高中数学(人教版A版必修一)配套单元检测：模块综合检测C 含解析

合集下载

高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)，则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11．圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4，所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |，得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2，即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)，所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3．所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)．设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1，又因为a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下：设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2．直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数．所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0，所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0，整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0．从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意．综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

新人教A版必修12021学年高中数学模块综合评估测评含解析

模块综合评估时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x|x<3}，N ＝{x|log 2x>1}，则M ∩N 等于( D ) A ．∅ B ．{x|0<x<3} C ．{x|1<x<3} D ．{x|2<x<3}解析：N ＝{x|x>2}，∴用数轴表示集合可得M ∩N ＝{x|2<x<3}，选D .2．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x<2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f[f(2)]等于( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：∵f(2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f[f(2)]＝f(1)＝2e 1－1＝2.3．与函数y ＝10lg (x －1)相等的函数是( C ) A ．y ＝x －1B ．y ＝|x －1|C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －1x －12D ．y ＝x 2－1x ＋1解析：y ＝10lg (x －1)＝x －1(x>1)，故选C . 4．函数y ＝ln (2x －1)2－x的定义域为( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(－∞，2)解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x>0，解得12<x<2，即函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，故选B .5．已知函数f(x)＝m＋log2x2的定义域是[1,2]，且f(x)≤4，则实数m的取值范围是(A)A．(－∞，2] B．(－∞，2)C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)解析：本题考查函数的定义域、函数的单调性及参数取值范围的探求．因为f(x)＝m＋2log2x在[1,2]是增函数，且由f(x)≤4，得f(2)＝m＋2≤4，得m≤2，故选A.6．已知函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则以下结论正确的是(D)A．函数|f(x)|为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增B．函数|f(x)|为奇函数，且在(－∞，0)上单调递增C．函数f(|x|)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增D．函数f(|x|)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增解析：函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，不妨令f(x)＝x，则|f(x)|＝|x|，f(|x|)＝|x|；∴函数|f(x)|为偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，∴选项A，B错误；函数f(|x|)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∴选项C错误、D正确．故选D.7．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b 为常数)，则f(－1)＝(A)A．－3 B．－1C．1 D．3解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0.当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，∴20＋b＝0，b＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1.∴f(1)＝21＋2×1－1＝3.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3.8．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( B )解析：由f (x )＝lg(|x |－1)，知x >1或x <－1.排除C ，D. 当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在区间(1，＋∞)上为增函数．故选B. 9．函数y ＝x 2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( C )A ．1.55B ．1.65C ．1.75D ．1.85解析：经计算知函数零点的近似值可取为1.75.10．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( C )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：由已知得49a ＝a ·e －50k ，即e －50k＝49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232.∴827a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233·a ＝(e －50k )32·a ＝e －75k ·a ， ∴t ＝75.11．设函数F (x )＝f (x )－1f (x )，其中x －log 2f (x )＝0，则函数F (x )是( A )A ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数B ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是减函数C ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是增函数D ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是减函数解析：由x －log 2f (x )＝0，得f (x )＝2x ， ∴F (x )＝2x－12x ＝2x －2－x .∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )，∴F (x )为奇函数，易知F (x )＝2x －2－x在(－∞，＋∞)上是增函数．12．已知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x ＋a ，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( D )A ．a <0B ．a ≤0C ．a ≤1D ．a ≤0或a ＝1解析：由于f (x )为奇函数，且y ＝x 是奇函数，所以g (x )＝f (x )－x 也应为奇函数，所以由函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，可得两零点必定分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上，由此得到函数g (x )＝x 2－2x ＋a 在(0，＋∞)上仅有一个零点，即函数y ＝－(x －1)2＋1与直线y ＝a 在(0，＋∞)上仅有一个公共点，数形结合易知应为a ≤0或a ＝1，选D.二、填空题(每小题5分，共20分)13．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝－3.解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． ∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.14．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是0或13.解析：由题意得m ＝0或Δ＝4－12m ＝0，即m ＝0或m ＝13.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围为(0,1)．解析：如图，作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，作出直线y ＝m .由图可知，该函数的图象与直线y ＝m 有三个交点时，需m ∈(0,1)，此时函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点．16．下列说法中：①y ＝a x ＋1(x ∈R )的图象可以由y ＝a x 的图象平移得到(a >0，且a ≠1)；②y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于y 轴对称； ③方程log 5(2x ＋1)＝log 5(x 2－2)的解集是{－1,3}； ④函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )为奇函数．正确的是①④.解析：将函数y ＝a x 的图象向左平移1个单位即得函数y ＝a x ＋1的图象，故①正确；y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数，图象关于直线y ＝x 对称，故②错；当x ＝－1时，log 5(x 2－2)无意义，故③错；由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，1－x >0，得－1<x <1，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，∴函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是奇函数，故④正确．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)设U ＝R ，A ＝{x |2x －3≤1}，B ＝{x |2<x <5}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}(a 为实数)．(1)求A ∩B ；(2)若B ∪C ＝B ，求a 的取值范围．解：(1)∵2x －3≤1，∴x ≤3. ∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． (2)由B ∪C ＝B ，得C ⊆B .∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a ＋1<5，即2<a <4. 18．(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．解：(1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2. 又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝x 2＋2x －2.又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －2， x <0，0， x ＝0，－x 2＋2x ＋2， x >0.(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．19．(12分)已知函数f (x )＝2x 2＋2x ＋a (－2≤x ≤2)． (1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值．解：(1)f (x )＝2(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)， ∴在[－2，－1]上，f (x )为减函数；在[－1,2]上，f (x )为增函数．即f (x )的减区间是[－2，－1]，f (x )的增区间是[－1,2]． (2)设U (x )＝(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，则U (x )的最大值为U (2)＝8＋a ，最小值为U (－1)＝a －1.故f (x )的最大值为f (2)＝28＋a ，最小值为f (－1)＝2a －1. ∵28＋a ＝64， ∴a ＝－2.∴f (x )的最小值为f (－1)＝2－2－1＝18.20．(12分)已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n (m ，n ∈R ，m >0)的图象关于原点对称．(1)求m ，n 的值；(2)若函数h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x在(0,1)内存在零点，求实数b的取值范围．解：(1)函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n (m ，n ∈R ，m >0)的图象关于原点对称，所以f (－x )＋f (x )＝0，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mx －x ＋1＋n ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫－mx －x ＋1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫mx x ＋1＋n ＝1，即[(m ＋n )2－1]x 2＋1－n 2x 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－n 2＝0，(m ＋n )2－1＝0，m >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－1，m ＝2.(2)由h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x ＝lg 2x －12x ＋1－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x ＝lg 2x －1b －(2x )2－2x ，由题设知h (x )＝0在(0,1)内有解，即方程2x－1＝b －(2x )2－2x 在(0,1)内有解．b ＝(2x )2＋2x ＋1－1＝(2x ＋1)2－2在(0,1)内递增，得2<b <7.所以当2<b <7时，函数h (x )＝f (2x)－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2x ＋1－2x在(0,1)内存在零点．21．(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，对于任意的m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，当x >1时，f (x )<0.(1)求证：1是函数f (x )的零点； (2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的减函数； (3)当f (2)＝－12时，解不等式f (ax ＋4)>－1.解：(1)证明：对于任意的正实数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，所以令m ＝n ＝1，则f (1)＝2f (1)．∴f (1)＝0，即1是函数f (x )的零点． (2)证明：设0<x 1<x 2， ∵f (mn )＝f (m )＋f (n )， ∴f (mn )－f (m )＝f (n )． ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因0<x 1<x 2，则x 2x 1>1.而当x >1时，f (x )<0，从而f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数． (3)因为f (4)＝f (2)＋f (2)＝－1，所以不等式f (ax ＋4)>－1可以转化为f (ax ＋4)>f (4)．因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax ＋4<4. 当a ＝0时，解集为∅；当a >0时，－4<ax <0，即－4a <x <0，解集为{x |－4a <x <0}；当a <0时，－4<ax <0，即0<x <－4a ，解集为{x |0<x <－4a }．22.(12分)已知指数函数y ＝g (x )满足：g (3)＝8，定义域为R 的函数f (x )＝1－g (x )m ＋2g (x )是奇函数．(1)确定y ＝f (x )和y ＝g (x )的解析式； (2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明；(3)若对于任意x ∈[－5，－1]，都有f (1－x )＋f (1－2x )>0成立，求x 的取值范围．解：(1)设g (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则a 3＝8， ∴a ＝2.∴g (x )＝2x .∵f (x )＝1－2x2x ＋1＋m.又f (－1)＝－f (1)，∴1－12m ＋1＝－1－24＋m ⇒m ＝2；经检验，满足题意． ∴f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1.(2)由(1)知f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1.f (x )在定义域R 上是减函数．证明如下：任取x 1，x 2∈R ，设x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝12x 2＋1－12x 1＋1＝2x 1－2x 2(2x 1＋1)(2x 2＋1). ∵函数y ＝2x 在R 上是增函数，且x 1<x 2， ∴2x 1－2x 2<0，又(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．(3)∵f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，从而由不等式f (1－x )＋f (1－2x )>0，得f (1－x )>－f (1－2x )，即f (1－x )>f (2x －1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x <2x －1，－5≤1－x ≤－1，－5≤1－2x ≤－1，解得2≤x ≤3.故x 的取值范围是[2,3]．。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k 的取值范围为( )A.(-12,12) B.(-12,0)C.(12,+∞)D.(-∞,-12){kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得{x =41+2k,y =2k -11+2k ,∴41+2k >0且2k -11+2k <0, ∴-12<k<12.2.(2020浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),则( ) A.l ∥α B.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α斜交a ·n =1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a ⊥n .∴l ∥α或l ⊂α.3.设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0,则l 1与l 2的交点一定在( ) A.2x 2+3y 2=1(x ≠0)上 B.x 2+2y 2=1(x ≠0)上 C.2x 2+y 2=1(x ≠0)上 D.3x 2+2y 2=1(x ≠0)上l 1:y=k 1x+1,∴k 1=y -1x(x ≠0);直线l 2:y=k 2x-1,∴k 2=y+1x(x ≠0).又k 1k 2+2=0,∴y -1x·y+1x+2=0,整理得2x 2+y 2=1(x ≠0),∴l 1与l 2的交点一定在2x 2+y 2=1(x ≠0)上.4.在下列条件中,使点M 与点A ,B ,C 一定共面的是 ( )A.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗B.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0A,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得1-1-1=-1≠1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面; 对于B,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得15+13+12≠1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面; 对于C,由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量,即M ,A ,B ,C 四点共面; 对于D,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其系数和不为1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面.5.已知圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,则实数m 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C 1圆心为(0,-m ),半径为√2,C 2圆心为(m ,0),半径为2√2,∴√2<√2|m|<3√2,即1<|m|<3, 解得-3<m<-1或1<m<3.6.(2020安徽池州模拟)已知MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]O ,则OM=ON=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵MN 为球O 的直径, ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. 又点P 在正方体表面上移动,当P 为正方体顶点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,最大值为√3; 当P 为内切球与正方体的切点时,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,最小值为1, ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1∈[0,2],即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0,2].7.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、以2为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为( ) A.√3B.2C.√5D.3y=±ba x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2, 即√(2-a )2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0.因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1, 所以双曲线的离心率为e=ca =2.8.(2021黑龙江大庆一模)由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x 轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A (14,1),平行于对称轴的光线经过点A 反射后,反射光线交抛物线于点B ,则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.25B.258C.174D.2y 2=mx ,将A 的坐标代入可得12=14m ,可得m=4,所以抛物线的方程为y 2=4x ,可得焦点F (1,0),准线方程为x=-1, 由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB 的方程为y -01-0=x -114-1,整理可得y=-43(x-1),联立{y =-43(x -1),y 2=4x ,解得{y 1=-4,y 2=1,代入直线方程可得{x 1=4,x 2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点A (14,1),B (4,-4), 所以AB 的中点为(178,-32),所以AB 的中点到准线的距离d=178+1=258.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),则下列结论正确的有( ) A.AP ⊥ABB.AP ⊥ADC.AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量D.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0, ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AD ,故B 正确;由AP ⊥AB ,AP ⊥AD ,且AB ∩AD=A ,得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量,故C 正确; 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量,得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.10.设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ,N 两点(M 在x 轴上方,N 在x 轴下方),c 为双曲线的半焦距,O 为坐标原点.则下列说法正确的是( ) A.点N 的坐标为(a ,b ) B.∠MAN>90°C.若∠MAN=120°,则双曲线C 的离心率为√213D.若∠MAN=120°,且△AMN 的面积为2√3,则双曲线C 的方程为x 23−y 24=1y=ba x ,代入圆x 2+y 2=c 2=a 2+b 2,解得M (a ,b ),N (-a ,-b ),故A 错误;由于A (-a ,0),M (a ,b ),N (-a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,b ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2<0,则∠MAN>90°,故B 正确; 若∠MAN=120°, 由余弦定理得4c 2=(a+a )2+b 2+b 2-2√(a +a )2+b 2·b cos120°, 化简得7a 2=3c 2,即e=ca =√213,故C 正确;由△AMN 的面积为2√3,得12ab ×2=2√3,再由a 2+b 2=c 2,7a 2=3c 2,解得a=√3,b=2,即有双曲线C 的方程为x 23−y 24=1,故D 正确.11.过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,作AC ,BD 垂直抛物线的准线l 于C ,D 两点,其中O 为坐标原点,则下列结论正确的是( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ B.存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立 C.FC⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.准线l 上任意一点M ,都使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得C (-p2,y 1),D (-p2,y 2),又直线OA 的斜率k OA =y 1x 1=2p y 1,直线AD 的斜率k AD =y 1-y 2x 1+p 2,设直线AB 方程为x=my+p2,代入抛物线的方程,可得y 2-2pmy-p 2=0,可得y 1y 2=-p 2,即有y 1(y 1-y 2)=y 12-y 1y 2=2px 1+p 2,则k OA =k AD ,即存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,故B 正确; FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-p ,y 1)·(-p ,y 2)=y 1y 2+p 2=0,故C 正确; 由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即该圆与CD 相切,设切点为M ,即AM ⊥BM ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 不正确.12.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,则下列结论正确的是 ( )A.曲线C 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y=x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.若直线y=kx 与曲线C 只有一个交点,则实数k 的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)y=0时,x 4=4x 2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知-2≤x ≤2,令x=±1,得y 2=2√3-3,不是整点, ∴曲线C 共经过3个整点,故A 错误; x 2+y 2=4(x 2-y 2)x 2+y 2≤4,曲线C 上任取一点P (x ,y )到原点的距离d=√x 2+y 2≤2,故B 正确;曲线C 上任取一点M 关于y=x 的对称点为N , 设N (x ,y ),则M (y ,x ),M 在曲线C 上, ∴(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2),故C 正确;y=kx 与曲线C 一定有公共点(0,0), ∵y=kx 与曲线C 只有一个公共点, 则x 4(1+k 2)=4x 2(1-k 2),∴1-k 2≤0, ∴k ≥1或k ≤-1,故D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a =(1,2,λ),b =(2,2,-1),若cos <a ,b >=49,则实数λ的值为 .a =(1,2,λ),b =(2,2,-1),所以a ·b =2+4-λ=6-λ, |a |=√1+4+λ2=√5+λ2, |b |=√4+4+1=3. 若cos <a ,b >=49,则a ·b|a ||b |=√5+λ2×3=49,化简得7λ2+108λ-244=0, 解得λ=-1227或λ=2,则实数λ的值为-1227或2.-1227或214.(2020浙江宁波期末)如图,在空间四边形OABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,H 是EF 上一点,且EH=14EF ,记OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )= ;若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14×2(OB +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x ,y ,z )=(38,12,18).∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°, 且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=964|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+164|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×12×18×cos60° =964+14+164+116=3064,∴|OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√308. (38,12,18)√30815.(2021河北邢台检测)在△ABC 中,A ,B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点C 在椭圆上,且∠ABC=30°,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该椭圆的离心率为 .,作平行四边形ABEC ,由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AE ⊥BC , 故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2c sin60°=2√3c. 由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+√3)c , 故a=(√3+1)c , ∴离心率e=ca =√3+1=√3-12.16.(2020山东临沂期末)如图,光线从P (a ,0)(a>0)出发,经过直线l :x-3y=0反射到Q (b ,0),该光线又在Q 点被x 轴反射,若反射光线恰与直线l 平行,且b ≥13,则实数a 的最小值是 .P 关于直线l 的对称点P'(m ,n ),直线l 的斜截式方程y=13x ,所以{0+n2=13·a+m2,n -0m -a ·13=-1,解得{m =45a ,n =35a ,所以点P'(45a ,35a).根据两点式得到直线P'Q 的方程为y -035a -0=x -b 45a -b,整理可得3ax-(4a-5b )y-3ab=0. 因为反射光线恰与直线l 平行, 所以3a4a -5b =-13,所以a=513b.又因为b ≥13,所以a ≥5, 则a 的最小值是5.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上. (1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于M ,N 两点且|MN|=8,求直线m 的方程.由已知直线AB 的斜率k AB =1,AB 中点坐标为(-72,32),所以AB 垂直平分线的方程为x+y+2=0. 则由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2), 因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3, 所以当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0; 当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3), 则d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m 的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点.(1)借助向量证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1; (2)借助向量证明MN ⊥平面A 1BD.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D (0,0,0),A 1(2,0,2),B (2,2,0),B 1(2,2,2),C (0,2,0),D 1(0,0,2),设平面A 1BD 的法向量为m =(x ,y ,z ), ∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),∴{DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2x +2z =0,2x +2y =0,令x=-1,则平面A 1BD 的一个法向量m =(-1,1,1).同理平面B 1CD 1的一个法向量为n =(-1,1,1), ∴m ∥n ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1. (2)∵M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点, ∴M (2,1,0),N (1,2,1), ∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m , ∴MN ⊥平面A 1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=6,点E ,F 分别在AD ,BC 上,且AE=1,BF=4,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(1)求证:平面B'CD ⊥平面B'HD ; (2)求证:A'D ∥平面B'FC ;(3)求直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值.ABCD 中,CD ⊥DE ,点B'在平面CDEF 上的射影为H , 则B'H ⊥平面CDEF ,且CD ⊂平面CDEF , ∴B'H ⊥CD.又B'H ∩DE=H ,∴CD ⊥平面B'HD. 又CD ⊂平面B'CD , ∴平面B'CD ⊥平面B'HD.A'E ∥B'F ,A'E ⊄平面B'FC ,B'F ⊂平面B'FC ,∴A'E ∥平面B'FC.由DE ∥FC ,同理可得DE ∥平面B'FC. 又A'E ∩DE=E ,∴平面A'ED ∥平面B'FC ,∴A'D ∥平面B'FC.,过点E 作ER ∥DC ,过点E 作ES ⊥平面EFCD ,分别以ER ,ED ,ES 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. ∵B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上, ∴设B'(0,y ,z )(y>0,z>0). ∵F (3,3,0),且B'E=√10,B'F=4, ∴{y 2+z 2=10,9+(y -3)2+z 2=16, 解得{y =2,z =√6,∴B'(0,2,√6), ∴FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,√6), ∴EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14FB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,-14,√64. 又ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,5,0), 设平面A'DE 的法向量为n =(a ,b ,c ),则有{n ·EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-3a -b +√6c =0,5b =0, 解得b=0,令a=1,得平面A'DE 的一个法向量为n =(1,0,√62). 又C (3,5,0),H (0,2,0), ∴CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,0),∴直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值为sin θ=|cos <CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√1+0+64×√9+9+0=√55. 20.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在抛物线C 上,点A (-2p ,0).若当MF ⊥x 轴时,△MAF 的面积为5. (1)求抛物线C 的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M 的坐标.当MF ⊥x 轴时,点M (p2,±p),F (p2,0),则|AF|=p2+2p=5p2,|MF|=p ,∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0),∴|AF|=5.∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM 中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,∴∠MAF=∠AMF ,∴|FA|=|FM|.又|MF|=x 0+p 2=x 0+1,∴x 0+1=5, ∴x 0=4,∴y 0=±4.故点M 的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC ,BC=CD=2,AB=4.M ,N 分别是AB ,AD 的中点,且PD ⊥NC ,平面PAD ⊥平面ABCD.(1)证明:PD ⊥平面ABCD ;(2)已知三棱锥D-PAB 的体积为23,求平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小.DM ,则DC ∥BM 且DC=BM ,所以四边形BCDM 为平行四边形,所以DM ∥BC 且DM=BC ,所以△AMD 是等边三角形,所以MN ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ,所以MN ⊥平面PAD.因为PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥MN.又因为PD ⊥NC ,且MN ∩NC=N ,MN ⊂平面ABCD ,NC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥平面ABCD.BD ,则BD ∥MN ,所以BD ⊥AD ,BD ⊥PD.在Rt △DAB 中,DA 2+DB 2=AB 2, 又AD=2,AB=4,所以DB=2√3,故△DAB 的面积为S △DAB =12·DA ·DB=2√3. 由等体积法可得V D-PAB =V P-DAB =13·PD ·S △DAB =13·PD ·2√3=23,所以PD=√33.建立空间直角坐标系如图所示,则D (0,0,0),N (1,0,0),C (-1,√3,0),M (1,√3,0),P (0,0,√33), 所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√33),NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 设平面PNC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -√33z =0,-2x +√3y =0,令x=1,则y=2√33,z=√3, 所以平面PNC 的一个法向量n =(1,2√33,√3). 设平面PNM 的法向量为m =(a ,b ,c ),则有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{a -√33c =0,√3b =0,解得b=0, 令a=1,则c=√3,所以平面PNM 的一个法向量m =(1,0,√3).所以n ·m =1+3=4,|n |=4√33,|m |=2, 所以|cos <n ,m >|=|n ·m ||n ||m |=4√33×2=√32, 则平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小为30°.22.(12分)(2020江苏镇江期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M.(1)求椭圆C 的方程;(2)若∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P ,且离心率为√32,所以{22a 2+12b 2=1,c a =√32,其中a 2=b 2+c 2, 解得{a 2=8,b 2=2,所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数. 设直线PA 的斜率为k (k ≠0),则直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0,所以2x1=16k2-16k-41+4k2,即x1=8k2-8k-21+4k2,y1=k(8k2-8k-21+4k2-2)+1=-4k2-4k+11+4k2,即A(8k 2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2),同理可得B(8k 2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2),则M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=√5=4√55,此时M(65,-35)在椭圆内,所以PM的最小值为4√55.。

2020_2021学年高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修1

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A ．A ⊆BB ．A ∩B ＝{2}C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(2x －1)，x ≥2，则f (f (2))等于( ) A ．0B ．1C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1，∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.] 3．函数f (x )＝2x ＋x 的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝12xD ．f (x )＝x 2－2x ＋1B [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，故选B.]6．若10m ＝2，10n ＝6，则n －2m ＝( )A ．－lg 2B ．lg 2C ．－lg 3D ．lg 3D [∵10m ＝2，10n ＝6，∴m ＝lg 2，n ＝lg 6，∴n －2m ＝lg 6－2lg 2＝lg 6－lg 2＝lg 62＝lg 3，故选D.] 7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,2]上的偶函数，则(－3)b ＋3－1－a 的值为( )A.109B.19 C ．10 D ．不能确定 A [由偶函数的定义知，1＋a ＝－2，即a ＝－3.由f (x )＝f (－x )恒成立，得b ＝0.所以(－3)b ＋3－1－a ＝(－3)0＋3－1－(－3)＝109.故选A.] 8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( )A ．x －a >y －aB ．ax <ayC ．a x <a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a 为减函数，所以由x >y >1得到x －a <y －a ，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x 以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y 及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.]9．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( ) A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x )C [∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.] 10．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的零点时，其参考数据如表所示．A ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x －x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上，故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ，x ≤2，log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，3)B ．(5－1，3)C ．[3－3，2)D ．(1,3－3)C [若函数f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ，x ≤2log a (x －1)＋3，x >2是R 上的单调增函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ 3－a >1，a >1，(3－a )2≤log a (2－1)＋3，解得3－3≤a <2.故选C.]12．若函数f (x )＝a x －x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，a >1时，两函数图象有两个交点；0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设A ∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A 共有________个．4 [∵A ∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A ⊆{－1,1}，满足条件的集合A 为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．]14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________. 13 [lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝⎛⎭⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13.] 15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增函数，则实数m 的最小值等于________．1 [由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，∴f (x )＝2|x －1|，又∵f (x )在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m ≥1.]16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．(－2,2) [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] (1)A ＝{x |3≤3x ≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}．A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}．(2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ；②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点；(2)若f (x )有零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1.令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x －1＝0，解得2x ＝1或2x ＝－12(舍去)．所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为x ＝0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x －2x －1＝0有解，于是2a ＝2x ＋14x ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x ＋122－14.因为⎝⎛⎭⎫12x >0，所以2a >14－14＝0，即a >0. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x. (1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明．[解] (1)由已知得g (x )＝1－a －2x， ∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x＝－⎝⎛⎭⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝⎛⎭⎫1－2x 2＝2(x 1－x 2)x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2(x 1－x 2)x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)． ∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．20．(本小题满分12分)已知函数y ＝2－x 2＋x ＋2x －2的定义域为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x 的最大值．[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (2－x )(x ＋2)≥0，2x －2≥0，x ≠－2.解得1≤x ≤2，故M ＝{x |1≤x ≤2}．(2)f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x ，令t ＝log 2x ，t ∈[0,1]，可得g (t )＝2t 2＋at ，t ∈[0,1]，其对称轴为直线t ＝－a 4，当－a 4≤12，即a ≥－2时，g (t )max ＝g (1)＝2＋a ，当－a 4>12，即a <－2时，g (t )max ＝g (0)＝0. 综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ≥－2，0，a <－2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)．(1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由；(3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0.[解] (1)要使函数有意义，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12. ∴函数F (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )．∴F (x )为奇函数．(3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0，即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )．①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ，∴－12<x <0. ②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0，∴0<x <12. 综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝⎛⎭⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？[解] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18，得k 1＝18，g (1)＝12，得k 2＝12，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元，依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．。

新教材2024年秋高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2024·河北辛集中学月考)若幂函数f(x)]＝xα的图象经过点，则α的值为( )A．2 B．－2C．D．－3．(2024·湖北武汉期末)已知函数f(x)]＝x－e－x的部分函数值如表所示：x 10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 1－0.106 50.277 60.089 7－0.007那么函数f(x)]的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.74．(2024·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·福建厦门双十中学月考)将y＝图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)] 的图象，再将y＝g(x)]图象向左平移，得到y＝φ(x)]的图象，则y＝φ(x)]的解析式为( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 9x D．y＝sin6．(2024·山东青岛期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)起先，在圆C上按逆时针方向，以角速度rad/s均速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )A．B．C．D．7．(2024·浙江杭州四中期末)已知实数x，y，z满意x＝40.5，y＝log53，z＝sin ，则( )A．z<x<y B．y<z<xC．z<y<x D．x<z<y8．(2024·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·山东新泰一中期末)下列结论中正确的是( )A．若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且a<b，则<C.若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为210．(2024·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )A．sin B．sinC．cos D．cos11．(2024·浙江省杭州七中期末)已知函数f(x)]＝sin ，则fA．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点成中心对称12．(2024·山东泰安期末)已知f(x)]是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )A．f(x)]在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)]最多有两个零点C．f(log0.53)>f(log25)D．若实数a满意f(2a)>f，则a<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝，则＋的值为________．14．的值为________．15．(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)]＝ax2＋bx＋c，满意不等式f(x)]<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f(x－1)为偶函数，则实数t＝________．16．某化工厂产生的废气必需经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e t ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还须要过滤n小时，则正整数n的最小值为________(参考数据：log52≈0.43)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·浙江高校附属中学期末)(1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos ·cos(π－α)的值．18．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁R B，②B⊆∁R A，③(∁R A)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos x－2.(1)求函数f(x)的零点；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．20．(本小题满分12分)(2024·湖北华中师大一附中期末)函数f(x)]＝－sin2x＋sin x cos x.(1)若f＝－＋，α∈(0，π)，求sin α；(2)若函数y＝f(ω)(0<ω<3)的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围(不须要证明唯一性)．21．(本小题满分12分)(2024·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满意5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满意：p(t)＝其中t∈N.(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．(本小题满分12分)(2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝4log2x＋，g(x)＝m·4x ＋2x+1－m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1，2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)＋g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．模块综合测评1．A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2x－1}．]2．C [由已知可得f (3)＝3α＝，解得α＝．故选C．]3．B [函数f (x)＝x－在R上单调递增，由数表知：f (0.5) f (0.562 5)0 f (0.625) f (0.75) f (1)，由函数零点存在定理知，函数f (x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f (x)的一个零点的近似值为0.57．故选B．]4．A [sin x＝1，x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0，x＝＋kπ，k∈Z；sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A．]5．A [将y＝sin 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)图象向左平移，得到φ(x)＝sin＝sin x的图象，故选A．]6．D [点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝＋3×的终边上，cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，故P′的坐标为．故选D．]7．C [x＝40.5＝>1，0＝log51y＝log53log55＝1，z＝sin 0，综上所述，故z y x．故选C．]8．C [f (x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x．选项A中：2x∈，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]9．AC[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－＝(A＋B)－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a<b，则－＝>0，所以>，故B错误；对于C，因为>，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，故D错误．故选AC．] 10．BC[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．BD[因为f ＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f 为偶函数，因为函数f 的对称中心坐标为，所以函数f 的图象关于点成中心对称．故选BD．]12．ACD[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f ＝f (log23)，因为log23<log25，所以f (log23)>f (log25)，故C正确；若实数a满意f (2a)>f ，即f (2a)>f ，则2a<＝，解得a<，故D正确．故选ACD．]13．2 [因为2a＝3b＝，所以a＝log2，b＝log3，所以＋＝＋＝＋＝＝2．]14．1 [原式＝＝＝＝1．]15．0 [依据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则依据根与系数的关系可得t－2＝－＝－2，解得t ＝0．]16． 4 [明显，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝，而k>0，解得k＝，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·e m ln k≤0.25%P0⇔k m≤，即≤⇔≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还须要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝，正整数n的最小值为4．]17．解：(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝．(2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－．18．解：(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥5},∁R B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁R B，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁R A，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁R A)∩B＝∅，则解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．19．解：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f (x)＝－2cos2x＋cos x，令f (x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z．所以函数f (x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z．(2)因为f (x)＝－2cos2x＋cos x，令cos x＝t，则f (x)＝g(t)＝－2t2＋t，因为f (x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cos x≤1(等号可取)，因为x∈，且cos ＝－，由－≤cos x≤1(等号可取)，x∈可得－≤α<．所以α的取值范围为．20．解： f (x)＝－sin2x＋sin x cos x＝－＋＝sin －．(1)由f ＝－＋，∴sin ＝，∵α∈(0，π)，∴<α＋<π．又sin ＝<＝sin ，∴<α＋<π，∴cos ＝－．故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝．(2) y＝f (ωx)＝sin －，设t＝2ωx＋，由x∈，则t∈，由0<ω<3，则<＋<，<ωπ＋<，由题意y＝sin t－，在t∈时，有且仅有一条经过最高点的对称轴，即y＝sin t－的对称轴x＝或x＝仅有一条在定义域内．所以或解得<ω<或<ω<．又0<ω<3，故ω的取值范围为∪．21．解：(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－，任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝－＝6(t2－t1)＋－＝6(t2－t1)＋＝，∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0，∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．解：(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x ＋≥ 2＝4，当且仅当4log2x ＝，即x ＝时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t ＝－>0，当－≤2，即m ≤－时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，y max＝3m＋4；当2<－<4，即－<m<－时，函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以y max＝y＝－m －；当－≥4，即－≤m<0时，函数g(t)在[2，4]上单调递增，所以y max＝y(4)＝15m＋8．综上，当－≤m<0时，g(x)的最大值为15m＋8；当－<m<－时，g(x)的最大值为－m －；当m ≤－时，g(x)的最大值为3m＋4．(3)对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)＋g(x2)>7成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只须要g(x)max>3．所以当－≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－，所以－≤m<0；当－<m<－时，－m －>3，解得m <或<m<0，所以，<m<－；当m ≤－时，3m＋4>3，解得m>－，此时解集为空集．综上，实数m 的取值范围为<m<0．。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品习题课件模块综合测评

+

= + ( ∈ ),解得 =
∈ ),当 = −时可得 =

− ,所以图象C

对称,故A正确.

对于B,由题意知 + = ( ∈ ),解得 = − + ( ∈ ),即()图象的对称

中心为(− + , ), ∈ ，当 = 时可得 = − ,所以图象C关于点(− ,)对称,而
关于直线 = −
调递增,故C正确.
对于D,把函数() = (

+ )

+ 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半

（纵坐标不变）得到函数 = ( + ) + 的图象,不是图象C,故D错误.
综上,A,C正确.
1
10.已知不等式 2 + + > 0的解集为(− ,2),则下列结论正确的是() BCD
(1 ) = (2 ) = (3 ) = (4 ),则下列结论正确的是() BCD
A.1 + 2 = −1B.3 4 = 1C.1 < 4 < 2D.0 < 1 2 3 4 < 1
[解析]
画出函数()的大致图象如图,得出 + = −,− = ,则 = ,故A
A.
B.
C.
D.
[解析]对于A,阴影部分表示的集合为 ∩ = {, , },元素个数为3,故A错误;对于B,
阴影部分表示的集合为{, },元素个数为2,故B正确;对于C,阴影部分表示的集合为{},
元素个数为1,故C错误;对于D,阴影部分表示的集合为{, , },元素个数为3,故D错误.

2020学年新教材高中数学模块质量检测(含解析)新人教A版必修第一册(2021-2022学年)

模块质量检测一、选择题（本大题共12小题,每小题５分，共6０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)１．已知集合A ＝｛x|ｘ<3｝，B={x|2x>4},则A∩Ｂ=( ）Ａ．∅ B ．{x|0〈x 〈3｝C .｛x|１<x 〈3}D .｛x|2<x<３｝解析:依据函数y=２x 是增函数，可得B ＝{ｘ｜２x〉4｝＝｛x|x ＞2｝，则A∩Ｂ={x ｜２＜x<３}. 答案：D2．对于实数x,y ，若p ：x ＋y≠4,q:x≠3或y≠１，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C .充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:考虑该命题的逆否命题．綈ｑ:ｘ＝3且y=1，綈p ：x+y=4,显然綈q ⇒綈ｐ,但綈ｐ綈q,所以綈q 是綈p 的充分不必要条件,则p 是q 的充分不必要条件．答案:A3.函数y ＝错误!未定义书签。

的定义域为（ ) A ．（-∞，１] Ｂ．［－1，1]C ．［1,2)∪(２，+∞) Ｄ。

错误!未定义书签。

∪错误!未定义书签。

解析：由函数y=错误!未定义书签。

得错误!解得错误!未定义书签。

即-1≤x≤1且ｘ≠-＼f(1,２),所以所求函数的定义域为错误!未定义书签。

∪错误!.答案：Ｄ4.已知0<a<b,且a ＋b ＝1,则下列不等式中正确的是（ )A .log 2a 〉0B .2a-b <错误!未定义书签。

C ．ｌｏg 2ａ+ｌog 2b ＜－2D ．２<错误!解析:特殊值法，令a ＝１3,ｂ＝２3代入检验只有C 正确，故选C 。

ﻬ答案:Ｃ5.关于x 的不等式ax －ｂ<０的解集是（1，+∞），则关于x 的不等式（ａx+ｂ)（x －3)>0的解集是( ）A .(－∞，－1)∪（3,+∞）Ｂ．（1，3)⇒+a b b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .(-１，3)D ．(－∞，1)∪（3,＋∞)解析：关于x 的不等式ax-ｂ<0的解集是（1，＋∞),即不等式ａx 〈ｂ的解集是(1,＋∞),∴a=b 〈０，∴不等式(ａx+b)·(ｘ－3)＞0可化为(x ＋１）(x －3)〈０，解得-1<x 〈3，∴所求解集为（-1,3)．答案：C6．已知ｓin α-co ｓ α=错误!未定义书签。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版必修第一册202105152103

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}A [在数轴上表示出集合A ，B ，如图所示．由图知A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．] 2．函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为( )A ．13B ．1C ．2D ．12D [∵f (x )＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1在区间[2,3]上单调递增，∴函数f (x )＝x －1x ＋1在区间[2,3]上的最大值为f (3)＝3－13＋1＝12，故选D.]3．已知α，β∈R ，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 C [当k ＝2n 为偶数时，α＝2n π＋β，此时sin α＝sin(2n π＋β)＝sin β，当k ＝2n ＋1为奇数时，α＝2n π＋π－β，此时sin α＝sin(π－β)＝sin β，即充分性成立，当sin α＝sin β，则α＝2n π＋β，n ∈Z 或α＝2n π＋π－β，n ∈Z ，即α＝k π＋(－1)kβ，即必要性成立，则“存在k ∈Z 使得α＝k π＋(－1)k β”是“sin α＝sin β”的充要条件，故选C.]4．已知x ，y ∈R ，则x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0D ．ln x ＋ln y >0 C [∵x ，y ∈R ，且x >y >0，则1x <1y ，sin x 与sin y 的大小关系不确定，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，ln x ＋ln y 与0的大小关系不确定．故选C.] 5．函数y ＝ln cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2的图象是()A. B.C. D.A [由偶函数排除B 、D ，∵0<cos x ≤1，∴y ≤0，∴排除C.故选A.]6．已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，则cos 2α＝( )A ．2425B ．725C ．－2425D ．±2425A [∵0<α<π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，∴π4<α＋π4<π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， ∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝45×22－35×22＝210. ∴cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2102＝2425.故选A.]7．已知函数y ＝a x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(m ，n )，且函数y ＝log 2(mx 2＋bx ＋n )在区间(－∞，1]上单调递减，则实数b 的取值X 围为( )A ．[－5，－4)B ．(－5，－4]C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]B [∵函数y ＝a x －2＋2(a >0，a ≠1)的图象恒过定点(2,3)，∴m ＝2，n ＝3，∴y ＝log 2(2x 2＋bx ＋3)．又y ＝log 2(2x 2＋bx ＋3)在区间(－∞，1]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－b 4≥12＋b ＋3>0，∴－5<b ≤－4，故选B.]8．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K1＋e －0.23t －53，其中K 为最大确诊病例数．当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( )A ．60B ．63C ．66D ．69C [由题意可知，当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23t *－53＝0.95K ，即10.95＝1＋e －0.23(t *－53)，e －0.23(t *－53)＝119，e 0.23(t *－53)＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19≈3，∴t *≈66.故选C.]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0 BCD [因为不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，故相应的二次函数f (x )＝ax 2＋bx＋c 的图象开口向下，所以a <0，故A 错误；易知2和－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝－1<0，－b a ＝32>0，又a <0，故b >0，c >0，故BC 正确；由二次函数的图象(图略)可知f (1)＝a ＋b ＋c >0，故D 正确．故选BCD.]10．对于函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c (a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值去计算f (－1)和f (1)，所得出的正确结果可能是( )A ．2和6B ．3和9C ．4和11D ．5和13ABD [函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋c ，所以f (1)＝a ＋b sin 1＋c ，f (－1)＝－a －b sin 1＋c .所以f (1)＋f (－1)＝2c ，因为c ∈Z ，所以f (1)＋f (－1)为偶数，故四个选项中符合要求的为ABD.故选ABD.]11．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |的叙述正确的是( ) A ．f (x )是偶函数B ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增C ．f (x )在[－π，π]有4个零点D ．f (x )的最大值为2AD [A.∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )是偶函数，故正确；B ．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减，故错误；C ．当x ∈[0，π]时，令f (x )＝sin|x |＋|sin x |＝2sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π，又f (x )在[－π，π]上为偶函数，∴f (x )＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故错误；D ．∵sin|x |≤1，|sin x |≤1，当x ＝π2＋2k π(k ∈Z )或x ＝－π2－2k π(k ∈Z )时两等号同时成立，∴f (x )的最大值为2，故正确．故选AD.] 12．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．1a <1bB ．ab <0C ．a ＋b <0D ．ab <a ＋bBCD [∵a ＝log 0.20.3＝lg 0.3－lg 5>0，b ＝log 20.3＝lg 0.3lg 2<0，∴1a >0>1b ，a ＋b ＝lg 0.3lg 2－lg 0.3lg 5＝lg 0.3lg 5－lg 2lg 2lg 5＝lg 0.3lg52lg 2lg 5，ab ＝－lg 0.3lg 2·lg 0.3lg 5＝lg 0.3·lg103lg 2lg 5，∵lg 103>lg 52，lg 0.3lg 2lg 5<0，∴ab <a ＋b <0.故选BCD.]三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设扇形的周长为6，面积为2，则扇形中心角的弧度数是________．1或4[设扇形的半径为R ，圆心角为α，则⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋αR ＝6，12αR 2＝2，解得α＝1或4.]14．十九世纪德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就卓著，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q被称为狄利克雷函数．狄利克雷函数是无法画出图象的，但它的图象却客观存在，若点(2，y )在其图象上，则y ＝________.0[∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q0，x ∈∁R Q，又2∈∁R Q ，∴y ＝0.]15．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递增，则ω的取值X 围是________．(0,1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，5[令2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k πω－π2ω≤x ≤2k πω＋π2ω(k ∈Z )，当k ＝0时，－π2ω≤x ≤π2ω，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2ω>0，即0<ω≤1，当k ＝1时，3π2ω≤x ≤5π2ω，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧5π2ω≥π23π2ω≤π3，即92≤ω≤5.故答案为(0,1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，5.]16．设函数f (x )＝3xx 2＋9的最大值是a ，则a ＝_______.若对于任意的x ∈[0,2)，a >x 2－x＋b 恒成立，则b 的取值X 围是_______．(本题第一空2分，第二空3分)12⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32[当x ≤0时，f (x )≤0；当x >0时，f (x )＝3xx 2＋9＝3x ＋9x ≤32x ·9x＝329＝12，当且仅当x ＝9x，即x ＝3时取等号，综上可得，f (x )max ＝12，即a ＝12.由题意知x 2－x ＋b <12在x ∈[0,2)上恒成立，即x 2－x ＋b －12<0在x ∈[0,2)上恒成立．令φ(x )＝x 2－x ＋b －12，x ∈[0,2)，则φ(x )<φ(2)，则4－2＋b －12≤0，即b ≤－32.]四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)计算下列各题：(1)0.008 1＋()42＋(8)－16－0.75； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋2.[解](1)0.008 1＋()42＋()8－16－0.75 ＝(0.34)＋2＋2－24×(－0.75)＝0.3＋2－3＋2－2－2－3 ＝0.55.(2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50＋2＝(lg 5)2＋lg 2·[lg(2×52)]＋2·2 ＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2 5＝(lg 5＋lg 2)2＋2 5＝1＋25.18．(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表如下：ωx ＋φ 0 π2π 3π22π x π12π37π125π613π12 A sin (ωx ＋φ)4 0－4(1)(2)若函数f (x )的值域为A ，集合C ＝{x |m －6≤x ≤m ＋3}且A ∪C ＝C ，某某数m 的取值X 围．[解](1)根据表中已知数据，解得A ＝4，ω＝2，即f (x )＝4sin(2x ＋φ)，又由当x ＝π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝4，解得φ＝－π6，函数表达式为f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (0)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2，f (π)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π6＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2.(2)由(1)可得f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈[－4,4]，所以A ＝[－4,4]，又A ∪C ＝C ，所以A ⊆C ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤－4，m ＋3≥4，解得1≤m ≤2.所以实数m 的取值X 围是[1,2]．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(a >0)，且满足________．(1)求函数f (x )的解析式及最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，某某数m 的取值X 围．从①f (x )的最大值为1，②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，③f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0这三个条件中选择一个，补充在上面问题中并作答．[解](1)函数f (x )＝a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－1＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π6－1＝(a ＋1)sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1.若满足①f (x )的最大值为1，则a ＋1＝2，解得a ＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1，f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)令f (x )＝1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，解得2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π3＋k π，k ∈Z ；若关于x 的方程f (x )＝1在区间[0，m ]上有两个不同解，则x ＝π3或4π3.所以实数m 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫4π3，7π3.若满足②f (x )的图象与直线y ＝－3的两个相邻交点的距离等于π，且f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，所以－(a ＋1)－1＝－3，解得a ＝1. 以下解法均相同．若满足③f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝(a ＋1)sin π6－1＝0，解得a ＝1.以下解法均相同．20．(本小题满分12分)已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上．(1)求f (x )的表达式； (2)设g (x )＝f (x )－x －2，求函数y ＝g (x )的零点，推出函数y ＝g (x )的另外一个性质(只要求写出结果，不要求证明)，并画出函数y ＝g (x )的简图．[解](1)因为f (x )为幂函数，所以设f (x )＝x a ，又(2，2)在f (x )的图象上，所以(2)a ＝2⇒a ＝2，所以f (x )＝x 2.(2)由(1)知f (x )＝x 2，故g (x )＝x 2－1x 2，令g (x )＝0，解得x ＝1或x ＝－1，故函数y ＝g (x )的零点为±1.g (x )＝x 2－1x 2，故其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ，又g (－x )＝(－x )2－1－x 2＝x 2－1x2＝g (x )，故g (x )为偶函数，根据单调性的性质可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，在 (－∞，0)上单调递减；(以上性质任选其一即可)函数y ＝g (x )的图象如图．21.(本小题满分12分)如图，在半径为3，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y .(1)按下列要求写出函数的关系式：①设PN ＝x ，将y 表示成x 的函数关系式；②设∠POB ＝θ，将y 表示成θ的函数关系式；(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求出y 的最大值．[解](1)①因为QM ＝PN ＝x ，所以MN ＝ON －OM ＝3－x 2－x 3，所以y ＝MN ·PN ＝x ·3－x 2－33x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32. ②当∠POB ＝θ时，QM ＝PN ＝3sin θ，则OM ＝sin θ，又ON ＝3cos θ，所以MN ＝ON －OM ＝3cos θ－sin θ，所以y ＝MN ·PN ＝3sin θcos θ－3sin 2θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π3. (2)由②得，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 θ＋π6－32，当θ＝π6时，y 取得最大值为32. 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x3x －27， g (x )＝－lg[－f (x )]，设g (x )的定义域为A .(1)求A ；(2)用定义证明f (x )在A 上的单调性，并直接写出g (x )在A 上的单调性；(3)若g (a 2－sin x )≤g (a ＋1＋cos 2x )对一切x ∈R 恒成立，某某数a 的取值X 围．[解](1)g (x )＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 27－3x ，要使函数有意义，则3x27－3x >0，即27－3x >0，∴x <3，故函数的定义域为(－∞，3)．(2)f (x )在(－∞，3)上单调递减．证明如下：设x 1<x 2<3，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 13x 1－27－3x 23x 2－27＝273x 2－3x 13x 1－273x 2－27，又x 1<x 2<3，∴3x 2－3x 1>0,3x 1－27<0,3x 2－27<0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在(－∞，3)上单调递减， ∴g (x )在(－∞，3)上单调递减．(3)∵g (a 2－sin x )≤g (a ＋1＋cos 2x )对一切x ∈R 恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－sin x <3，a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x ，由a 2－sin x <3，可得a 2<3＋sin x ，又3＋sin x ≥2，∴a 2<2，即－2<a < 2. 由a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x ，可得 a 2－a ≥1＋cos 2x ＋sin x . 又1＋cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋2≤－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12＋2＝94， ∴a 2－a ≥94，解得a ≤1－102，或a ≥1＋102. 又－2<a <2，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－2，1－102.。

人教版数学高中A版必修一单元测验卷全册(附答案)

第一章单元检测题时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)2．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,6}，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,6} B ．{0,6} C ．{0,1}D ．{0,1,6}3．已知f (x )＝ax ＋bx (a ，b 为常数)，且f (1)＝1，则f (－1)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不能确定4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，则f (3)＝( )A ．3B ．－3C ．0D ．65．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，f (1)＝2，则f (3)等于( ) A ．10 B ．6 C ．12D ．166．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)7．设f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( ) A ．1B ．0C ．－1D ．π8．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m ≤4 D ．m ≤410．y ＝1x －2＋1在[3,4]的最大值为( ) A ．2 B.32 C.52D ．411．奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，函数f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝－x (1－x ) B ．f (x )＝x (1＋x ) C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)12．若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪ (0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知f (2x ＋1)＝x 2，则f (5)＝________。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

模块综合检测(C)(时间：12019 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则上图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( ) A.10 B ．10 C ．20D ．1003．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (－1)>f (2)B ．f (－1)<f (2)C ．f (－1)＝f (2)D ．无法确定4．若集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则( ) A ．A ⊆B B ．ABC ．A ＝BD ．A ∩B ＝∅5．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则税率p %为( )A ．10%B ．12%C ．25%D ．40%6．设则f (f (2))的值为( )A．0 B．1C．2 D．37．定义运算：a*b＝如1*2=1，则函数f(x)的值域为()A．R B．(0，＋∞)C．(0,1] D．[1，＋∞)8．若2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，则log2xy等于()A．2 B．2或0C．0 D．－2或09．设函数，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是()A．4 B．3C．2 D．110．在下列四图中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝(ba)x的图象只可为()11．已知f(x)＝a x－2，g(x)＝log a|x|(a>0且a≠1)，若f(4)g(－4)<0，则y＝f(x)，y＝g(x)在同一坐标系内的大致图象是()12．设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有()A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则不等式f [g (x )]>g [f (x )]的解为________．14．已知log a 12>0，若224x x a +-≤1a ，则实数x 的取值范围为______________．15．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________________．16．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)已知函数f (x )＝12log [(12)x －1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性．18．(12分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．19．(12分)设函数f(x)＝ax－1x＋1，其中a∈R.(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．20．(12分)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．21．(12分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．(12分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.模块综合检测(C)1．C [题图中阴影部分可表示为(∁U M )∩N ，集合M ＝{x |x >2或x <－2}，集合N ＝{x |1<x ≤3}，由集合的运算，知(∁U M )∩N ＝{x |1<x ≤2}．]2．A [由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10.]3．A [由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)．]4．A [∵x ∈R ，∴y ＝2x >0，即A ＝{y |y >0}．又B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}， ∴A ⊆B .]5．C [利润300万元，纳税300·p %万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为 200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p %万元，共纳税300·p %＋180·p %＝120(万元)， ∴p %＝25%.]6．C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.]7．C[由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≤0，2－x ，x >0.作出f (x )的图象(实线部分)如右图所示；由图可知f (x )的值域为(0,1]．] 8．A [方法一排除法．由题意可知x >0，y >0，x －2y >0， ∴x >2y ，x y >2，∴log 2xy >1. 方法二直接法．依题意，(x －2y )2＝xy ，∴x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴(x －y )(x －4y )＝0，∴x ＝y 或x ＝4y ， ∵x －2y >0，x >0，y >0，∴x >2y ， ∴x ＝y (舍去)，∴x y ＝4，∴log 2xy ＝2.]9．B [当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点．]10．C [∵ba >0，∴a ，b 同号．若a ，b 为正，则从A 、B 中选．又由y ＝ax 2＋bx 知对称轴x ＝－b2a <0，∴B 错，但又∵y ＝ax 2＋bx 过原点，∴A 、D 错．若a ，b 为负，则C 正确．]11．B [据题意由f (4)g (－4)＝a 2×log a 4<0，得0<a <1，因此指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，函数f (x )＝a x －2的图象是把y ＝a x 的图象向右平移2个单位得到的，而y ＝log a |x |(0<a <1)是偶函数，当x >0时，y ＝log a |x |＝log a x 是减函数．]12．C [由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|， ∴f (12)<f (13)<f (2)．] 13．x ＝2解析 ∵f (x )、g (x )的定义域都是{1,2,3}，∴当x ＝1时，f [g (1)]＝f (3)＝1，g [f (1)]＝g (1)＝3，不等式不成立；当x ＝2时，f [g (2)]＝f (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝1，此时不等式成立；当x ＝3时，f [g (3)]＝f (1)＝1，g [f (3)]＝g (1)＝3，此时，不等式不成立．因此不等式的解为x ＝2. 14．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析由log a 12>0得0<a <1. 由224xx a +-≤1a 得224x x a +-≤a －1，∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 15．1＜a ＜54解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ，∴1＜a ＜54.16．lg1.5解析 ∵lg9＝2lg3，适合，故二者不可能错误，同理：lg8＝3lg2＝3(1－lg5)，∴lg8，lg5正确．lg6＝lg2＋lg3＝(1－lg5)＋lg3＝1－(a ＋c )＋(2a －b )＝1＋a －b －c ，故lg6也正确．17．解 (1)(12)x －1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝12log x 是减函数，∴f (x )＝121log 12x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦在(－∞，0)上是增函数． 18．解 (1)要使A 为空集，方程应无实根，应满足⎩⎨⎧a ≠0Δ<0，解得a >98.(2)当a ＝0时，方程为一次方程，有一解x ＝23；当a ≠0，方程为一元二次方程，使集合A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a ＝98，x ＝43.∴a ＝0时，A ＝{23}；a ＝98时，A ＝{43}．(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况，∴a ＝0或a ≥98.19．解 f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). (1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[0,3]上是增函数，∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0.若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数，只要f (x 1)－f (x 2)<0，而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．20．解设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]．f (0)＝1>0，(1)当2是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时，则4＋2(m －1)＋1＝0，∴m ＝－32.(2)当2不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时，①方程f (x )＝0在(0,2)上有一个解时，则f (2)<0，∴4＋2(m －1)＋1<0.∴m <－32.②方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(m －1)2－4≥0，0<－m －12<2，f (2)＝4＋2(m －1)＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m >－32.∴－32<m ≤－1.综合(1)(2)，得m ≤－1. ∴实数m 的取值范围是(－∞，－1]．21．解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650. ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30，所以沙尘暴发生30h 后将侵袭到N 城．22．(1)证明令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (－1)＝0，∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．(2)证明设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1·x 2x 1)－f (x 1) ＝f (x 1)＋f (x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)， ∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴f (x 2x 1)>0，即f (x 2)－f (x 1)>0. ∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)解 ∵f (2)＝1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝2.又∵f (x )是偶函数，∴不等式f (2x 2－1)<2可化为f (|2x 2－1|)<f (4)．又∵函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x 2－1|<4. 解得－102<x <102，即不等式的解集为(－102，102)．。