运筹学资料：8图与网络模型

V2
3
2
5 V4
7 V6 5
2 1 31
5
V3
V5
12、有向图中还有“路”、“回路”的概念；
13、在一个赋权有向图中，若指定了一个发点(VS)和一
2021/1/1个1 收点（Vt），其余点为天道中酬勤间点，并把弧上的权值
4
称为对应弧的容量，这样的赋权有向图称为网络.
第二节 最 短 路 问 题 V2
5、若Vt 已标号，则说明Vs到Vt存在最短路，若Vt 未标号， 则说明不存在Vs到Vt最短路。 注意： 1、双标号法适用范围:权值非负的有向图
也适用于权值非负的无向图。
2、在选择Sij最小值时，若出现多个相等最小值且这些弧 (边)的终点为同一点，则此点应有多个标号，以便在最终 确定具体路径时可以找到多条最短路线。
最 短
3、计算2中所有弧对应的Sij值；Sij=Li+Cij，
路 。
S12=L1+C12 ＝0+3＝3 S14=L1+C14 ＝0+5＝5 S13=L1+C13 ＝0+2＝2 min(S12 , S13, S14)= S13 =2
则可知：L3 ＝2
给弧(V1,V3)中的未标号点V3标号（2,1）
7 V6
{(Vi,Vj )所有弧对应的Sij值；
Sij=Li+Cij，Li为从起点到Vi点的最短距离，
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Cij为弧(Vi,V天j)道的酬勤权；
9
第二节 最 短 路 问 题
4、选出各弧中Sij值最小者，对该弧上未标号点进行标号， 重复，直到2中弧的集合变为空集为止。
(8,4)
7 V6
(0,S)
例 【重复】 V6标号后，
V1
求
未标号点集J＝{V5}
右 从已标号点到未标号点的所有弧的集合
3
2
5 V4
5
2
(3,3)
1
31
(2,1)V3
5 V5
图 此时为空集。
V1 到
即不存在从V1到V5的有向路
V6 从最后一个标号点开始从后向前确定最短路径。
最 V6点的标号 (8,4) 之前点为V4 ，再从V4开始继续逆推
Euler提出了判断一般图存在这种走法的充要条 件，它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的 条数是奇数)的个数为0或2。
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第一节 图 和网络的 基 本 概 念
1、图是由点和点间的连线组成的(有
箭头的连线，无箭头的连线)；
2、有箭头的连线称为弧， 无箭头的连线称为边；
3、如果一个图是由点和边构成的 （无箭头连线），则称之为无向图；
。
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第二节 最 短 路 问 题
例
(0,S)
求 右 图
【重复】已标号点集I＝{V1 , V2, 未标号点集J＝{V5,V6}
V3
,
V4V}1;
V1 从已标号点到未标号点的所有弧的集合
(3,1)V2
(8,4)
7 V6
3
2
5 V4
5
2
(3,3)
1
31
(2,1)V3
5 V5
到 {(V2,V6)(V4,V6)}
7、边Vi Vj表示为[Vi , Vj ]，弧Vi Vj表示为（Vi , Vj)；
8、边（弧）上的数值称为权，边上 的权表示为ωij，弧上的权表示为Cij ；
9、若一个无向图的每条边上均有权值， 则称之为赋权无向图；
10、若一个有向图的每个条弧上均有权值V，1 则称之为赋权有向图；
11、无向图中有 “链”、“圈”的概念
第八章 图 与 网 络 模 型
在实际的生活中，人们为了反映一些对象 之间的关系，常常用点和线画出各种的示意图。 在运筹学中有一个分支被称为图论，便是通过 研究反映相互关系的点和边(弧)组成的图（网 络）来解实际问题。
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在哥尼斯堡城中有一条河叫普雷格尔河，河 上有七座桥连接两岸及河中的两个岛.当时困 扰当地居民的一个问题是：是否存在一种走法， 使走过每座桥恰好一次又回到原点。
V1
V2
3
2
5 V4
7 V6 5
2 1 31
5
4、如果一个图是由点和弧构成的（有箭头连线）V，3则
V5
称之为有向图；
5、无向图记为G（V，E）（V代表点的集合，E代表边 的集合）；
6、有向图记为D（V，A）（V代表点的集合，A代表弧
202的1/1集/11 合）；
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3
第一节 图 和网络的 基 本 概 念
5
31 5
V5
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第二节 最 短 路 问 题
(0,S)
例【重复】已标号点集I＝{V1 , V3};
V1
求
未标号点集J＝{V2,V4,V5,V6}
右 从已标号点到未标号点的所有弧的集合
(3,1)V2
7 V6
3
2
5 V4
5
2
(3,3)
1
31
(2,1)V3
5 V5
图 {(V1,V2)(V1,V4)(V3,V4)} (5 3)
例： 求 右 图
1、给起始点V1标号(0,S),表示从起 点到V1的最短距离为0, V1为起点 2、已标号点集I＝{V1}
(0,S)
V1
V1
未标号点集J＝{V2,V3,V4,V5,V6}
到 从已标号点到未标号点的所有弧的集合
3
2
5 V4
21
(2,1V) 3
V6 {(Vi,Vj ) Vi∈ I，Vj∈J}＝{(V1,V2)(V1,V3)(V1,V4)}
短
最终确定最短路径为: V1 V3 V4 V6
路
。
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第二节 最 短 路 问 题
赋权有向图，指定两点Vs和Vt，找一条从Vs到Vt的最短路
一、双标号法：（迪杰斯特拉算法Dijkstra） Cij≥0 双标号（lj，kj）
基本步骤： 1、对起点V1标号为（0，S）；
2、写出已标号点的集合I及未标号点的集合J; 写出从已标号点到未标号点的所有弧的集合
V6 最 短
5、计算集合中所有弧对应的Sij值；Sij=Li+Cij， S26=L2+C26 ＝3+7＝10 S46=L4+C46 ＝3+5＝8
路
min(S26,S46)=S46=8
。 则可知： L6 ＝8
给弧(V4,V6)中的未标号点V6标号
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第二节 最 短 路 问 题 (3,1)V2
V1 4、计算集合中所有弧对应的Sij值；Sij=Li+Cij，
到
S12=L1+C12 ＝0+3＝3 S14=L1+C14 ＝0+5＝5
V6
最 短 路
S34=L3+C34 ＝2+1＝3 min(S12 , S13, S34)= S12 = S34=3 则可知： L2 ＝ L4 ＝3 给弧(V1,V2) (V3,V4)中的未标号点V2 V4标号