理解垂直的定义和性质掌握垂线段、点到直线距离的定义
四年级数学上册《画垂线和点到直线的距离》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解垂线的概念，知道垂线与直线的关系，能够识别并画出垂线。
2.掌握点到直线的距离的概念，了解距离的度量方法，能够准确地计算出点到直线的距离。
3.学会使用直尺、圆规等工具，进行垂线与点到直线距离的作图。
4.能够运用垂线与点到直线距离的知识，解决实际生活中的问题，如测量距离、设计图形等。
4.培养学生团结协作、互帮互助的精神，使学生学会尊重他人，共同进步。
在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，因材施教，使每位学生都能在原有基础上得到提高。同时，教师还应注重培养学生的综合素质，将知识、技能、情感态度与价值观有机地结合起来，为学生的全面发展奠定基础。
二、学情分析
在本章节的教学中，学生已具备了一定的几何知识基础，如直线、线段、角度等基本概念，并掌握了基本的作图技能。在此基础上，学生对垂线和点到直线距离的学习将更加深入。然而，由于四年级学生的认知水平和空间想象力有限，他们对垂线的概念和点到直线距离的理解可能存在一定困难。此外，学生在解决实际问题时，可能难以将所学知识灵活运用。因此，在教学过程中，教师应关注以下几点：
4.引导学生总结学习方法，培养学生的自主学习能力和团队合作精神。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习积极性，使学生乐于探究、善于思考。
2.培养学生的空间观念，让学生认识到数学在生活中的重要作用，提高学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生养成良好的学习习惯。
-培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
3.教学方法：
-采用直观演示法，通过动画和实物演示，帮助学生理解垂线的性质。
人教版数学四年级上册《画垂线和点到直线的距离》说课稿
人教版数学四年级上册《画垂线和点到直线的距离》说课稿一. 教材分析人教版数学四年级上册《画垂线和点到直线的距离》这一章节，是在学生已经掌握了直线、射线、线段的基本知识，以及角的分类和直线的性质的基础上进行学习的。
本节课的主要内容是让学生掌握垂线的定义和性质，以及点到直线的距离的求法。
教材通过生动的图片和实际问题，引发学生的思考，培养学生的空间观念和解决问题的能力。
二. 学情分析四年级的学生已经具备了一定的空间观念和观察能力，他们对直线、射线、线段有了初步的认识，同时也掌握了角的概念和直线的性质。
然而，对于垂线的定义和性质，以及点到直线的距离的求法，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要根据学生的实际情况，逐步引导学生理解和掌握这些概念。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握垂线的定义和性质，以及点到直线的距离的求法。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间观念和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：垂线的定义和性质，点到直线的距离的求法。
2.教学难点：理解和掌握垂线的性质，以及如何求点到直线的距离。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用以下教学方法和手段：1.情境教学法：通过生动的图片和实际问题，引发学生的思考，培养学生的空间观念。
2.操作教学法：让学生亲自动手画垂线，求点到直线的距离，加深对概念的理解。
3.交流讨论法：引导学生互相交流、讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
4.多媒体教学手段：利用多媒体课件，直观地展示垂线的性质和点到直线的距离的求法，提高学生的学习兴趣。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生的思考，引入本节课的主题。
2.探究新知：引导学生观察、操作，自主发现垂线的性质和点到直线的距离的求法。
3.巩固新知：通过练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。
七年级数学下册《垂线》教案
七年级数学下册《垂线》教案七年级数学下册《垂线》教案一、内容和内容解析1.内容垂线的概念，垂线的性质，以及点到直线的距离的概念.2.内容解析两条直线互相垂直作为两条直线相交的特殊情形，在理论和实践上都有特殊的用途，与它有关的概念和结论是后期学习“图形与几何”的基础，也是学习“平面直角坐标系”的直接基础.垂直的概念是一个承接了前面学段学过的概念，本节课主要从垂直的符号语言和图形语言的表示等不同的角度进一步认识垂直.垂线的两个性质，都是通过操作、探究获得的.用三角尺画垂线，学生前面学段已经学过，为了获得垂线的性质，在这里仍要让学生动手画图，还可让学生通过折纸作垂线等操作，体会垂线的存在性和唯一性，归纳出“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一的性质.“垂线段最短”的性质在日常生活中有着广泛的应用，教材由实际问题引入，由解决实际问题结束.教学时，应多举一些这方面的实例，让学生体会这一性质的应用．“点到直线的距离”的概念是以“垂线段最短”为根据的，教学时，要注意结合图形，强调点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，是一个数量，而不是指图形(垂线段).基于以上分析，确定本节课的教学重点是：垂线的性质.二、目标和目标解析1.目标⑴理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；⑵理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离；⑶掌握垂线的两个性质．2.目标解析达成目标⑴的标志是：学生会用符号语言和图形语言来表示垂直关系，从不同角度来认识垂直.能过直线上或直线外一点作已知直线或线段的垂线.达成目标⑵的标志是：能理解点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，而不是一个图形.达成目标⑶的标志是：能熟记垂线的两个性质，理解它们的含义，明确条件、结论是什么；准确理解关键词的含义，如“有且只有”的含义；对“垂线段最短”能熟练应用于生活实际.三、教学问题诊断分析在前面学段的学习中，学生已经接触了垂直的定义和垂线的画法，也经历过将图形语言翻译成符号语言的过程，因此学生在此对将垂直的图形语言翻译成符号语言的理解以及作垂线并不困难.而垂线的两条性质的获得只是通过画图以及测量、比较等方法获得的，并且两条性质的文字表达极其精炼，因此学生归纳和理解起来将存在困难.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：垂线的两条性质的探究与归纳.四、教学过程设计1.创设情境，导入新知教师自制教具，将两根木条钉在一起(如图1)，固定其中一根木条a，转动木条b，请学生观察：问题1.在木条b的转动过程中，什么量也随之发生改变？师生活动：学生发言，相互补充.教师借机和学生一起回忆上节课学习的内容：对顶角和邻补角的概念和性质.教师追问⑴：当a与b所成角为90?时，其余各角分别为多少度？师生活动：教师引导学生发现，当a与b所成角为90?时，其余各角都为90°，是木条相交中最特殊的一种情况.教师追问⑵：这时木条a与b有何位置关系呢？师生活动：学生根据小学已学的知识可以知道，此时，木条a与b互相垂直，教师揭示课题.设计意图：让学生借助已有的知识发现数学问题，并解决问题，进一步提高对垂直概念的认识.2.变换角度，认识垂直问题2.仔细观察图2，当两条直线相交时所形成的4个角中，有一个角为90°，就得出这两条直线有何位置关系呢？师生活动：学生回答，并归纳概括出垂直的定义.教师补充指出垂线和垂足的概念.并给出垂直的符号表示.教师追问⑴：如图2，如何用符号语言表示垂直的定义呢？师生活动：学生观察图形，独立完成用符号语言表示垂直定义，教师点拨，规范学生的书写过程.教师追问⑵：如何判定两条射线垂直？两条线段呢？师生活动：学生积极踊跃发言，教师做总结，提醒学生注意：两条线段垂直、两条射线垂直、射线与直线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直.设计意图：教师引导学生用几何语言描述图形的位置关系，并学会用符号语言表示，培养学生表达几何图形的能力.教师追问⑶：你能举出一些生活中与垂直有关的实例吗？师生活动：学生举例.教师多媒体出示生活中的图片(图3).设计意图：学生例举身边的实物，能由实物的形状想象出直线垂直关系，将新知识应用到对周围环境直接感知的基础上，有利于学生建立直观、形象的数学模型.例1.如图4，三条直线相交于点o．若co⊥AB，∠1=56°，则∠2等于( ).A.30°B.34°c.45°D.56°师生活动：学生计算后作答，教师请学生口述推理过程.设计意图：角度计算题，目的是考查学生利用垂直定义以及对顶角性质解决问题的能力.3.动手操作，归纳性质问题3.用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画几条？师生活动：学生动手尝试，得出结论：画已知直线的垂线可以画无数条.教师追问⑴：经过直线上一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画几条？师生活动：学生尝试动手作图，根据作图情况回答：只有一条.教师追问⑵：经过直线外一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画几条？师生活动：学生根据作图的实际情况作答：只有一条.教师追问⑶：通过上面的画图，你发现过一个点可以画已知直线l的垂线吗？可以画几条呢？师生活动：学生交流讨论后作答.教师引导学生归纳垂线的第一个性质，重点关注学生对“有且只有”一词的理解，体会数学语言的丰富与精练.设计意图：教师利用层层递进的提问，引导学生动手作图，并尝试自己探究、归纳出直线垂直的第一个性质，着重培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力.例2.过点P画出射线AB或线段AB的垂线.设计意图：通过作图，让学生体会作线段、射线的垂线，其实就是它们所在的直线的垂线.反馈练习：如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点Q并折出过点Q且与直线垂直的直线．这样的直线能折出( ).A.0条B.1条c.2条D.3条师生活动：学生通过折纸活动，直观体会“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”这一性质.设计意图：通过一道练习，让学生通过折纸作垂线，通过动手操作，体会垂线的存在性和唯一性.4.思考问题，再探性质问题4.在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？思考：你能将这个实际问题转化成数学问题吗？变式：⑴在直线上有无数个点，试着取几个点与点P相连，比较一下它们的大小关系．你有什么发现？⑵你能猜想一下最短的位置会在哪儿？它唯一吗？为什么？⑶你能用一句话总结出观察得出的结论吗？师生活动：学生作图、观察、猜想，教师引导学生发现并归纳垂线的第二个性质.如有学生说法错误或者不完整，其他学生可以给予纠正、补充，在此基础上，教师揭示点到直线的距离的概念.设计意图：通过设计分层变式题，将实际问题转化成数学问题去解决，层层递进，提高思维度，使学生对问题的推理判断能力进一步深化和提高.练习：如图，Ac⊥Bc，且Bc=5，Ac=12，AB=13，则点A到Bc的距离是_______，点B到Ac的距离是_______，点B到点A的距离是__________．5.归纳小结教师与学生一起回顾本节课所学习的主要内容，请学生回答下列问题：⑴什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们是如何刻画两直线垂直的位置关系的？⑵垂线有哪些性质？⑶本节课的学习，你在数学思想方法方面还有哪些收获？设计意图：通过问题对本节课内容进行梳理，掌握本节课的主要内容——垂直定义和垂线的两个性质，及其中蕴含的数学思想方法.6.布置作业教科书习题5.1⑴第3、4、5题；⑵选做题：第6、7题.。
《 点到直线的距离》(教案)2023-2024学年数学四年级上册
《点到直线的距离》【教学目标】1. 让学生掌握点到直线距离的定义和计算方法。
2. 培养学生运用点到直线距离解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
【教学内容】1. 点到直线的距离的定义2. 点到直线距离的计算方法3. 应用点到直线距离解决实际问题【教学重点】1. 点到直线的距离的定义2. 点到直线距离的计算方法【教学难点】1. 点到直线距离的计算方法2. 应用点到直线距离解决实际问题【教学过程】一、导入新课（5分钟）1. 复习旧知识：引导学生回顾垂线、垂足的定义及性质。
2. 提问：如何计算一个点到直线的距离？3. 引入新课：点到直线的距离。
二、讲解新课（15分钟）1. 讲解点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离。
2. 讲解点到直线距离的计算方法：（1）作直线外一点到直线的垂线，找到垂足。
（2）计算垂线段的长度。
3. 示例讲解：如图，点P到直线AB的距离是多少？解：作PE ⊥ AB于E，PE就是点P到直线AB的垂线段。
计算PE的长度：PE = 4cm。
所以，点P到直线AB的距离是4cm。
三、课堂练习（15分钟）1. 计算下面各题中点到直线的距离。
（1）如图，点C到直线AB的距离是多少？（2）如图，点D到直线EF的距离是多少？2. 解决实际问题：（1）如图，小明从点A出发，想走到公路MN上，怎样走最近？请说明理由。
（2）如图，从点P到直线CD的距离是5cm，请在直线CD上找一点Q，使点Q 到点P的距离等于10cm。
四、课堂小结（5分钟）请学生回顾本节课所学内容，总结点到直线的距离的定义和计算方法。
五、课后作业（15分钟）1. 完成练习册上的相关习题。
2. 思考题：如图，点A到直线BC的距离是3cm，点D到直线BC的距离是5cm。
比较点A和点D到直线BC的距离，你发现了什么规律？【教学反思】本节课通过讲解点到直线的距离的定义和计算方法，让学生掌握了点到直线距离的计算方法。
垂直教学设计方案
教学设计方案
运城市实验中学王凤
入可以精减一些素材，突显简洁干炼。
教学过程设计一、复习回顾
〔教师活动〕：同一平面上的两条直线有哪些位置关系?
〔学生活动〕：相交或平行
二、创设情境，引入新课
〔教师提问〕：（多媒体显示方框中的平行线图案）观察图中的折线你能说出相邻的两折线所在的直线有怎样的位置关系呢？
〔学生回答〕:垂直
〔教师提问〕：什么叫做两条直线互相垂直？（引导学生在课本上找出定义并熟记）
〔教师活动〕：由此引入课题——垂直，指出定义
中的关键字眼，明白“互相”的含义，引导学生对比
“平行”的表示与读法来表示两直线垂直，并在图中
标示。
三、垂直的画法
（1）让学生举例身边、生活中的线段垂直、直线垂直的例子并进行评价。
（2）要求学生在白纸上用量角器或三角尺画两直线或线段垂直，标上字母并表示。
让一至两个学生在黑板上板书。
（3）要求学生在方格纸画出两直线或两线段垂直，标上字母并表示和读出来，并总结出有哪些画法。
（4）利用一张白纸，用折叠的方法如何折出两线段垂直。
〔学生活动〕：学生根据问题串中提出的问题，跟着大屏幕一项一项完成，通过不同的操作体会垂直画法的多样性。
2.2 垂线
2.2 垂线【知识精华点击】课标要求1. 了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；2. 了解垂线段的概念,了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.本节重点是两条直线互相垂直的概念、性质和画法，“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用；难点是画给定直线的垂线以及对点到直线的距离的概念的理解. 教材详析1.垂线(1)定义：当两条直线相交成的4个角中，有一个角是直角时，就叫做这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足。
理解垂直要注意以下三点：①掌握垂直的表示法垂直用符号“⊥”来表示，如图 2.2-1，“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”可记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,OD C B A图2.2-1②理解垂直与相交的关系垂直是相交的特殊情形，即相交成的角是直角时就是垂直。
所以两条直线互相垂直就一定相交，反过来，两条直线相交就不一定互相垂直。
③弄清“互相垂直”与“垂线”的联系和区别“互相垂直”是两条直线间的一种特殊位置关系，“垂线”则是两条直线互相垂直时其中的一条直线对另一条直线的称呼。
两条直线“互相垂直”时，其中的一条直线就是另一条直线的“垂线”。
反之，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么这两条直线就一定互相垂直。
(2)几何推理：包括正用（判定）和反用（性质）的推理过程。
如图2.2-1， 判定：∵∠AOB=90°,∴AB ⊥CD ； 性质：∵AB ⊥CD ，∴∠AOB=90°。
(3)垂直的性质过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(4) 垂线的画法①通过直线上的已知点画与这条直线垂直的直线（如图2.2-2（1））：第一步：把三角板的一条直角边与直线重合；第二步：沿着直线左右移动三角板，使直角顶点与直线上的已知点重合；第三步：沿另一条直角边画一条直角边画一条直线。
垂线(知识讲解)-七年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)
专题5.4垂线（知识讲解）1.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；2.理解并运用“垂线段最短”解决实际问题；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．特别说明：(1)记法：直线a 与b 垂直，记作：a b ⊥；直线AB 和CD 垂直于点O，记作：AB⊥CD 于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：90AOC ∠=° 判定性质CD⊥AB．：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．特别说明：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．特别说明：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．特别说明：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、垂线➽➼定义的理解➼➻垂直✬✬直角1．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，下列条件：90AOD ∠=︒①；AOC BOC ∠=∠②；AOC BOD ∠=∠③，其中能说明AB CD ⊥的有（）A ．①B ．①或②C ．①或③D ．①或②或③【答案】B 【分析】根据垂直定义“当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直”进行判定即可．解：90AOD ∠=︒①，可以得出AB CD ⊥，故符合题意；180AOC BOC ∠+∠=︒ ②，AOC BOC ∠=∠，故符合题意，90AOC BOC ∴∠=∠=︒，可以得出AB CD ⊥；AOC BOD ∠=∠③，不能得到AB CD ⊥，故不符合题意；故能说明AB CD ⊥的有①②．故选：B ．【点拨】此题主要考查了垂直定义，关键是通过条件计算出其中一个角为90︒．举一反三：【变式1】如图，同一平面内的三条直线交于点O ，130∠=︒，260∠=︒，AB 与CD 的关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．以上均有可能【变式2】如图，120∠=︒，则2∠的度数是（）A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【答案】C【分析】根据图象可得：∠1+∠2=90°，代入求解即可得出结果．解：∵∠1+∠2+90°=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=20°，∴∠2=70°，故选：C．【点拨】题目主要考查角度计算，从图中得出∠1+∠2=90°是解题关键．类型二、垂线➽➼垂线的画法条射线重合，折痕a即为所求，下列判断正确的是（）A．只有嘉嘉对B．只有淇淇对C．两人都对D．两人都不对【答案】C【分析】根据垂直的定义即可解答．解：嘉嘉利用量角器画90°角，可以画垂线，方法正确；淇淇过点A将纸片折叠，使得以A为端点的两条射线重合，折痕a垂直直线l，方法正确，故选：C．【点拨】本题主要考查了作图、垂线的定义，掌握垂直的定义是解答本题的关键．举一反三：【变式1】下列用三角板过点P画AB的垂线CD，正确的是（）【变式2】过一条线段外一点，作这条线段的垂线，垂足在()A．这条线段上B．这条线段的端点处C．这条线段的延长线上D．以上都可以【答案】D【分析】画一条线段的垂线就是画线段所在直线的垂线，进而得出答案.解答：由垂线的定义知，画一条线段的垂线，垂足可以在线段上，可以是线段的端点，也可以在线段的延长线上.故选D.【点拨】本题主要考查线段垂线的画法，正确把握垂线的定义是关键.类型三、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段画法3．如图，90AOB ∠=︒，P 是OB 上的一点，用刻度尺分别度量点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【答案】点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm【分析】过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量PO 和PD 的长度，即可得到点P 到直线OA 和到直线OC 的距离．【详解】解：过点P 作PD OC ⊥，用刻度尺分别度量，可得点P 到直线OA 的距离约为2cm ，点P 到直线OC 的距离约为1.1cm ．【点拨】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是清楚点到直线的距离是垂线段的长度．举一反三：【变式1】如图，AB 、CD 、NE 相交于点O ，OM 平分BOD ∠，OM ON ⊥，55AOC ∠=︒．(1)线段______的长度表示点M 到NE 的距离；(2)比较MN 与MO 的大小（用“＜”号连接）：____________，并说明理由：____________；(3)求AON ∠的度数．【答案】(1)MO ；(2)MO MN <，是因为垂线段最短；(3)62.5︒【分析】（1）根据点到直线的距离求解即可；（2）根据垂线段最短求解即可；（3）根据垂直的定义和角之间的关系求解即可．（1）解：线段MO 的长度表示点M 到NE 的距离，故答案为：MO ；（2）解：比较MN 与MO 的大小为：MO MN <，是因为垂线段最短，故答案为：MO MN <，是因为垂线段最短；（3）解：55BOD AOC ∠=∠=︒ ，OM 平分BOD ∠，27.5BOM ∴∠=︒，18018027.59062.5AON BOM MON ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．【点拨】本题考查了点到直线的距离、角平分线、垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线的距离．【变式2】已知：点P 是直线MN 外一点，点A 、B 、C 是直线MN 上三点，分别连接PA 、PB 、PC ．（1）通过测量的方法，比较PA 、PB 、PC 的大小，直接用“>”连接；（2）在直线MN 上能否找到一点D ，使PD 的长度最短？如果有，请在图中作出线段PD ，并说明它的理论依据；如果没有，请说明理由．【答案】（1）PA PB PC >>；（2）见解析，垂线段最短【分析】(1)直接测量，比较大小即可；(2)作MN 的垂线，垂足为D ，PD 即所求．解：（1）通过测量可知， 3.7PA =cm ， 3.2PB =cm ， 2.8PC =cm ，故PA PB PC >>；（2）过点P 作PD MN ⊥，则PD 最短．理由：垂线段最短【点拨】本题考查了垂线段最短的性质，解题关键是能熟练的测量线段的长度，知道垂线段最短．类型四、垂线➽➼点到直线的距离✬✬垂线段的长4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，6cm BC =，10cm AB =，点P 从点A 出发，沿射线AB 以2/cm s 的速度运动，点Q 从点C 出发，沿线段CB 以1cm /s 的速度运动，P 、Q 两点同时出发，当点Q 运动到点B 时P 、Q 停止运动，设Q 点的运动时间为t 秒．（1）当t =______时，2BP CQ =；（2）当t =______时，BP BQ =；（3）画CD AB ⊥于点D ，并求出CD 的值；（4）当t =______时，有2ACP ABQ S S = ．举一反三：【变式1】如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP的最小值是____．【答案】4.8【分析】根据垂线段最短可知：当MP⊥AB时，MP有最小值，利用三角形的面积可列式计算求解MP的最小值．解：当MP⊥AB时，MP有最小值，∵AB＝10，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，∴AB•MP＝AM•BM，即10MP＝6×8，解得MP＝4.8．故答案为：4.8．【点拨】本题主要考查垂线段最短，三角形的面积，找到MP最小时的P点位置是解题的关键．【变式2】如图，在三角形ABC中，AC＝5，BC＝6，BC边上的高AD＝4，若点P在边AC 上（不与点A，C重合）移动，则线段BP最短时的长为_________________．中考真题专练4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（）A ．垂线段最短B ．两点确定一条直线C ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【答案】A【分析】根据垂线段最短解答即可．解：行人沿垂直马路的方向走过斑马线，体现的数学依据是垂线段最短，故选：A ．【点拨】本题考查垂线段最短，熟知垂线段最短是解答的关键．举一反三：【变式1】（2022·河南·中考真题）如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，垂足为O ．若∠1＝54°，则∠2的度数为（）A ．26°B ．36°C ．44°D ．54°【答案】B 【分析】根据垂直的定义可得90COE ∠=︒，根据平角的定义即可求解．解： EO ⊥CD ，90COE ∴∠=︒，12180COE ∠+∠+∠=︒ ，2180905436∴∠=︒-︒-︒=︒．故选：B ．【点拨】本题考查了垂线的定义，平角的定义，数形结合是解题的关键．【变式2】（2021·北京·中考真题）如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若120AOC ∠=︒，则BOD ∠的大小为（）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．60︒【变式3】（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连接PT ，则（）A ．PT PQ≥2B ．PT PQ ≤2C ．PT PQ ≥D ．PT PQ≤【答案】C 【分析】根据垂线段距离最短可以判断得出答案．【详解】解：根据点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，∴是垂线段，即连接直线外的点P与直线上各点的所有线段中距离最短，PQ=，当点T与点Q重合时有PQ PT≥，综上所述：PT PQ故选：C．【点拨】本题考查了垂线段最短的定义，解题的关键是：理解垂线段最短的定义．。
垂线
5.1.2垂线（1）【学习目标】：1.理解并识记垂直、垂线的定义和性质.2.会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线.3.会正确运用垂直的定义和垂线的性质.【学习过程】：一、板书课题过渡语：同学们，这些图片给我们垂直、垂线的形象，它们不仅在生活中常见，在几何证明中也常常用到.今天我们来学习5.12垂线(1)（师板书）.二、出示目标（一）过渡语：要达到什么学习目标呢？请看：（二）出示学习目标学习目标1.理解并识记垂直、垂线的概念，会表示两条直线垂直.2.理解并识记垂线的性质，会画一条直线的垂线.三、自学指导（一）过渡语：怎样才能当堂达标呢？请看自学指导：（二）出示自学指导自学指导认真看课本(Ｐ3练习下面—Ｐ5练习前).要求：1.结合图形理解两条直线相交成多少度时，这两条直线互相垂直，如何表示垂直；2.理解、识记什么叫做垂线、垂足，思考垂直与相交的关系是什么；3.回答“探究”中的问题,思考过一点如何画已知直线的垂线，能画几条.如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.5分钟后，比谁会画已知直线的垂线，并能运用垂直的定义和垂线的性质做对检测题.比谁看书最认真，谁先看完并背熟请举手.四、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真、紧张的自学.（二）检测1.出示检测题过渡语：同学们，会背垂直定义和垂线性质的请举手.能不能正确运用呢？请看检测题：检测题：必做题：Ｐ5：1、2 P8：5选做题：1.下列说法中，正确的个数是（ ）①两条直线相交形成的四个角中有一个角为直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线相交，其中一组对顶角互补，那么这两条直线互相垂直； ③两条直线相交形成的四个角相等，那么这两条直线互相垂直；④两条直线相交，如果有一组邻补角相等，那么这两条直线互相垂直.A.1B.2C.3D.42.如图所示，直线AB ⊥CD 于点O ，直线EF 经过点O,若∠1=26°，则∠2=___.要求：1.仿照例题，过程规范，书写工整.2. 6分钟独立完成.比谁做的又快又对，谁先完成，请举手. 分别让2位同学板演，其他同学在座位上做.2.学生练习，教师巡视.（收集错误进行二次备课）(教师面批面改最先完成的几名学生的作业，表扬做的又快又好的几名学生)五、后教（一）白板出示答案.1 2 C EB F A（二）学生对照答案，自改评分.（三）了解学情：全对，得满分的同学举手？表扬全对的学生.过渡语：但是还有部分同学没有全对，我们来帮帮他们，怎样帮助他们呢？利用垂直的概念和性质，以及画图时的注意事项来判断他们到底错在哪里.（教师站在讲台，由学生送错题卷）（四）请做错的同学把练习纸交给老师，老师把同学做错的题分类放到展示台上，白板出示，让做对的同学说说错在哪里？为什么？（不出示、不讨论做对的题）错误1：位置关系错误.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.引导学生说出：360°÷4=90°.两条直线相交所成的四个角中有一个角是90°时，这两条直线互相垂直.垂直是相交的一种特殊情形.(师板书)错误2：线段的垂线错误.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.注意事项：（1）垂线是一条直线(2)画出垂线后要在垂足处标上垂直符号.（3）同意把线段AB延长的请举手？为什么？引导学生说出:过点P作线段AB的垂线，其实就是作线段AB所在直线的垂线.（4）注意垂线用实线表示,延长线用虚线表示.延伸：过点P还可以画AB的垂线吗？为什么？引导学生说出不能.因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.（这一点可以在直线上也可以在直线外）.（师板出）错误3：∠AOD的度数求错.先引导学生分析：要求∠AOD，必须先∠AOC或∠BOD或∠BOC三种情况讨论：（1）如何求∠AOC.因为∠AOE=90°-35°.（2）如何求∠BOD,∠BOD=180°-35°-90°.(3)求∠BOC.∠BOC=90°+35°.∠AOE或∠BOE为什么等于90°？引导学生说出：因为OE⊥AB.（师强调：一题多解，灵活运用.）六、当堂训练（一）过渡语：同学们，画两条直线垂直时，要注意在垂直处加上垂直符号，要注意几何解题过程规范，书写工整.（二）出示作业题：必做题：Ｐ8 ： 6、7选做题：Ｐ9 ： 12（三）学生练习，教师巡视.七、教学反思5.1.2垂线（2）【学习目标】：１.理解并识记垂线的性质2和点到直线的距离的定义.２.会正确运用垂线段的性质2（垂线段最短）.【学习过程】一、板书课题过渡语：同学们，今天我们来学习5.1.2垂线（2）(师板书).二、出示目标（一）过渡语：要达到什么学习目标呢？请看：（二）出示学习目标学习目标１.理解并识记垂线的性质和点到直线的距离的定义.２.会正确运用垂线段的性质2（垂线段最短）.三、自学指导（一）过渡语：怎样才能当堂达标呢？请看自学指导：（二）出示自学指导自学指导认真看(P5练习下面-6练习前).要求：1.回答“思考”和“探究”中的问题，理解、识记垂线段最短；2.理解、识记什么是“点到直线的距离”；3.在P5“思考”中作出垂线段，量出图上距离，根据比例尺是1：100000计算出水渠的实际长度.如有疑问，可以小声问同学或举手问老师.5分钟后，比谁能熟背垂线段的性质和“点到直线的距离”的概念，并能正 确做出检测题.比谁看书最认真，谁先看完并背熟请举手.四 、先学（一）学生看书，教师巡视，师督促每一位学生认真.紧张的自学.（二）检测1.出示检测题过渡语：会背垂线段的性质和“点到直线的距离”的概念的请举手.能不能正确运用呢？请看检测题：检测题：必做题：P6 练习(2 名同学板演)选做题 1.如图，PO ⊥OR,垂足为O ，OQ ⊥PR,垂足为Q,且PO=4cm,RO=3cm,PR=5cm,OQ=2.4cm,PQ=3.2cm,则点O 到直线PR 的距离是 ______cm ；点P 到OQ 的距离是______cm ；点R 到直线______的距离是3cm.要求：1、书面整洁，作图规范;2、5分钟内独立完成.比谁做得又快又对，谁先完成，请举手.2.学生练习，教师巡视.（收集错误进行二次备课）(教师面批面改最先完成的几名学生的作业，表扬做得又对又快的几名学生)五 后教.（一）白板出示答案.（二）学生对照答案，自改评分. （每题10分,共计100分）（三）了解学情：全对，得满分的同学举手？表扬全对的学生.过渡语：但是还有部分同学没有全对，我们来帮帮他们，怎样帮助他么呢？利用点到直线的距离的概念来判断他们到底错在哪里.（教师站在讲台，由学生送错题卷）（四） 请做错的同学把练习纸交给老师，老师把同学做错的题分类放到展示台 上，白板出示， 让做对的同学说说错在哪里？为什么？（不出示、不讨论做 对的题） PO Q R错误1：点到直线的距离找错.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.）引导生回答点到直线的距离就是直线外一点到这条直线的垂线段的长度. （强调点到直线的距离→垂线段的长度）. 点A到直线BC的距离是线段AC,点B到直线AC的距离是线段BC.错误2：最长边找错.（让后进生讲为什么错？正确答案是什么.）引导学生说出：因为○1AC＜AB(理由＿＿＿＿)；○2BC＜AB（理由＿＿＿＿).所以线段AB边最长.(五)熟背概念.⑴垂线定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.1.2 垂线的定义与性质 课件 2021--2022学年北师大版七年级数学下册
知识点3：垂线的性质
【例3】如图，已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足
为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是( C )
知识点3：垂线的性质
导引：根据题意可知，过点B有AB，CB都与直线l垂直，由垂线的性
质可知，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
所以A、B、C三点在一条直线上．
归纳：利用直线的性质解答题目，要注意直线性质满足的条件： 1. 在平面内； 2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外； 3. 相交所成的角必须是直角，以上三条缺一不可.
1.在同一平面内，下列语句正确的是( C )
A．过一点有无数条直线与已知直线垂直 B．和一条直线垂直的直线有两条 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若两直线相交，则它们一定垂直
bbb
b
b
α ）α
a
知识要点
垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一 个角是直角，那么称这两条直线互 相垂直.
注意：两条线段互相垂直是指 这两条线段所在的直线互相垂 直.
垂直的表示法 如果直线AB与直线CD垂直，那
么可记作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线， 那么直线l与直线m垂直，可记作： A l⊥m（或m ⊥ l）.
2.如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重
合(即O，M，N三点共线)，其理由是( )
C
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只有一
条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一
条直线与已知直线垂直
D．两点之间，线段最短
垂直线的性质与判定方法
垂直线的性质与判定方法在几何学中，垂直线是一种重要的概念，常用于描述线段、直线或平面之间的关系。
本文将详细探讨垂直线的性质以及判定方法，旨在帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、垂直线的性质1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线或线段之间相互垂直的关系。
两条垂直线之间的角度为90度，也即是直角。
2. 垂直线的特点垂直线有以下几个主要特点：- 两条垂直线之间的夹角为90度，即两者之间是直角。
- 垂直线与水平线相交，形成交角为90度的交点。
- 垂直线可以用于确定两个平面之间的关系，若两个平面相互垂直，则它们的交线为垂直线。
3. 垂直线与平行线的关系垂直线和平行线是几何学中的两个重要概念。
两条垂直线之间不存在平行关系，但垂直线与同一直线上的一条平行线呈直角关系。
二、判定垂直线的方法1. 角度判定法通过测量两条线或线段之间的夹角来判定垂直线的存在。
若两条线之间的夹角为90度，则可以断定它们是垂直的。
这种方法适用于平面上的直线、线段、射线等形态。
2. 斜率判定法斜率判定法适用于已知两条直线的斜率的情况。
若两条直线的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直的。
即设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则当k1 * k2 = -1时，L1与L2垂直。
3. 三角形判定法此判定法适用于已知三角形的情况。
如果一个三角形的两条边互相垂直，那么可以判定它们所在的线段或直线是垂直线。
4. 垂直平分线判定法垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线，该线段的两个中点通过这条线都与线段呈90度的角。
若已知一条垂直平分线，则可以判定被它垂直平分的线段是垂直线。
总结：本文介绍了垂直线的性质以及判定方法。
垂直线是指两条直线或线段之间垂直的关系，具有直角特点。
判定垂直线的方法包括角度判定法、斜率判定法、三角形判定法和垂直平分线判定法。
通过运用这些方法，我们可以准确地判断垂直线的存在与否，进一步应用于解决几何问题中。
在实际应用中，我们要善于使用这些判定方法，以提高几何问题的解决效率。
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3、在生动有趣的情境中，激发主动探索知识的热情， 丰富和发展数学活动的经验。
教学重难点
教学重点： 垂直的定义和性质以及通过实验操作、 交流探究来研究垂线性质的方法。
教学难点：垂直的定义和性质的理解与应用。
1、学生的认知水平与活动经验分析
2）两直线相交所构成的四个角相等，则这两直线 互相垂直（ √ ）
3）点到直线的垂线段就是点到直线的距离（
）
4）平×面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂
直（
）
√
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 2、如图:∠ACB= 90°,CD ⊥ AB于点D,
观察交流 则点A到线段BC的距离等于_线__段__A_C__的__长__度_;
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练
总结反思 交流话题:从图中能发现直线的哪些位置关系呢？
创设情境 观察交流
活动探究
变式训练 问题1：当两条直线互相垂直时，它们的夹角有何特点？
总结反思
问。题2：如图，如何表示两条直线垂直？并读出来。
问题3：在你身边能找到互相垂直的直线吗？怎样判断？
创设情境 你能用一张纸折出两条互相垂直的直线？
创设情境 探究活动二
如图，点P是直线m外一点，PD⊥m于点D, 点A、B、C
观察交流 在直线上，比较线段PD、PA、PB、PC，你发现了什么？
活动探究 变式训练 总结反思
P
A B CD E F GH m
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练
如图，某同学在100米赛跑中已跑到了点O处，最 后他向着终点线AB冲刺，该怎样跑他到AB的距离 最短？并把最短距离表示出来。
B P
总结反思
O
A
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
点到直线的距离在生活很常见 画图要标准 平行线和垂直有很多学习方法类似 考虑问题要严谨 世园会建筑很美，我要去逛世园会。 我的身边有很多几何图形，而且有很多垂直现象。 概念挺多的，我都掌握了，很高兴。 导学卡给我留下很多课堂回忆。 我们小组合作很愉快，真是人多力量大啊﹗ 通过我自己折纸，画图，得出了垂线的性质，好有 成就感啊﹗ 数学课真有趣 我学会用数学语言表示数学概念了，简单明了。
说课课题：4.6 垂直
1
说教材
2
说学情
3
说教法学法
4
说教学过程
5
说教学评价
教材分析
第四章 垂直 1 线段、射线、直线 2 比较线段的长短 3 角的度量与表示 4 角的比较 5 平行 6 垂直 7 有趣的七巧板
教材分析
教学目标
1、理解垂直的定义和性质；掌握垂线段、点到直线 距离的定义；会借助三角尺、量角器、折纸等方法画 垂线。
C
O
D
垂线段最短
B 记作：AB⊥CD于点O
点到直线的距离
（1）
（2）
∵AB⊥CD
∵∠AOC=90°
∴∠AOC=90° ∴AB⊥CD
谢 谢！
创设情境 观察交流
（1）在方格纸上作出互相垂直的线段，并用符 号表示。
活动探究
（2）用一张长方形的纸片,在纸片上任意取一点, 你能量出这点到长方形纸片各边的距离吗?
变式训练 总结反思
（3）课外了解一下，建筑工人在砌墙时是怎样判 断砌的墙是否为铅直？
板书设计
4.6 垂直
A
平面内，过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直
A
DA
B
B
O·
C
D
总结反思
O
创设情境
A
观察交流 要把水渠中的水引到水池C，
在渠岸AB的什么地方开沟，
活动探究 才能使沟最短？画出图来，
并说明根据什么道理?
B
变式训练
C
总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
1、判断
1）一条直线的垂线只能画一条（ × ）
P A
m
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
P A
m
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练
3、如图，P是∠AOB的边OB上一点。 （1）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （2）过点P画OA的垂线，垂足为H。
比较PH与PC、PC与CO的长短，并说明理由。
小学学习 平行、相交
折纸、画图
初步形成一定的空间观念； 具有一定的合作学习经验； ……
垂直
2、学生学习状态分析
点拨激励 学法指导
合作交流 分享经验
学生 主体认知
折纸探索 发现性质
媒体演示 直观再现
总结反思 变式训练 活动探究 观察交流 创设情境
情意发展 深化提高 归纳性质 描述概念 复习引入
点C到线段AB的距离等于__线__段__C_D__的__长__度；
活动探究 点A到点B的距离等于__线__段__A_B_的__长__度_____.
A
变式训练
பைடு நூலகம்
D
总结反思
B
C
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
你观察过吗？你留心过吗？体育课上怎样测 量同学们的跳远成绩?小彬的跳远成绩是3.86 米，3.86米是怎样得到的？
观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
如图，给定一条直线，你能利用手上的工 创设情境 具画出已知直线的垂线吗？
观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 探究活动一 1、平面内，过一点能画出已知直线的垂线吗？
观察交流 活动探究 变式训练 总结反思
创设情境 观察交流 活动探究 变式训练 总结反思