第五章 5.1.2弧度制-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第一册课件(共60张PPT)
弧度制(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
当堂达标
1.圆的半径为 r，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是(
)
2 A.3 rad
B．32 rad
2π C. 3 rad
D．32π rad
3 B 解析：由弧度数公式 α＝rl，得 α＝2rr＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.
显然1π2＜1π0＜1＜71π2. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
经典例题
题型一 角度制与弧度制的互化
(2)－1 480°＝－1 480×1π80＝－749π＝－10π＋169π， 其中 0≤169π<2π， 因为169π是第四象限角， 所以－1 480°是第四象限角．
经典例题
题型二 用弧度制表示终边相同的角
跟踪训练2
用弧度制表示终边落在如图（右）所示阴影部分内的角 θ 的集合.
解：终边落在射线 OA 上的角为 θ＝135°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝34π＋2kπ，k∈Z. 终边落在射线 OB 上的角为 θ＝－30°＋k·360°，k∈Z， 即 θ＝－6π＋2kπ，k∈Z，
1.角度制：
(1)定义：用 度 作为单位来度量角的单位制．
1
(2)1 度的角：周角的 360 . 2.弧度制：
(1)定义：以 弧度 作为单位来度量角的单位制．
(2)1 弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
自主学习
3.弧度数
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的
弧度数是 0 . 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l，那么，角 α 的弧度数的绝 l
5.1.2弧度制-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件2(共25张PPT)
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度；
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以
即可.
1 思考2 利用弧度制表示出终边落在各个象限的角的集合.
解 ∵67°30′＝ 67 °， 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？
1弧度的角是一个定值，与所在圆的半
1弧度的角是一个定值，与所在圆的半
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
360°＝
rad
(2)若β∈[－4π，0]，且β与(1)中α的终边相同，求β.
明目标、知重点
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请 根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r，
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢
记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以
即
可.
180
π
°
明目标、知重点
反思与感悟 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用.
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
解析 时针经过一小时，转过－30°，
角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；
2 如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1
时针经过一小时，时针转过了( )
第5章-5.1.2-弧度制高中数学必修第一册湘教版
π
3
3π
，60∘
4
角
图5.1.2-3
的终边即 的终边,所以终边落在阴影部分内
（不包括边界）的角的集合为{|2π −
3π
4
π
3
< < 2π + , ∈ }.
（2）与（1）类似可写出终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为
π
6
π
2
π
6
π
2
{|2π + < < 2π + , ∈ } ∪ {|2π + π + < < 2π + π + ,
工制作零件，零件的截面如图5.1.2-6所示.为圆孔及轮廓
圆弧所在圆的圆心，是圆弧与直线的切点，
是圆弧与直线的切点，四边形为矩形，
3
5
⊥ ，垂足为，tan ∠ = ,//, = 12 cm,
图5.1.2-6
= 2 cm,到直线和的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面
π
，则−
4
+ 2π <
π+
2
< 2π , ∈
π+
，
的终边
∵ 扇形面积 =
1
2
= 1，∴ =
∴ 周长 = + 2 =
2
+
2
，
2 ≥ 4，当且仅当 = 1时取等号.
∴ 当 = 1时，周长最小.
【学会了吗丨变式题】
2.已知扇形的周长为100 cm，则该扇形的面积的最大值为( B
A.100 cm2
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第五章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第五章教案教学设计+课后练习及答案5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
144 6
l
,
120 5
r
96
6 180
(
) ( )
5
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？
知识点:(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)掌握特殊角的度数与弧度数的对应关系.
(4)扇形的弧长与面积的计算.
方法归纳：由特殊到一般、数学运算.
易错点：弧度与角度混用.
（2）1弧度的角：____________________________；
（3）记法：弧度的单位符号是rad，读作弧度
注：弧度单位可省略，角度单位不能省略.
半径为1的圆
（4）单位圆：____________；
∠AOB 即为1弧度的角
概念生成
（5）弧度的计算：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
第五章
三角函数
5.1 任意角和弧度制
5.1.2 弧度制
学习目标
学习
目标
一
理解弧度制
二
理解1弧度的角及弧度的定义
三
掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度
与弧度的换算，熟记特殊角的度数对应的
弧度数.
复习回顾
请说说角的概念是怎样扩大的？
角的概念
(0°～360°)
放在坐标系中
看终边的位置
0°～360°
的角不够用
心角对对弧的长度。
n R 60
( mm )
简析： 角度制下： 60 n 60, l
180
180
3
弧度制下： 60
3
, l R
弧度制 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
把长度等于半径长 周角的1/360叫做1度的
的弧所对的圆心角 角。
单位规定
叫做1弧度的角。
360 2rad
换算关系
180 rad
基本关系
1
180
rad 0.01745rad
180
1rad
57.30 5718
导出关系
作业布置：
12
3
10
1
(1)
12
12
180 15
4
4
(2)
180 240
3
3
3
3
(3)
180 54
10 10
3、角度制与弧度制的互化：
课本175页练习3:用弧度表示：
（1）终边在x轴的角的集合
（2）终边在y轴的角的集合
(1){ | k , k Z };
对这个式子进行变形，可以得到如下结论：
(1)l r (弧长公式) (2)r
l
半径r，弧长l 、圆心角弧度数α，三个量知二求一
一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.
3、角度制与弧度制的互化：
若l=2πr,则∠AOB=
=
2
=2
周角的弧度数是2π，而在
它们构成一个集合： S | 2k , k Z
补充练习：
2.使用弧度制，写出各象限角的集合：
第一象限角的集合：
{ | 2k 2k , k Z }
第二象限角的集合：
高中数学新人教A版必修第一册 第5章 5.1 5.1.2 弧度制 课件(41张)
类型 2 用弧度数表示角
【例 2】 (1)终边经过点(a，a)(a≠0)的角 α 的集合是( )
A．π4
B．π4，54π
C．αα＝π4＋2kπ，k∈Z
D．αα＝π4＋kπ，k∈Z
(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角 θ 的集合．
[解] (1)D [因为角 α 的终边经过点(a，a)(a≠0)，
角度 制
定义 用_度__作为单位来度量角的单位制
1 度的角
1 1 度的角等于周角的_3_6_0__
弧度
定义 以_弧__度__作为单位来度量角的单位制
制 1 弧度的角 长度等于_半__径__长__的圆弧所对的圆心角
(2)弧度数的计算
比值rl与所取的圆的半径大小是否有关？ [提示] 一定大小的圆心角 α 所对应的弧长与半径的比值是唯一
[跟进训练] 1．(1)将－157°30′化成弧度为________．
(2)将－115π rad 化为度是________． (1)－78π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－3215×1π80 rad＝－87π rad. (2)－115π rad＝－115π×1π80°＝－396°.]
β＝1π0 rad＝1π0×1π80°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝71π2×1π80°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
角度制与弧度制互化的关键与方法 (1)关键：抓住互化公式 π rad＝180°是关键． (2)方法：度数×1π80＝弧度数；弧度数×1π80°＝度数． (3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
所以角 α 的终边落在直线 y＝x 上，
数学人教A版(2019)必须第一册5-1-2弧度制
3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
例2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
x或230260k0+20K＋k·K3·6306000
237200
2k
+K·3600
终边在y轴上：{β| β=900+K∙1800 ，K∈Z}
终边在x轴上：{β坐标轴上：{β| β=K∙900 ，K∈Z}
终边在直线y=x上 {β|β=450+K∙1800，K∈Z}
B
l
A
R
证明: (1)由公式 l 得 : l R R
R
注:扇形的面积公式中的角都用弧度数,不能用度数
(1)l R;
(2)S 1 R2;
2
(3)S 1 lR. 2
证明: (2)由于半径为R,圆心角为n的扇形
的弧长公式和面积公式分别为 :
l n R 和S= n R2
180
360
法二(化为角度)： β＝1π0 rad＝1π0×1π80°＝18°，γ＝1 rad≈57.30°， φ＝71π2×1π80°＝105°. 显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故 α＜β＜γ＜θ＝φ.
17
• 终边落在坐标轴上的y29情002形k+K ·3600
2k
1800 +K·3600 o
高一数学人教A版必修第一册5.1.2弧度制课件
5.1.2弧度制
课程标准
了解任意角的概念和弧度制，能够进行弧度与
角度的互化，体会引入弧度制的必要性。
复习回顾
回顾1 角的定义是什么?
角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所形成的图形．
回顾2 角的相等、相加和相减是如何进行运算？
1.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等,那么就称 = .
的进制是什么？
角度制：度、分、秒
六十进制 1度=60分 1分=60秒
追问：角的度量是否也能用不同的单位制？能否用十进制的实数来
度量角？
角度(°)
换算?
实数
接下来，我们来介绍另一种度量角的单位制--弧度制
新知讲授ห้องสมุดไป่ตู้
问题2 如图，角度与弧长
= 有怎样的数量关系？
射线绕端点旋转到形成角.在旋转过程中,
67°30′
=
135
2
×
(2) 67°30′ ≈ 1.178 .
180
=
3
8
;
例题讲授
例5 将3.14 换算成角度(用度数表示,精确到0.001).
解：由于 =
° ≈ . °
所以. ≈ . °.
新知讲授
问题5 一些特殊角弧度与角度的转换分别是多少？请大家填写下
或小于−的角. 这样就可以得到弧度为任意大小的角.
所以，角度制、弧度制都是
角的度量制，它们之间应该
可以换算，如何换算呢？
新知探究
探究二：角度与弧度的换算
新知讲授
角度制、弧度制都是角的度量制.对于度量零角，除了单位不同，
5.1.2 弧度制 课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题