2015届天津市高三第一次六校联考数学(理)试卷

2015届高三六校联考（一）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数z 为纯虚数，若i a z i +=-)2( (i 为虚数单位)，则实数a 的值为( ) A ．21-B ．2C ．2-D ．21 2．已知正数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤-010102y x y x y x ，则y x z )21()41(⋅=的最小值为（ ）A ．116B ．41C ．322 D ．43．执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输出的P 值 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知0,0>>y x ，112=+yx ，若m m y x 222+>+恒成立，则实数m的取值范围是（ ）A ．)4,2(-B ．)2,4(-C ．]4,2[-D ．]2,4[-5．在△ABC 中，tan A ＝12，cos B ＝31010，若最长边为1，则最短边的长为( )A ．455B ．355C ．255D ．556．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．16 B ．32 C ．48 D ．1447．设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于B A ,两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若μλ+=),(R ∈μλ，且81=λμ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．223 B ．2 C ．332 D ．2 8．已知函数⎩⎨⎧-=22)(xx x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A ．),2[+∞ B ．),2[+∞ C ．]2,0( D ．]3,2[]1,2[ --第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．设Q P ,分别为直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+=t y t x 531541（t 为参数）和曲线C ：)4cos(2πθρ+=上的点，则PQ的最小值为 ．10．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则31log (a 5＋a 7＋a 9)的值是 ．11．向平面区域Ω＝{(x ，y )|2π-≤x ≤2π，0≤y ≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y ＝cos x 下方 的概率是 ．12．在平行四边形ABCD 中，N M ,分别是BC CD ,的中点，)1,3(,)2,1(==，则=⋅ ．13．如图，已知P A 是⊙O 的切线，A 是切点，直线PO 交⊙O于B 、C 两点，D 是OC 的中点，连接AD 并延长交⊙O 于点E ． 若P A ＝23，∠APB ＝30°，则AE ＝________．14．函数ax x x f -=ln )(在区间]3,0(上有三个零点，则实数a 的取值范围是________．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b . （I ）求)(x f 的单调递增区间；（II ）求)(x f 在]2,0[π上的最大值和最小值．16．（本题满分13分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为52,53,54，且各轮问题能否正确回答互不影响． （I ）求该同学被淘汰的概率；（II ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 17．（本题满分13分）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点． （Ⅰ）证明：PA //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C DE B --的平面角的余弦值； （Ⅲ）在棱PB 上是否存在点F ，使PB ⊥平面DEF ？ 证明你的结论． 18．（本题满分13分）已知数列}{},{n n b a 的每一项都是正数，8,411==b a 且1,,+n n n a b a 成等差数列，11,,++n n n b a b 成等比数列)(*N n ∈（Ⅰ）求22,b a ；（Ⅱ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，都有3211111121<-+-+-n a a a ．19．（本题满分14分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，且椭圆经过点)1,0(-A （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如果过点)53,0(H 的直线与椭圆E 交于N M ,两点（点N M ,与点A 不重合），①若AMN ∆是以MN 为底边的等腰三角形，求直线MN 的方程；②在y 轴上是否存在一点B ，使得BN BM ⊥，若存在求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（本题满分14分）设函数ax x x a x f 21ln )2()(++-=，x a xax x g ln )3(1)(-++=，R a ∈ （Ⅰ）当0=a 时，求)(x g 的极值； （Ⅱ）当0≠a 时，求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数)(x F y =图象上任意不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，如果对于函数)(x F y =图象上的点),(00y x M （其中2210x x x +=）总能使得)()(21x F x F -))((210'x x x F -=成立，则称函数具备性质“L”．试判断函数)()()(x g x f x F -=是否具备性质“L”，并说明理由．2015届高三六校联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.9．1025-9； 10．－5； 11．2π； 12．310； 13．1077； 14．)1,33ln [e 三、解答题15．(Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x当226222πππππ+≤-≤-k x k 时，解得36ππππ+≤≤-k x k ，)62sin()(π-=∴x x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈+-ππππ.(Ⅱ)当]2,0[π∈x 时，656ππ≤≤-x ，1)62sin(21≤-≤-πx所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，最小值为2116．2557251232582511=⨯+⨯+⨯=∴ξE 17．解：法一：（I ）以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设2PD DC ==，则(2,0,0)A ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(2,2,0)B)0,2,2(),1,1,0(),2,0,2(==-=设 1(,,)n x y z =是平面BDE 的一个法向量，则由 1100n D E n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0220y z x y +=⎧⎨+=⎩取1y =-，得1(1,1,1)n =-． ∵1220PA n ⋅=-=，1,//PA n PA BDE PA BDE ∴⊥⊄∴，又平面平面（II ）由（Ⅰ）知1(1,1,1)n =-是平面BDE 的一个法向量，又2(2,0,0)n DA ==是平面DEC 的一个法向量．设二面角C DE B --的平面角为θ，由图可知>=<21,n n θ ∴33,cos cos 21>=<=n n θ 故二面角B DE C --的余弦值为33． （Ⅲ）∵)1,1,0(),2,2,2(=-= ∴0220,.PB DE PB DE =+-=∴⊥假设棱PB 上存在点F ，使PB ⊥平面DEF ，设)10(<<=λλ， 则(2,2,2)PF λλλ=-，(2,2,22)DF DP PF λλλ=+=-由0PF DF ∙=得22442(22)0λλλλ+--= ∴PBPF 31)1,0(31=∈=，此时λ即在棱PB 上存在点F ，PB PF 31=，使得PB ⊥平面DEF ． 法二：（I ）连接AC ，AC 交BD 于O ，连接OE ．在PAC ∆中，OE 为中位线，∴OE //PAPA BDE ⊄又平面,∴PA //平面BDE ．（II ）PD ⊥底面ABCD ,∴ 平面PDC ⊥底面ABCD ，CD 为交线,BC ⊥CD∴平面BCE ⊥平面PDC ，PC 为交线, PD =DC ，E 是PC 的中点∴DE ⊥PC∴DE ⊥平面PBC ，∴ DE ⊥BE ∴BEC ∠即为二面角B DE C --的平面角．设PD DC a ==，在Rt BCE ∆中,33cos ,26,,22=∠∴===BEC a BE a BC a CE 故二面角B DE C --的余弦值为33．（Ⅲ）由（II ）可知DE ⊥平面PBC ，所以DE ⊥PB ，所以在平面PDE 内过D 作DF ⊥PB ，连EF ，则PB ⊥平面DEF ．在Rt PDB ∆中,PD a =，BD =，PB =，a PF 33=．所以在棱PB 上存在点F ，PB PF 31，使得PB ⊥平面DEF ． 18．19．20．。