(完整版)信号的频域分析
2.5信号的频域分析(非周期信号)2.6傅立叶变换的性质
能 量 谱
由此最后得
E = ∫ x2 (t )dt =
−∞ ∞
1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞
(16)
式（15）亦称巴塞伐尔方程或 能量等式。它表示，一个非周 期信号x(t)在时域中的能量可由 它在频域中连续频谱的能量来 表示。 式（15）亦可写成
E= 1 ∞ 2 X(ω) dω 2π ∫−∞ 1 ∞ 2 = ∫ X(ω) dω = ∫ S(ω)dω
证明： 由欧拉公式
X (ω) = ∫ x(t)e
−∞
∞ −∞
∞
− jωt
dt
∞ −∞
X (ω) = ∫ x(t) cosωtdt − j∫ x(t) sin ωtdt
= Re X (ω) + j Im X (ω)
若x(t)为实函数
Re X (ω) = Re X (−ω) Im X (ω) = − Im X (−ω)
x(t) = Arect
(t − t0 )
T
图2.30 具有时移t0的矩形脉冲
X( f ) = AT sin c(πfT) sin c(πfT) > 0 − 2πt0 f , ϕ( f ) = − 2πt0 f ±π , sin c(πfT) < 0
测试技术
2.6傅里叶变换的性质 2.6傅里叶变换的性质
∫
∞
−∞
x(t) dt < ∞
但上述条件并非必要条件 必要条件。因为当引入广义函数概 必要条件 念之后，许多原本不满足绝对可积条件的函数也能进行傅 里叶变换。 若将上述变换公式中的角频率ω用频率f来替代，则由 于ω=2πf，式（5）和（6）分别变为
X( f ) = ∫ x(t)e− j 2πft dt
信号与系统—信号的频域分析
信号与系统—信号的频域分析频域分析是指将信号从时间域转换为频域的过程，并通过对信号在频域上的性质和特征进行分析与研究。
频域分析对于理解信号的频率特性、频谱分布等方面的特性有很大的帮助，是信号处理领域中不可或缺的分析工具。
频域分析的基本方法之一是傅里叶变换。
傅里叶变换可以将连续时间域中的信号转换为离散频域中的信号，也可以将离散时间域中的信号转换为连续频域中的信号。
它通过将信号分解为不同频率的正弦波的组合来分析信号的频谱分布。
傅里叶变换的基本公式为：两个公式其中，X(f)表示信号在频域中的频谱，x(t)表示信号在时间域中的波形，f表示频率。
傅里叶变换得到的频谱图可以展示信号在不同频率上的能量分布情况，从而能够更直观地了解信号的频率成分。
频谱图通常以频率为横轴，信号在该频率上的幅度或相位为纵轴，用于描述信号在频域中的变化情况。
除了傅里叶变换，还有其他一些常用的频域分析方法，如离散傅里叶变换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）等。
离散傅里叶变换是对离散时间域中的信号进行频域分析的方法，快速傅里叶变换是一种高效的计算离散傅里叶变换的方法。
频域分析主要包括信号的频谱分析和系统的频率响应分析两个方面。
在信号的频谱分析中，我们可以通过观察信号在频域上的能量分布情况来判断信号的频率成分、频率范围等信息。
而在系统的频率响应分析中，我们可以通过研究系统在不同频率上的响应特性来了解系统对不同频率信号的传输、增益、衰减等情况。
频域分析在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在音频处理领域中，频域分析可以用于声音信号的频谱分析和音效处理等方面。
在通信系统中，频域分析可以用于信号的调制解调、信道估计、信号检测等。
在图像处理中，频域分析可以用于图像的锐化、降噪、压缩等方面。
总结起来，信号的频域分析是信号与系统课程中的重要内容，它通过将信号从时间域转换为频域来研究信号的频率特性和频谱分布等问题。
傅里叶变换是频域分析中常用的方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦波的组合。
信号与系统—信号的频域分析
(3)信号的有效带宽
• 0~2 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信
号的有效频带宽度,即
B
2
信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。
即 越大，其ωB越小；反之， 越小，其ωB越大
物理意义：若信号丢失。有效带宽以外的谐波成分，
不会对信号产生明显影响。
说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。
物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。
3. 三角形式傅立叶级数
若 f (t)为实函数，则有
Cn Cn
利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为
1
f (t) C0
Cne jn0t
Cne jn0t
n
n1
C0
Cne jn0t Cne jn0t
n1
C0 2 Re( Cne jn0t )
用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。
吉伯斯现象产生原因
时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。
1.2
1 N=5
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
1.2
f1(t)
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
f2 (t)
1
t
f2 (t) 0.5
n1
Sa ( n ) cos(nt )
2
2
-4 -3 -2 -1
1 2 34
第3讲 信号频域分析
该函数系数
a0 (an cos nt bn sin nt )
n 1
an
t0 T
t0
fT (t ) cos* ntdt cos nt dt
2
t 0 T
t0
t0 fT (t ) dt n0 t0 T t0 fT (t ) cos ntdt n 1,2..
1 T 2 T
t0 T
bn
t0 T
t0
2 t0 T fT (t ) sin ntdt t0 T 2 T t0 sin nt dt
t0
fT (t ) sin * ntdt
n 1,2...
a0 A0 fT (t ) (an cosnt bn sin nt ) An cos(nt n ) 2 n1 2 n1
2.矢量分解 在平面空间里，相互正交的矢量 V1和V2构成一个正交矢量集，而且为 完备的正交矢量集。平面空间中的任 一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即： V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·2＝0。其中： V
c1V 1 V cos 1, c1
V cos 1 V1
jnt
n 0 , 1, 2....
jnt
基本周期：T=2л/Ω, 正交区间（t0 ，t0+T）。 是完备的正交函数集。
t0 T j nm t
正交性
t0 T
t0
e
e
jmt *
dt
t0
e
dt
m n 0 T m n
完备性：无穷函数集
信号的频域分析
信号的频域分析任一信号可以在时域对其进行分析和描述，利用傅立叶变换理论也可以对其进行频域分析，以便更好地对信号进行存储、传输和处理，达到提取有用信号的目的。
信号可分为四大类，与之对应存在四种类型的傅立叶变换，成为信号频谱分析的基础。
归纳如下表：四种信号的变化规律为：周期信号的频谱是离散的、互为谐波关系的；非周期信号的频谱是连续的；离散信号的频谱是为周期的；连续信号的频谱是非周期的。
所谓信号的频谱分析就是利用傅立叶变换的分析方法，找出与信号时域波形对应的频谱函数的幅度、相位以及能量或功率的分布规律等，以便在频域提取信号的特征。
实际工程中，通过积分公式求取复杂信号的频谱函数本身就比较困难，何况在许多情况下只是记录了实际信号的一段波形或数据，而没有对应的解析表达式。
若对这些信号进行频谱分析，就必须利用离散傅里叶变换（DFT）。
DFT表征一个在时域为N点有限长的序列x(n) 经过傅里叶变换到频域成为另一个N点有限长序列X (k )，即 ：∑-=-=12)()(N n kn Njen x k X π=∑-=1)(N n kn Nwn x离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为∑-==102)(1)(N k kn N j e k X N n x π∑-=-=1)(1N k knNwk X N可见，由于DFT 变换对在时域、频域都是离散的，可以通过计算机实现数值 计算。
而且DFT 存在快速算法FFT ，可以高速、高效地完成DFT 运算。
Matlab 中 提供了相应函数以实现DFT 变换对的计算，调用格式为：X=fft(x)其按照基2时间抽取快速算法计算序列x （n ）的傅里叶变换，当x (n) 的长度为2 的整数次幂或者x(n)为实序列时，计算的时间会大大缩短。
X=fft(x,n)其是补零或截短的n 点傅里叶变换，当x(n)的长度小于n 时，在x(n)的尾部补零使 x(n)的长度达到n 点；当x(n)的长度大于n 时，将x(n)截短使x(n)的长度成n 点； 然后对补零或截短的数据进行快速傅里叶变换。
信号的频域分析
基波角频率 2 1rad / s ，故 f t 可以表示为
T
f t 2 5cos 2t 53.10 2cos 3t 60 0 cos 7t 30 0
（2）根据上式，即可画出周期信号的单边幅度谱 和相位谱
例 已知周期信号f(t)=2cos(2лt-3)+sin(6лt), 求傅立叶级数指数表示式，并画出其频谱．
化 的关系用图形表示出来。频谱图包括幅度频谱和相位频谱。 c.习惯上常将振幅频谱简称为频谱。
图3.3.1 周期信号的频谱 （a）单边幅度谱 （b）双边幅度谱 （c）单边相位谱 （d）双边相位谱
周期信号振幅谱特点：
（1）离散谱。 （2）谐波性。 （3）收敛性。
注意：
以三角函数形式表示的振幅与相位随频率变化的图 形称为信号单边频谱图； 以指数形式表示的虚指数函数的幅度与相位随频率 变化的图形称为信号双边频谱图。
0 2
f (t ) e j(2t 3) e j(2t 3) 1 e j6t 1 e j6t
2j
2j
e 3 j e j2t e 3 j e j2t 0.5 j e j6t 0.5 j e j6t
F1 e 3 j ,
F1 e 3 j ,
F3 0.5 j,
将 系 数 用Fn 与 相 角 表 示 ，Fn Fn e jn
变化的信号。 它可表示为
f t f t mT
式中m为任意整数。时间T称
为该信号的重复周期，简称 周期。周期的倒数称为该信 号的频率。
周期信号
周期信号特点：
①它是一个无穷无尽变化的信号。
②当在一个周期内的信号确定后，若将其移动T的整数倍，则信号的 波形保持不变，它也可看成为将一个在周期T内所定义的信号作周
第三章：信号的频域分析
三.非周期信号的频谱
X(t)与│X(f)│之间存在：
三.非周期信号的频谱
∵许多时间函数（例如：正弦函数）的总能 量无限，但其功率有限。 ∴考虑在（－∞，＋∞）上的平均功率：
∫
∞
−∞
x2 (t)dt = ∫ X ( f ) df
2 −∞
∞
(巴赛伐等式）
(3－11)
T →∞
lim
上式为总能量的频谱表达式， 左边为X(t)在（－∞，＋∞）之间的总能量， 右边│X(f)│2称为X(t)的能谱密度。
∞ －∞
x (t ) = ∫
∞
−∞
X ( f ) e j (2π ft +φ ( f ) ) df
（3－10）
取实部
∫
+∞ −∞
X (ω ) e
dω
X ( f ) cos(2πft + ϕ ( f ))df
n
X ( f ) = 2 π X (ω )
称 X ( f ) 为 x (t ) 的连续频谱。一般
它的巴赛伐等式为:
四.平稳随机信号的频谱
∵平稳随机信号不是周期信号
(3－13)
2
∫
2 −∞ T
∞
x (t )dt = ∫ X ( f , T ) df
−∞
∞
∴其频谱应为连续谱 又∵样本曲线的波形各不相同 ∴幅值谱没有意义 ∴平稳随机信号的频谱是指功率谱密度。
lim 可得： T →∞
∞ 1 ∞ 2 1 2 xT (t )dt = ∫ lim X ( f , T ) df ∫ − ∞ − ∞ T →∞ 2T 2T
式（3－9）代入（3－5）得：
X (ω ) =
x (t) =
《信号的频域分析》课件
本PPT课件将介绍信号的频域分析，包括常见的信号分析技术、离散傅里叶变 换（DFT）、快速傅里叶变换（FFT）、窗函数、功率谱密度（PSD）、信噪比 分析等内容。
一、引言
1 频域分析的意义与作用
深入了解信号的频域特性，揭示其频率分布 及振幅信息。
2 常见的信号分析技术
涵盖傅里叶变换、小波变换、滤波与谱估计 等常用技术。
2
与DFT的比较
探讨FFT在计算效率和计算复杂度方面相对于DFT的优势。
3
FFT的算法和实现
深入了解基于蝶形运算的快速傅里叶变换的实现细节。
四、窗函数
窗函数的作用和基本要求
解释窗函数在频域分析中的作用和需要满足的基本 要求。
常见的窗函数类型及其特点
包括汉明窗、布莱克曼窗等常用窗函数的特点与适 用场景。
课程收尾和展望
总结课程内容，鼓励学习者深 入学习和探索信号的频域分析 领域。
二、离散傅里叶变换（DFT）
DFT基本原理及推导
将连续时间信号转化为离散 频域信号的数学理论基础。
DFT的计算方法
探索DFT的计算过程和相关算 法实现，如蝶形运算。
DFT的性质和特点
讨论DFT的周期性、线性性和 时移性等重要特性。
三、快速傅里叶变换（FFT）
1
FFT的基本原理和推导
介绍大规模傅里叶变换的算法思想和相关理论推导。
五、功率谱密度（PSD）
1
PSD的定义和基本概念
介绍功率谱密度的定义和在频域分析中
PSD的估计方法
2
的重要概念。
探索基于周期图法、自相关估计法等方
法估计功率谱密度。
3
相关应用和注意事项
讨论PSD在噪声处理、信号检测等领域 的实际应用和注意事项。
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含高频成份多的时域波形变化比高频成份少的
三角波要剧烈得多。可根据时域波形变化的剧
烈程度，判断其频谱成份。
2.4 信号的频域分析 周期信号频谱相关结论：
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1）周期信号的频谱是离散的； 2）周期信号频谱中的谱线只能出现在基频的 整数倍频率处； 3）周期信号的频谱线是收敛的。
2.4 信号的频域分析
T /2 x(t) sin n0tdt;
An an2 bn2 ;
2.4 信号的频域分析
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x(t)
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t) (n 1,2,,3,...)
n1
x(t)
a0 2
( an2 bn2 (
n1
an an2 bn2
cos n0t
bn an2 bn2
重庆大学材料学院
时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化 情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示 信号的频率组成和各频率分量大小。
图例：受噪声干扰的多频率成分信号
2.4信号的频域分析
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大型空气压缩机传动装置故障诊断
2.4信号的频域分析 1 时域和频域的对应关系
131Hz 147Hz 165Hz 175Hz
0
f
2.4 信号的频域分析
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时域分析与频域分析的关系
1)时域描述、频域描述是同
一信号的不同描述，并没有
改变信号本身的特性，只表
幅值
征了信号的不同特征。
2)信号频谱X(f)代表了信号
在不同频率分量成分的大小，
能够提供比时域信号波形更
直观，丰富的信息。
时域分析
频域分析
2.4信号的频域分析
2.4 信号的频域分析
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求图2所示三角波的频谱：
A (2A / T )tT / 2 t 0
x(t)
A
(2
A
/
T
)t
0
t
T
/
2
x(t)
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t) (n 1,2,,3,...)
n1
分析
1)偶函数,因为
x(t) x(t) bn 0
2)其余参数代 入公式计算
x(t) 0t 0及t t / 2
A T t T
x(t)
a0 2
n1
(an
cos n0t
bn
sin
n0t)
(n 1,2,,3,...) 分析
1)奇函数，则
a0 0
an 0
0 2 / T 2)其余参数代
入公式计算
2.4信号的频域分析 计算：
该周期方波可写成：
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频谱图
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3)傅里叶级数的复数表达形式：
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...)
n
由欧拉公式： cost 1 (e- jt e jt )
2
sin t j 1 (e- jt e jt )
2
代入傅里叶级数一般形式：
x(t) a0 [ an (e- jn0t e jn0t ) bn j(e- jn0t e jn0t )]
arctg
bn an
(n 1,2,,3,...) 具体过程->
2.4 信号的频域分析
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式中:
T /2
a0
1 T
x(t)dt;
T /2
T――周期， T=2π/ω0； ω0――基波圆频率；
f0= ω 0 /2π
T /2
an
2 T
T /2 x(t) cos n0tdt;
T /2
bn
2 T
2.4 信号的频域分析 计算：
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于是有：
x(t)
A 2
4A
2
(cos0t
1 9
cos 30t
1 25
cos 50t
...)
频谱图
2.4信号的频域分析
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方波频谱
三角波频谱
三角波信号频谱比方波信号的频谱衰减快
得多,说明前者频率结构主要由低频成份组成,
而方波高频成份比较大。反映到时域波形上，
sin
n0t)
a0 2
An[cosn cos n0t sinn sin n0t]
n1
a0 2
An cos(n0t n)
n1
物理意义->
式中：An
an2
bn2为谐波分量的幅值，n
arctg
bn an
2.4 信号的频域分析
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x(t)
a0 2
An cos(n0t n )
n1
由上式可以看出：
1)上式实际描述了周期信号x(t)的频率结构。幅 值-频率构成幅值频谱图，简称频谱图；相位-频 率构成相位频谱图，简称相位图。
2)具体来说，周期信号的频谱是离散的，即各
次谐波频率都是基频 0 的整数倍 n0
举例->
2.4 信号的频域分析
频谱图的概念
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工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以 fn (ω 0)为横坐标，bn 、an为纵坐标画图，称为 实频－虚频谱图。
图例
2.4 信号的为横坐标，An、 n 为纵坐标画图，则称为
幅值－相位谱；
2.4 信号的频域分析
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以fn为横坐标， An2 为纵坐标画图，则称为 功率谱。
2.4 信号的频域分析 求图1所示周期方波x(t)的频谱：
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A0 t T / 2
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频域参数对 应于设备转 速、固有频 率等参数， 物理意义更 明确。
2.4信号的频域分析
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2 周期信号的频谱分析
周期信号是经过一定时间可以重复出现的信 号，满足条件：
x ( t ) = x ( t + nT )
任何周期函数，都可以展开成正交函数线性 组合的无穷级数，如三角函数集的傅里叶级数:
2 n1 2
2
2.4 信号的频域分析
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进一步得到：
x(t)
a0 2
n1
[
1 2
(an
jbn )e- jn0t
1 2
(an
jbn )e jn0t )]
令：
Cn
1 2 (an
jbn )Cn
1 2 (an
第二章、信号分析基础
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2.4 信号的频域分析
信号频域分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t) 变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度 来了解信号的特征。
X(t)= sin(2πnft)
傅里叶 变换
0
t
8563A
SPECTRUM ANALYZER 9 kHz - 26.5 GHz
{cos n0t, sin n0t}
2.4信号的频域分析
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1)傅里叶级数的一般表达形式：
x(t)
a0 2
(an cos n0t bn sin n0t) (n 1,2,,3,...)
n1
各变量含义->
2)傅里叶级数的变形形式:
x(t)
a0 2
An cos(n0t n )
n1
其中，n