《相似三角形》单元测试卷及答案

试卷第1页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………《相似三角形》第Ⅰ卷（选择题）评卷人 得 分一．选择题（共6小题）1．如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD=（ ）A ．B ．+1C ．4D ．22．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的位置如下图所示，点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）．延长CB 交x 轴于点A 1，作正方形A 1B 1C 1C ；延长C 1B 1交x 轴于点A 2，作正方形A 2B 2C 2C 1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（ ）A ．×（）4022 B ．10×（）4022 C ．5×（）4022 D ．10×（）40233．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，4），B （﹣3，1），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABO 放大，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣4，8） B ．（﹣1，2） C ．（﹣4，8）或（4，﹣8） D ．（﹣1，2）或（1，﹣2） 4．若===k ，则k 的值为（ ）试卷第2页，总8页A ．2B ．﹣1C ．2或﹣1D ．﹣2或15．在比例尺为1：1000000的地图上，相距8cm 的A 、B 两地的实际距离是（ ）A ．0.8kmB ．8kmC ．80kmD ．800km6．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．a=1，b=3，c=2，d=4 B ．a=4，b=6，c=5，d=10 C ．a=2，b=4，c=3，d=6 D ．a=2，b=3，c=4，d=1试卷第3页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人 得 分二．填空题（共6小题）7．将△ABC 的纸片按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折叠痕为EF ，已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′、F 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．8．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且AB=1，CD=3，则EF ：CD 的值为 ．9．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，动点P 从点B 出发，在BA 边上以每秒5cm 的速度向点A 匀速运动，同时动点Q 从点C 出发，在CB 边上以每秒4cm 的速度向点B 匀速运动，运动时间为t 秒（0＜t ＜2），连接PQ ．若△BPQ 与△ABC 相似，则t 的值为 ．10．如图所示，在△ABC 中，AB=8cm ，BC=16cm ．点P 从点A 出发沿AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 出发沿BC 向点C 以4cm/s 的速度运动．如果点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，则 秒钟后△PBQ 与△ABC试卷第4页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………相似？11．如图，边长12的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E 、F 、G 分别在AB 、BC 、FD 上．若BF=3，则小正方形的边长为 ．12．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=4，DF=8，BC=6，则DE= ．评卷人 得 分三．解答题（共8小题）13．在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，设P 、Q 两点同时出发，移动时间为t 秒． （1）几秒钟后△PBQ 是等腰三角形？ （2）几秒钟后△PQB 的面积为5cm 2？（3）几秒钟后，以P 、B 、Q 为顶点的三角形和△ABC 相似？14．如图，在△AOB 中，∠AOB=90°，OA=12cm ，AB=6cm ，点P 从O 开始沿OA 边向点A 以2cm/s （厘米/秒）的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边试卷第5页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………向点O 以1cm/s 的速度移动，如果P ，Q 同时出发，用x （秒）表示时间（0≤x ≤6），那么：（1）点Q 运动多少秒时，△OPQ 的面积为5cm 2；（2）当x 为何值时，以P 、O 、Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？15．如图，在矩形OABC 中，AO=10，AB=8，沿直线CD 折叠矩形OABC 的一边BC ，使点B 落在OA 边上的点E 处． （1）求AD 的长；（2）一动点P 从点E 出发，沿EC 以每秒2个单位长的速度向点C 运动，同时动点Q 从点C 出发，沿CO 以每秒1个单位长的速度向点O 运动，当点P 运动到点C 时，两点同时停止运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似？16．如图，已知△ABC 中，AB=AC=a ，BC=10，动点P 沿CA 方向从点C 向点A 运动，同时，动点Q 沿CB 方向从点C 向点B 运动，速度都为每秒1个单位长度，P 、Q 中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P 作PD ∥BC ，交AB 边于点D ，连接DQ ．设P 、Q 的运动时间为t ． （1）直接写出BD 的长；（用含t 的代数式表示） （2）若a=15，求当t 为何值时，△ADP 与△BDQ 相似；（3）是否存在某个a 的值，使P 、Q 在运动过程中，存在S △BDQ ：S △ADP ：S 梯形CPDQ=1：4：4的时刻，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．试卷第6页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 与A ，D 不重合），一直角边始终经过点C ，另一直角边与AB 交于点E ．（1）△CDP 与△PAE 相似吗？如果相似，请写出证明过程；（2）是否存在这样的点P ，使△CDP 的周长等于△PAE 周长的2倍？若存在，求DP 的长；若不存在，请说明理由．18．如图，某测量人员的眼睛A 与标杆顶端F 、电视塔顶端E 在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m ，标杆FC=2.2m ，且BC=1m ，CD=5m ，标杆FC 、ED 垂直于地面．求电视塔的高ED ．19．已知，△ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A （﹣2，2）、B （﹣1，0）、C （0，1）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）． （1）画出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A 1B 1C 1；（2）以点O 为位似中心，在网格内画出所有符合条件的△A 2B 2C 2，使△A 2B 2C 2 与△A 1B 1C 1位似，且位似比为2：1； （3）求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比．试卷第7页，总8页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：________班级：________考号：________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………20．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （秒）表示移动时间（0≤t ≤6）．那么：（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？试卷第8页，总8页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2017年11月21日《相似三角形》参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，已知矩形ABCD中，AB=2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A ．B ．+1 C．4 D．2【解答】解：∵沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，∴四边形ABEF是正方形，∵AB=2，设AD=x，则FD=x﹣2，FE=2，∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，∴，，解得x1=1+，x2=1﹣（负值舍去），经检验x1=1+是原方程的解．故选B2．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如下图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2A ．×（）4022 B ．10×（）4022 C ．5×（）4022 D ．10×（）4023【解答】解：∵点A 的坐标为（1，0），点D 的坐标为（0，3）， ∴OA=1，OD=3， ∵∠AOD=90°， ∴AB=AD==，∠ODA +∠OAD=90°，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD=∠ABC=90°，S 正方形ABCD =（）2=10，∴∠ABA 1=90°，∠OAD +∠BAA 1=90°， ∴∠ODA=∠BAA 1， ∴△ABA 1∽△DOA ， ∴=，即=，∴BA 1=， ∴CA 1=，∴第三个正方形的边长：A 2C 1=A 2B 2=（）2，∴第四个正方形的边长：=（）3，…，第2012个正方形的边长：=（）2011， ∴第2012个正方形的面积为[：（）2011]2=10•（）4022，故选：B ．3．在平面直角坐标系中，已知点A （﹣2，4），B （﹣3，1），以原点O 为位似中心，相似比为2，把△ABO 放大，则点A 的对应点A′的坐标是（ ） A ．（﹣4，8） B ．（﹣1，2） C ．（﹣4，8）或（4，﹣8） D ．（﹣1，2）或（1，﹣2）【解答】解：∵以原点O 为位似中心，相似比为2，将△OAB 放大为△OA′B′，点A （﹣2，4），∴A′点的坐标为（﹣4，8），B′（4，﹣8）． 故选：C ．4．若===k，则k的值为（）A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．﹣2或1【解答】解：①a+b+c=0时，a+b=﹣c，所以，k===﹣1；②a+b+c≠0时，=====2，所以，k=2，综上所述，k的值为2或﹣1．故选C．5．在比例尺为1：1000000的地图上，相距8cm的A、B两地的实际距离是（）A．0.8km B．8km C．80km D．800km【解答】解：8÷=8000000cm=80km．故选C．6．下列各组中的四条线段成比例的是（）A．a=1，b=3，c=2，d=4 B．a=4，b=6，c=5，d=10C．a=2，b=4，c=3，d=6 D．a=2，b=3，c=4，d=1【解答】解：A.1×4≠3×2，故本选项错误；B.4×10≠6×5，故本选项错误；C.4×3=2×6，故本选项正确；D.2×3≠1×4，故本选项错误；故选C．二．填空题（共6小题）7．将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或5．【解答】解：设BF=x，∵△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折叠痕为EF，∴BF=B′F=x，∴FC=BC﹣BF=10﹣x，∵∠FCB′=∠BCA，∴当==时，△CFB′∽△CBA，即=，即得x=；当==时，△CFB′∽△CAB，即=，即得x=5，综上所述，当BF=或5时，以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似．故答案为或5．8．如图，AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，则EF：CD的值为．【解答】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，∴AB∥CD∥EF，∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，∴EF：AB=DF：DB，EF：CD=BF：BD，∴==1，∵AB=1，CD=3，∴，∴EF=，∴，故答案为：．9．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．若△BPQ与△ABC相似，则t的值为1秒或秒．【解答】解：设运动时间为t秒（0＜t＜2），则BP=5t，CQ=4t，BQ=8﹣4t，∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，当△BPQ∽△BAC时，=，即=，解得t=1（秒）；当△BPQ∽△BQP时，=，即=，解得t=（秒），即当t=1秒或秒时，△BPQ与△ABC相似．故答案为1秒或秒时10．如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则0.8或2秒钟后△PBQ与△ABC相似？【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．则AP=2x cm，BQ=4x cm，∵AB=8cm，BC=16cm，∴BP=（8﹣2x）cm，①BP与BC边是对应边，则=，即=，解得x=0.8，②BP与AB边是对应边，则=，即=，解得x=2．综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．故答案为：0.8或2．11．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为．【解答】解：在△BEF与△CFD中∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∵BF=3，BC=12，∴CF=BC﹣BF=12﹣3=9，又∵DF===15，∴=，即=，∴EF=，故答案为：．12．如图，l1∥l2∥l3，AB=4，DF=8，BC=6，则DE=．【解答】解：∵l1∥l3，AB=4，BC=6，∴==，又DF=8，∴DE=，故答案为：．三．解答题（共8小题）13．在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？【解答】解：设t秒后，则BP=6﹣t，BQ=2t，（1）△PBQ是等腰三角形，则BP=BQ即6﹣t=2t，解得t=2；（2）△PQB的面积为BP•BQ=（6﹣t）（2t）=5，即（t﹣1）（t﹣5）=0，解得t=1或5．（3）①△BPQ∽△BAC，则=，即2t=2（6﹣t），解得t=3．②△BPQ∽△BCA，则有BP：BC=BQ：AB，∴6﹣t：12=2t：6，解得t=1.2∴当t=3秒或t=1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似．14．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，OA=12cm，AB=6cm，点P从O开始沿OA边向点A以2cm/s（厘米/秒）的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动，如果P，Q同时出发，用x（秒）表示时间（0≤x≤6），那么：（1）点Q运动多少秒时，△OPQ的面积为5cm2；（2）当x为何值时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似？【解答】解：（1）∵∠AOB=90°，∴BO2=AB2﹣AO2，∴BO=6，在Rt△OPQ中，OQ=6﹣x，OP=2x，∵△OPQ的面积为5cm2；∴OQ•OP=5，即（6﹣x）•2x=5，解得x1=1，x2=5；（2）当△OPQ∽△OAB时，=，即=，解得x=3秒；当△OPQ∽△OBA，=，即=，解得x=秒．综上所述，当x=3秒或秒时，以P、O、Q为顶点的三角形与△AOB相似．15．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．（1）求AD的长；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P 运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？【解答】解：（1）由折叠可得，CE=CB=AO=10，而CO=AB=8，∴OE=6，∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则DB=DE=8﹣x，Rt△ADE中，AD2+AE2=DE2，∴x2+42=（8﹣x）2，解得x=3，∴AD=3；（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得，AD=3，AE=4，DE=5，∵CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t，①当∠PQC=∠DAE=90°时，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=；②当∠QPC=∠DAE=90°时，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=，综上所述，当t=或时，以P 、Q 、C 为顶点的三角形与△ADE 相似．16．如图，已知△ABC 中，AB=AC=a ，BC=10，动点P 沿CA 方向从点C 向点A 运动，同时，动点Q 沿CB 方向从点C 向点B 运动，速度都为每秒1个单位长度，P 、Q 中任意一点到达终点时，另一点也随之停止运动．过点P 作PD ∥BC ，交AB 边于点D ，连接DQ ．设P 、Q 的运动时间为t ．（1）直接写出BD 的长；（用含t 的代数式表示）（2）若a=15，求当t 为何值时，△ADP 与△BDQ 相似；（3）是否存在某个a 的值，使P 、Q 在运动过程中，存在S △BDQ ：S △ADP ：S 梯形CPDQ =1：4：4的时刻，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）BD=t ．（2）∵PD ∥BC ，AB=AC=15， ∴=，∴AD=AP=15﹣t ，∴BD=CP=t ，∵AC=15，BC=10，CP=t ，∴PD=10﹣t ，∵△ADP 和△BDQ 相似，∴=或=， ∴=或=解得：t 1=4，t 2=15（舍去），t 3=15＞10（舍去），t 4=6答：t=4或6时，△ADP 与△BDQ 相似．（3）存在，理由是：假设存在S △BDQ ：S △ADP ：S 梯形CPDQ =1：4：4， 即==，∵PD ∥BC ，∴△APD ∽△ACB ，相似比是， ∴=，设四边形CPDQ 的边CQ 上的高是h ，则△BDQ 的边BQ 上的高是h ，△ABC 的边BC 上的高是3h ， ∴BQ ×h=×BC ×3h ，（10﹣t ）=×3×10，∴t=，∵AP=a ﹣t=a ﹣，AC=a ， ∴=，代入解得：a=20，答：存在某个a 的值，使P 、Q 在运动过程中，存在S △BDQ ：S △ADP ：S 梯形CPDQ =1：4：4的时刻，a 的值是20．17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．（1）△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程；（2）是否存在这样的点P，使△CDP的周长等于△PAE周长的2倍？若存在，求DP的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）△CDP∽△PAE．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，∴∠PCD+CPD=90°，∵∠CPE=90°，∴∠APE+∠CPD=90°，∴∠APE=∠PCD，∴△CDP∽△PAE；（2）假设存在满足条件的点P，设DP=x，则AP=AD﹣DP=11﹣x，∵△CDP∽△PAE，∴=2，∴=2，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。