要例题看不定积分与变限定积分的关系
041.不定积分、原函数与变上限定积分函数-054.关于泰勒公式的应用
31．不定积分、原函数与变上限定积分函数且仅当∫=αd )(t t f C 时，原函数C t t f x F x+=∫αd )()(，才是区间],[a a −上的奇函数．同样得到“只有原函数∫=x t t f x F 0d )()(才是区间],[a a −上的奇函数”的结论．32．关于充分条件与必要条件可能有)1()1(f f =−，但是却0)()1,1(0=′⇒−∈=∃ξξf ．33．关于多元函数极限的定义34．关于“相关变化率问题”的概念和解法35．多元函数能使用无穷小量的比较吗?37．多元极值问题在充分条件失效时的处理关的二阶偏导数都不存在的情况．例如函数||),(xy y x f =在驻点)0,0(处可微，但函数||),(xy y x f =在驻点)0,0(处所有的二阶偏导数都不存在．然而容易看出，0)0,0(=f 是函数||),(xy y x f =的极小值．定理证明，09考研复习应该怎么准备？39．高等数学答疑·零敲碎打之一40．高等数学答疑·零敲碎打之二41．高等数学答疑·零敲碎打之三42．中值问题证明之辅助函数技巧43．积分值与积分变量记号无关 09考研朋友“绿水红波”同学问：你在《09－051．高等数学答疑·零敲碎打之三》这篇辅导文章中说 “函数),(y x f 连续”的一个前提条件．在这个前提条件下，等式∫∫∫∫=yx xy D D x y f y x f σσd ),(d ),(是无条件成立的，即无论区域xy D 是否对称于直线x y =，他总是成立的”，你说随便举一个例子都可以说明的．若xy D ：x y x 222≤+，则yx D ：y x y 222≤+；y x y x f −=),(，则x y x y f −=),(，显然有∫∫∫∫≤+≤+−=−y x y x y x x y y x 222222d )(d )(σσ．我明白了你说的话是什么意思．但是照你说的话，那么这个性质还有什么用？我的回答：“绿水红波”同学，你明白了我所说的话是什么意思就够了．因为我在该文中确实没有讲到这个性质在“区域xy D 不对称于直线x y =”时也是很有用的．当然不可否认，在“区域xy D 对称于直线x y =”时，这个性质更好使．为此我们进行较为深入的研究和讨论．一般我们称这个性质为“积分值与积分变量记号（名称）无关”，这是高等数学中一个最基本的概念，在历年考研试卷中也时有出现，其实这个概念与“极限值与极限变量记号（名称）无关”有类似的本质．“积分值与积分变量记号（名称）无关”这一概念，对于定积分来说，就是∫∫=ba b a u u f x x f d )(d )(．对于二重积分来说，就是∫∫∫∫=uvD xy D v u v u f y x y x f d d ),(d d ),(． 对于三重积分、第一型曲线（或曲面）积分来说，也有完全类似的结论，不再一一表达了．而对于第二型曲线（或曲面）积分来说，因为牵涉到方向问题，这里就不加深入考虑了．上述等式是无条件成立的，只要 “f 具有了连续（甚至只要可积）性”的前提就可以了．在定积分问题中，对此似乎还没有什么异议，而在重积分问题中，就有人无端横加一些条件．例如有人错误地认为：等式∫∫∫∫=yxD xy D x y x y f y x y x f d d ),(d d ),( 成立是有条件的：积分区域xy D 必须对称于直线x y =，即yx xy D D =．甚至有人错误地认为，该结论成立还必须同时具备更苛刻的条件：被积函数),(y x f 必须具有轮换对称性，即),(),(x y f y x f =．我的《09－051．高等数学答疑·零敲碎打之三》这篇辅导文章就是为了专门指出这个问44．关于泰勒公式的应用。
不定积分与定积分部分典型例题
不定积分与定积分部分典型例题例1 验证2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数的原函数, 并说明两个函数的关系.分析 依原函数的定义, 若)(x F 和)(x G 的导数都是某个函数)(x f 的原函数, 即有)()()(x f x G x F ='=', 则)(x F 和)(x G 是)(x f 的原函数. 所以, 只需验证)(x F 和)(x G 的导数是否为同一个函数即可.解 因为x xx x x F ln 11)ln 1()(+=⋅+=' xxx x x x G ln 111ln )(+=+⋅='所以2)ln 1(21)(x x F +=和x x x G ln ln 21)(2+=是同一个函数x x ln 1+的两个原函数.且有21)(21ln ln 21)ln 1(21)(22+=++=+=x G x x x x F说明两个原函数之间仅相差一个常数. 例2 已知某曲线y =f (x )在点x 处的切线斜率为x21, 且曲线过点)3,4(, 试求曲线方程.分析 根据不定积分的几何意义, 所求曲线方程为过点)3,4(, 斜率是xx f 21)(=的积分曲线.解 c x x xx x f y +===⎰⎰d 21d )(且曲线过点)3,4(, 即c +=43, 得出143=-=c于是所求曲线方程为1+=x y例3 判断下列等式是否正确. （1）x xx xd 11d 11d22-=-⎰（2）c x x x +-='⎰cos d )(sin（3）21d ln d d e 1=⎰x x x x分析 （1）, （2）根据不定积分的性质进行判断；（3）根据定积分的定义进行判断.解 （1）依照不定积分的性质x x f x x f d )(d )(d =⎰所以, 等式x xx xd 11d 11d22-=-⎰成立.（2）依照不定积分的性质c x f x x f +='⎰)(d )(所以, 等式c x x x +-='⎰cos d )(sin 不成立. 正确的应为c x x x +='⎰sind )(sin（3）由定积分定义,)()(d )(a F b F x x f ba-=⎰是一个确定的数值, 因此, 对函数先求定积分再求导数等于对一个数值求导数, 所以结果应该为零. 即等式21d ln d de 1=⎰x x x x 错误, 正确的结果应为0d ln d d e 1=⎰x xxx . 例4 计算下列积分： （1）x x x d )1(23+⎰（2）x xxxx)d sin e (3e 2-+⎰ （3）x x d sin 20⎰π分析 对于（1）, （2）利用基本积分公式和积分运算性质进行积分, 注意在计算时, 对被积函数要进行适当的变形；对于（3）, 注意到被积函数带有绝对值符号, 而在积分时, 绝对值符号是一定要打开的, 且在积分区间]2,0[π上有⎩⎨⎧≤<-≤≤=πππ2sin 0sin sin x x x xx 利用定积分的区间可加性和N-L 进行计算.解（1）将被积函数变形为32312)1(xx x x x ++=+x x x d )1(23+⎰=x xx x x x x x x x d 1d 2d d )12(33⎰⎰⎰⎰++=++=c xx x +-+2221ln 221.（2）将被积函数变形为xx xx xx22sin 1e)3()sin e (3e +=+-再利用积分公式和积分运算性质得=+-⎰x x x xx)d sin e (3e 2⎰⎰+x xx xd sin 1d e)3(2 =c x x+-+cot 13ln )e 3( (3)⎰⎰⎰-+=ππππ2020d sin d sin d sin x x x x x x)]1(1[]11[cos cos 20--+---=+-=πππx x4=.说明：本例在求积分的方法直接积分法. 这种方法适用与那些只用到基本积分公式和积分运算性质, 或者对被积函数进行适当变形就 可以运用积分公式求积分的题目. 在解题中应该注意：1．熟悉基本积分公式；2．在解题中经常要对被积函数进行适当的的变形（例如（1）中将二项和的平方展开；（2）中将xe 乘到括号里边去；（3）中将绝对值打开）, 变形的目的是使被积函数为积分基本公式中的函数或它们的线性组合. 这些方法和技巧的掌握是基于平时的练习；3．如果连续试探几次, 进行不同的变形后仍无法达到目的, 则应考虑其它积分方法求解.例5 计算下列积分：（1）x xx d 12⎰-；（2）x x xd )e (1e 2⎰+ （3）x xxd ln e12⎰（4）x x d sin 203⎰π分析 注意到这几个被积函数都是复合函数, 对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法（第一换元积分法）, 在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ϕ=, 设法将对x 求积分转化为对)(x u ϕ=求积分. 对于定积分的凑微分的题目要注意：换元积分法的特点, 即“换元变限”.（1）将被积函数21x x -看成ux , 其中21x u -=, 且x x u d 2d -=, 于是,u ux ux d 121d -=, 这时对于变量u 可以利用公式求积分. （2）将被积函数2)e (1e x x +看成2e u x , 其中x u e 1+=, 且x u xd e d =, 于是22d d e u u x u x =, 这样对于变量xu e 1+=可以利用积分公式求积分.（3）将被积函数x x 2)(ln 看成x u 2, 其中x u ln =, 且x xu d 1d =, 于是x x u d 2u u d 2=, 这样对于变量x u ln =可以利用积分公式求积分.（4）将被积函数x 3sin 分解成x x x x x x x sin cos sin sin )cos 1(sin sin 222-=-=即分成两个函数积分的和, 第一个积分可以由N-L 公式直接得到, 第二个积分中被积函数视为x u sin 2, 其中x u cos =, x x u d sin d -=解 （1）x x x d 12⎰-=u ux x d 121)1d(112122⎰⎰-=---)1(2x u -= =c x c u +--=+-21（2）u ux xx x x d 1)e 1(d )e (11d )e (1e 222⎰⎰⎰=++=+ （x u e 1+=） =c c u x ++-=+-e111 （3）[方法1]换元换限. 令x u ln =, 则x xu d 1d =, 且当1=x 时, 0=u , e =x 时, 1=u , 于是有 31)01(3131d d ln 33103102e12=-===⎰⎰u u u x x x[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.)d(ln ln d ln e 12e12x x x xx⎰⎰=31])1(ln )e [(ln 31)(ln 3133e13=-==x(4) 因为x x d sin 203⎰π=x x x x x x x x d sin cos d sin d sin ]cos 1[20220202⎰⎰⎰-=-πππ对于积分1cos d sin 2020=-=⎰ππx x x对于积分x x x d sin cos 202⎰π用凑微分法,[方法1] 令x u cos =, 则x x u d sin d -=, 且当0=x 时, 1=u , 2π=x 时, 0=u , 于是有3131d d sin cos 1312202==-=⎰⎰u u u x x x π[方法2] 只凑微分不换元, 不换积分限.31cos 31dcos cos d sin cos 203202202=-=-=⎰⎰πππx x x x x x说明：第一换元积分法是积分运算的重点, 也是难点. 一般地, 第一换元积分法所处理的函数是复合函数, 故此法的实质是复合函数求导数的逆运算. 在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分⎰u u f d )(容易求原函数.应用第一换元积分法时, 首先要牢记积分基本公式, 明了基本公式中的变量x 换成x 的函数时公式仍然成立. 同时还要熟悉微分学中的微分基本公式, 复合函数微分法则和常见的 “凑微分”形式. 具体解题时, “凑微分”要朝着⎰u u f d )(容易求积分的方向进行.在定积分计算中, 因为积分限是积分变量的变化范围, 当积分变量发生改变, 相应的积分限一定要随之变化, 所以, 在应用换元积分法解题时, 如果积分变量不变（例如（3）（4）中的方法2）. 则积分限不变. 而且在换元换限时, 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限, 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在还原到原来变量求值（例如（3）（4）中的方法2）.由于积分方法是灵活多样的, 技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的（例如（4））因此, 我们只有通过练习摸索规律, 提高解题能力.例6 计算下列积分：（1）⎰+x x x d 1)sin2(；（2）⎰22d e x x x ； （3）⎰e e1d ln x x分析 注意到这些积分都不能用换元积分法, 所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及v u ',的选择可以参照表3-1, 具体步骤是：1．凑微分, 从被积函数中选择恰当的部分作为x v d ', 即v x v d d =', 使积分变为⎰v u d ； 2．代公式,⎰⎰-=u v uv v u d d , 计算出x u u d d '=3．计算积分⎰u v d . 在定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bau v uv v u d d , 它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限. 注意公式中ba uv 是一个常数, 在计算中应随时确定下来, 在计算（3）小题时应设法先去掉被积函数的绝对值符号, 这时需要根据绝对值的性质适当的利用定积分对区间的可加性质.解 （1）设x v x u 2sin ,1='+=, 则x v 2cos 21-=, 由分部积分公式有 ⎰⎰++-=+x x x x x x x d 2cos 212cos )1(21d 1)sin2(=c x x x +++-2sin 412cos )1(21 (2) 设2e ,xv x u ='=, 则2e 2xv =, 由定积分分部积分公式有44e 4e 4e4e 4d e 2e2d e 20222202202=+-=-=-=⎰⎰x x x x x x x x（3）因为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤-=e1ln 1e1ln ln x x x x x , 利用积分区间的可加性得到⎰⎰⎰+-=e11e1e e1d ln d ln d ln x x x x x x其中第一个积分为⎰⎰-=1e 11e 11e 1d ln d ln x x x x x x x 1e2e 11e 1-=+-= 第二个积分为11e e d ln d ln e 1e1e1=+-=-=⎰⎰x x x x x ,最后结果为e221e 21d ln d ln d ln e 11e1e e1-=+-=+-=⎰⎰⎰x x x x x x .例7 计算下列无穷限积分： （1）x x d )1(113⎰∞++；（2）⎰∞+-02d e x x ； （3）⎰∞+0d ln 1x xx 分析 对于无穷限积分⎰+∞ax x f d )(的求解步骤为：（1）求常义定积分⎰-=baa Fb F x x f )()(d )(；（2）计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→极限存在则收敛（或可积）否则发散. 收敛时积分值等于极限值.解 （1）])1(21[lim d )1(1lim d )1(1121313bb b b x x x x x -+∞→+∞→∞++-=+=+⎰⎰=)41()21(])11()1[(lim 2122-⨯-=+-+---+∞→b b 81=（2）]e 31[lim d e lim d e 030303bx b bx b x x x -+∞→-+∞→∞+--==⎰⎰31]e e[31[lim 03=--=-+∞→bb (3)+∞===+∞→+∞→∞+⎰⎰bb b b x x x x xx e e e)ln(ln lim )d(ln ln 1lim d ln 1说明此无穷积分发散.注意：正如3.4中提到的, 上述无穷限积分的计算过程也可以写成下面的形式（1）81])1(21[d )1(11213-=+-=++∞-∞+⎰x x x （2）31]e 31[d e 0303=-=+∞-∞+-⎰xx x （3）+∞===∞+∞+∞+⎰⎰e x x xx x x )ln(ln )d(ln ln 1d ln 1e e.。
不定积分与定积分的区别与联系
不定积分与定积分的区别与联系不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减积分积分，时一个积累起来的分数，现在网上，有很多的积分活动。
象各种电子邮箱，qq等。
在微积分中，积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。
在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的.一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。
其中：[F(x) + C]' = f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。
它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值.定积分就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。
实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.不定积分设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。
这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是：如果定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。
定积分和不定积分的关系
从微积分的发展史看，是先有定积分后有不定积分的。
定积分有明确的几何意义和物理意义。
求不定积分的积分法一开始是为使用牛顿-莱布尼兹公式服务的。
后来就脱离了这个思想变成了类似于智力游戏了。
在定积分中，dx也是有明确的几何意义或物理意义的。
这在微元法（元素法）中有最充分的表现。
而在不定积分中，dx已经被人认为只是游戏中的一个符号了。
国外的不少教材，甚至把∫f(x)dx 写成∫f(x)。
在这一点上，可以说在国内没有得到多少人认同，除了从国外回来的年轻的非专业人士外。
但是，这一点是有些争议的，汉字都可以简化笔画，对于数学里面抽象的符号将来如何简化，都有可能。
至少从现在看，不定积分中的dx也是和微分中的dx有一样的含义，
dF(x)=f(x)dx；
d[∫f(x)dx]=f(x)dx；
∫dF(x)=∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分中的dx【确实是】莱布尼兹为了说明原函数与被积函数的自变量相同，但有人说他【仅仅是】……就没有充分的根据了。
至于将来的解释如何，请不要把330年前的莱布尼茨拉出来说话。
其后果就是——你开始怀疑【微分与积分互为逆运算】了！
这不能说是“胡说”之下的一个杯具
我们可以从时间上进行追溯，莱布尼茨1675年10月29日开始记和式的极限为∫f(x)，∫表示limΣ，但是两个星期后（1675年11月12日）就开始记和式的极限为∫f(x)dx，dx（罗马字）就表示了和式中的△x（希腊字）。
定积分和不定积分的关系
从微积分的发展史看，是先有定积分后有不定积分的。
定积分有明确的几何意义和物理意义。
求不定积分的积分法一开始是为使用牛顿-莱布尼兹公式服务的。
后来就脱离了这个思想变成了类似于智力游戏了。
在定积分中，dx也是有明确的几何意义或物理意义的。
这在微元法（元素法）中有最充分的表现。
而在不定积分中，dx已经被人认为只是游戏中的一个符号了。
国外的不少教材，甚至把∫f(x)dx 写成∫f(x)。
在这一点上，可以说在国内没有得到多少人认同，除了从国外回来的年轻的非专业人士外。
但是，这一点是有些争议的，汉字都可以简化笔画，对于数学里面抽象的符号将来如何简化，都有可能。
至少从现在看，不定积分中的dx也是和微分中的dx有一样的含义，
dF(x)=f(x)dx；
d[∫f(x)dx]=f(x)dx；
∫dF(x)=∫f(x)dx=F(x)+C。
不定积分中的dx【确实是】莱布尼兹为了说明原函数与被积函数的自变量相同，但有人说他【仅仅是】……就没有充分的根据了。
至于将来的解释如何，请不要把330年前的莱布尼茨拉出来说话。
其后果就是——你开始怀疑【微分与积分互为逆运算】了！
这不能说是“胡说”之下的一个杯具
我们可以从时间上进行追溯，莱布尼茨1675年10月29日开始记和式的极限为∫f(x)，∫表示limΣ，但是两个星期后（1675年11月12日）就开始记和式的极限为∫f(x)dx，dx（罗马字）就表示了和式中的△x（希腊字）。
变上限几分是不定积分原函数
变上限几分是不定积分原函数不定积分是微积分中的重要概念，是求函数的原函数的过程。
原函数是指在给定函数连续的定义域内求其导函数等于该函数的函数。
而变上限几分是一种特殊的不定积分形式，其上限是变量而不是常数。
在本文中，将详细探讨变上限几分的求解方法和原理。
假设给定函数$f(x)$在$[a,b]$上连续，那么其变上限积分可定义为：$$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$其中，$F(x)$为$f(x)$的变上限积分函数，$t$为积分变量。
我们来推导一下变上限积分的原函数。
根据定义，当求导数$\frac{dF(x)}{dx}$时，我们可以将上限$x$看作常数，积分变量$t$看作$x$，然后对$t$求导，即：$$\frac{dF(x)}{dx} = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt$$根据导数的求导公式，得到：$$\frac{dF(x)}{dx} = f(x)$$其中，$f(x)$为给定函数$f(t)$在$x$处取值。
由于导函数为$f(x)$，根据微积分基本定理，我们可以得出：$$F(x) = \int f(x) dx + C$$其中，$C$为常数。
上述推导说明了变上限积分的原函数为$f(x)$在不定积分后再加上一个常数$C$。
为了更加深入地理解变上限几分，我们来看一个具体的例子。
例题：求函数$f(x)=2x$的变上限积分函数。
解：根据推导公式，我们可以知道：$$F(x) = \int_a^x f(t) dt$$$$= \int_a^x 2t dt$$$$=[t^2]_a^x$$$$=x^2-a^2$$所以，$f(x)=2x$的变上限积分函数为$F(x)=x^2-a^2+C$，其中$C$为常数。
通过这个例子，我们可以发现，变上限积分函数的求解实际上就是将给定函数积分一次，并在结果中将上限用$x$替代，并加上一个常数$C$。
这与常规不定积分的原函数求解方法是相同的。
总结一下，变上限积分函数的求解方法可归结为以下几个步骤：1.对给定函数$f(x)$进行不定积分，将上限用$x$替代，得到积分结果$F(x)$。
专题2——积分上限函数(变限积分)与不定积分之间的关系
1专题2——积分上限函数（变限积分）与不定积分之间的关系
注意积分上限函数（数学全书上成为变限积分）的定义：函数为区间上的连续函数，设()f x [,]a b 为区间上的一定点，积分，（这里的积分变量用表示而没有用表0x [,]a b 0()x
x f t dt ⎰[,]x a b ∈t x 示，主要是为了避免与积分上限产生混淆，在定积分中，积分变量的选取与定积分的指没有关系，x 即）定义了一个函数，令为，，且000()()()x
x x x x x f t dt f u du f x dx ==⎰⎰⎰0()()x
x x f t dt φ=⎰[,]x a b ∈有0()(())()
x
x x f t dt f x φ''==⎰由原函数的定义及可知，函数即为在区间0()(())()x
x x f t dt f x φ''==⎰()x φ0()x
x f t dt ⎰()f x 上的一个原函数，那么在区间上的不定积分（即在区间上的全体原函[,]a b ()f x [,]a b ()f x [,]a b 数）可以表示为：，，为任意常数。
0()()x
x f x dx f t dt C =+⎰⎰[,]x a b ∈C 所以，求函数在区间上的不定积分（亦即全体原函数），既可以用不定积分的方法()f x I 求出，也可以用定积分的方法求出。
()f x dx ⎰0()x
x f t dt C +⎰。
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：