第七章7.1 不等式及其解法

答案 A ∵函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数, ∴a+2=0,得a=-2,
∴f(x)=-2x2+4,∴不等式(x-2)f(x)<0可转化为
x f
2 (x)
0, 0
或
x f
2 (x)
0, 0,
即
x 2, 2x2
4
0
或
x 2, 2x2
4
0,
解得- 2 <x< 2 或x>2.
32
6
6
∴b>a;
又a-c= ln 2 - ln 5 = 5ln 2 2ln 5 = ln 32 ln 25 >0,
25
10
10
∴a>c,∴b>a>c,即c<a<b.选B.
方法总结 比较大小的常用方法:
(1)构造函数,判断出函数的单调性,让所要比较大小的数在同一单调区间内,然后利用单调性
进行比较.
42
林老师网络编辑整理
7
6.(2018广东中山期末,7)已知实数a= ln 2 ,b= ln 3 ,c= ln 5 ,则a,b,c的大小关系是 ( )
2
3
5
A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c
答案 B ∵b-a= ln 3 - ln 2 = 2ln 3 3ln 2 = ln 9 ln 8 >0,
x
f
0, (x
1)
0
或
x
f
0, (x 1)
即
0,
x 0, 1 x
3
或
x x
0, 1或x
3,
解得0<x<3或x<-1.
故x的取值范围为(-∞,-1)∪(0,3).选A.
林老师网络编辑整理
12
4.(2019湖南益阳4月模拟,7)已知函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数,则不等式(x-2)f(x)<0的解集 为( ) A.(- 2 , 2 )∪(2,+∞) B.(- 2 ,+∞) C.(2,+∞) D.(- 2 ,2)
A.(-∞,0)∪
0,
1 2
B.
,
1 2
C.
1 2
,
D.
0,
1 2
答案 A 当x≥0时,原不等式即为x(1-2x)>0,所以0<x< 1 ;当x<0时,原不等式即为-x(1-2x)>0,所
2
以x<0,综上,原不等式的解集为(-∞,0)∪
0,
1 2
,故选A.
林老师网络编辑整理
11
3.(2018河北唐山期末,5)已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,若f(-2)=0,则满足xf(x-1)>0的x的 取值范围是 ( ) A.(-∞,-1)∪(0,3) B.(-1,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,3) D.(-1,0)∪(1,3)
.(用区间表示)
解析 不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.
3.(2015江苏,7,5分)不等式2x2x <4的解集为
.
答案 {x|-1<x<2}
解析 不等式 2x2x <4可转化为 2x2x <22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所 求解集为{x|-1<x<2}.
2 3
解析 3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x< 2 .
3
方法总结 求解一元二次不等式,常借助二次函数图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图 象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.
林老师网络编辑整理
2
2.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为 答案 (-4,1)
考点一 不等式的性质
(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜 色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费 用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 ( ) A.ax+by+cz B.az+by+cx C.ay+bz+cx D.ay+bx+cz
答案
D
对于选项A,由0<m<n<1可得0<
m n
<1,又p>1,所以0<
m n
p
<1,故A不正确;对于选项B,
由于p-m>0,p-n>0,所以 p m < m 等价于n(p-m)<m(p-n),可得n<m,不合题意,故B不正确;对于选项
pn n
C,由于函数y=x-p在(0,+∞)上为减函数,且0<m<n<1,所以m-p>n-p,故C不正确;对于选项D,结合对
ab
ab
确结论的序号是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
答案 A 因为 1 < 1 <0,所以b<a<0.
ab
①a2-b2=(a+b)(a-b)<0,所以a2<b2,正确;
②因为a,b同号,且a≠b,所以 b + a >2,正确;
ab
③a2-ab=a(a-b)<0,所以a2<ab,所以lg a2<lg(ab),错误.故选A.
所以ab<0,
1 a
+
1 b
=log20.1+log230=log23∈
3 2
,
2
,
所以 3 < 1 + 1 <2,所以4ab<2(a+b)<3ab,所以选B.
2ab
解题关键 本题考查了对数的换底公式和不等式的性质,解题的关键在于得出ab<0,属于中档
题.
林老师网络编辑整理
16
3.(2019安徽芜湖一模,9)已知0<a<b<1<c,则下列不等式不成立的是 ( )
1 8
,
1 4
,则
a b
的取值范围
是
.
答案 (4,24)
解析 依题意可得4< 1 <8,又1<a<3,所以4< a <24,故答案为(4,24).
b
b
林老师网络编辑整理
9
考点二 不等式的解法
1.(2019湖北黄冈元月调研,3)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x -2)<0的解集是 ( ) A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
b 2 b (b 2)b
b2 b
当c=0时,ac2=bc2,所以D不成立,选D.
林老师网络编辑整理
5
4.(2019河北五个一名校联盟第一次诊断,7)若p>1,0<m<n<1,则下列不等式正确的是 ( )
A.
m n
p
>1
C.m-p<n-p
B. p m < m
pn n
D.logmp>lognp
林老师网络编辑整理
4
2.(2017江西赣州、吉安、抚州七校联考,4)设0<a<b<1,则下列不等式成立的是 ( )
A.a3>b3 C.ab>1
B. 1 < 1
ab
D.lg(b-a)<0
答案 D 取a= 1 ,b= 1 ,可知A,B,C错误,故选D.
32
3.(2019河北衡水第十三中学质检(四),5)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中不一定成立的是 ( )
数函数的图象可得当p>1,0<m<n<1时,logmp>lognp,故D正确.故选D.
林老师网络编辑整理
6
5.(2018江西吉安一中、九江一中等八所重点中学联考,4)若a>1,0<c<b<1,则下列不等式不正 确的是 ( ) A.loga2 018>logb2 018 B.logba<logca C.(c-b)ca>(c-b)ba D.(a-c)ac>(a-c)ab
林老师网络编辑整理
A.ac<bc B.cb<ca
C.logac>logbc
D.logc
b a
>logc
a b
答案
B
采用特值法:取a=
1 4
,b=
1 2
,c=2,对于A选项,
1 4
2
<
1 2
2
,A选项成立.对于B选项,
2
1 2
>
2
1 4
,
B选项不成立.对于C选项,lo
g
1 4
2=-
1 2
,lo
g
1 2
2=-1,lo
11
A. a 2 <b2
C. a 2 > a
b2 b
B. 1 -c> 1 -c