探究
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？不正确. 问题5 如何求自变量的取值范围？ 0 ＜ x ≤18.
问题6 如何求最值？由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时， S有最大值是378m2.

抛物线中三角形面积最值问题的七种求解策略

图10的正切函数值，则问题便可逐步解决.解析在上找点£，使= 由外角定理，知•①易知直线S C 解析式为y-6.设 £(m ，m -6)，由 fi (6,0)，D (2, -8)，则 B £2 = (m -6)' + (m -6)2, ED 2 = (m - 2)2 + (m + 2)2.由 B £ = £7)，知（;n -6)2 +(m -6)2 = (m -2)2 +(m + 2)2，解得 m =|，即 £(夺，-爭)•又易知 C £>2 + fiC 2 = fi /)2,则乙BCD = 90。

.qi n由 C (0, -6),£(|■，-$)，Z )(2, -8),知 CD =2^",C £=^,P J lain^CED = j .②由①②和 A C(?B = 2 A CflD ,则 tan Z _ C(?B =当点<?在点B 左侧时,(),（ -8,0).当点<?在点B 右侧时,(?2(8,0).综上，(?（ -8,0)或(8,0).从上面题目的解答可以发现:抛物线中角的存在性问题，一般运用角的特殊性及坐标条件构造基本图形，并运用图形的性质，进行推理得出有关相等线段，并表示出有关点的坐标,代入二次函数或一次函数的解析式，或运用勾股定理计算作答.在解答过程中，既要构造几何图形，根据几何直观和几何性质、定理理性分析、推理，还要运用函数与方程知识进行计算和数据分析.综合运用几何推理、函数与方程思想等多方面技能，有较强的综合性及创新探究意识，可以很好地考查学生的综合素养[2].“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和解，在学习过程中，在一定学习范围或主题内，围绕一定目标或某一中心问题，按照一定的逻辑结构精心设计一组问题，即为“一题多问”，采用“一题多问” 的方式，用同一道题目将多个知识点表现出来，可以帮助学生梳理旧知，形成网络，将数学技能及方法得以综合运用.“一题多问”引导学生从不同角度、不同方位进行不同层次的思考，提高学生分析问题、解决问题和提出问题的能力，可以让学生跳出“题海”，提高解题效益，提升数学素养.参考文献：[1 ]罗峻，段利芳.一次函数与反比例函数图象相交的性质之证明与运用[J ]•数理化学习（初中版），2018(12) :23 -28.[2]罗峻，段利芳.当完美正方形偶遇美丽的45度角[J ]. 理科考试研究（初中），2019,26(22) :29 -32.(收稿日期：2020 -09 -21 )抛物线中三角形面积最值问题的七种求鮮策略段昆山(易县教育局教研室河北保定074200)摘要：以二次函数为栽体，结合几何图形求面积最值问题具有难度大、综合性强，区分度高的特表.本文以某地初三上学期期末考试试卷最后一题为例，谈一谈此类问题的七种求解策略.关键词：最值问题；转化；面积；求解策略纵观近年各地中考试卷，以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型是各地中考的高频考点之一.这类试题综合运用多种数学思想方法, 不仅考查了二次函数与三角形面积的相关知识，又为后续学习高中知识奠定了基础.1试题呈现题目如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y = <M c 2 +心+2(a #0)与.t 轴交于两点（点4在点B作者简介:段昆山（1976 -),男，河北保定人，本科，中学一级教师，研究方向：数学教育.的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点£»(- 2，- 3) 和点£(3，2)，点P 是第一象限抛物线上的一个动点.(1) 求抛物线的表达式；(2) 当A B P C 的面积取最大值时，求A fiP C 面积及点P 的坐标.2试题解析 2. 1第（1)问解析将点A £的坐标代人函数表达式，得丄_ 了，3_r故抛物线的表达式为y +2.2.2第（2)问解析 2. 2. 1分割法三角形面积通常用面积公式（底乘髙的一半）来求,在平面直角坐标系中求斜三角形的面积用这个公式难度大，那如何求呢？那就需要运用转化的方法把斜三角形分割成底与高分别与坐标轴平行的三角形，充分利用定点的横纵坐标来求三角形面积•如图2,过点P 作丄;c 轴于点F ，A fiP C 被分割成两个三角形，即A //P C 和所以SA B P C =S 娜c + SAW ，过点C 作C Z )丄/^于点Z ),过点B 作BE _L PF 于点 E ，S A H P C =夸PH x CD.解法1如图3,连接S C ，过点P 作W ///y 轴交S C 于点//，将点C ，S 代入一次函数表达式，可得直线的表达式为y = -+ 2.设点 P U ，+如 +2),则点+2).所以 S A P C B =-％2 +4%.f 4a -2b +2 =-3, 19a +36+2=2,解得,根据二次函数性质，利用配方法，当* = 2时， S apm 的最大值为4.故当A B P C 的面积取最大值时，点P (2,3),S A P C B 二 4.2.2.2补形法在平面直角坐标系中求斜三角形的面积不仅可以运用分割法，也可以转换思路，用补形的方法把不规则图形转化成规则图形，将斜三角形面积转化成矩形面积减去三角形的面积，再充分利用定点的横纵坐标，就可以求斜三角形面积了 • 图4如图4,过点P 作轴，垂足为点£,过点5作 fiZ )丄/)£，垂足为点£»，贝丨J 四边形为矩形•所以S APCB = S 酿形OBOE - S A P E (：一 S APDB _ S a (X b .解法2如图5,过点P 作轴，垂足为点£，过点B 作丄/)£；,垂足为点/)，所以四边形 OBD £为矩形.所以 s A PC b 二 S 四边形〇B D e : — S A P E (： - S _ s A 0C B 二(-+ ^-x + 2) x 4 - (- -^-x2 + -^-x ) x x x ~y - (4-x) x (- ~^x2 ++ 2) x -^--4=-x ~+ 4x.根据二次函数性质，利用配方法，当x =2时，^ A P C B的最大值为4.故当A B P C的面积取最大值时，点P(2,3),■5而=4_2.2.3铅垂法如图6，过A P S C的顶点分别作出水平线的垂线, 外侧两条垂线间的距离叫做水平宽.中间的垂线与 S C相交于点£，线段就叫做铅垂高.如图7,因为S apcb=S A peb+S&PCE二y PE x EU +j PE x EF =所以铅垂法本质上也是分割法.，铅垂高I图7解法3如图8,过点P作P//丄;c轴交B C于点//，设点，-+ 2)，则点 //(x，+ 2)•所以11,312^apcb =^2^~^2X+Y"x+2+y*-2)x4=-x+4x.在直线B C上.根据平行线间的距离相等，所以ABPC 和A B fiC的高相等，底是BC.所以厶B P C和A B//C的面积相等.求A B P C的面积就转化成求A//£C的面积.解法4如图10,过点Z3作户////沉交7轴于点所以 S&P C B= S A C H B-将点c，B代人一次函数表达式，可得直线C B的表达式为y= - 士;'：+ 2.因为W///S C,所以设直线P//的表达式为y根据二次函数性质，利用配方法，当x= 2时，S apos的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB=^*2.2.4平行线法如图9，W///B C，点//，P在直线W/上，点5，CH E P设点户(％，- y i2 + y x+ 2)，所以-2 =-—x +b,b22+ ~z~x + 2 + ~z~x2,//C=-y^2+2x+2-2TT22x.x2 +2x+PJflll S A P C B = ^H C xOB =-x2-t-4x.利用配方法，当x= 2时,S A P(：iB的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3)，^ APCB=^*2.2.5相似法如图11，求三角形的面积可以用面积公式足为点D.所以BC= VOC2 + OB2 = 7^5.求三角形的面积只要求出高就可以了.高如何求呢？我们仔细观察图形发现丄SO,所以™//y轴.所以 APHC= AOCB•因为P E±B C，所以 APEH=厶COB.所以ABOC w•所以g = I I所以= PH^~° .这样就可以求出高了.解法5如图12,过点P作丄BC,垂足为点 £，PD丄50交 SC 于点由题意，5C= VOC1+ OB2 = 2/5 ,APEH^ABOC.m i0BPH = BC'因为+ 2x,PE PH x BOBC¥(-士解法6如图13,过点P作P£//fiC,因为将点C,B代入一次函数表达式，同理可得直线C Z?的表达式为;^=-士尤+2.所以设直线的表达式为y=-+ 6.1,j=- y x + b-H i2+3+2y= - ~z~x+ ~zrx+1.1/22整理，得-士尤2 +~|~尤+2=-士a:+ 6 一士丨2 +2% +2-6=0.所以 A =4-4 x(-士）x(2 -6) =8 -26 =0.解得6=4_所以点P(2,3)，A P C fi最大值为4 .2.2.7中点法如图14,设直线S C与抛物线交于B,C两点，直线B C的解析式可设为y= ^+ n，抛物线解析式可设为y= m2 +心+ C，求其交点坐标就是联立两解析式’所以 ax2 + + c = n w c + n_ 整理，得[y= mx+ n.ax2+ (b- m)x+ c- n= 0. fffVJs x, + x2 = ——因为直a%2 +2a〇，所以 S A P C fl =^^(-士尤2 +2幻x2V^x士 =-x2 + 4x.利用配方法，当* =2时，S A P efl的最大值为4.故当A S P C的面积取得最大值时，点P(2,3),^ APCB-4-2.2.6切线法如图13,若使点P在抛物线上，S A P eB最大，则需使P£//BC，且与抛物线有且只有一个交点才能使心^8最大.因为底B C确定，只要高最大.因为点P 在抛物线上与抛物线有且只有一个交点时，SC 边上的高才最大.线B C平移到与抛物线只有一个交点时，七即& = 也就是％所以过点P作*轴的垂线，垂足M是O S的中点.所以当抛物线被直线 B C所截,P为抛物线上一动点（此时点P为线段SC 与抛物线所组成的封闭图形上抛物线上一点）丄%轴于点m,交s c于点yv,当点yv为b c中点时，s APC8 的面积有最大值.解法7如图15,过点尸作P////S C,所以& = X B+X C^所以点P 坐标为（2,3).所以=S 四边形"W /Y ;+ S APMB ""SA O R Cx (2+ 3) x 2+冬 x 2x 3_4-x 2x 4=4.' 2 2此法适用于填空、选择或验证.3感悟解法这一类以二次函数为载体，结合几何图形求面积最值问题的题型涉及的知识面多、难度大、综合性强, 要想顺利解答此类问题，必须抓住以下几点.（1)立足转化，抓住动点（设动为定）.合理构造辅助线，以转化思想为基本出发点，抓住动点，根据不同思路过动点作平行，或作垂直等辅助线，把复杂问题转化为简单问题，把未知问题转换为已知问题.（2)数形结合，设出动点坐标.充分挖掘已知条件与隐含条件，要明确角边在数量关系变化中哪些是保持不变的量，哪些是变化的量.哪些是变化的量.这需要在充分理解的基础上，进行多方位思考、多角度着手、多层次探索m ，利用相似、面积公式、根与系数的关系等知识，表示出相关的数量关系.（3)根据相关的数量关系，把面积表示成一个含有某未知量的二次函数关系式，然后利用公式法或配方法求出最值.参考文献：[1] 段昆山.构造图形求准确数形结合找临界一•一类“儿何”型新定义压轴题解法浅析[J ].中学数学教学，2020(01) ：79 -80.[2]周威.圆锥曲线中几个特殊三角形面积最值问题探究[J ].理科考试研究,2020(09) :25 - 27.(收稿日期：2020 _08-15)指向“深度学习”的教学课壹教学策略李娜沈南山(合肥师范学院数学与统计学院安徽合肥230601)摘要：从认知结构观点来看，“深度学习”是一种理解性的学习，注重学习思维的批利性、学习内容的整合性、知识体系的建构性和知识学习的迁移性.指向深度学习的数学课堂教学需要深入追问学什么、怎么学、学得怎么样三个教学本源问题，其教学策略应当注重数学知识对象的多重表征、数学学习脚手架的适时搭建、数学学习问题的逻辑引领、数学学习方法的积极反思等.关键词：初中数学；深度学习；教学策略1 “深度学习”的基本特征“深度学习”（Deep Learning )最早由美国学者 Marlon 等人于1976年提出的一个比较性学习概念，是相对于孤立记忆和非批判性接受知识的浅层学习 (Surface Learning )而言的.随后国内外学者对“深度学习”开展理论与实践研究，其基本内涵是在教师引领下,学生围绕着具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程，并在这个过程中学生掌握学科的核心知识，理解学习的过程,把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性感情、积极的态度、正确的价值观等m .“深度学习”的基本特征蕴含理论和实践两个层面.理论上，从知识结构观点来看，深度学习是基于学基金项目：合肥师范学院研究生创新基金项目“深度学习理念下初中数学课堂问题提出的教学实践研究”（项目编号:2020yjs 033).作者简介：李娜（ 1995 -)，女，安徽阜阳人，硕士研究生，研究方向：数学教育；沈南山（1964 -),男，安徽六安人，博士，教授，研究方向：数学课程与教学论研究.。

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(2)当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？
解： (1)依题意得 1 1 2 y＝ x(20－ x)＝－ x ＋ 10x(0<x<20)． 2 2 令 y＝ 48，得 1 48＝－ x2＋ 10x， 2 解得 x1＝ 12， x2＝ 8， ∴当 △ ABC 面积为 48 时， BC 的长为 12 或 8. 1 2 1 (2)由 (1)得 y＝－ x ＋ 10x＝－ (x－ 10)2＋ 50， 2 2 ∴当 x＝ 10，即 BC＝ 10 时，△ ABC 的面积最大，最大面积是 50.
第2课时
几何图形面积的最值知识管理
知识管理
与二次函数有关的几何图形面积的求法步骤：(1)利用几何图形的面积公式得到关于面积的二次函
数关系式；
(2)将所给的二次函数关系式配方，化成顶点式y＝ a ( x － h ) 2＋ k . (3)根据顶点式，结合自变量取几何图形面积的最值如图1－5－10所示，有长为24 m的篱笆，一面利用
【点悟】用二次函数解决图形面积问题时，关键是利用几何图形面积公式得到二次函数关系式，再由实际情况得到自变量的取值范围，然后利用二次函数的性质得到问题的答案．
已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20. (1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出
面积为48时BC的长．
2．在边长为4 m的正方形铁皮中间挖去一个面积至少是1 m2的小正方形，则剩下的四方框形铁皮的面积y(m2)与小正方形边长 y＝－x2＋16(1≤x<4) ，y的最大值 x(m)之间的函数关系式是_____________________ 是____m 15 2. 【解析】 y＝S大正方形－S小正方形，所以y＝42－x2，即y＝－x2＋16，又1≤x<4，所以当x＝1时，y最大值为15.
1．小敏用一根长为8 cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是
( A ) A．4 cm2 B．8 cm2 C．16 cm2 D．32 cm2
【解析】设矩形一边长为x cm，则另一边长为(4－x)cm，则S
矩形＝x(4－x)＝－x 2＋4x＝－(x－2)2＋4(0<x<4)，故当x＝2时，
S最大值＝4.选A.
图1－5－10 【解析】由图形可知花圃的宽AB为x m，长BC为(24－ 3x)m，则S与x的函数关系式不难求出，第(2)、(3)问可利用S与x的
函数关系式来解答．
解：(1)由宽AB＝x m，则长BC＝(24－3x)m，此时面积S＝x(24－3x)＝－3x2＋24x；
(2)由题意知－ 3x2＋ 24x＝ 45，化简为 x2－ 8x＋ 15＝ 0，解得 x1＝ 3， x2＝ 5. 又 ∵ 0<24－ 3x≤ 10， 14 ∴ ≤ x<8， 3 ∴ x＝ 3 不符合题意，故 x＝ 5，即 AB 的长为 5 m.
(3)S＝－3x2＋ 24x＝－3(x－4)2＋48， 14 14 2 ∵ ≤x<8，∴当 x＝时，S 最大值＝46 >45， 3 3 3
∴能围成面积比 45 m2 更大的花圃． 14 ∵ 24－ 3× ＝ 10， 3 2 ∴花圃的长为 10 m，宽为 4 m， 3 2 2 这时花圃有最大面积 46 m . 3
墙(墙的最大可用长度a为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形
花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2. (1)求S与x的函数关系式． (2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ (3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．