非周期信号的频域分析共51页文档
实验四非周期信号频域分析
实验四 非周期信号频域分析1 实验目的(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。
(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。
(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。
2 实验原理及方法2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。
傅里叶变换和其逆变换定义如下：⎰∞∞--=dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。
任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。
X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。
给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。
对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。
2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。
严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。
非周期信号的频谱分析傅里叶变换.
X( )
1
a j
a2
a
2
j a2 2
Re( )
lim
a0
a2
a
2
0
( 0)
Re( )
lim
a0
a2
a
2
( = 0)
lim
a0
Re( )d lim
a0
d( / a) 1 ( / a)2
lim arctan
a0
a
14
Im( )
lim
a0
a2
2
1
Re() = δ()
X ( ) sgn(t )e j tdt
laim0
0 eat e j
tdt
eat e
0
j
t
dt
1
laim0 a j
a
1
j
2
j
X( ) 2
(
)
2
2
0 0
13
7、阶跃信号的频谱
u(t) 1
X()
0
t
0
不满足绝对可积的条件。看成单边指数脉冲a 0的极限。
()和X()是奇函数。
16
2、线性性质
若 F [ x1(t) ] = X1() F [ x2(t) ] = X2() 则 F [ ax1(t) + bx2(t) ] = aX1() + bX2()
（1）若信号增大a倍，则频谱亦增大a倍; （2）两个相加信号的频谱等于各个单独信号频谱的相加
3、对偶性
2
X (n1 ) 1
T1 / 2 x(t )e jn1t dt
T1 / 2
T1 ，对等式两边求极限（1 0，n1 ）
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
离散非周期信号频域分析
离散⾮周期信号频域分析离散信号频域分析、快速傅⾥叶变换与采样定理⼀、离散信号频域分析（⼀）周期离散⽅波信号频域分析与周期模拟信号⼀样，周期离散信号同样可以展开成傅⾥叶级数形式，并得到离散傅⾥叶级数（DFS）上式可以看成周期离散信号x(n)的离散傅⾥叶级数展开。
上式是DFS的反变换，记作IDFS并且称错误！未找到引⽤源。
与错误！未找到引⽤源。
构成⼀对离散傅⾥叶级数变换对。
（以上两式中错误！未找到引⽤源。
）在MTALAB中，DFS通过建⽴周期延拓函数语句实现：function Xk=DFS(n,x,N)if N>length(x)n=0:N-1;x=[x zeros(1,N-length(x))];endk=0:N-1;WN=exp(-j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=x*WNnk;end建⽴⼀个离散⾮周期⽅波信号错误！未找到引⽤源。
通过周期延拓后所得的周期序列利⽤DFS计算实现代码如下：clear all;close all;clc;n=0:3;x=ones(1,4);X=fft(x,1024);Xk1=DFS(n,x,4);Xk2=DFS(n,x,8);figure(1);plot((-1023:2048)/2048*8,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-4:7,[abs(Xk1) abs(Xk1) abs(Xk1)],'LineWidth',2);grid;figure(2);plot((-1023:2048)/2048*16,[abs(X) abs(X) abs(X)],'--');hold on;stem(-8:15,[abs(Xk2) abs(Xk2) abs(Xk2)],'LineWidth',2);grid;set(gcf,'color','w');运⾏后得到的是分别以4和8为周期延拓后的错误！未找到引⽤源。
4非周期信号频域分析四
9. 时域微分特性
若 则
f (t ) ← F F ( j ω ) →
df (t ) F ← →( jω ) ⋅ F ( jω ) dt dt
d n f (t ) F ← →( jω ) n ⋅ F ( jω ) dt n
有直流分量， 注：若f(t)有直流分量，应先取出单独求傅立叶变换，余下 有直流分量 应先取出单独求傅立叶变换， 部分再用微分性质。 部分再用微分性质。
F
则
f * (t ) ← F F * (− jω ) →
f * (−t ) ←F F * ( jω) →
F(jω)为复数，可以表示为
F ( jω ) = F ( jω ) e jϕ (ω ) = FR ( jω ) + jFI ( jω )
当f(t)为实函数时，有 |F(jω)| = |F(−jω)| ， ϕ (ω) = − ϕ (−ω)
F
证明: 证明 f (t ) ∗ u (t ) = ∞ f (τ )u (t − τ )dτ = t f (τ )dτ ∫−∞ ∫−∞
再利用时域卷积性质
F (0) = ∫ f (t )dt
−∞
∞
f (t ) ∗ u (t ) = ∫
t
−∞
1 F (ω ) f (τ )dτ ↔ F (ω ) + πδ (ω ) = + πF (0)δ (ω ) jω jω
F [ f (t − t 0 )] = ∫
∞ −∞
f ( x)e − jω (t0 + x ) dx = F ( jω ) ⋅ e − jωt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 信号在时域中的时移， 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
非周期信号的频谱分析
非周期信号的频谱分析一、实验目的1)掌握用MATLAB 编程，分析门信号的频谱；2)掌握用MATLAB 编程，分析冲击信号的频谱；3)掌握用MATLAB 编程，分析直流信号的频谱；4)掌握用MATLAB 编程，分析阶跃信号的频谱；5)掌握用MATLAB 编程，分析单边信号的频谱；二、实验原理常见的非周期信号有：1、门信号门信号的傅里叶变换对为：12sin()22()()202t g t F j Sa t ττωτωτωττω⎧<⎪⎪⎛⎫=⇔==⎨ ⎪⎝⎭⎪>⎪⎩它的幅度频谱和相位频谱分别为 ()2F j Sa ωτωτ⎛⎫= ⎪⎝⎭0sin()02()sin(02ωτϕωωτπ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩2、冲激信号冲激信号的傅里叶变换对为()1t δ⇔3、直流信号直流信号的傅里叶变换为12()πδω⇔4、阶跃信号阶跃信号的傅里叶变换为111()sgn()()22u t t j πδωω=+⇔+5、单边指数信号单边指数信号的傅里叶变换对为01()00ate tf t j t αω-⎧≥=⇔⎨+<⎩幅度频谱和相位频谱分别为()F j ω=()arctan(a ωϕω=-三、涉及的MATLAB函数1、fourier函数2、ifourier函数四、实验内容与方法1、验证性试验1)门信号的傅里叶变换MATLAB程序：Clear all;syms t wut=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut)hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0,1]);plot([0.5 0.5],[0,1]);Fw=fourier(ut,t,w);FFP=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFP,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);程序运行结果图2)冲激信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t wut1=sym('heaviside(t+0.5)-heaviside(t-0.5)');subplot(2,1,1);ezplot(ut1);title('脉宽为1的矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 1.1]);plot([-0.5 -0.5],[0 1]);plot([0.5 0.5],[0 1]);Fw=fourier(ut1,t,w);FFw=abs(Fw);subplot(2,1,2);ezplot(FFw,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut2=10*sym('heaviside(t+0.05)-heaviside(t-0.05)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut2);title('脉宽为1、0.1矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 11]);plot([-0.05 -0.05],[0 10]);plot([0.05 0.05],[0 10]);Fw2=fourier(ut2,t,w);FFw2=abs(Fw2);subplot(2,1,2);ezplot(FFw2,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1的矩形脉冲信号的幅度频谱')hold onpauseut3=100*sym('heaviside(t+0.005)-heaviside(t-0.005)'); subplot(2,1,1);ezplot(ut3);title('脉宽为1、0.1和0.01矩形脉冲信号')xlabel('t')hold onaxis([-1 1 0 110]);plot([-0.005 -0.005],[0 100]);plot([0.005 0.005],[0 100]);Fw3=fourier(ut3,t,w);FFw3=abs(Fw3);subplot(2,1,2);ezplot(FFw3,[-10*pi 10*pi]);axis([-10*pi 10*pi 0 1.1]);title('脉宽为1、0.1和0.01的矩形脉冲信号的幅度频谱') hold onpause程序运行结果图3)直流信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear all;display('Please input the value of a')a=input('a=');syms tf=exp(-a*abs(t));subplot(1,2,1)ezplot(f);axis([-2*pi 2*pi 0 1]);ylabel('时域波形');F=fourier(f);subplot(1,2,2)ezplot(abs(F));axis([-3 3 0 2/a])程序运行结果图a=0.1时：a=0.01时：a=0.001时：a=0.0001时：4)阶跃信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms w;xw=1/(j*w);ezplot(abs(imag(xw)));axis([-3 3 -1.5*pi 1.5*pi]);hold ony=0:0.01:pi;plot(0,y);hold ony=-pi:pi;plot(0,y);hold ontitle('阶跃信号频谱');xlabel('\omega');axis([-pi pi -6 6]);x=-pi:0.001:pi;plot(x,0)hold ony=-6:0.01:6;plot(0,y);hold on程序运行结果图5)单边指数信号的傅里叶变换MATLAB程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)'); Fw=fourier(f);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));xlabel('幅度频谱');im=imag(Fw);re=real(Fw);phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2、程序设计实验确定下列信号的傅里叶变换的数学表达式1)的傅里叶变换2()()1t f t e U t -=+1()2()2F j j ωπδωω=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-2*t)*sym('heaviside(t)')+1;Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-1 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图2)的傅里叶变换2()(1)()t f t e U t G t -=-+12sin ()1j e F j j ωωωωω--=++MATLAB 程序：clear allsyms t v w phase im ref=exp(-1*t)*sym('heaviside(t-1)')+heaviside(t+1)-heaviside(t-1);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f);axis([-2.5 2.5 0 1.1]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱');程序运行结果图3)的傅里叶变换()2()(4)f t U t t δ=+-41()2(())j j F j e e j ωωωπδωω--=++MATLAB 程序：clear all syms t v w phase im ref=2*sym('heaviside(t-1)')+dirac(t-4);Fw=fourier(f);Fw=simple(Fw);subplot(3,1,1);ezplot(f)axis([-1 6 0 1.5]);xlabel('时域波形');subplot(3,1,2)ezplot(abs(Fw));im=imag(Fw);re=real(Fw);xlabel('幅度频谱');phase=atan(im/re);subplot(3,1,3);ezplot(phase);xlabel('相位频谱')；程序运行结果图。
非周期信号的频谱
jnω1t
1 T2 − jnω1t Fn = F (nω1 ) = ∫−T f (t )e dt T 2
i
3.4 非周期信号的频谱
当 T → ∞ 时，
周期信号 离散谱
非周期信号 连续谱
表示频谱就不合适了， 再用 F ( nω1 ) 表示频谱就不合适了，虽然各频 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别， 谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，所以我们 在这里引入频谱密度函数。 在这里引入频谱密度函数。 频谱密度函数
jωt
f ( t ) ↔ F ( jω )
3.4 非周期信号的频谱 三、典型信号的傅里叶变换
1.单位冲激信号的频谱 1.单位冲激信号的频谱
f (t ) = δ ( t )
F ( jω ) = ∫ δ ( t ) e− jωt dt = 1
−∞ ∞
即
δ (t ) ↔ 1
3.4 非周期信号的频谱
单位冲激信号的频谱图 单位冲激信号的频谱图 可见， 的频谱是常数1 可见 ， 冲激函数 δ(t) 的频谱是常数 1 。 也就 是说， 中包含了所有的频率分量， 是说 ， δ(t) 中包含了所有的频率分量 ， 而各频率 分量的频谱密度都相等。 显然， 分量的频谱密度都相等 。 显然 ， 信号 δ(t) 实际上 是无法实现的。 是无法实现的。
Fn T jnω1t f (t ) = lim fT (t ) = lim ∑ e T →∞ n =−∞ T
当 T → ∞ 时， Fn T = F ( jω )
i
∞
i
nω1 → ω
n =−∞
1 1 1 = ω1 → dω T 2π 2π
T →∞
lim
∑ →∫
jω t
∞
§3-(3-4 )非周期信号的频谱分析 典型非周期信号的傅里叶变换
0
脉冲趋于幅度无穷大、宽度无穷小的信号。强度其为
10
d
2
2
d( 1 (
)
arctg (
)
2
) |
也即，当α→0，前一项是强度为π的冲激。所以，单位阶 X ( j ) 跃信号的傅里叶变换
( )
ℱ u ( t ) ( )
jk 1 t
dt
取T→∞的极限
T 2
lim
T Ak
T
lim
T
T 2
x (t )e
jk 1 t
dt
x (t )e
j t
dt X ( j )
应该是一确定的函数。
2
对应的傅里叶级数展开式
x (t )
k
Ak e
jk 1 t
0
t
t
u ( t )]
0
于是
X ( j ) lim
0
( )
2
2 j
2 2
j
2
0
2 j
18
2
这个结果也可以通过符号函数的另一种表示得到。因
为 所以
x ( t ) sgn( t ) 2 u ( t ) 1
X ( j ) 2 [ ( )
e
jt
dt 2()
17
x (t )
七、符号函数信号
x ( t ) sgn( t )