第1章 试验数据的误差分析

第1章 试验数据的误差分析
1.2 误差的基本概念 1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：

x
i 1
n
i
x
d
i 1
n
i
n
n
d i —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
说明： 可以反映一组试验数据的误差大小。 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲
s
d
i 1
n
2 i
n 1

( xi x)
i 1
n
2
n 1

x ( xi ) 2 / n
i 1 2 i i 1
n
n
n 1
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表示试验值的精密度，标准差↓，试验数据精密度↑。 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 2013年7月25日星期四
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加权和
w x
i 1 n
n
i i
w
i 1
wi——权重
i
适合不同试验值的精度或可靠性不一致时的场合。 权重的给予方法： ①试验次数很多时，将权wi看成试验值xi出现的频率ni/n。 ②若试验值来源于不同组，把权wi看成每组的试验次数。 ③根据权与绝对误差的平方成反比确定权数。
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第1章 试验数据的误差分析
1.1 真值与平均值
1.1.1 真值(true value)：
在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。 真值一般是未知的。
但从相对意义上讲，真值又是已知的。例如:
平面三角形三内角之和恒为180°； 国家标准样品的标称值； 国际上公认的计量值； 高精度仪器所测之值；
宜采用几何平均值。
几何平均值≤算术平均值。
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第1章 试验数据的误差分析
1.1.2 平均值(mean)
（5）调和平均值：（harmonic mean）
不同的平均值 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则： 都 有 各 自 适 用 的场合，到底 n n H n 1 1 1 应选择哪种求 1 x1 x2 xn xi 平均值的方法， i 1 n 主要取决于试 1 1 1 1 ... 验数据本身的 x1 x2 xn 1 i 1 xi 或 特点。如分布 H n n 类型、可靠性 常用在涉及到与一些量的倒数有关的场合； 程度等。 调和平均值≤几何平均值≤算术平均值。 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 Page 9 2013年7月25日星期四
（1）含义：反映系统误差的大小 （2）正确度与精密度的关系：
（a）精密度好， 正确度不好。
（b）精密度不好， 正确度好。
（c）精密度好，正 确度好。
精密度高并不意味着正确度也高； 精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到好的 正确度。 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 Page 19 2013年7月25日星期四
1.4 试验数据的精准度 1.4.1 精密度（precision）
（1）含义： ◈反映了随机误差大小的程度； ◈在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50 （2）说明： 可以通过增加试验次数而达到提高数据精密度的目的； 试验数据的精密度是建立在数据用途基础之上的； 试验过程足够精密，则只需少量几次试验就能满足要求。 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 Page 17 2013年7月25日星期四
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1.1.2 平均值(mean)
（4）几何平均值（geometric mean） 设有n个正试验值：x1，x2，…，xn，则
xG n x1 x2 xn ( x1 x2 xn )
1 n
说明：
当一组试验值取对数后所得数据的分布曲线更加对称时，
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例1-1 在实验室称重某样品时，不同的人得4组称重结果， 如果认为各测量结果的可靠程度仅与测量次数成正比，试求其 加权平均值。 表1-1 例1-1数据表
组 1 2 测量值 100.357，100.343，100.351 100.360，100.348 平均值 100.350 100.354
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（3）精密度判断 ①极差（range）：
R xmax xmin
n n
R↓，精密度↑
②标准差（standard error）

( xi x)
i 1
n
2
n

x ( xi ) 2 / n
i 1 2 i i 1
③方差（variance） 标准差的平方： 样本方差（ s2 ） 总体方差（σ2 ）
3
4
100.350，100.344，100.336，100.340，100.345
100.339，100.350，100.340
100.343
100.343
解：由于各测量结果的可靠程度仅与测量次数成正比，所以
w1 3, w2 2, w3 5, w4 3 w x w2 x2 w3 x3 w4 x4 100.350 3 100.354 2 100.343 5 100.343 3 xw 1 1 w1 w2 w3 w4 3 253 100.346
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1.3 试验数据误差的来源及分类 1.3.3 过失误差 （mistake ）
（1）定义：一种显然与事实不符的误差 （2）产生的原因：实验人员粗心大意造成 （3）特点： 可以完全避免；
没有一定的规律。
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i 1
n
n 1

xi2 ( xi ) 2 / n
i 1 i 1
n
n
n 1
方差↓，精密度↑
标准差↓，精密度↑
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1.4 试验数据的精准度 1.4.2 正确度（correctness）
1.3 试验数据误差的来源及分类 1.3.1 随机误差（random error ）
（1）定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时 正时负，时大时小。 （2）产生的原因：偶然因素。 （3）特点：具有统计规律 小误差比大误差出现机会多 正、负误差出现的次数近似相等 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零 可以通过增加试验次数减小随机误差 随机误差不可完全避免的 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 2013年7月25日星期四
x1 x2 xn x n
x
n
i
适合：
等精度试验值； 试验值服从正态分布。
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1.1.2 平均值(mean)
（2）加权平均值(weighted mean)：
w x w2 x2 wn xn xw 1 1 w1 w2 wn
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1.2 误差的基本概念 1.2.4 标准误差 (standard error)
当试验次数n无穷大时，总体标准差：

( xi x)
i 1
n
2
n

x ( xi ) 2 / n
i 1 2 i i 1
n
n
n
试验次数为有限次时，样本标准差：
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1.3 试验数据误差的来源及分类 1.3.2 系统误差（systematic error）
（1）定义：一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定 的规律起作用而形成的误差。 （2）产生的原因：多方面 （3）特点： 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的； 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的 平均值而减小； 只有对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进 行校正，或设法消除。 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 Page 15 2013年7月25日星期四
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误差分析（error analysis）
对原始数据的可靠性进行客观的评定。
误差（error） 试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致 试验结果都具有误差，误差自始至终存在于一切科学实验过 程中。
客观真实值——真值
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①无系统误差的试验 ②有系统误差的试验 试验设计与数据处理 吕敬堂主讲 2013年7月25日星期四
第1章 试验数据的误差分析
1.4 试验数据的精准度 1.4.3 准确度（accuracy）
（1）含义： 反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 （2）三者关系
①无系统误差的试验 精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C ②有系统误差的试验 精密度：A＇＞B＇＞C＇ 正确度：A＇，B＇，C＇相当 准确度：A ＇＞B ＇＞C ＇
x1 x2 x1 x2 x2 x1 xL x1 x2 ln x1 ln x2 ln ln x2 x1
说明：
若数据的分布具有对数特性，则宜使用对数平均值。